大学物理机械振动ppt资料
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第6章机械振动共64页PPT资料
A x02 v0 2 0.12m
x0 Acos
cos 2
2
π
4
v0Asin0
π
4
振动方程： x0.102co2st (簧,弹性系数分别为k1和k2,两滑块 质量分别为M和m ,叠放在光滑的桌面上,M与两弹簧
x0Acos0
π
2
18
v A sin 0 π
2
机械能守恒：
1(Mmv)2 1kA2
2
2
A0.05m
振动方程： x0.05co(4s 0 tπ) m 2
19
6-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法
旋转矢量A在 x 轴上的投 影点 M 的运动规律：
第6章
振动
1
机械振动： 物体在一定的位置附近做来回往复的运动。
振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的 变化。 波动：振动状态在空间的传播。
任何复杂的振动都可以看 做是由若干个简单而又基 本的振动的合成。这种简 单而又基本的振动形式称 为简谐运动。
2
§6-1 简谐运动
6-1-1 简谐运动的基本特征
注意： 满足上式的初相位可能有两个值，具体取哪个值
应根据初始速度方向确定。
14
例1 如图,在光滑的水平面上,有一弹簧振子,弹簧的 劲度系数为1.60N/m,振子质量0.40kg,求在下面两种 初始条件下的振动方程.(1)振子在0.10m的位置由静 止释放;(2)振子在0.10m处向左运动,速度为0.20m/s.
加速度与位移反相位。
11
比较： a 2A co t s
xA co ts
a2x
即
d2x dt 2
2
大学物理振动课件
大学物理振动课件•振动基本概念与分类•简谐振动特性分析•非简谐振动处理方法目录•波动现象与波动方程•光学中振动与波动应用•声学中振动与波动应用•总结回顾与拓展延伸01振动基本概念与分类振动定义及特点振动的定义物体在平衡位置附近所做的往复运动称为振动。
振动的特点周期性、重复性、稳定性。
振动分类方法自由振动、受迫振动。
按振动系统分类简谐振动、非简谐振动。
按振动规律分类直线振动、扭转振动。
按振动方向分类物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动。
简谐振动的定义回复力与位移成正比，且方向相反；加速度与位移成正比，且方向相反；速度与位移成反比。
简谐振动的特点不满足简谐振动条件的振动称为非简谐振动。
非简谐振动的定义回复力不满足与位移成正比的规律；加速度与位移的关系不满足简谐振动的规律；振动图像不是正弦或余弦曲线。
非简谐振动的特点简谐振动与非简谐振动02简谐振动特性分析简谐振动方程建立与求解建立简谐振动方程通过受力分析和牛顿第二定律，建立简谐振动的微分方程。
对于一维简谐振动，方程形式为$mfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$，其中$m$ 为振子质量，$k$ 为弹性系数。
方程的求解通过求解微分方程，得到简谐振动的通解为$x(t) = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$ 为振幅，$omega$ 为角频率，$varphi$ 为初相位。
1 2 3表示振动物体离开平衡位置的最大距离，反映了振动的强弱程度。
振幅$A$表示振动物体完成一次全振动所需的时间，反映了振动的快慢程度。
周期$T$表示单位时间内振动物体完成全振动的次数，与周期互为倒数关系，即$f = frac{1}{T}$。
频率$f$振幅、周期、频率等参数意义相位差与波动传播关系相位差的概念两个同频率的简谐振动之间存在的相位之差。
当两个振动的相位差为$2npi$（$n$为整数）时，它们处于同相；当相位差为$(2n+1)pi$ 时，它们处于反相。
机械振动和机械波复习课件ppt
波的叠加：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和
1
2
四、波的衍射和干涉
干涉：频率相同的两列波叠加，某些区域的振动加强， 某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象．产生稳定的干涉现象的必要条件：两列波的频率相同．
物理选修3-4 机械振动与机械波 复习课件
此处添加副标题内容
简谐运动
01
定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动．
02
F回=-kx
03
简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量 位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量。
注：位移的参考点是平衡位置 振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱．
B
波刚传播到哪个位置，则该位置质点的起振方向与振源的起振方向相同．
例4(8分)如图1－17所示，实线是某时刻的波形图象，虚线是0.2 s后的波形图．
若波向左传播，求它传播的可能距离；
若波向右传播，求它的最大周期；
若波速是35 m/s，求波的传播方向．
总结：
波速计算方法 v=λ/T=λf v=s/t
5．横波的图象
如图1－5所示为一横波的图象．纵坐标表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，横坐标表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置．它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布．简谐波的图象为 正弦 曲线．
