第四章 电化率张量公式的推导

第四章 电极化率张量公式的推导

§4.1 一阶电极化率张量公式的推导

设E(t)在体积V 介质内的空间变化可以不考虑，也不考虑磁场效应。V 内含N 个荷电粒子，则荷电粒子系统的偶极矩为

r

R j

N

j

j q ∑＝ (j q 有正,负) (4.1-1)

按定义，宏观电极化强度)(t P 为单位体积内的偶极矩的期望值，

}{1

1)(∧∧>=<

=R tr V

V

t R

P

ρ (4.1-2) 式中)(t ∧

∧

=ρρ就是荷电粒子系统的密度算符。可见，要知道)(t P

，必须得知道)(t ∧

ρ。由密

度算符微扰级数(2.2-5)式代入(2.3-2)，则

ΛΛ++

++

+

=

)()()()(21

)

0(t t t t r

P

P

P

P

P

(4.1-3)

M

M

},

)({ },)({},

)({},{1

)

(21

)

2(1

1

)

1(01

)

0(R P

R P

R P

R P t tr V t tr V

t tr V tr V r r ∧

∧

-∧

∧

-∧

∧-∧

∧

-====ρρρρ (4.1-4)

现在把 }{1

)

(R P

r

r tr V ∧

∧

-=ρ (4.1-5)

化成

r

r

m m r r r r d t i

E E E d d t P r r

ωω

ωωωωωωχωωεααααμαμ]exp[)()()( ),,,()(1

2121)

(210

)

(211∑⎰

⎰

⎰

=∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

--⨯=ΛΛΛ

Λ (4.1-6)

的形式，从而求出电极化率张量元素

),,,(21)

(1r r r

ωωωχαμαΛΛ 的具体形式。

由于对不同的阶数求)()

(t P r μ的基本方法是相同的，只讨论r=1,2,然后推广到任意r 的

情况。

当r=1时，

}

),({)(}

),

({11)1(11

)

1(μμρρ∧

∧

-∧

∧

-==R t tr V t P t tr V R P

(4.1-7)

对(3.5-14)并令r=1时有

⎰

∞

-∧

∧∧∧

-∧

-=t

dt t U t H t U i t 100

'101

1)(]),([)()()(ρρη (4.1-8)

代入(4.1-7)式，则

}])(]),([)(){()(100

'

101

)

1(dt R t U t H t U i tr V t P t

r

μμρ∧

∞

-∧∧∧∧

--⎰

-=η (4.1-9)

由(3.5-13)式，

)()]()[()()()()(000 10

'

1t U t t U t U t H t U t H E

R ∧

∧

∧

∧∧∧∧⋅--=-= (4.1-10)

式中

)(

1t H E

R ⋅-=∧

∧ (4.1-11)

是电偶极矩R 在电场)(t E 中的附加能量；若再引入在相互作用表象中系统的电偶极矩算

符

)()()(00

t U t U

t R R ∧

∧∧∧

-= (4.1-12)

并考虑到经典物理量

E

与算符)(0t U ∧

两者是对易的，这样在相互作用表象中的微扰算符为

)

()( )

()( )()()(

)

()]()[( )()()()(00000

10 '

1t E t R t t t U t U t t U t t U t U t H t U t H R E

R E E R αα∧

∧

∧

∧∧∧

∧

∧

∧

∧∧

∧-=⋅=-⋅=⋅--=-=-- (4.1-13) 以及

]),()[(]),()([]),([000

'

1∧

∧

∧

∧

∧

∧-=-=ρρρααααt R t E t E t R t H (4.1-14) 所以

.

})(]),()[()({)( })(]),([)(){()(1001101

1

00

'

101

1

)

1(dt R t U t R t E t U tr V i dt R t U t H t U i tr V t P t

t

μααμμρρ∧

∞

-∧

∧

∧

∧

-∧

∞-∧∧∧∧

--⎰

⎰

--=-=ηη (4.1-15)

因为)(0t U ∧

与)(1t E α可对易，以及矩阵线性组合的迹等于矩阵迹的线性组合，所以