经济数学基础模拟试题三参考答案

电大经济数学基础形成性考核册及参考答案[1]

电大经济数学基础形成性考核册及参考答案[1]关建字摘要：答案，矩阵，下列，百台，产量，成本，利润，求解，未知量，对称竭诚为您提供优质文档，本文为收集整理修正，共13页，请先行预览，如有帮助感谢下载支持经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）(三)解答题1．计算极限x 2-3x +21(x -2)(x -1)x -2（1）lim==-=lim lim 2x →1x →1x →12x -1(x -1)(x +1)(x +1)x 2-5x +61(x -2)(x -3)x -3（2）lim 2=lim =lim =x →2x -6x +8x →2(x -2)(x -4)x →2(x -4)2(1-x -1)(1-x +1)1-x -1lim （3）lim=x →0x →0x x (1-x +1)=limx →0-x -11=lim=-2x (1-x +1)x →0(1-x +1)351-+2x 2-3x +5x x =1lim （4）lim =x →∞x →∞3x 2+2x +42433++2x x （5）lim5x sin 3x 33sin 3x==lim x →03x sin 5x 55x →0sin 5xx 2-4(x -2)(x +2)（6）lim=lim =4x →2sin(x -2)x →2sin(x -2)1⎧x sin +b ,x <0⎪x ⎪2．设函数f (x )=⎨a ,x =0，⎪sin xx >0⎪x ⎩问：（1）当a ,b 为何值时，f (x )在x =0处有极限存在？（2）当a ,b 为何值时，f (x )在x =0处连续.答案：（1）当b =1，a 任意时，f (x )在x =0处有极限存在；（2）当a =b =1时，f (x )在x =0处连续。

3．计算下列函数的导数或微分：（1）y =x +2+log 2x -2，求y '答案：y '=2x +2ln 2+x 2x 21x ln 2（2）y =ax +b，求y 'cx +d答案：y '=a (cx +d )-c (ax +b )ad -cb=22(cx +d )(cx +d )13x -513x -5，求y '12（3）y =答案：y ==(3x -5)-y '=-32(3x -5)3（4）y =答案：y '=x -x e x ，求y '12xax -(x +1)e x（5）y =e sin bx ，求d y答案：y '=(e )'sin bx +e (sin bx )'ax ax =a e ax sin bx +e ax cos bx ⋅b=e ax (a sin bx +b cos bx )dy =e ax (a sin bx +b cos bx )dx（6）y =e +x x ，求d y1x311答案：d y =(x -2e x )d x 2x （7）y =cos x -e -x ，求d y 答案：d y =(2x e -x -n 22sin x 2x)d x（8）y =sin x +sin nx ，求y '答案：y '=n sin n -1x cos x +cos nxn =n (sin n -1x cos x +cos nx )（9）y =ln(x +1+x 2)，求y '答案：1-1x 1122'=y '=(x +1+x )=(1+)=(1+(1+x )2x )2x +1+x 2x +1+x 21+x 21+x 2x +1+x 2121（10）y =2cot 1x+1+3x 2-2xx，求y 'ln 21-21-6-x +x 答案：y '=126x 2sinx4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或d y （1）x 2+y 2-xy +3x =1，求d y 答案：解：方程两边关于X 求导：2x2cot 1x 35+2yy '-y -xy '+3=0y -3-2xd x2y -x(2y -x )y '=y -2x -3，d y =（2）sin(x +y )+e xy =4x ，求y '答案：解：方程两边关于X 求导cos(x +y )(1+y ')+e xy (y +xy ')=4(cos(x +y )+e xy x )y '=4-ye xy -cos(x +y )4-y e xy -cos(x +y )y '=xy x e +cos(x +y )5．求下列函数的二阶导数：（1）y =ln(1+x )，求y ''22-2x 2答案：y ''=22(1+x )（2）y =1-x x，求y ''及y ''(1)3-1-答案：y ''=x 2+x 2，y ''(1)=14453作业（二）(三)解答题1.计算下列不定积分3x （1）⎰xd xe3xx 3x 3xe 答案：⎰xd x =⎰()d x =+c 3e e ln e（2）⎰(1+x )2xd x113-(1+x )2(1+2x +x 2)答案：⎰d x =⎰d x =⎰(x 2+2x 2+x 2)d x x x42=2x +x 2+x 2+c35x2-4d x （3）⎰x +21x2-4d x =⎰(x -2)d x =x 2-2x +c答案：⎰2x +2（4）351⎰1-2xd x 答案：1111d x -ln1-2x +c ==-d(1-2x )⎰1-2x ⎰221-2x2（5）x 2+x d x 3211222答案：⎰x2+x d x =⎰2+x d(2+x )=(2+x )+c 322⎰（6）⎰sinx xd x答案：⎰sinx xd x =2⎰sin xd x =-2cos x +c（7）x sin⎰xd x 2答案：x sin ⎰x xd x =-2⎰xdco s d x 22x x x x +2⎰co s d x =-2x cos +4sin +c 2222=-2x cos （8）ln(x +1)d x 答案：ln(x +1)d x ==(x +1)ln(x +1)-2.计算下列定积分（1）⎰⎰⎰ln(x +1)d(x +1)⎰(x +1)dln(x +1)=(x +1)ln(x +1)-x +c⎰2-11-x d x答案：⎰12-11-x d x =1x21211252+==(x -x )+(x -x )(1-x )d x (x -1)d x -11⎰-1⎰12221（2）⎰2ed x x 22答案：⎰1121e x x -e d x ==-e d ⎰1x x21x1121=e -e（3）⎰e 31x 1+ln xd xe 311d(1+ln x )=2（1+ln x )21+ln x答案：⎰e 31x 1+ln x1d x =⎰1e 31=2π（4）⎰20x cos 2x d x ππππ111122--sin 2xdx 答案：⎰2x cos 2x d x =⎰2xd sin 2x =x sin 2x 0=⎰0002222（5）⎰e1x ln x d xe答案：⎰01x ln x d x =e 21e12122e (e +1)==ln x d x x ln x -x d ln x 1⎰⎰11422（6）⎰4(1+x e-x)d x40答案：⎰(1+x e)d x =x -⎰xd e =3-xe -x414-x -x4+⎰0e -x d x =5+5e -44作业三三、解答题1．计算（1）⎢⎡-21⎤⎡01⎤⎡1-2⎤=⎢⎥⎢⎥⎥⎣53⎦⎣10⎦⎣35⎦⎡02⎤⎡11⎤⎡00⎤（2）⎢⎥⎢00⎥=⎢00⎥0-3⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎡3⎤⎢0⎥（3）[-1254]⎢⎥=[0]⎢-1⎥⎢⎥⎣2⎦23⎤⎡-124⎤⎡245⎤⎡1⎢⎥⎢⎥⎢⎥02．计算-122143-61⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣1-32⎥⎦⎢⎣23-1⎥⎦⎢⎣3-27⎥⎦23⎤⎡-124⎤⎡245⎤⎡7197⎤⎡245⎤⎡1⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢7120⎥-⎢610⎥0解-122143-61⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣1-32⎥⎦⎢⎣23-1⎥⎦⎢⎣3-27⎥⎦⎢⎣0-4-7⎥⎦⎢⎣3-27⎥⎦⎡515=⎢⎢111⎢⎣-3-2⎡23-1⎤⎡123⎤3．设矩阵A =⎢⎢111⎥，B =⎢112⎥，求AB 。