思考：振动图像与波动图像的区别？
物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移(类比录像)；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移(类比照片)。
1
2
四、波的衍射和干涉
干涉：频率相同的两列波叠加，某些区域的振动加强， 某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象．产生稳定的干涉现象的必要条件：两列波的频率相同．
物理选修3-4 机械振动与机械波 复习课件
此处添加副标题内容
简谐运动
01
定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动．
02
F回=-kx
03
简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量 位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量。
注：位移的参考点是平衡位置 振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱．
B
波刚传播到哪个位置，则该位置质点的起振方向与振源的起振方向相同．
例4(8分)如图1－17所示，实线是某时刻的波形图象，虚线是0.2 s后的波形图．
若波向左传播，求它传播的可能距离；
若波向右传播，求它的最大周期；
若波速是35 m/s，求波的传播方向．
总结：
波速计算方法 v=λ/T=λf v=s/t
5．横波的图象
如图1－5所示为一横波的图象．纵坐标表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，横坐标表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置．它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布．简谐波的图象为 正弦 曲线．
思考：振动图像与波动图像的区别？
物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移(类比录像)；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移(类比照片)。
大学物理-振动和波ppt课件
直观展示简谐振动各参量的关系，便于确
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态 间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知 ＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态 间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知 ＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
大学物理课件-第6章 振动(vibration)-PPT课件
M
x
ω
⑸周期T—旋转矢量转一周所需的时间。
鞍山科技大学 姜丽娜
20
2.相量图法的优点：
⑴初位相直观明确。 ⑵比较两个简谐振动的位相差直观明确。 M o X X M3 M2 M1 o
M
x
⑶计算同一简谐振动状态变化所经历的时间容易。
o
M4
鞍山科技大学 姜丽娜
21
例1 已知一个物体沿X轴作简谐振动,周期T=2s、振幅 A=0.20m，t=0时,
t=0 x
x x = A cos( t + )
·
•矢量长度 = A； •以为角速度绕o点逆时针旋转； •t = 0时矢量与x轴的夹角为 •矢量端点在x轴上的投影为SHM。
相位差
x A c o s ( t ) 1 1 1 1
x A c o s ( t ) 2 2 2 2
=( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1 初位相差
对两同频率的谐振动 (i) 当2 -1 = 0 , (ii) 当 2 -1 = ,
x
两振动步调相同,称同相 两振动步调相反 , 称反相 。
x
A1
A2 o - A2
x2
x1
同相
T t
3 xA cos( t ) 3
鞍山科技大学 姜丽娜 17
3.一个沿X轴方向运动的弹簧振子,振幅A,周期T已知, t=0时的 状态分别为: ⑴过平衡位置向X轴正向运动; ⑵过x=A/2处向X轴负向运动。
求:上述两种情况下的振动方程
解 ( 1 ) x A cos 0 0
广义振动：凡是物理量随时间作周期性变化的现象都称振动。
大学物理课件--机械振动与机械波
S2
P点合振动：
A
物 理 学
y ACos ( t ) A 1 A 2 2A 1 A 2 Cos
2 2
( 2 1 ) 2
r2 r1
物理教研室 陈亮
2
r
( 2 1 0)
波程差： r r2 r1
T
2
1
相位（位相）： t
ω由谐振系统性质决定
A , 由初始条件决定
初相位（初位相）：
物 理 学
物理教研室 陈亮
例1：p182例10-1 解：（1）见书 （2）t 0 时 : y 0
A y0
2
AC os
v 0 A Sin v0
2
2
本章小结
简谐振动：振动方程、三要素、合成 简谐波：
波动方程、三要素、能量
波的干涉：相干条件、加强、减弱条件
物 理 学
物理教研室 陈亮
作业
10-3、10-8、10-11、10-13
物 理 学
物理教研室 陈亮
t0
0 A cos
Y
物 理 学
物理教研室 陈亮
物 理 学
2
A Sin ( t )
物 理 学
加速度 a
dt a m C os ( t )
A C os ( t )
物理教研室 陈亮
简谐振动三要素：
振幅： A 角（圆）频率：
k m
