时间复杂度与空间复杂度的分析方法
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
算法测量的技巧
算法测量的技巧在测量算法性能时，有以下几个常用的技巧：1. 时间复杂度分析：通过时间复杂度分析来评估算法的运行时间。
时间复杂度描述了算法执行所需的操作数量与输入规模之间的关系。
常见的时间复杂度有O(1)、O(log n)、O(n)、O(nlog n)、O(n^2)等。
2. 空间复杂度分析：通过空间复杂度分析来评估算法所需的额外内存空间。
空间复杂度描述了算法所需的额外内存空间与输入规模之间的关系。
常见的空间复杂度有O(1)、O(n)、O(n^2)等。
3. 实际运行时间测量：通过编写程序，并使用计时器来测量算法的实际运行时间。
可以多次运行同一个算法，并取平均值来提高结果的准确性。
4. 大规模数据测试：对于算法的性能评估，通常需要针对不同规模的数据进行测试。
可以使用随机生成的数据集，以及具有特定特征的数据集，来测试算法的处理能力。
5. 对比测试：对比不同的算法，在相同的输入数据下进行测试，以比较它们的性能优劣。
6. 空间利用率测量：除了考虑运行时间外，还可以评估算法的空间利用率。
对于同样的功能，空间利用率更高的算法通常更好。
7. 算法稳定性评估：在某些情况下，算法的运行时间可能受到输入数据的特定分布方式的影响。
可以通过测试不同分布方式的数据集，来评估算法的稳定性。
8. 最坏情况复杂度分析：除了平均复杂度外，还应考虑算法在最坏情况下的复杂度。
这可以帮助提高算法的鲁棒性和可预测性。
9. 综合评估：以上技巧可以综合使用，以获得对算法性能的全面评估。
考虑到算法的时间复杂度、空间复杂度、运行时间、空间利用率、稳定性等方面的因素。
算法的时间复杂度和空间复杂度
相关知识介绍（所有定义只为帮助读者理解相关概念，并非严格定义）：1、稳定排序和非稳定排序简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，我们就说这种排序方法是稳定的。
反之，就是非稳定的。
比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。
假如变成a1,a4, a2,a3,a5就不是稳定的了。
2、内排序和外排序在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。
3、算法的时间复杂度和空间复杂度所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。
一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。
功能：选择排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。
选择排序是不稳定的。
算法复杂度O(n2)--[n的平方void select_sort(int *x, int n){int i, j, min, t;for (i=0; i<n-1; i++) /*要选择的次数：0~n-2共n-1次*/{min = i; /*假设当前下标为i的数最小，比较后再调整*/for (j=i+1; j<n; j++)/*循环找出最小的数的下标是哪个*/{if (*(x+j) < *(x+min)){min = j; /*如果后面的数比前面的小，则记下它的下标*/}}if (min != i) /*如果min在循环中改变了，就需要交换数据*/{t = *(x+i);*(x+i) = *(x+min);*(x+min) = t;}}/*功能：直接插入排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。
matlab 时间空间复杂度计算
matlab 时间空间复杂度计算在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是评估算法性能的两个重要指标。
而在MATLAB中，对于算法的时间复杂度和空间复杂度的计算与其他编程语言类似。
本文将从理论和实际应用的角度，详细介绍MATLAB中时间复杂度和空间复杂度的计算方法，并探讨如何优化算法以提高性能。
时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的程度，通常用大O符号表示。
它描述了算法执行所需的基本操作次数，并提供了一种粗略的估计。
在MATLAB中，我们可以使用复杂度符号库来计算时间复杂度。
常见的时间复杂度包括：-常数时间复杂度O(1)：算法的执行时间不受输入规模的影响，例如直接访问数组元素。
-线性时间复杂度O(n)：算法的执行时间与输入规模n成正比，例如遍历数组或链表。
-对数时间复杂度O(log n)：算法的执行时间随输入规模n的对数增加，例如二分查找。
-平方时间复杂度O(n^2)：算法的执行时间与输入规模n的平方成正比，例如嵌套循环。
在MATLAB中，可以通过分析循环、递归和函数的调用来判断算法的时间复杂度。
具体方法如下：1.计算循环次数：分析算法中的循环结构，找出循环变量的变化规律并计算循环次数。
通常情况下，循环结构的复杂度与循环次数成正比。
2.分析递归调用：递归算法的时间复杂度可以通过递归树来计算。
根据递推关系式和递归调用的次数，可以得到递归算法的复杂度。
3.考虑函数调用开销：函数调用也会耗费一定的时间，特别是输入和输出参数的传递。