《经济数学基础12》形考作业3参考答案

经济数学基础形考作业3参考答案单项选择题（每题5分，共100分）1、1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121623235104A ，则A 的元素a 32=（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．2- 答案：C1、2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121623235104A ，则A 的元素a 24=（）． A ．-2 B ．1 C ．2 D ．3 答案： C1、3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素23a =（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．2- 答案：C 2、1．设2153A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则BA =（）． A ．2513-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5321⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C ．3512⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．1235-⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B 2、2．设2153A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则AB =（）． A ．2513-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5321⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C ．3512⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．1235-⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D2、3．设2153A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则AB =（）． A ．1235-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5321⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C ．3512⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．2513-⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A3、1．设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵TACB 有意义，则C 为（）矩阵．A ．42⨯B ．24⨯C ．53⨯D ．35⨯答案：B3、2．设A 为25⨯矩阵，B 为43⨯矩阵，且乘积矩阵TACB 有意义，则C 为（）矩阵．A ．42⨯B ．24⨯C ．53⨯D ．35⨯答案：A3、3．设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵TACB 有意义，则TC 为（）矩阵．A ．42⨯B ．24⨯C ．53⨯D ．35⨯答案：A4、1．设1324A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，I 为单位矩阵，则A T – I =（）． A ．3230-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ B ．0233⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ C ．0323-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．0233-⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D4、2．设1324A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，I 为单位矩阵，则(A - I )T =（）． A ．0233-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0233⎡⎤⎢⎥--⎣⎦C ．0323-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．3230-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦答案：A 4、3．设1324A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，I 为单位矩阵，则T()I A -=（）． A ．0233⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B ．0233-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0323-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D ．3230-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦答案：A5、1．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A ++=+成立的充分必要条件是（）．A ．AB = B ．B A ,均为对称矩阵C ．A O =或B O =D ．AB BA = 答案：D5、2．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A A B +-=-成立的充分必要条件是（）．A ．AB = B ．AB BA =C ．A O =或B O =D ．B A ,均为对称矩阵答案：B5、3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是（）．A ．AB = B ．B A ,均为对称矩阵C ．A O =或B O =D ．AB BA = 答案：D6、1．下列关于矩阵,,A B C 的结论正确的是（）．A ．若A O ≠，B O ≠，则O AB ≠ B ．若B A ,均为零矩阵，则有B A =C ．若A 为可逆矩阵，且AC AB =，则C B =D ．对角矩阵是反对称矩阵答案：C6、2．下列关于矩阵,,A B C 的结论正确的是（）．A ．若A O ≠，B O ≠，则O AB ≠ B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．数量矩阵是对称矩阵D ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = 答案：C6、3．下列关于矩阵,,A B C 的结论正确的是（）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若A O ≠，B O ≠，则O AB ≠ 答案：C7、1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110011A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110110002B ，则AB =（）． A ．2 B ．0 C ．2- D ．4 答案：B7、2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110110002B ，则AB =（）． A ．2 B ．0 C ．2- D ．4 答案： D7、3．设200011011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，110011101B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则AB =（）．A ．2B ．0C ．2-D ．4 答案：B8、1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．A ．111)(---⋅=⋅A B B A B ．T T T )(B A AB =C ．B A B A +=+D ．111)(---+=+B A B A答案：A8、2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．A ．B A AB = B ． 111)(---⋅=⋅B A B A C ．BA AB = D ．111)(---+=+B A B A答案：A8、3．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．A ．111)(---+=+B A B A B ．BA AB =C ．111)(---⋅=⋅B A B A D ．BA AB =答案：D9、1．下列矩阵可逆的是（）．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡030320321B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--321101101 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011 答案：A9、2．下列矩阵可逆的是（）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2010 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011答案：A9、3．下列矩阵可逆的是（）．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300320321B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--321101101 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 答案：A10、1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200030002A ，则=--1)(A I （）．A ．123-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．321-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．11213⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D ． 11213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：C10、2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=300020001A ，则1A -=（）．A ．123-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．321-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．11213⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D ． 11213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：C10、3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则1A -=（）．A ．123-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．321-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．11213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D ．11213⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案：C11、1．设B A ,均为n 阶矩阵，()I B -可逆，则矩阵方程X XB A =+的解X =（）． A ．A B I 1)(-- B ．1()A I B --C ．1()A I B -- D ．1()I B A --答案：B11、2．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I +可逆，则矩阵方程X BX A =-的解X =（）．A ．1)(-+B I A B ．A B I 1)(-+ C ．)(1B I A +- D ．1)(-+A B I答案：B11、3．设B A ,均为n 阶矩阵，()I B -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X =（）．A ．1()A I B -- B ．A B I 1)(--C ．1()A I B -- D ．1()I B A --答案：B12、1．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=311120111A 的秩是（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D12、2．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=331102111A 的秩是（）．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D12、3．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=431102111A 的秩是（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C13、1．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=λ121842421A ，则当λ=（）时，)(A r 最小．A ．2-B ．0C ．1D ．2答案：A13、2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=λ63842421A ，则当λ=（）时，)(A r 最小．A ．12B ．8C ．4D ．-12答案：D13、3．设矩阵124248112A λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当λ=（）时，)(A r 最小．A ．0B ．1C ．2D ．2-答案：C14、1. 对线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=--04831252123321321321x x x x x x x x x 的增广矩阵做初等行变换可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=000032108401048312521231 A则该方程组的一般解为（），其中3x 是自由未知量．A ．13234823x x x x =-⎧⎨=-⎩B ．13234823x x x x =+⎧⎨=+⎩C ．13234823x x x x =--⎧⎨=--⎩ D ．13234823x x x x =-+⎧⎨=-+⎩答案：C14、2. 对线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=---=--12520483123321321321x x x x x x x x x 的增广矩阵做初等行变换可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=000032108401125204831231 A则该方程组的一般解为（），其中3x 是自由未知量．A ．13234823x x x x =-⎧⎨=-⎩ B ．13234823x x x x =--⎧⎨=--⎩C ．13234823x x x x =+⎧⎨=+⎩ D ．13234823x x x x =-+⎧⎨=-+⎩答案：D14、3. 对线性方程组12312312332138402521x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪-++=⎩的增广矩阵做初等行变换可得132110483840012325210000A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则该方程组的一般解为（），其中3x 是自由未知量． A ．13234823x x x x =-⎧⎨=-⎩ B ．13234823x x x x =--⎧⎨=--⎩C ．13234823x x x x =+⎧⎨=+⎩ D ．13234823x x x x =-+⎧⎨=-+⎩答案：B15、1．设线性方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λ有非0解，则λ=（）．A ．1-B ．0C ．1D ．1±答案：C15、2．设线性方程组⎩⎨⎧=+-=+02121x x x x λ有非0解，则λ=（）．A ．1-B ．0C ．1D ．1± 答案：A15、3．设线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非0解，则λ=（）．A ．1-B ．0C ．1D ．1± 答案：A16、1．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→010*********t A ，则当（）时，方程组有无穷多解．A ．t = 2B ．1t =C ．t =0D ．1t =- 答案：B16、2．设线性方程组b AX =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎣-01003284t ，则当（）时，方程组没有唯一解．A ．1t =-B ．1t =C ．t =0D ．t ≠1 答案：B16、3．设线性方程组b AX =，且111601320010A t ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，则当且仅当（）时，方程组有唯一解．A ．1t ≠B ．1t =-C ．1t =±D ．1t ≠- 答案：D17、1．线性方程组b X A n m =⨯有唯一解的充分必要条件是（）．A ．m A r A r ==)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r ==)()(答案：D17、2．线性方程组b X A n m =⨯有无解，则（）．A ．m A r A r ==)()(B ．n A r <)(C ．)()(A r A r <D ．n A r A r ==)()( 答案：C17、3．线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r <=)()( 答案：D18、1．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=+33212321212a x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（）． A ．0321=++a a a B ．0321=+--a a a C ．0321=+-a a a D ．0321=++-a a a 答案：A18、2．设线性方程组12123212332x x a x x a x x x a +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，则方程组有解的充分必要条件是（）．A ．0321=++a a aB ．0321=+--a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 答案：B18、3．设线性方程组12123212332x x a x x a x x x a +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，则方程组有解的充分必要条件是（）．A ．0321=++a a aB ．0321=+-a a aC ．0321=-+a a aD ．0321=++-a a a 答案：C19、1．对线性方程组1231231231223x x x x x x x x ax b --=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的增广矩阵做初等行变换可得1111111111220*********A a b a b ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→→-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当（）时，该方程组有无穷多解．A ．3a ≠-且3b ≠B ．3a =-且3b ≠C ．3a =-且3b =D ．3a ≠-且3b = 答案：C19、2．对线性方程组1231231231223x x x x x x x x ax b --=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的增广矩阵做初等行变换可得1111111111220*********A a b a b ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→→-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当（）时，该方程组有唯一解．A ．3a =-且3b ≠B ．3a =-且3b =C ．3a =-D ．3a ≠- 答案：D19、3．对线性方程组1231231231223x x x x x x x x ax b --=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的增广矩阵做初等行变换可得1111111111220*********A a b a b ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→→-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当（）时，该方程组无解．A ．3a =-且3b =B ．3a =-且3b ≠C ．3a ≠-且3b =D ．3a ≠-且3b ≠ 答案：B20、1．若线性方程组AX b =有无穷多解，则线性方程组AX O =（）． A ．只有零解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．解不能确定答案：B20、2．若线性方程组AX b =有唯一解，则线性方程组AX O =（）． A ．只有零解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．解不能确定答案：A20、3．若线性方程组AX O =只有零解，则线性方程组AX b =（）． A ．有唯一解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．解不能确定答案：D。