T 周期： 2
频率：
1 T
2.t一定：t时刻的波形。
例3: p191 例10-4 波的能量 波强：单位时间通过单位面积的波
大学物理 完整课件 ch4 机械振动PPT共24页
大学物理 完整课件 ch4 机械振动
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
大学物理第4章机械振动 机械波课件讲义
则系统受到的合力为
F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)
m
d2x dt 2
k
x
m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2
2
x
0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos
A
sin(
t
0 )
机械振动的PPT精选全文
x0 0
x0
0
x0 0
按指数规律衰减的非周期运 动
0
t
临界阻尼（ 1）
• 定义临界阻尼系数
1 cc 2mn 2 mk
（9）
阻尼 比
c
cc
（10）
超临界阻尼（ 1）
• 运动方程的通解为
x C e C e n 21 t 1
n 2 1 t 2
设系统的初始条件为
n 2 1 t 2
x e C e C e nt
i 1 2nt
1
i 1 2nt 2
临界阻尼（ 1）
运动方程的通解为
x C1 C2t ent
（6）
设系统的初始条件为
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x x0 n x0 x0 t ent
（7） （8）
x(t) x0
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es1t
2 1
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es2t
2 1
（11） （12）
（13）
超临界阻尼（ 1）
x(t)
A
Ae 21 nt
x0
0
t
Be 21 nt B
•一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 •注意：实际工程中一般不会出现超临界（过）阻尼的情况
些 x(t)
1.4
1
0.2
t
s2 2ns n2 0
特征方程的根（系统特征值）
s1,2 n 2 1
特征值的三种情况：
（4） （5）
单摆机械振动的能量与合成.ppt
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2 A2
合振动 假设Βιβλιοθήκη A1x A2
xA1 0，x12
2
0
1 A1
1 2 1 2
1 2
mA 2
2
sin2 t
＋ 1
2
kA2
cos2 t
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2x k dt 2 m x 0
d
dt Ek E p 0
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos 2
1
sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
物理机械振动优秀课件
xAcots () vA si n t ()
x
A
o
A
v v
T 2
xt图
v T t
3. 相位 t
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ(n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
例
已知 t0,x0,v0，求
0Acos
π
2
v0A sin0
sin0取 π
A
x
2
xAcos(tπ)
o
A
2
v
x
o
Tt
T 2
旋转矢量
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
续
A t
t
旋转矢量端点 M 的加速度为
2x
0
简谐振动方程
2.简谐振动表达式 xAcots ()
4.简谐振动的速度和加速度 取 0
x A cos( t )
x xt图
v dx dt
A sin( t )
A
o
T
A
Av vt图
o
T
t
t
a
dv dt
d2 x dt2
2 A cos( t )
A
a
A 2
o
at图
T
t
2x
A2
0.04
p
p SI
2
x
A
o
A
v v
T 2
xt图
v T t
3. 相位 t
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ(n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
例
已知 t0,x0,v0，求
0Acos
π
2
v0A sin0
sin0取 π
A
x
2
xAcos(tπ)
o
A
2
v
x
o
Tt
T 2
旋转矢量
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
续
A t
t
旋转矢量端点 M 的加速度为
2x
0
简谐振动方程
2.简谐振动表达式 xAcots ()
4.简谐振动的速度和加速度 取 0
x A cos( t )
x xt图
v dx dt
A sin( t )
A
o
T
A
Av vt图
o
T
t
t
a
dv dt
d2 x dt2
2 A cos( t )
A
a
A 2
o
at图
T
t
2x
A2
0.04
p
p SI
2
大学物理(工科) 机械振动基础
2
0
方程的解：
0 cos(ω t )
当 较大时，如何处理分析？
(3)相位的意义:
x(t) Acos(ω t ) v Asin(t ) a 2 Acos( t )
相位已知则振动状态已知,相位没改变 2 振动重复一次.