因此，在计算算法复杂度时，需要考虑函数调用的开销。
空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需的额外内存空间的大小，通常也用大O符号表示。
它描述了算法所需的内存空间随输入规模增长而增加的程度。
常见的空间复杂度包括：-常数空间复杂度O(1)：算法所需的额外内存空间是固定的，与输入规模无关，例如只使用有限个额外变量。
-线性空间复杂度O(n)：算法所需的额外内存空间与输入规模n成正比，例如需要创建一个与输入规模相同大小的数组来存储数据。
算法的时间复杂度和空间复杂度的关系
算法的时间复杂度和空间复杂度的关系
时间复杂度和空间复杂度是算法分析中最重要的概念，它们可以帮助我们评估算法的性能。
时间复杂度描述了算法执行所需的时间，而空间复杂度描述了算法执行所需的内存空间。
时间复杂度是指算法执行所需的时间，它可以用大O表示法来表示，其中O(n)表示算法
的时间复杂度为n，即算法的执行时间与输入数据的大小成正比。
一般来说，算法的时间
复杂度越低，它的执行效率就越高。
空间复杂度是指算法执行所需的内存空间，它也可以用大O表示法来表示，其中O(n)表
示算法的空间复杂度为n，即算法所需的内存空间与输入数据的大小成正比。
一般来说，
算法的空间复杂度越低，它的内存使用效率就越高。
时间复杂度和空间复杂度之间存在一定的关系，即算法的时间复杂度越低，它的空间复杂度也越低。
这是因为算法的时间复杂度越低，它所需的计算量就越少，因此它所需的内存
空间也就越少。
反之，算法的时间复杂度越高，它所需的计算量就越多，因此它所需的内
存空间也就越多。
因此，我们可以从算法的时间复杂度来推断它的空间复杂度，从而更好地评估算法的性能。
但是，有时候算法的时间复杂度和空间复杂度可能不是成正比的，因此我们还需要对算法
的空间复杂度进行具体的分析，以便更好地评估算法的性能。
总之，时间复杂度和空间复杂度是算法分析中最重要的概念，它们可以帮助我们评估算法的性能。
算法的时间复杂度越低，它的空间复杂度也越低，但有时候它们之间的关系可能
不是成正比的，因此我们还需要对算法的空间复杂度进行具体的分析，以便更好地评估算
法的性能。
空间复杂度怎么算
空间复杂度怎么算1.算法效率算法分析有两种:第一种是时间效率，第二种是空间效率。
时间效率叫时间复杂度，空间效率叫空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行速度，空间复杂度主要衡量一个算法需要的额外空间。
在计算机发展的早期，计算机的存储容量非常小。
所以我非常关心空间的复杂性。
然而，随着计算机行业的快速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的水平。
所以现在我们不需要特别关注一个算法的空间复杂度。
2.时间复杂度2.1时间复杂度的概念时间复杂度的定义:在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数(数学中表达式未知的函数)，定量描述算法的运行时间。
理论上，一个算法执行的时间是无法计算的。
只有把你的程序放到机器上运行，你才能知道。
但是我们需要在电脑上测试每一个算法吗？可以在电脑上测试，但是很麻烦，于是就有了时间复杂度分析法。
算法花费的时间与其语句的执行次数成正比，算法中基本运算的执行次数就是算法的时间复杂度。
3.空间复杂度空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
4.大O渐进表示法•大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：• 1.用常数1替换运行时的所有加法常数。
• 2.在操作次数的修正函数中，只保留最高阶项。
•3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：•最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数•最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界) 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到最坏情况：N次找到•平均情况：N/2次找到在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)5.常见时间复杂度计算一下这个算法的时间复杂度// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？voidFunc1(intN){intcount=0;//两层循环嵌套外循环执行n 次，内循环执行n次，整体计算就是N*N的执行次数for(inti=0;i<N;++i){for(intj=0;j<N;++j){++count;}}//2 * N的执行次数for(intk=0;k<2*N;++k){++count;}//常数项10intM=10;while(M--){++count;}printf("%d\n",count);}精确的时间复杂度是N ^ 2 + 2 * N + 10 大O的渐进表示法时间复杂度是O(N ^ 2) 分析： 1、两层循环嵌套外循环执行n次，内循环执行n次，整体计算就是N*N 的执行次数 2、2 * N的执行次数 3、常数项10 根据前面的大o渐进表示法规则，所以最后只保留那项对执行次数影响最大的那一项，时间复杂度就是O(N ^ 2)。