经济数学基础作业(三)部分答案

《经济数学基础》作业（三）部分答案一、填空题⒈⎰bax x p d )(⒉3.0 ⒊512-x ⒋10⒌b X aE +)(，)(2X D a三、单项选择题⒈A ⒉B ⒊C ⒋B ⒌C三、解答题⒈解 ⑴∵110125210321>=++，∴不能作为概率分布．⑵∵181814121=+++，∴可以作为概率分布．⒉解 61)1(==Y P2163)3()2(====>Y P Y P656362)3()2()55.1(=+==+==≤≤Y P Y P Y P656362)3()2()2(=+==+==>Y P Y P Y P⒊解已知)(π~λX ，所以)0;,2,1,0(e !)(>===-λλλk k k X P k，由λλλ--====e e !04.0)0(0X P得4.0ln -=λ．)2(1)2(<-=≥X P X P )]1()0([1=+=-=X P X P 4.0!14.011⨯--=λ4.0ln 4.06.0+=⒋解 ⑴∵1321198d )1(3234d )(30302-≠=+⋅-=+=⎰⎰∞+∞x x x x x f∴)(x f 不是密度函数．⑵∵1)355(2503)35(2503)d 10(2503d )(335032502-=-=-=-=⎰⎰∞+∞x x x x x x x f又∵)5,0(0)5(1253)210(2503)(∈>-=-='x x x x f 可知)(x f 在]5,0[上单调增加，由此得0)0()(=>f x f∴)(x f 是密度函数．⒌解由密度函数的性质知122d d )(1210-====⎰⎰∞+∞Ax Ax Ax x x f 得2=A ．25.0d 2d )()5.00(5.0025.005.00====<<⎰⎰x x x x x f X P 9375.0d 2d )()225.0(125.02125.0225.0====≤<⎰⎰x x x x x f X P⒍解 ⑴设Z 的密度函数为)(x f ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0100,101)(x x f ⑵密度函数)(x f 的曲线为⑶103d 101d )()3(303===<⎰⎰∞-x x x f Z P 52104d 101d )()6(1066====≥⎰⎰∞+x x x f Z P21105d 101d )()83(8383====≤<⎰⎰x x x f Z P ⒎解 ⑴设X 的密度函数为)(x f ，则⎩⎨⎧≤>=-0,00,e 001.0)(001.0x x x f x ⑵⎰⎰-∞-==≤1000001.01000d e 001.0d )()1000(x x x f X P xe11e 10000001.0-=-=-x⒏解由数学期望的定义得⎰⎰∞+∞--∞+∞-==x x x x xf X E xd e 21d )()( 由于被积函数是奇函数，所以0)(=X E⒐解 11)201842(101)(=++++=X E )201842(101)(22222++++=X E 154101540)400324164(101==++++= 3311154)]([)()(222=-=-=X E X E X D⒑解 0d )1(d )1(d )()(101=-++==⎰⎰⎰-∞+∞-x x x x x x x x xf X E61)43(2d )1(2d )()(104310222=-=-==⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E61061)]([)()(22=-=-=X E X E X D ⒒解 1359.08413.09772.0)1()2()21(=-=-=<<ΦΦX P1)1(2)]1(1[)1()1()1()11(-=--=--=<<-ΦΦΦΦΦX P6826.018413.02=-⨯=⒓解已知)3,8(~2N X ，所以)1,0(~38N X - )36.538()384.238()4.2(->-=->-=>X P X P X P)36.5(1)36.538(1--=-≤--=ΦX P 9693.0)36.5(==Φ⒔解已知)4,5(~N X ，所以)1,0(~25N X - 90.0)25()2525()(=-=-<-=<a a X P a X P Φ查表得28.125=-a ，由此得出56.7=a ．⒕解已知)10,65(~2N X ，所以)1,0(~1065N X -)21065()1065851065()85(>-=->-=>X P X P X P0228.09772.01)2(1)21065(1=-=-=≤--=ΦX P由此可知数学成绩在85分以上的学生约占该大学新生的%28.2．⒖解由分布列的性质得出)322323(])32()32(32[332232+⨯+⨯=++c c 1)2738(==c 由此得出3827=c ． 1933194319621991)(=⨯+⨯+⨯=Y E 1969194319621991)(2222=⨯+⨯+⨯=Y E 361222)1933(1969)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y D ⒗解 ⑴ 由密度函数的性质知1383d d )(23202-====⎰⎰∞+∞A x Ax Ax x x f 得83=A ． ⑵015625.08d 83d )()5.02(5.0035.0025.02====<<-⎰⎰-xx x x x f X P⑶23323d 83d )()(20423====⎰⎰∞+∞-x x x x x xf X E 512403d 83d )()(252422====⎰⎰∞+∞-x x x x x f x X E 20349512)]([)()(22=-=-=X E X E X D ⒘解 ⑴ 由密度函数的性质知122d d )(121-====⎰⎰∞+∞cx cx cx x x f得2=c ．⑵4.0d 2d )()7.03.0(7.03.027.03.07.03.0====<<⎰⎰x x x x x f X P⑶3232d 2d )()(10312====⎰⎰∞+∞-x x x x x xf X E 2121d 2d )()(141322====⎰⎰∞+∞-x x x x x f x X E 1819421)]([)()(22=-=-=X E X E X D ⒙解 a xa x x a x x xf X E aa2323d 3d )()(2333=-===+∞∞+∞+∞-⎰⎰23232233d 3d )()(a x a x x a x x f x X E aa=-===+∞∞+∞+∞-⎰⎰2222243493)]([)()(a a a X E X E X D =-=-=由期望和方差的性质得到02332)(32)32(=-⋅=-=-a a a X E a X E 222314394)(94)()32()32(a a X D X D a X D =⋅===- ⒚解已知)6.0,1(~2N X ，所以)1,0(~6.01N X -)6.016.01()6.0106.01()0(->-=->-=>X P X P X P)67.1(1)6.016.01(1--=-≤--=ΦX P9525.0)67.1(==Φ)6.018.16.016.012.0()8.12.0(-<-<-=<<X P X P )346.0134(<-<-=X P )33.1()33.1(--=ΦΦ )]33.1(1[)33.1(ΦΦ--=8164.019082.021)33.1(2=-⨯=-=Φ。

