昆山市高中实验班招生考试试卷——数学
【考试必备】江苏省昆山中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．8的立方根等于（）A．2 B．-2 C．±2 D．2．下列运算中，结果正确的是（）A．a4+a4=a8 B．a3•a2=a5C．a8÷a2=a4 D．（-2a2）3=-6a63x的取值范围是（）A．x＞13B．x＞−13C．x≥13D．x≥−134．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°6．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过另外两个顶点B、C，且点B（6，n），（0＜n＜6），则k的值为（）A．18 B．12 C．6 D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接写在答题卡相应位置上）7．- 12的倒数是．8．0.0002019用科学记数法可表示为．9．分解因式：a2b-b3=10．一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x211．一个多边形的内角和与外角和之差为720°，则这个多边形的边数为．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c 的值为．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为．15．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．16．如图，平面直角坐标系中，点A（0，-2），B（-1，0），C（-5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．计算：2011)4sin 603-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭18．解不等式组：212(3)33x x x+⎧⎨+->⎩…．19．先化简，再求值：2311221x x x x x x -⎛⎫-÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 满足方程x 2-2x-3=0． 20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．21．将分别标有数字3，6，9的三张形状、大小均相同的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求抽到数字恰好为6的概率；（2）随机地抽取张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表或画树状图求所组成的两位数恰好是“69”的概率．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，几秒种后△DPQ 的面积为31cm2？23．在争创全国文明城市活动中，某校开展了为期一周的“新时代文明实践”活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B；1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人？24．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75≈1.4125．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．26．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）27．如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-12x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．参考答案与试题解析1.【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：8的立方根是2，故选：A．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．2.【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a4+a4=2a4，故本选项错误；B、a3•a2=a3+2=a5，正确；C、应为a8÷a2=a8-2=a6，故本选项错误；D、应为（-2a2）3=（-2）3•（a2）3=-8a6，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．3.【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：3x-1≥0，解得x≥13．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4.【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项D所示，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．5.【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°-32°=58°，故选：A．【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6.【分析】过B作BE⊥x轴于E，FC⊥y轴于点F．可以证明△AOD≌△BEA，则可以利用n表示出A，D的坐标，即可利用n表示出C的坐标，根据C，B满足函数解析式，即可求得n的值．进而求得k的值．【解答】解：过D作BE⊥x轴于E，CF⊥y轴于点F，∴∠BEA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DAO，又∵AB=AD，∴△ADO≌△BAE（AAS）．同理，△ADO≌△DCF．∴OA=BE=n，OD=AE=OE-OA=6-n，则A点的坐标是（n，0），D的坐标是（0，6-n）．∴C的坐标是（6-n，6）．由反比例函数k的性质得到：6（6-n）=6n，所以n=3．则B点坐标为（6，3），所以k=6×3=18．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质与反比例函数的综合应用，体现了数形结合的思想．7.分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：-12的倒数是-2．故答案为：-2．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．8.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0002019=2.019×10-4．故答案为：2.019×10-4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2-b2）=b（a+b）（a-b），故答案为：b（a+b）（a-b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0，故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．11.【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．12.【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），∴当x=1时，y=1，即a+b+c=1，故答案为1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键．13.【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16. 【分析】如图，连接OE ．首先说明点E 在射线OE 上运动（∠EOD 是定值），当点D 与C 重合时，求出OE 的长即可．【解答】解：如图，连接OE ．∵∠AED=∠AOD=90°，∴A ，O ，E ，D 四点共圆，∴∠EOC=∠EAD=定值，∴点E 在射线OE 上运动，∠EOC 是定值．∵tan ∠EOD=tan ∠OAB=12， ∴可以假设E （-2m ，m ）， 当点D 与C 重合时，225229AC =+=，∵AE=2EC ，∴EC=2914555=， ∴（-2m+5）2+m 2=295， 解得m=85或125（舍弃）， ∴E （-165，85）， ∴点E 的运动轨迹=OE 的长=855， 故答案为85． 【点评】本题考查轨迹，坐标与图形性质，相似三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．17. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：()212333x x +≥⋯+-⋯⎧⎨⎩①＞②， 解①得：x≥-1，解②得：x ＜3．则不等式组的解集是：-1≤x ＜3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．19. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=1(2)211x x x x x x x -+⋅-+-+ =1x x x -+ =21x x +； 当x 2-2x-3=0时，解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）当x=3时，原式=94； 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20. 