如何计算时间复杂度和空间复杂度
如何计算时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要方法，可以通过对算法的代码进行分析和推算来得出。
时间复杂度描述了算法运行时间随输入规模增长而增长的趋势，通常用大O符号表示。
在计算时间复杂度时，我们需要关注算法中的循环、递归、条件分支等关键代码块。
以下是计算时间复杂度的一些常见方法：1.计算常数时间复杂度：如果一个算法的代码只包含固定数量的操作，不随输入规模变化，那么它的时间复杂度为O(1)。
例如，简单的赋值、比较和常量运算等操作。
2.计算线性时间复杂度：如果一个算法的代码中包含一个循环，该循环的迭代次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n)。
例如，遍历一个数组或者链表的操作。
3.计算平方时间复杂度：如果一个算法的代码中包含两个嵌套的循环，外层循环的迭代次数与输入规模n成正比，内层循环的迭代次数也与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n^2)。
例如，二重循环嵌套的矩阵操作。
4.计算指数时间复杂度：如果一个算法的代码中包含递归调用，且递归次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度可能是指数级别的，如O(2^n)。
例如，求解斐波那契数列的递归算法。
计算空间复杂度是用来衡量算法所需的额外存储空间随输入规模增长而增长的趋势。
以下是计算空间复杂度的一些常见方法：1.计算固定空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间不随输入规模变化，那么它的空间复杂度为O(1)。
例如，仅需要几个变量来存储中间计算结果的操作。
2.计算线性空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间随输入规模n成正比，那么它的空间复杂度为O(n)。
例如，需要创建一个数组或链表来存储输入数据的操作。
3.计算递归空间复杂度：如果一个算法中使用了递归调用，那么每个递归调用都需要创建一个新的函数调用栈帧，因此空间复杂度可能是O(n)，其中n是递归的深度。
例如，递归求解二叉树问题的操作。
在进行时间复杂度和空间复杂度的计算时，可以按照以下步骤进行：1.根据算法的代码，找出其中的关键代码块，例如循环、递归等。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿里）
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿⾥）⼆分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采⽤了⼆分查找法参考：⼆分查找法 redis的索引底层的跳表原理实现参考：⼆分查找法参考：⼆分查找法：1.⼆分查找⼆分查找也称为折半查找，它是⼀种效率较⾼的查找⽅法。
⼆分查找的使⽤前提是线性表已经按照⼤⼩排好了序。
这种⽅法充分利⽤了元素间的次序关系，采⽤分治策略。
基本原理是：⾸先在有序的线性表中找到中值，将要查找的⽬标与中值进⾏⽐较，如果⽬标⼩于中值，则在前半部分找，如果⽬标⼩于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相⽐较，如果⼩于中值，则在中值的前半部分找，如果⼤于中值，则在后半部分找。
以此类推，直到找到⽬标为⽌。
假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所⽰，则查找步骤为：⾸先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进⾏⽐较，发现22⽐13⼤，则在13的后半部分找；在后半部分 16，17，22，30中查找22，⾸先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进⾏⽐较，发现22⽐17⼤，则继续在17的后半部分查找；在17的后半部分 22，30查找22，⾸先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进⾏⽐较，查找到结果。
⼆分查找⼤⼤降低了⽐较次数，⼆分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。
⽰例代码：public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};System.out.println("⾮递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));}//⾮递归static int binarySearch(int[] arr, int res) {int low = 0;int high = arr.length-1;while(low <= high) {int middle = (low + high)/2;if(res == arr[middle]) {return middle;}else if(res <arr[middle]) {high = middle - 1;}else {low = middle + 