国开电大《经济数学基础3》形考任务形成性考核三答案

"试题1：标准答案1："试题2：下列函数中，可以作为随机变量_X_密度函数的是( ).标准答案2："试题3：设随机变量_Y_～_B_(_n_,_p_),且_E_(_Y_)=2.4，_D_(_Y_)=1.44，则参数_n_,_p_为( )A. _n_=6,_p_=0.6B. _n_=8,_p_=0.3C. _n_=6,_p_=0.4答案3：n=6,p=0.4"试题4：设随机变量_X_～_N_(_a_,_d_)(_d_>0),则( )～_N_(0,1)．A. _Z_=_d_2(_X_-_a_)B. _Z_=_dX_+_a_C.标准答案4：""试题5：A.1B. 1/2C. 3/8答案5：3/8"试题6：设随机变量_X_，且_E_(_X_)存在，则_E_(_X_)是( ).A. 确定常数B. _X_的函数C. 随机变量答案6：确定常数"试题7：设二维离散型随机变量(_X_，_Y_)的联合概率分布为_P_(_X_=_xi_,_Y_=_yj_)=_pij_则随机变量_X_的边缘概率分布为_P_(_X_=_xi_)=(?? ) 答案7："试题8：设(_X_，_Y_)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为_f_(_x_,_y_)，_X_，_Y_的边缘密度函数分别为_fX_(_x_),_fY_(_y_),则_E_(_XY_)=(?? ).答案8："试题9：答案9：对试题10：设_X_服从区间[2，5]上的均匀分布，则_E_(_X_)=3.5．( )答案10：对试题11：设随机变量_X_的方差存在，则_X_的方差_D_(_X_)的计算公式为_E_[_X__－__E_(_X_)]．( )答案11：错试题12：答案12：对。

【经济数学基础】答案(完整版)