【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的角平分线即可．（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE ，再证明AP=AQ ，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，射线BQ 即为所求．（2）结论：四边形APEQ是菱形．理由：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵PE∥AC，∴∠PEB=∠C，∠BAP=∠BEP，∵BP=BP，∠ABP=∠EBP，∴△ABP≌△EBP（AAS），∴PA=PE，∵∠AQP=∠QBC+∠C，∠APQ=∠ABP+∠BAP，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ，∴PE=AQ，∵PE∥AQ，∴四边形APEQ是平行四边形，∵AP=AQ，∴四边形APEQ是菱形．【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【分析】（1）让6的个数除以数的总数即为所求的概率；（2）列举出所有情况，看所组成的两位数恰好是“69”的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）∵卡片共有3张，有3，6，9，6有一张，∴抽到数字恰好为6的概率P（6）=13；（2）画树状图：由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中两位数恰好是69有1种．∴P（69）=16．【点评】此题主要考查了列树状图解决概率问题；找到所组成的两位数恰好是“69”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．22.【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，=AB•BC-12AD•AP-12CD•CQ-12BP•BQ，=6×12-12×12x-12×6（12-2x）-12（6-x）•2x，=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5．答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【分析】（1）根据D组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生的人数；（2）根据（1）中的结果和统统计图中的数据可以分别求得B和C组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人．【解答】解：（1）学生会随机调查了：10÷20%=50名学生，故答案为：50；（2）C组有：50×40%=20（名），则B 组有：50-3-20-10-4=13（名），补全的频数分布直方图如右图所示；（3）900×10450=252（人）， 答：该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有252人．【点评】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24. 【分析】过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，通过构建直角三角形解答即可．【解答】解：过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，交地面于N由题意可知MN=0.3m ，当CN=0.9m 时，CM=0.6m ，Rt △BCM 中，∠ABE=70°，sin ∠ABE=sin70°=CM CB≈0.94， BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638-0.4=0.238≈0.24m=24cm ．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．25. 【分析】（1）OA=OC ，则∠OCA=∠OAC ，CD ∥AP ，则∠OCA=∠PAC ，即可求解；（2）证明△PAC ∽△PCE ，即可求解；（3）利用△PAC ∽△CAB 、PC 2=AC 2-PA 2，AC 2=AB 2-BC 2，即可求解．【解答】解：（1）∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ∥AP ，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴PA PC PC PE，∴PC2=PA•PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt △PAC ∽Rt △CAB ，AP AC PC AC AB BC==，而PC 2=AC 2-PA 2，AC 2=AB 2-BC 2， 其中PA=2，解得：AB=10，则圆O 的半径为5．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．26. 【分析】（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC AC DC CE =，即B C D C A C E C=，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC =，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°，∴∠A=∠C=∠DEC=45°，∴∠B=∠EDC=90°，∴四边形EFBD 是矩形，∴EF=BD ，∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴2BD EF AE AE==，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，∴△ABC∽△EDC，中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．8的立方根等于（）A．2 B．-2 C．±2 D．2．下列运算中，结果正确的是（）A．a4+a4=a8 B．a3•a2=a5C．a8÷a2=a4 D．（-2a2）3=-6a63x的取值范围是（）A．x＞13B．x＞−13C．x≥13D．x≥−134．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°6．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过另外两个顶点B、C，且点B（6，n），（0＜n＜6），则k的值为（）A．18 B．12 C．6 D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接写在答题卡相应位置上）7．- 12的倒数是．8．0.0002019用科学记数法可表示为．9．分解因式：a2b-b3=10．一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x211．一个多边形的内角和与外角和之差为720°，则这个多边形的边数为．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c 的值为．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为．15．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．16．如图，平面直角坐标系中，点A（0，-2），B（-1，0），C（-5，0），点D从点B出发，沿x 轴负方向运动到点C ，E 为AD 上方一点，若在运动过程中始终保持△AED ～△AOB ，则点E 运动的路径长为三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．计算：2011)4sin 603-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭18．解不等式组：212(3)33x x x +⎧⎨+->⎩…． 19．先化简，再求值：2311221x x x x x x -⎛⎫-÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 满足方程x 2-2x-3=0． 20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．21．将分别标有数字3，6，9的三张形状、大小均相同的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求抽到数字恰好为6的概率；（2）随机地抽取张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表或画树状图求所组成的两位数恰好是“69”的概率．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，几秒种后△DPQ的面积为31cm2？23．在争创全国文明城市活动中，某校开展了为期一周的“新时代文明实践”活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B；1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人？24．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75≈1.4125．