1;}}return -1;}//递归static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){return -1;}int middle = (low+high)/2;if(res < arr[middle]){return binarySearch(arr, res, low, middle-1);}else if(res > arr[middle]){return binarySearch(arr, res, middle+1, high);}else {return middle;}}}其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)直接选择排序：排序过程：1 、⾸先在所有数据中经过 n-1次⽐较选出最⼩的数，把它与第 1个数据交换，2、然后在其余的数据内选出排序码最⼩的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为⽌。
动态规划复杂度分析
动态规划复杂度分析动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的解决优化问题的方法，通过将问题分解为若干子问题，并将子问题的答案保存起来，避免重复计算，从而提高算法效率。
在实际应用中，我们需要对动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度进行准确的分析，以便评估算法的性能和可行性。
一、动态规划的时间复杂度分析动态规划算法的时间复杂度取决于以下两个因素：1. 子问题数量：动态规划算法将原问题分解为若干子问题，并通过求解子问题的答案来解决原问题。
因此，子问题的数量直接关系到算法的时间复杂度。
如果每个子问题的求解时间相同且规模相等，那么子问题数量的增加会导致时间复杂度的线性增长。
2. 单个子问题的求解时间：每个子问题的求解时间是动态规划算法时间复杂度的另一个重要因素。
在实际应用中，子问题的求解时间可能不同，这取决于子问题之间的关系和具体的求解方法。
一般来说，如果每个子问题的求解时间相同，则总体的时间复杂度为子问题数量乘以单个子问题的求解时间。
基于以上分析，可以得出结论：动态规划算法的时间复杂度与子问题数量和单个子问题的求解时间相关，可以用O(N*M)表示，其中N 为子问题的数量，M为单个子问题的求解时间。
二、动态规划的空间复杂度分析动态规划算法的空间复杂度取决于以下两个因素：1. 子问题数量：与时间复杂度类似，子问题的数量也会影响算法的空间复杂度。
每个子问题需要保存其对应的答案，因此子问题的数量直接关系到算法的空间需求。
2. 单个子问题的空间需求：每个子问题需要保存其对应的答案，因此单个子问题的空间需求是算法空间复杂度的重要因素。
不同的子问题可能需要不同的空间来保存求解结果。
根据以上讨论，可以得出结论：动态规划算法的空间复杂度与子问题数量和单个子问题的空间需求相关，可以用O(N*M)表示，其中N为子问题的数量，M为单个子问题的空间需求。
三、动态规划算法的优化和改进在实际应用中，为了降低动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度，可以采取以下优化和改进措施：1. 优化状态转移方程：动态规划算法的核心是状态转移方程，通过优化方程的表达和求解方式，可以减少算法的时间复杂度。
算法的五种描述方法
算法的五种描述方法
算法是指解决特定问题的规律和步骤的组合，是一种按照特定规则进行计算和操作的工具，是一种解决特定问题的有效性和有效性的可行的技术，且不仅仅与计算机有关。
二、算法的五种描述方法
1. 泛函分析法：通过分析算法输入，输出，及处理的操作来描述算法。
它是将算法分解为必要的操作，以表达出算法的结构，从而更容易地实现和理解算法。
2. 归纳法：这种方法是借助统计数据对算法进行描述，以确定算法的可行性。
3. 时间复杂度分析法：该方法着重于分析算法的性能，例如算法运行时间等，以及分析算法在特定情况下，是否可以最优化。
4. 空间复杂度分析法：这是一种分析算法所需要的存储空间的分析方法，即分析算法所需要的内存，可以更容易地理解算法是如何实现的。
5. 逻辑表达式法：该方法是一种把算法表示为“输入 -> 输出”的形式，用于表达算法的逻辑思路，比如条件语句等，使用它可以更容易地描述算法。
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如何判断程序的复杂程度：时间和空间复杂度
如何判断程序的复杂程度：时间和空间复杂度1. 时间复杂度：使⽤⼤O表⽰法来表⽰程序的时间复杂度常见的7种时间复杂度（复杂度由低到⾼排序）O(1):常数时间复杂度O(log(n): 对数时间复杂度O(n): 线性时间复杂度O(n^2):平⽅时间复杂度O(n^3):⽴⽅时间复杂度O(k^n):指数时间复杂度，k表⽰常数O(n!):阶乘时间复杂度ps：这⾥我们并不考虑前边的系数；O(1) 并不表⽰复杂度为1，也可以是2、3等常数；O(n)表⽰程序运⾏了n次或者2n、3n次；以此类推其他时间复杂度时间复杂度的判断，以⼀段代码的最⾼复杂度为准；如何判断⼀段代码的时间复杂度简⽽⾔之就是看内部某段代码的执⾏次数O(1):常数复杂度int n = 1;System.out.println(n);12int n = 