一、填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：02.设⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案1 3.曲线x y =+1在)1,1(的切线方程是. 答案:y=1/2X+3/24.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案:2π-二、单项选择题 1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） D ．xxsin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） B.1lim0=+→xx x3. 设y x =l g 2，则d y =（ B ）． B ．1d x x ln104. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠5.若x x f =)1(，则=')(x f （ B ）. B ．21x-三、解答题（1）123lim 221-+-→x x x x 解：原式=)1)(1()2)(1(lim 1-+--→x x x x x =12lim 1+-→x x x =211121-=+-\（2）8665lim 222+-+-→x x x x x 解：原式=)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x =21423243lim2=--=--→x x x （3）x x x 11lim--→解：原式=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x =)11(11lim 0+---→x x x x =111lim 0+--→x x =21-（4）423532lim 22+++-∞→x x x x x 解：原式=32003002423532lim22=+++-=+++-∞→xx x x x（5）x x x 5sin 3sin lim 0→解：原式=53115355sin lim 33sin lim535355sin 33sin lim000=⨯=⨯=⨯→→→xx x xx x x x x x x（6）)2sin(4lim 22--→x x x 解：原式=414)2sin(2lim )2(lim )2sin()2)(2(lim222=⨯=--⨯+=--+→→→x x x x x x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.（3）解：（1）因为)(x f 在0=x 处有极限存在，则有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=又 b b x x x f x x =+=--→→)1sin (lim )(lim 001sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x即 1=b所以当a 为实数、1=b时，)(x f 在0=x 处极限存在.（2）因为)(x f 在0=x 处连续，则有 )0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→又 a f =)0(，结合（1）可知1==b a 所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续.3．计算下列函数的导数或微分：（1）2222log 2-++=x x y x ，求y '解：2ln 12ln 22x x y x ++='（2）d cx b ax y ++=，求y '解：2)())(()()(d cx d cx b ax d cx b ax y +'++-+'+='=2)()()(d cx c b ax d cx a ++-+ =2)(d cx bcad +-（3）531-=x y ，求y '解：2312121)53(23)53()53(21])53[(------='---='-='x x x x y（4）xx x y e -=，求y '解：xx xxe e x xe x y --='-'='-212121)()(（5）bx y ax sin e =，求y d解：)(cos sin )()(sin sin )('-'='-'='bx bx e bx ax e bx e bx e y ax ax ax ax =bx be bx ae ax ax cos sin - dx bx be bx ae dx y dy ax ax )cos sin (-='=（6）x x y x+=1e ，求y d解：212112312312323)1()()(x x e x x e x e y xxx+-=+'='+'='-dx x xe dx y y x)23(d 2121+-='=（7）2ecos x x y --=，求y d解：222e 22sin )(e )(sin )e ()(cos 2xx x x xx x x x x y ---+-='--'-='-'='（8）nx x y n sin sin +=，求y '解：)(cos )(sin )(sin )(sin ])[(sin 1'+'='+'='-nx nx x x n nx x y n n nx n x x n n cos cos )(sin 1+=-（9）)1ln(2x x y ++=，求y '解：)))1((1(11)1(11212222'++++='++++='x xx x x xx y=222212122111111)2)1(211(11x x x x x x x x x x +=+++⨯++=⨯++++-（10）xxx y x212321cot-++=，求y '解：)2()()()2(61211sin'-'+'+'='-x x y x06121)1(sin 2ln 265231sin -+-'=--x x x x65231sin 6121)1)(cos 1(2ln 2--+-'=x xx x x652321sin6121cos 2ln 2--+-=x x x x x4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d（1）1322=+-+x xy y x ，求y d 解：方程两边同时对x 求导得： )1()3()()()(22'='+'-'+'x xy y x0322=+'--'+y x y y y x xy x y y ---='232dx xy x y dx y y ---='=232d（2）x e y x xy 4)sin(=++，求y '解：方程两边同时对x 求导得：4)()()cos(='⨯+'+⨯+xy e y x y x xy 4)()1()cos(='+⨯+'+⨯+y x y e y y x xyxyxyye y x xe y x y -+-=++')cos(4))(cos(xyxyxe y x ye y x y ++-+-=')cos()cos(45．求下列函数的二阶导数：（1）)1ln(2x y +=，求y ''解：22212)1(11x x x x y +='++='2222222)1(22)1()20(2)1(2)12(x x x x x x x x y +-=++-+='+=''（2）xx y -=1，求y ''及)1(y ''解：212321212121)()()1(-----='-'='-='x x x x xx y2325232521234143)21(21)23(21)2121(------+=-⨯--⨯-='--=''x x x x x x y =1（一）填空题 1.若c x x x f x++=⎰22d )(，则22ln 2)(+=x x f .2.⎰'x x d )sin (c x +sin . 3.若c x F x x f +=⎰)(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2c x F +--)1(212 4.设函数0d )1ln(d d e 12=+⎰x x x5.若t tx P xd 11)(02⎰+=，则211)(xx P +-='.（二）单项选择题1. 下列函数中，（D ）是x sin x 2的原函数． D ．-21cos x 22. 