相位 2 范围内变化,状态不重复.
x
A
= 2
O
t
-A
4. 由初始条件求振幅和初相位
2
2
振幅
随 t 缓变
随 t 快变
当 2 1 时 , 2 1 2 + 1。
合振动 x 可看作是振幅缓变的近似简谐振动。
3. 拍的现象 x1
x1 Acos1t
t
x2 Acos2t
x2
t
x x1 x2
x
t
x
x1
x2
2 A cos(
2
1)t
2
cos(
2
1)t
2
拍频 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (
t
)
O
x
3. 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
（简谐振动系统机械能守恒）
例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转 动惯量为J.
设 t = 0 时摆角向右最大为 0.
求 振动周期和振动方程.
解 M mghsin J
mgh sin 0
J
5时,sin
mgh 0
质点由A 到 B，历时 2 s；再经 2 s，
又通过B点
=+
A
O
质点由 B 再回到B 点，则 + 被 x
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x
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
上一页 下一页
x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ，也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
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例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
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例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
mgl J
0
转动正向
l
*C
令 2 mgl , mgl
J
J
T 2 2 π
J mgl
mg
（ C点为质心）
m cos(t )
上一页 下一页
讨论：已知k1和k2，求两弹簧串联后的等效劲度系数。
k1
P
k2 F m
ox
x
F
k2 x2
m
d2x dt 2
k1k2 x m d 2 x
k1 k2
上一页 下一页
Fm
ox
x
弹簧原长时小球所在处(平衡位置)为坐标原点.
d2x F kx m dt2
令 k 2
m
d2x dt 2
k m
x
0
d2x dt 2
2
x
0
x Acost 振动方程
由系统本身性质决定,与外界无关。
上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
F kx
d2x dt 2
2
x
0
动力学特点
x Acost
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量 是简谐振动量。
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A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值（m）
1）周期 T ：完成一次全振动所需时间 (s)
Acos( t ) Acos[(t T ) ]
cos
sin
x0
A v0
A
(4) ( tan v0 ) x0
注 :1.由(4)确定的值在 ~ 或0 ~ 2范围内
2.振幅不仅与振子的固有性质有关，还与初始条件有关。
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例. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，
弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
第二篇 机械振动和机械波
第四章 机械振动
(6.5.1)
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一、机械振动——物体在平衡位置附近的往复运动
m o
（a）单摆
m o
（b）扭摆
（d）浮体
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(1)、周期性 (2)、有一个平衡位置
(1)、回复力 (2)、惯性
振动——某物理量在定值上下往复变化 二、研究简谐振动的意义 （1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。 （2）复杂的振动是由简谐振动合成的。
dt 2
两弹簧串联 k k1k2
k1 k2
两弹簧并联 k k1 k2
kx1x1
x1
k2 x2 x2
x2
k1
k1 k2
x
d2x dt 2
k m
x
0
若k1
k2，则k
k1 2
若k1 k2，则k 2k1
上一页 下一页
k,
m
k串 k,串 ,
k并 k,并
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t : 相位，或位相，或相(rad) 相位决定谐振子某
T 2
T 2
2)频率：单位时间内完成全振动的次数（Hz)
1 , 2 2
T
T
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3)角频率：2秒内完成全振动的次数（s-1)
2 2 （频率决定谐振动的频繁程度）
T
对于弹簧振子: k , T 2 m , 1 k
m
k
2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情况，由F ma或M J,写出动力学方程
: t 0时的相位, 称为初相. 一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
t
t2
t1
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它
们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
频率 矢量单位时间内旋转的圈数
相位(t ) t时刻矢量与x轴的夹角
P
P
t P0
初相 t 0时矢量与x轴的夹角 A
o
Ax
相位差 两矢量A1, A2的夹角
t Βιβλιοθήκη 上一页 下一页A1 A2
同相
当2 1时， 2 1
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若 2k, k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动同相。
若 2k 1, k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动反相。
若t 2 t 1，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1，称振动2落后于振动1。
0同相 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 取物体的平衡位置为原点o，
向下为x轴正方向。
mg kl 0
k
当物体运动至某点x时，
mg
k
x
l
m
d2x dt 2
整理可得
d2x dt 2
k m
x
0
由此可知物体作简谐振动。
v0 m
o
m
x
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k g 10(rad s1)
ml
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02
v0
2
0
1
2
0.1m
10
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动方程为：x 0.1cos10t m
2
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振幅A 矢量A的长
角频率 矢量逆时针匀速旋转的角速度
周期T 矢量旋转一圈所需时间T 2
2
2
t3
t
T
t
T
t3 t
4
1, 将x t图左移T 便得v t图，再左移T 便得a t图。
4
4
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三、由初始条件确定振动的振幅和初相。
x Acost ,
v Asint
设t 0时，x x0，v v0
则
有v0x0AAcossin
(1) (2)
A
x02
v02
2
(3)
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
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x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ，也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
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例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
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例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
mgl J
0
转动正向
l
*C
令 2 mgl , mgl
J
J
T 2 2 π
J mgl
mg
（ C点为质心）
m cos(t )
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讨论：已知k1和k2，求两弹簧串联后的等效劲度系数。
k1
P
k2 F m
ox
x
F
k2 x2
m
d2x dt 2
k1k2 x m d 2 x
k1 k2
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Fm
ox
x
弹簧原长时小球所在处(平衡位置)为坐标原点.