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．26．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）27．如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-12x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．参考答案与试题解析1.【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：8的立方根是2，故选：A．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．2.【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a4+a4=2a4，故本选项错误；B、a3•a2=a3+2=a5，正确；C、应为a8÷a2=a8-2=a6，故本选项错误；D、应为（-2a2）3=（-2）3•（a2）3=-8a6，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．3.【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：3x-1≥0，解得x≥13．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4.【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项D所示，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．5.【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°-32°=58°，故选：A．【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6.【分析】过B作BE⊥x轴于E，FC⊥y轴于点F．可以证明△AOD≌△BEA，则可以利用n表示出A，D的坐标，即可利用n表示出C的坐标，根据C，B满足函数解析式，即可求得n的值．进而求得k的值．【解答】解：过D作BE⊥x轴于E，CF⊥y轴于点F，∴∠BEA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DAO，又∵AB=AD，∴△ADO≌△BAE（AAS）．同理，△ADO≌△DCF．∴OA=BE=n，OD=AE=OE-OA=6-n，则A点的坐标是（n，0），D的坐标是（0，6-n）．∴C的坐标是（6-n，6）．由反比例函数k的性质得到：6（6-n）=6n，所以n=3．则B点坐标为（6，3），所以k=6×3=18．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质与反比例函数的综合应用，体现了数形结合的思想．7.分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：-12的倒数是-2．故答案为：-2．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．8.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0002019=2.019×10-4．故答案为：2.019×10-4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2-b2）=b（a+b）（a-b），故答案为：b（a+b）（a-b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0，故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．11.【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．12.【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），∴当x=1时，y=1，即a+b+c=1，故答案为1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键．13.【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16. 【分析】如图，连接OE ．首先说明点E 在射线OE 上运动（∠EOD 是定值），当点D 与C 重合时，求出OE 的长即可．【解答】解：如图，连接OE ．∵∠AED=∠AOD=90°，∴A ，O ，E ，D 四点共圆，∴∠EOC=∠EAD=定值，∴点E 在射线OE 上运动，∠EOC 是定值．∵tan ∠EOD=tan ∠OAB=12， ∴可以假设E （-2m ，m ）， 当点D 与C 重合时，225229AC =+=，∵AE=2EC ，∴EC=2914555=， ∴（-2m+5）2+m 2=295， 解得m=85或125（舍弃）， ∴E （-165，85）， ∴点E 的运动轨迹=OE 的长=855， 故答案为85． 【点评】本题考查轨迹，坐标与图形性质，相似三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．17. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：()212333x x +≥⋯+-⋯⎧⎨⎩①＞②， 解①得：x≥-1，解②得：x ＜3．则不等式组的解集是：-1≤x ＜3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．19. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=1(2)211x x x x x x x -+⋅-+-+ =1x x x -+ =21x x +； 当x 2-2x-3=0时，解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）当x=3时，原式=94； 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20. 【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的角平分线即可．（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE ，再证明AP=AQ ，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，射线BQ 即为所求．。
普通高中理科实验班招生考试数学试题.doc
普通高中理科实验班招生考试数学试题（满分150分，答题时间120分）一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小 题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一 个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1．若mx 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【 】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【 】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．183．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的 酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者 合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第 一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当 于它们原价的 ………………………………………………………………【 】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-x x 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图象上整点的个数 是 ……………………………………………………………………………【 】A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝ ．7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为．8．若方程组⎩⎨⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩⎨⎧==,,b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是．9．已知函数22)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 （不必写自变量的取值范围）．三、（本题共4小题，满分60分）11．（本题满分15分）D CBAFE我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．12．（本题满分15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？13．（本题满分15分）⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．