下列等式成立的是（ C ）． C ．)d(22ln 1d 2x xx = 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． C ．⎰x x x d 2sin4. 下列定积分中积分值为0的是（D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）． B ．⎰∞+12d 1x x(三)解答题1.计算下列不定积分（1）⎰x x x d e 3 （2）⎰+x x x d )1(2解：原式 c e x x +-==⎰)3(13ln 1d )e 3(x 解：原式⎰++=x xx x d 212cx x x x +++=++=⎰252321232121-52342)d x 2x (x（3）⎰+-x x x d 242 （4）⎰-x x d 211 解：原式c x x x x x x +-=+-+=⎰221d 2)2)(2(2解：原式⎰--=)2-d(121121x x c x +--=21ln 21（5）⎰+x x x d 22（6）⎰x xx d sin解：原式⎰++=)d(222122x x 解：原式 ⎰=x d x sin 2 c x ++=232)2(31c x +-=cos 2 （7）⎰x xx d 2sin（8）⎰+x x 1)d ln(解：原式⎰-=2cos2x xd 解：原式⎰+-+=x x x d 1x x )1ln( cxx xd x x x ++-=+-=⎰2sin 42cos 2)2(2cos 42cos 2c x x x x dx x x x +++-+=+--+=⎰)1ln()1ln()111()1ln(2.计算下列定积分（1）xx d 121⎰-- （2）x xxd e2121⎰解：原式⎰⎰-+-=-2111)1(d )1(dx x x x 解：原式)1d(211xe x⎰-=25212)1(21)1(21212112=+=-+--=-x x 21211ee ex -=-=（3）x xx d ln 113e 1⎰+ （4）x x x d 2cos 20⎰π解：原式)1d(ln ln 12123e 1++=⎰x x解：原式x x dsin22120⎰=π224ln 1231=-=+=e x 212cos 41)2(2sin 412sin 21202020-==-=⎰πππx x xd x x（5）x x x d ln e1⎰（6）x x x d )e 1(4⎰-+解：原式2e 1d ln 21x x ⎰=解：原式xe x dx -⎰⎰-=d 4040 )1(4141412121ln 21222112+=+-=-=⎰e e e xdx x x e e444404055144)(4------=+--=---=⎰e e e x d e xe x x （一）填空题1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则TAB 2-=________. 答案：72-3.设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是.答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X .答案：A B I 1)(--5.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1=-A .答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-31000210001（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ C ）． C ．对角矩阵是对称矩阵2. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则TC 为（ A ）矩阵． A ．42⨯3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ）． `C ．BA AB =4. 下列矩阵可逆的是（A ）． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3003203215. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=444333222A 的秩是（ B ）． B ．1 三、解答题 1．计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01103512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5321（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000 （3）[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]0 2．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---142301112155 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110211321B 110111132，A ，求AB 。

经济数学基础形成性考核册及参考答案(00001)(00001)

（一）填空题 1. limx sin x__________ _________ .答案： 0x 0x2.设 f (x) x 21, x0 0 处连续，则 k________ .答案： 1k,x，在 x3.曲线 yx 在 (1,1) 的切线方程是 .答案： y1 x 12 24.设函数 f ( x 1) x22x 5，则f (x)____________ .答案：2x5.设 f (x) xsin x ，则 f π__________ .答案： π( )22（二）单项选择题1. 函数 yx 1的连续区间是（）答案： Dx 2x 2A ． ( ,1) (1, )B ． ( , 2) ( 2,)C ． (, 2) ( 2,1) (1, ) D ． (,2) ( 2,)或( ,1)(1, )2. 以下极限计算正确的选项是（）答案： BA. limx 1 B. lim x1C. lim x sin11D. limsin x1x 0 x x 0 xx 0xxx3. 设 ylg2 x ，则 d y （）．答案： BA ．1dx B ．1 dx C ．ln10dx D ．1dx2xxln10 xx4. 若函数 f ( x)在点 x 0处可导，则() 是错误的．答案： BA ．函数 f (x)在点 x 0 处有定义B ． lim f ( x)A ，但 Af (x 0 )x x 0C ．函数 f ( x)在点 x 0 处连续D ．函数 f (x)在点 x 0 处可微5.当 x 0 时，以下变量是无量小量的是（）. 答案： C A ．2xB ． sin xC ． ln(1x)D ． cosxx(三)解答题1．计算极限（ 1）limx23x 2lim ( x2)( x 1)x 2 1= lim= x 1x 2 1 x 1 ( x 1)( x 1)x 1( x 1)221（ 2） limx 5x6 = lim (x 2)( x 3) = limx 3=x 2x 26x 8 x 2 (x 2)( x 4)x 2(x 4)2（ 3）lim1 x 1 = lim(1 x 1)( 1 x 1)= limx = lim 11x 213 5（ 4） lim3x 5 lim x x 213x 22x 4 2 43xx 3x x 2（ 5）limsin 3xlim 5xsin 3x 3 =3 x 0sin 5xx3x sin 5x 55（ 6）limx 24 lim (x 2)( x 2)42)sin( x2)x 2sin( xx 2x sin1b,x 02．设函数 f ( x)x x0 ，a,sin xxx问：（ 1）当 a, b 为什么值时， f ( x) 在x 0处有极限存在？（ 2）当 a, b 为什么值时，f ( x) 在x0处连续 .答案：（ 1）当 b 1， a 随意时， f ( x) 在 x 0 处有极限存在；（ 2）当 ab 1时， f ( x) 在 x0处连续。