1;System.out.println(n);System.out.println(n+1)System.out.println(n+2)1234O(n)：线性时间复杂度for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(j);}123for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println(i);}for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(j);}123456O(n^2)：平⽅时间复杂度for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(i + j);345O(n^3)：⽴⽅时间复杂度for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = 0; k < n; k++) {System.out.println(i + j);}}}1234567O(log(n))：对数时间复杂度这⾥演⽰的是以2为底n的对数for (int i = 0; i < n; i = i * 2) {System.out.println(i);}123O(2^n)：指数时间复杂度/*** 递归求斐波那契数列的第n项；可以通过画运⾏树的⽅式获得时间复杂度*/int fib(int n) {if (n < 2) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}1234567O(n!)：阶乘时间复杂度todo⼩练习1：求和计算1~n的和O(n)int y = 2;for (int i = 0; i < n; i++) {y+=i;}1234O(1)使⽤了求和公式：sum = n(n+1)/2int y = 2;for (int i = 0; i < n; i++) {y+=i;4⼩练习2：求斐波那契数列O(2^n):int fib(int n) {if (n < 2) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}1234O(n)：该⽅法⽐递归要快得多int fib2(int n) {if (n == 1 || n == 2) {return 1;}int a = 1, b = 1, result = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {result = a + b;a = b;b = result;}return result;}123456789101112主定理主定理（英语：master theorem）提供了⽤渐近符号（⼤O符号）表⽰许多由分治法得到的递推关系式的⽅法常⽤算法中的应⽤算法递回关系式运算时间⼆分搜寻算法⼆叉树遍历最佳排序矩阵搜索(已排好序的⼆维矩阵)合并排序所有排序的最优算法都是O(nlog(n))2. 空间复杂度如何判断⼀段代码的空间复杂度主要通过两部分进⾏判断：数组的长度如果代码中应⽤了数组，那么数组的长度，基本上就是空间复杂度；e：⼀维数组的空间复杂度是O(n);⼆维数组的空间复杂度是O(n^2)递归的深度如果代码中有递归，那么递归的深度，就是代码的空间复杂度的最⼤值ps:如果代码中既有数组，⼜有递归，那么两者的最⼤值就是代码的空间复杂度leecode有个爬楼梯的复杂度分析情况；可以进⾏练习3. 数组和链表的时间复杂度分析数组随机增加：O(n)随机查询：O(1)随机删除：O(n)链表随机增加：O(1)随机查询：O(n)随机删除：O(1)跳表跳跃表（skiplist）是⼀种随机化的数据，由 William Pugh 在论⽂《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中提出，跳跃表以有序的⽅式在层次化的链表中保存元素，效率和平衡树媲美 —— 查找、删除、添加等操作都可以在对数期望时间下完成，并且⽐起平衡树来说，跳跃表的实现要简单直观得多。
如何进行算法分析和复杂性分析
如何进行算法分析和复杂性分析算法分析和复杂性分析是计算机科学中非常重要的一部分，它们帮助我们评估和理解算法的效率和性能。
本文将介绍算法分析和复杂性分析的概念、方法和常见的计算复杂性类别。
一、算法分析算法分析是对算法性能的评估和比较。
它提供了对算法资源使用情况的度量，例如时间复杂性和空间复杂性。
1.时间复杂性：时间复杂性是算法运行时间相对于输入规模的度量。
我们通常关注最坏情况下的运行时间，即最长时间。
常用的表示方式有大O表示法。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
当n变大时，运行时间也会相应增长，但增长的速度是线性的。
2.空间复杂性：空间复杂性是算法运行时所需的额外内存的度量。
同样，通常关注最坏情况下的额外内存使用。
也可以使用大O表示法表示空间复杂性。
算法分析的目标是找到高效的算法来解决问题。
通过对不同算法的复杂性进行度量和比较，我们可以选择最适合特定问题的算法，或者优化现有算法以获得更好的性能。
二、复杂性分析复杂性分析是一种对问题复杂性进行分类和比较的方法。
它研究了问题的难度和所需的计算资源。
根据问题的性质和计算资源的限制，我们可以将问题分为不同的复杂性类别。
1. P类问题（多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内解决，即随着输入规模的增加，算法的运行时间以多项式速度增长。