CBA··PO O 2114．（本题满分15分）如图，函数221+-=x y 的图象交y轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一点，PQ ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．（1）试求S 与t 之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．普通高中理科实验班招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题10分，共50分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠010．35534+-=x y三、解答题（每小题15分，共60分）11．（本题满分15分）解 （1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）图1 图2（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分） （3）如图3所示． …………………（15分）图312．（本题满分15分）解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ． （1） 再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即)(6c b c a -=+． （2） ………………（5分） 由（1）式得2702-=a b ． （3） 将（3）代入（2），并整理得1620711=-c a ． ………………（10分）由于7)1(42327162011++-=-=a a a c ． 又a 、c 是正整数，从而有7162011-a ≥1，即a ≥148；并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．经检验，可知a 的最小值为152．答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分） 连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分） 因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ， 所以∠CAD 为定值．在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分） 证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，⌒ ⌒ ∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）∴ CC ＇＝DD ＇ ∴ C ＇mD ＇＝CmD∴ CD ＝CD ． …………………（15分）14．（本题满分15分）解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t -=+--⋅241)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝221+-t ．∴ S ＝t t t t +-=+-⋅241)221(21；③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝221)221(-=+--t t ．∴ S ＝t t t t -=-⋅241)221(21．④ 当t ＝0或4时，S ＝0．于是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=)40(41)40(,4122t t t k t t t S 或 …………………………………………6分CBA··PDO O 21′′C D Q1234m（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(4141)40(,1)2(41412222t t t t k t t t t S 或下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分观察图象可知：当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个； 当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分 解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|221||221|-=+-t t ， ∴ S ＝|4|41|221|||212t t t t -=-⋅． ……………………………………4分 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=-=)40(41)40(,41|4|41222t t t k t t t t x S 或 ………………………6分以下同解法1．aS =。
2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）B ．（1，3）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．已知复数z 满足11−z=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC→＜0”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．25．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π3后，交单位圆于点P(x ，−35)，那么sin α＝（ ） A ．−4+3√310B ．−4−3√310C ．−3−4√310D ．−3+4√3106．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．10B ．11C ．12D ．137．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A ．118B ．332C ．29D ．898．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2) B ．(1，√3) C ．（0，2） D ．（2，4）二、多选题9．下列命题中真命题是（ ）A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1n ∑ n i=1x i 2−(x)2B ．已知随机变量X ～B(n ，13)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.310．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）A ．f ′(x)=−sin(2x +π6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2(k ∈Z)C ．函数f （x ）在[−4π3，−7π6]上单调递增D ．将f （x ）的图象向右平移3π4个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →=e →，则（ ）A ．AD →=2(AE →+AC →)B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →|2 C ．BC →(CD →⋅FE →)=(BC →⋅CD →)FE →D ．AE →在CB →方向上的投影向量为32e →12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin ℎx =e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x2，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =e x −e −xe x +e −x等，则下列说法正确的是（ ）A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2B ．tanh x ＞cosh x 恒成立C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1三、填空题13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 ．14．向量|a →|=|b →|=1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos〈a →−c →，b →−c →〉= ． 15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 ． 16．已知当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，12)都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ ．四、解答题17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．（1）若AQ →=25AB →，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；（2）若点Q 使得AP →⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cb =sinA −sin(B −C)．