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

习题一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解 (1) Ω={正面，反面}　△ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此图1－1图1－2143821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=CC A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω== ）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球”　△ “全红”，B ＝“全白”，C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”，F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P =16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +. 解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b2P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3aP(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --==P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒ 0.7＝0.4＋0.6P ( B )⇒ P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?3解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解设事件Ai表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”，i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3)=2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )4=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42 743.014.0=-=计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可5知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0= 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n⎩⎨⎧≤≤=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞其中q =1－p . 应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n kk n q k p !)()(e !)(6由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ7习题二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布. 解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P {}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.8解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑∞=-==111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值. 解 ∑=+⋯++==10015050)10021(1n c c cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e!1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得 λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B AB A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n，2,13.042.01=⨯=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，9求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e)(,22x x cx x f cx ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cxf (x )是一个密度函数 .17.⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a-π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫ ⎝⎛a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e－|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }. 解 A x A x A x x 2d e 2d e10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率.解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x xcx f确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P 解 π|arcsin d 1111211c x c x x c ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ). 解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤= 当t ≤ 0时，x t xt x F e 21d e 21)(=⎰=∞- 当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解 a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-12112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜21arctan π210==x27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P . 解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解 ⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xx x x d e 1e d e e 12A A x 2πe arctan ==∞∞-因此 A ＝π2，x txt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2=29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x xx f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==⎰= 因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t t x F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜. 解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=- 31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}其他＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n} ＝P { X ＝10-n}＝,,2,1,31=n n Y =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31 n ＝1 ,2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,ax y h b y a y h x y1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x, Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他　＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x xf x ＞ Y =X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f LM 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cosRL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccosRx 22xR R l x--='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(x R R x R R x f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX 亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N nEX 在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1) 3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX图2-131｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX .解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n是奇函数，且积分x x xn d e 0-∞⎰收敛，因此0d e5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n(n 为正整数) . 解 x x x x x x x f x EXn n n nd )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解 11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b cx cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b cx cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.其他其他解在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 21=⎰=x xxEX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差. 解 EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π21022=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解 EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x x DX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X , 求EY 和DY .解 EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X ，求X的概率分布 . 解 X 可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯-- ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率 .解记X 为10次投篮中命中的次数，则 X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p = 65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0{}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P .解根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 .X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .{}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为{}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有｝｛｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a in ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛具体计算结果列于下面两个表中.X 0 1 2 3 4 P46/833 208/833 325/833208/833 46/833Y 0 1 2 3 4 P1/164/166/164/161/161 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N n EX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率. 解设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P XP ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==30014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即 λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e !22e2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P。

经济数学基础3参考答案

⒊袋中有 5 个黑球，3 个白球，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为（ A ）． A.
5 C84
B. ( ) 3
3 8
5 8
4 C. C8 ( )3
3 8
5 8
D.
3 8
⒋10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ）． A. C10 × 0.7 × 0.3
8 2
13 设 X ~ N ( μ , σ ) ，则 P (| X − μ |≤ 3σ ) = 0.9974 ．
2
14 设 Φ( x) =
−∞
∫
x
1 − t2 e dt ，则 Φ (0) = 2π
2
0.5
．
15 设随机变量 X 的分布函数 F ( x ) = A + B arctan x ( −∞ < x < +∞ ) ，则常数 A = 1/2， B = 1/π． 16.设随机变量 X 的分布函数是 F ( x ) ，则 P ( a < X ≤ b) = F (b) − F ( a ) ．
2
A. E ( X ) = −1, D ( X ) = 6 C. E ( X ) = 1, D ( X ) = 6
21.设随机变量 X ~ U (2,8) ，则 E ( X ) = （ C ）． A.
24
B.
26
C.
28
D.
30
22.设 X 为随机变量，则 D (2 X − 3) = （ D ）． A. 2 D ( X ) + 3 B. 2 D ( X ) C. 2 D ( X ) − 3
1 ⎞ ⎛ −1 0 ⎟ ，则 E ( X ) = -0.2， D ( X ) = 0.76． ⎝ 0.5 0.2 0.3 ⎠