最常见的例子是排序和搜索问题。
2. NP类问题（非确定性多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内验证解的正确性。
虽然我们目前无法在多项式时间内找到解，但一旦解被提供进来，我们可以在多项式时间内验证它们的正确性。
最著名的例子是旅行商问题和背包问题。
3. NP-完全问题（非确定性多项式完全问题）：这是一类特殊的NP问题，它被认为是NP问题中最困难的一类。
这些问题在NP类中是最难解决的，目前还没有发现多项式时间内的解决方法。
代表性的例子有布尔可满足性问题和子集和问题。
通过对问题的复杂性进行分析，我们可以确定是否存在有效的算法来解决问题，或者将问题归类为NP完全问题。
数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
【数据结构】时间复杂度和空间复杂度计算
【数据结构】时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度AND空间复杂度专项时间维度：是指执⾏当前算法所消耗的时间，我们通常⽤「时间复杂度」来描述。
空间维度：是指执⾏当前算法需要占⽤多少内存空间，我们通常⽤「空间复杂度」来描述。
时间复杂度⼀个算法花费的时间与算法中语句的执⾏次数成正⽐例，哪个算法中语句执⾏次数多，它花费时间就多。
⼀个算法中的语句执⾏次数称为语句频度或时间频度。
记为 T(n)。
常见的算法时间复杂度由⼩到⼤依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增⼤，上述时间复杂度不断增⼤，算法的执⾏效率越低常见的时间复杂度：常见的时间复杂度：常数阶 O(1)对数阶 O(log2n)线性阶 O(n)线性对数阶 O(nlog2n)平⽅阶 O(n^2)⽴⽅阶 O(n^3)k 次⽅阶 O(n^k)指数阶 O(2^n)常见阶数串讲常数阶 O（1）没有循环结构，代码上万⾏都可以，消耗并不伴随某个的增长⽽增长，都是O（1）对数阶O（log2n）举个例⼦int n=1000;int i=1;while(i<=n){i=i*2;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;看在while循环中执⾏了多少次：while终⽌条件是i>n的时候，即当2的x次⽅等于n时结束循环，那么显然x=log2n。
也就是说while循环执⾏了log2n次后就结束了，那么这个算法的时间复杂度就是log2n。
从这个例⼦可以看出，如果将循环改成i=i*3;那么复杂度⾃然就变成了log3n。
线性阶O（n）现在你已经基本⼊门啦，我们直接上例⼦，线性阶很好理解，就是在循环中变量增长从倍数变成了单个增长。
int n=1000;int i=1;while(i<=n){i++;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;显然i需要增加n次才可以执⾏结束，故时间复杂度为O（n）线性对数阶O（nlogN）套娃！外层循环执⾏n次，内部循环需要执⾏logN次，那么⼀共就是n*logN啦，故时间复杂度为O（nlogN）。
算法可行性分析报告
算法可行性分析报告1. 引言算法是计算机科学中的重要组成部分，它是解决问题和完成任务的工具。
在开发软件或设计系统时，我们常常需要评估算法的可行性，以确保其能够在合理的时间内解决问题。
本文将对算法的可行性进行分析，并提供相应的推荐。
2. 可行性分析方法为了评估算法的可行性，我们可以采用以下几种方法：2.1 算法复杂度分析算法的复杂度分析是最常用的可行性分析方法之一，它从时间复杂度和空间复杂度两个方面评估算法的性能。
时间复杂度表示算法执行所需的时间，空间复杂度表示算法所需的额外存储空间。
通过比较算法的复杂度与问题规模的关系，我们可以得出算法是否可行的结论。
2.2 算法实验评估除了理论分析外，我们还可以通过实验来评估算法的可行性。
在实验中，我们可以使用真实数据或者随机生成的数据来评估算法的性能。
通过观察算法在不同输入规模下的表现，并进行对比分析，我们可以得出算法是否可行的结论。
2.3 算法应用场景评估根据算法的基本原理和特性，我们可以对算法的适用场景进行评估。
例如，某些算法适用于解决大规模数据处理问题，而另一些算法适用于处理图形和图像相关的问题。
通过了解算法的特点和需求场景，我们可以判断算法是否适用于特定的问题领域。
3. 可行性评估要素在进行可行性分析时，我们需要考虑以下几个要素：3.1 算法复杂度我们需要分析算法的时间复杂度和空间复杂度，了解算法是否在可接受的范围内。
时间复杂度应尽量控制在多项式级别，空间复杂度也应保持在合理的范围。
3.2 算法性能算法的性能表现是评估算法可行性的重要指标。
我们需要评估算法在不同输入规模下的表现，并与其他算法进行对比。
性能评估包括执行时间、执行次数等指标。
3.3 算法可扩展性算法的可扩展性是指算法在处理不同规模的输入时能否保持较好的性能。
我们需要评估算法在数据量增加时的性能表现，以确定其是否具有良好的可扩展性。
3.4 算法应用场景算法的适用场景是评估算法可行性的重要参考。
算法分析
算法分析算法分析是计算机科学中的一个重要领域，主要研究的是对算法进行评估、优化和推导的方法和技巧。
在计算机科学中，算法是一系列解决问题的指令或步骤，它们可以帮助我们解决各种复杂的计算问题。
算法分析的主要目的是了解算法的效率和性能，以便选择最优的算法来解决问题。
