1_时间复杂性

4、循环语句，先里后外，逐步求和。 4、时间复杂性的级别的判断：级别越低越好。
·if Lim f(n)/g(n) = c; 这里 c 是常数。 f(n)、g(n) 同级别。
n->∞
·if Lim f(n)/g(n) = 0; 这里 c 是常数。 f(n) 级别低。
n->∞
·if Lim f(n)/g(n) = ∞; 这里 c 是常数。 g(n) 级别低。
在算法分析中，通常所说的找到了时间复杂性的级别，是指找到了同样级别的最 简单的函数。
如：307 n2、 n2/2、 n2 都是同一级别的函数，最简单的函数是n2 。所以， 307 n2、 n2/2、 n2 的级别都是O(n2 ) 。
f、g同级别：满足： f=O(g) 且 g=O(f),
·例3、设 T(n) = 3n != O(2n)
= n2+2n2 +1 <= n2 + 2n2 + n2; 在 n=1 时，等式成立，n>1 时，< 式成立
选 n0 = 1, c=4 ; T(n) <= 4n2。所以，T(n) = O(n2) ·例2、 设 T(n) = 3n3+2n2
选 n0 = 0, c=5 ; T(n) <= 5n3。所以，T(n) = O(n3) 同理：选 n0 = 0, c=5 ; T(n) <= 5n4。所以，T(n) = O(n4)？？？ 注意：符合定义，但在算法分析中是没有意义的。
T(n) >= 3n3。所以，T(n) = Ω (n3)
同理：T(n) >= 5n2。所以，T(n) = Ω (n2) ？？？
注意：符合定义，但在算法分析中是没有意义的。 Ω:找尽可能高的下界。 6、 Θ 表示法：
·定义；如果存在着正的常数 c1、c2 和自然数 n0，当 n >= n0 时；有
C1 ×g(n) <= f (n) <= C2 ×g(n) 成立，则称 f( n ) = Θ (g( n )) 。
1 物料管理
1、算法和算法分析
数据结构与程序设计考研复习大纲_SJTU
1、算法：一个算法就是有穷规则的集合，其中的规则规定了一个解决某一个特定问题的运算 序列。
2、算法的时间复杂性和空间复杂性： ·问题的规模(n)：或大小。如：矩阵的阶数、图的结点个数、被分类序列的正整数个数 ……
·时间复杂性：算法的所需的时间和问题规模的函数。记为 T(n)。当 n-> ∞ 时的时间复杂 性，被称之为渐进时间复杂性。
紧贴渐进界：设存在一个函数 f(n)=O(g(n))，如果对于每一个函数 h(n)都使得 f(n)=O(h(n))， 也使得 g(n)=O(h(n))，就说 g(n) 是 f(n) 的紧贴渐进界。
例如：f(n)=3n+5；f(n)= O(n) 同样根据定义 f(n)= O(n2) 。但是，我们通常所讲的 f(n) 的紧贴 渐进界是f(n)= O(n) ，而不是f(n)= O(n2)。这可用反证法加以证明。 反证法：上例中 g(n)=n。假设 g(n)=n 不是 f(n)=3n+5的紧贴渐进界，那么必定存在一个函数 h(n)，使得 f(n)=3n+5= O(h(n)) ，但 g(n) != h(n)。由于 3n+5= O(h(n)) ，那么根据大 O 法的 定义，必定存在二个正数c和n0，使得对于所有的 n >= n0 ，3n+5 =< c h(n)。 很显然，对一切 n >= 0，有 n =< 3n+5 ，所以 g(n) =< c h(n)。 这样，根据大O 法的定义有 g(n)=O(h(n)) 。但这是同假设相矛盾的。因此， f(n)= O(n) 是一个紧贴渐进界。
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INTRO
4 物料管理
1、算法和算法分析
数据结构与程序设计考研复习大纲_SJTU
·时间复杂性分析的注意：
1、时间复杂性函数无时间单位。
2、上例采用的是均匀时间耗费。以简单语句的耗费时间为 1 。
3、如循环语句，条件：O(1) + THEN OR ELSE 后的语句的时间耗费之和。
·空间复杂性：算法的所需的空间和问题规模的函数。记为 T(n)。当 n-> ∞ 时的时间复杂 性，被称之为渐进空间复杂性。
·最坏情况下的时间复杂性和平均情况下的时间复杂性。 最坏情况下的时间复杂性：
平均情况下的时间复杂性：
3、大 O 表示法：
·定义；如果存在着正的常数 c 和自然数 n0，当 n >= n0 时；有 f (n) <= Cg(n) 成立，则 称 f( n ) = O（g( n )) 。
1、算法和算法分析
数据结构与程序设计考研复习大纲_SJTU
5、大 Ω 表示法： ·定义；如果存在着正的常数 c 和自然数 n0，当 n >= n0 时；有 f (n) >= Cg(n) 成立，则 称 f( n ) = Ω (g( n )) 。 ·例1、 设 T(n) = (n+1)2
= n2+2n2 +1 >= n2 ; 在 n 为任何数时，所以，T(n) = Ω (n2) ·例2、 设 T(n) = 3n3+2n2
n->∞
如：Lim logn/n
n->∞
=
Lni-m>∞Ln(n)loge/n
= Lim (loge/n)/1
n->∞
= Lim loge/n = 0; logn 级别低。
n->∞
注意：这里使用了罗彼特的求极限的法则。
2020O/1(l0o/1g4n) 和 O (n1/2) ？？？
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5 物料管理
在算法分析中， 如果一个的算法的时间复杂性是O(g( n ))，读作 g( n ) “ 级 ”
的
或 “ 阶 ” 的。 如： 线性阶的、平方阶的、立方阶的 ……
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2 物料管理
1、算法和算法分析
数据结构与程序设计考研复习大纲_SJTU
·例1、 设 T(n) = (n+1)2
注意： f(n)=O(g(n)) 意味着找到了 f(n) 的一个最“ 紧贴” 的上界 g(n)) 。或者说 找
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到了最低的上界。从算法的时间复杂性角度来看，象例2 中的 O(n24) 是没有
意义的。
Байду номын сангаас
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3 物料管理
1、算法和算法分析
数据结构与程序设计考研复习大纲_SJTU
关于更严格的“紧贴渐进界”的概念，请看一下的定义。