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

习题一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解 (1) Ω={正面，反面}　△ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此图1－1图1－2143821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=CC A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω== ）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球”　△ “全红”，B ＝“全白”，C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”，F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P =16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +. 解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b2P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3aP(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --==P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒ 0.7＝0.4＋0.6P ( B )⇒ P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?3解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解设事件Ai表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”，i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3)=2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )4=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42 743.014.0=-=计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可5知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0= 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n⎩⎨⎧≤≤=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞其中q =1－p . 应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n kk n q k p !)()(e !)(6由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ7习题二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布. 解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P {}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.8解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑∞=-==111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值. 解 ∑=+⋯++==10015050)10021(1n c c cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e!1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得 λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B AB A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n，2,13.042.01=⨯=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，9求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e)(,22x x cx x f cx ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cxf (x )是一个密度函数 .17.⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a-π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫ ⎝⎛a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e－|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }. 解 A x A x A x x 2d e 2d e10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率.解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x xcx f确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P 解 π|arcsin d 1111211c x c x x c ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ). 解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤= 当t ≤ 0时，x t xt x F e 21d e 21)(=⎰=∞- 当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解 a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-12112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜21arctan π210==x27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P . 解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解 ⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xx x x d e 1e d e e 12A A x 2πe arctan ==∞∞-因此 A ＝π2，x txt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2=29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x xx f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==⎰= 因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t t x F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜. 解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=- 31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}其他＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n} ＝P { X ＝10-n}＝,,2,1,31=n n Y =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31 n ＝1 ,2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,ax y h b y a y h x y1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x, Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他　＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x xf x ＞ Y =X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f LM 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cosRL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccosRx 22xR R l x--='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(x R R x R R x f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX 亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N nEX 在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1) 3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX图2-131｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX .解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n是奇函数，且积分x x xn d e 0-∞⎰收敛，因此0d e5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n(n 为正整数) . 解 x x x x x x x f x EXn n n nd )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解 11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b cx cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b cx cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.其他其他解在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 21=⎰=x xxEX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差. 解 EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π21022=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解 EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x x DX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X , 求EY 和DY .解 EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X ，求X的概率分布 . 解 X 可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯-- ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率 .解记X 为10次投篮中命中的次数，则 X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p = 65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0{}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P .解根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 .X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .{}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为{}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有｝｛｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a in ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛具体计算结果列于下面两个表中.X 0 1 2 3 4 P46/833 208/833 325/833208/833 46/833Y 0 1 2 3 4 P1/164/166/164/161/161 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N n EX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率. 解设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P XP ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==30014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即 λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e !22e2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P。

经济数学基础3模拟试卷及答案(可打印修改)

⑵ E（X）。15 分
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4、设来自正态总体 X～N , 2 的样本值：5.1，5.1，4.8，5.0，4.7，5.0，5.2，5.1，5.0。试
就 2 =1求总体均值的 0.95 置信区间。15 分
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10 秋模拟试卷参考答案
一、1A 2C 3C 4A 5C
7
二、1、7.64，7.6，0.7，0.0584，0.2417，3.16%； 2、
3、设随机变量 X 服从区间[2，5]上的均匀分布，则 E（X）=3.5。（）
4、总体参数的无偏估计量是唯一的。（
）
5、用最小二乘法求出的回归直线总是有意义的。（
）
四、解答题。（共 55 分）
1、保险公司调查某市连续五年的保险额损失率分别是 0.21%，0.23%，0.19%，0.24%，0.18%。试求
能组成两位数，“十位数”只能从 1,2,3,4 中取一个，有 4 个可能，而“个位数”可任意取，但“十
位数”已取出 1 个数，所以“个位数”也有 4 种取法，即 4×4=16，所以 p k 4 4 4 n 54 5
3、解：⑴
P(1.5
X
2.5) =
2.5
f (x)dx =
1.5
2 3( x 1)2 dx = ( x 1)3 2 =
3

2
3、随机变量 X 的分布函数 F（x）是事件（
）的概率。
4、（
）叫做统计量。
5、对总体 X～f（x；）的未知参数的有关命题进行检验，属于（
）问题。
三、是非判断题（每小题 3 分，共 15 分）。对的打“√”，错的打“×”
1、调查数据都是样本数据，也即样本值。（）

经济数学基础形成性考核册及参考答案[2]2

经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（一）填空题 1. .答案: 02.设 , 在处连续, 则 .答案：13.曲线在的切线方程是 .答案:4.设函数 , 则 .答案:5.设 , 则 .答案：（二）单项选择题1.函数的连续区间是....）答案: D A. B. C. D. 或2.下列极限计算正确的是... ）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3.设 , 则（. ）. 答案: ........A. B. C. D.4.若函数.(x)在点x0处可导，则.. )是错误的. 答案: .. A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． , 但C. 函数f (x)在点x0处连续D. 函数f (x)在点x0处可微 5.当时，下列变量是无穷小量的是...）.答案: C A. B. C. D. (三)解答题 1. 计算极限（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim 1+---→x x x x x = )1(2lim 1+-→x x x = 21- （2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x = )4(3lim 2--→x x x = 21（3）x x x 11lim 0--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x=)11(lim+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x（4）=+++-∞→42353lim22x x x x x 31423531lim 22=+++-∞→xx x x x（5）=→x x x 5sin 3sin lim0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53（6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x2. 设函数 ,问: （1）当为何值时, 在处有极限存在？（2）当为何值时, 在处连续.答案: （1）当 , 任意时, 在处有极限存在；（2）当时, 在处连续。

经济数学基础形成性考核册及参考答案作业(三)

经济数学基础形成性考核册及参考答案作业(三)（一）填空题1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则TAB 2-=________. 答案：72-3. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .答案：BA AB =4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 答案：A B I 1)(--5. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1=-A .答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31000210001A （二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A =B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠答案C2. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则TC 为（）矩阵．A ．42⨯B ．24⨯C ．53⨯D ．35⨯ 答案A3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．A ．111)(---+=+B A B A ， B ．111)(---⋅=⋅B A B AC ．BA AB =D ．BA AB = 答案C4. 下列矩阵可逆的是（）．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300320321B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--321101101C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 答案A 5. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=444333222A 的秩是（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案B三、解答题 1．计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01103512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5321 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000 （3）[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]02．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1423011121553．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110211321B 110111132，A ，求AB 。