在进行算法分析时，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是用来衡量算法执行时间的指标，它表示随着输入规模增加，算法执行所需的时间增长的速度。
常见的时间复杂度有常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时间复杂度O(log n)、平方时间复杂度O(n^2)等。
而空间复杂度则是用来衡量算法执行所需的额外空间的指标，通常以内存占用量来表示。
为了分析算法的时间复杂度和空间复杂度，我们可以使用大O符号来表示。
大O符号是一种渐近符号，表示算法的复杂度的上界。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，那么它的执行时间不会超过一个与n成线性关系的常数倍。
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，我们可以评估算法的效率，并选择适合的算法来解决问题。
在进行算法分析时，我们通常使用一些常见的技巧和方法。
例如，我们可以使用递归关系式来求解递归算法的时间复杂度。
递归关系式是一种递归定义的函数，描述了算法的执行次数与输入规模之间的关系。
通过求解递归关系式，我们可以得到算法的时间复杂度的一个上界。
另外，我们还可以使用渐进分析法来评估算法的时间复杂度。
渐进分析法是一种比较不同算法的复杂度的方法，它通过分析算法的增长率来判断算法的效率。
常见的渐进分析法有最坏情况分析和平均情况分析。
最坏情况分析是指在最坏的输入情况下算法的执行时间复杂度；而平均情况分析是指在平均输入情况下算法的执行时间复杂度。
除了时间复杂度和空间复杂度，我们还可以对算法进行其他方面的分析。
例如，我们可以对算法的稳定性进行分析。
算法的稳定性是指排序算法在排序相等元素时是否能够保持它们的相对顺序不变。
8种算法分析汇总
8种算法分析汇总算法是计算机科学中非常重要的概念，它指的是一系列解决问题的步骤和规则。
算法分析是对算法进行评估和比较的过程，目的是确定算法的效率和优劣。
下面将介绍8种常见的算法分析方法。
1.大O符号大O符号是一种算法复杂度的表示方法，它表示了算法执行时间与问题规模的关系。
常见的大O符号有O(1)、O(log n)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等等。
通过分析算法中的基本操作的执行次数来确定算法的时间复杂度。
2.最坏情况分析最坏情况分析是根据在最坏情况下的执行时间来评估算法的效率。
在最坏情况下，算法所需的时间是所有可能情况中最长的时间。
3.平均情况分析平均情况分析是对算法在平均情况下的执行时间进行评估。
它需要对所有可能的输入情况进行加权平均。
4.最好情况分析最好情况分析是对算法在最理想情况下的执行时间进行评估。
在最好情况下，算法所需的时间是所有可能情况中最短的时间。
5.空间复杂度分析空间复杂度分析是对算法占用的额外内存空间进行评估。
它通常通过分析算法使用的数据结构和变量的空间要求来表示。
6.渐进分析渐进分析是一种对算法的性能进行评估的方法，它关注算法在问题规模变大时的行为。
通过分析算法在不同规模下的时间复杂度，可以确定算法的效率。
7.稳定性分析稳定性分析是对排序算法进行评估的方法，它关注算法是否能够保持相同值的元素的相对顺序不变。
稳定性分析对于一些问题是非常重要的，比如对于需要按照多个字段进行排序的情况。
8.可读性分析可读性分析是对算法代码的评估，它关注算法代码的易读性和可理解性。
可读性良好的代码可以提高代码的可维护性和调试效率。
总结：算法分析是评估和比较算法效率和优劣的过程。
大O符号、最坏情况分析、平均情况分析、最好情况分析、空间复杂度分析、渐进分析、稳定性分析、可读性分析是8种常用的算法分析方法。
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度转载请注明出处：（浏览效果更好）排序算法经过了很长时间的演变，产⽣了很多种不同的⽅法。
对于初学者来说，对它们进⾏整理便于理解记忆显得很重要。
每种算法都有它特定的使⽤场合，很难通⽤。
因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进⾏归纳。
排序⼤的分类可以分为两种：内排序和外排序。
在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使⽤外存，则称为外排序。
下⾯讲的排序都是属于内排序。
内排序有可以分为以下⼏类： (1)、插⼊排序：直接插⼊排序、⼆分法插⼊排序、希尔排序。
(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。
(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。