d2x F kx m dt2
令 k 2
m
d2x dt 2
k m
x
0
d2x dt 2
2
x
0
x Acost 振动方程
由系统本身性质决定,与外界无关。
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要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
F kx
d2x dt 2
2
x
0
动力学特点
x Acost
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量 是简谐振动量。
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A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值（m）
1）周期 T ：完成一次全振动所需时间 (s)
Acos( t ) Acos[(t T ) ]
cos
sin
x0
A v0
A
(4) ( tan v0 ) x0
注 :1.由(4)确定的值在 ~ 或0 ~ 2范围内
2.振幅不仅与振子的固有性质有关，还与初始条件有关。
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例. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，
弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
第二篇 机械振动和机械波
第四章 机械振动
(6.5.1)
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一、机械振动——物体在平衡位置附近的往复运动
m o
（a）单摆
m o
（b）扭摆
（d）浮体
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(1)、周期性 (2)、有一个平衡位置
(1)、回复力 (2)、惯性
振动——某物理量在定值上下往复变化 二、研究简谐振动的意义 （1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。 （2）复杂的振动是由简谐振动合成的。
dt 2
两弹簧串联 k k1k2
k1 k2
两弹簧并联 k k1 k2
kx1x1
x1
k2 x2 x2
x2
k1
k1 k2
x
d2x dt 2
k m
x
0
若k1
k2，则k
k1 2
若k1 k2，则k 2k1
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k,
m
k串 k,串 ,
k并 k,并
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t : 相位，或位相，或相(rad) 相位决定谐振子某
T 2
T 2
2)频率：单位时间内完成全振动的次数（Hz)
1 , 2 2
T
T
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3)角频率：2秒内完成全振动的次数（s-1)
2 2 （频率决定谐振动的频繁程度）
T
对于弹簧振子: k , T 2 m , 1 k
m
k
2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情况，由F ma或M J,写出动力学方程
: t 0时的相位, 称为初相. 一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
t
t2
t1
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它
们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
频率 矢量单位时间内旋转的圈数
相位(t ) t时刻矢量与x轴的夹角
P
P
t P0
初相 t 0时矢量与x轴的夹角 A
o
Ax
相位差 两矢量A1, A2的夹角
t Βιβλιοθήκη 上一页 下一页A1 A2
同相
当2 1时， 2 1
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若 2k, k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动同相。
若 2k 1, k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动反相。
若t 2 t 1，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1，称振动2落后于振动1。
0同相 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 取物体的平衡位置为原点o，
向下为x轴正方向。
mg kl 0
k
当物体运动至某点x时，
mg
k
x
l
m
d2x dt 2
整理可得
d2x dt 2
k m
x
0
由此可知物体作简谐振动。
v0 m
o
m
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k g 10(rad s1)
ml
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02
v0
2
0
1
2
0.1m
10
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动方程为：x 0.1cos10t m
2
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振幅A 矢量A的长
角频率 矢量逆时针匀速旋转的角速度
周期T 矢量旋转一圈所需时间T 2
2
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t3
t
T
t
T
t3 t
4
1, 将x t图左移T 便得v t图，再左移T 便得a t图。
4
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三、由初始条件确定振动的振幅和初相。
x Acost ,
v Asint
设t 0时，x x0，v v0
则
有v0x0AAcossin
(1) (2)
A
x02
v02
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