(4)、归并排序 (5)、基数排序表格版排序⽅法时间复杂度（平均）时间复杂度（最坏)时间复杂度（最好)空间复杂度稳定性复杂性直接插⼊排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单希尔排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)不稳定较复杂直接选择排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(1)O(1)不稳定简单堆排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(1)O(1)不稳定较复杂冒泡排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单快速排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)不稳定较复杂归并排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(n)O(n)稳定较复杂基数排序O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(n+r)O(n+r)稳定较复杂图⽚版①插⼊排序•思想：每步将⼀个待排序的记录，按其顺序码⼤⼩插⼊到前⾯已经排序的字序列的合适位置，直到全部插⼊排序完为⽌。
时间复杂度On和空间复杂度O1是什么意思？
时间复杂度On和空间复杂度O1是什么意思？（1）、把输⼊规模看成x轴，所花时间/空间看成y轴O（n）就是y=x，y随x的增长⽽线性增长。
也就是成正⽐，⼀条斜线。
O（1）就是y=1，是⼀个常量，不管x怎么变，y不变，⼀条与x轴平⾏的线。
（2）、举个简单的例⼦，要从0加到n，我们会这么写：int sum = 0;for(int i = 0;i<=n;++i) {sum + = i;}⼀共算了n次加法，那么就说这个时间复杂度是O（n）。
当然O（n）的精确的概念是，是n的最⾼次⽅，⽐如，某个计算共计算了3n+2次，那么这个时间复杂度也是O（n），因为3n+2中的最⾼次⽅是n。
如果代码这么写：int sum = 0;for(int i = 0;i<= n;i++) {for(int j = 0;j<= n;j++) {sum + = (i + j);}}很明显⼀共算了n^2次加法，那么就说这个时间复杂度是O（n^2），和这个上⾯的类似，如果某个算法计算了3*n^2+n+1次，其时间复杂度仍然是O（n^2），因为3*n^2+n+1中的最⾼的次⽅是n^2，所谓O1就是计算的次数是常量，我们还以上⾯从0到n的例⼦来说，如果我们⽤等差数列的公式，那么，代码可以这么写：int sum = n*(n+1)/2不管n有多⼤（当然不能溢出了），通过上⾯的公式只需要计算⼀次，也就是说计算的次数是不变的，这种情况的时间复杂度就可以说成O（1），再⽐如这个计算，不管其他条件如何变化，均只计算5次就能计算出结果，那么这种情况就是时间复杂度，也就是O（1）。
（3）、要在hash表中找到⼀个元素就是O（1）要在⽆序数组中找到⼀个元素就是O（n）访问数组的第n个元素是O（1）访问链表的第n个元素是O（n）也就是说：如果实现中没有循环就是O（1）如果实现中有⼀个循环就是O（n）（4）、算法复杂度：算法复杂度分为时间时间复杂度和空间复杂度。
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时间复杂度与空间复杂度的分析方法随着计算机技术的发展，算法的时间复杂度与空间复杂度成为评价算法性能的重要指标。
时间复杂度是指算法解决问题所需的时间，而空间复杂度则是指算法解决问题所需的内存空间。
本文将探讨时间复杂度与空间复杂度的分析方法。
一、时间复杂度分析方法
在分析算法时间复杂度时，通常采用最坏时间复杂度分析法。
最坏时间复杂度是指一种算法在任何输入下所需的最长时间。
为了方便起见，我们通常采用大O表示法来表示最坏时间复杂度。
它表示以输入规模n为变量时，算法的最坏情况运行时间的增长率，例如：
1. 常数时间复杂度O(1)
当算法的时间复杂度为O(1)时，表示算法的执行时间是一个常数，它与输入规模n无关。
例如，数组中的元素访问操作就具有常数时间复杂度，因为访问数组中的任何一个元素所需的时间是相同的。
2. 线性时间复杂度O(n)
当算法的时间复杂度为O(n)时，表示算法的执行时间与输入规
模成线性关系。
例如，遍历一个数组的所有元素具有线性时间复
杂度，因为遍历每个元素所需的时间是相同的，且需要执行n次。
3. 平方时间复杂度O(n^2)
当算法的时间复杂度为O(n^2)时，表示算法的执行时间与输入
规模成平方关系。
例如，对一个n*n的矩阵进行全矩阵乘法运算，它需要执行n^3次浮点运算，因此时间复杂度为O(n^3)。
二、空间复杂度分析方法
在分析算法空间复杂度时，通常采用最大空间复杂度分析法。
最大空间复杂度是指算法运行时所需的最大内存空间。
同样的，
我们通常采用大O表示法来表示最大空间复杂度。
1. 常数空间复杂度O(1)
当算法的空间复杂度为O(1)时，表示算法所需的空间是一个常数，它与输入规模n无关。
例如，交换两个变量所需的空间是常数级别的，因为只需要一个临时变量即可完成操作。
2. 线性空间复杂度O(n)
当算法的空间复杂度为O(n)时，表示算法所需的空间与输入规模成线性关系。
例如，数组排序算法通常需要一定的额外空间来存储中间结果，该空间随着输入规模n的增加而线性增加。
3. 平方空间复杂度O(n^2)
当算法的空间复杂度为O(n^2)时，表示算法所需的空间与输入规模成平方关系。
例如，在计算两个矩阵乘积时，需要存储n*n 的中间结果矩阵，因此该算法的空间复杂度为O(n^2)。
结语
本文探讨了时间复杂度与空间复杂度的分析方法，通过对常见时间与空间复杂度的实例进行分析，我们可以更好地理解算法性能评价的基本指标。
在实际应用中，我们需要根据不同问题的特点，选择不同的算法来达到最优解。