（1）求角B ；（2）设b ＝2，当c +√2a 的值最大时，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，三棱锥P ﹣ABC ，P A ＝PB ＝3，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），平面P AB ⊥平面ABC ，点M 为线段PC 上的动点．（1）若点M 为PC 的中点时AM ⊥AB ，求BC 的长；（2）当θ=π3时，是否存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533？20．（12分）已知向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π12)+f(x +2π3)]2−2[f(x +5π12)+f(x +π6)]−5a +12=0在[0，π4]有解，求实数a 的取值范围．21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．（1）若p 1=34，p 2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当p 1+p 2=65，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 22．（12分）已知函数f(x)=ax −sinx2+cosx ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）B ．（1，3）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）解：由x 2﹣2x ﹣3＞0，得（x +1）（x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣1或x ＞3， 所以B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 因为A ＝{x |x ＞1}，所以A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故选：C ． 2．已知复数z 满足11−z=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵1−z =12i =−12i ， ∴z =1+12i ， ∴z =1−12i ，故z 在复平面内对应的点(1，−12)位于第四象限． 故选：D ．3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC→＜0”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形时，AB →⋅AC →＜0，从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC →＜0”的充分条件， 当三个点A ，B ，C 共线且∠BAC ＝180°时，满足AB →⋅AC →＜0，但是A ，B ，C 不能构成三角形， 从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”不是“AB →⋅AC →＜0”的必要条件． 故选：A ．4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：将x =2代入y =2x −0.4，得y =2×2−0.4=3.6， 去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后， 得x′=2×108=52，y′=3.6×108=92，可得a =92−3×52=−3， 故去除样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后的回归直线方程为y =3x −3． 当x ＝4时，y =3×4−3=9，则样本（4，8）的残差为8﹣9＝﹣1． 故选：B ．5．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π3后，交单位圆于点P(x ，−35)，那么sin α＝（ ） A ．−4+3√310B ．−4−3√310C ．−3−4√310D ．−3+4√310解：由点P 在单位圆上，则x 2+(−35)2=1，解得x =±45， 由锐角α∈(0，π2)，即α−π3∈(−π3，π6)，则x =45， 故cos(α−π3)=45，sin(α−π3)=−35， 所以sinα=sin(α−π3+π3)=sin(α−π3)cos π3+cos(α−π3)sin π3=(−35)×12+45×√32=−3+4√310． 故选：D ．6．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A ．10B ．11C ．12D ．13解：设被调查的男性为x 人，则女性为2x 人，依据题意可得列联表如下表：χ2=3x(5x 6⋅4x 3−2x 3⋅x6)23x 2⋅3x2⋅x⋅2x=2x3，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 所以有χ2≥7.879，即2x 3≥7.879，解得x ≥11.8185，又因为上述列联表中的所有数字均为整数， 故x 的最小值为12． 故选：C ．7．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A ．118B ．332C ．29D ．89解：甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率为C 41A 33C 41⋅33=29．故选：C ．8．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2)B ．(1，√3)C ．（0，2）D ．（2，4）解：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+bc ， 则c ﹣b ＝2b cos A ，由正弦定理得sin C ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin （A +B ）﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin A cos B +sin B cos A ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 化简得sin A cos B ﹣sin B cos A ﹣sin B ＝0， 即sin （A ﹣B ）＝sin B ，因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2， 所以−π2＜A −B ＜π2， 所以A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ， 又{0＜B ＜π20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，则π6＜B ＜π4，所以0＜cos2B ＜12，cos （C ﹣B ）+λcos A ＝cos （π﹣4B ）+λcos2B ＝﹣2cos 22B +λcos2B +1存在最大值， 则0＜14λ＜12，即0＜λ＜2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题中真命题是（ ）A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1n∑ n i=1x i 2−(x)2B ．已知随机变量X ～B(n ，13)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.3解：对于A ：由方差公式可得s 2=1n ∑ n i=1（x i −x ）2=1n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2∑ n i=1x i x ） =1n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2n x 2）=1n （∑ n i=1x i 2−n x 2）=1n ∑ n i=1x i 2−x 2，故A 正确；对于B ：因为随机变量X ～B （n ，13），所以D （X ）＝n •13•23=29n ，则D （3X ﹣2）＝32D （X ）＝9•29n ＝2n ，因为D （3X ﹣2）＝12，所以2n ＝12，解得n ＝6，故B 错误；对于C ：两个变量得相关系数越接近1，它们得相关程度越强，故C 错误； 对于D ：因为随机变量ξ服从正态分布N （2，δ2），且P （ξ＜4）＝0.8， 所以P （ξ＜4）＝0.8，P （ξ≤0）＝P （ξ≥4）＝1﹣0.8＝0.2，P （0＜ξ＜2）＝0.5﹣P （ξ≤0）＝0.5﹣0.2＝0.3，故D 正确． 故选：AD ．10．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）A ．f ′(x)=−sin(2x +π6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2(k ∈Z)C ．函数f （x ）在[−4π3，−7π6]上单调递增D ．将f （x ）的图象向右平移3π4个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象解：f ′（x ）＝﹣ωsin （ωx +φ）， 由图象知T ＝2×（2π3−π6）＝2×3π6=π，即2πω=π，得ω＝2，则f ′（x ）＝﹣2sin （2x +φ），由五点对应法2×（−π12）+φ＝0，得φ=π6，即f （x ）＝cos （2x +π6），f ′（x ）＝﹣2sin （2x +π6），故A 错误； 由2x +π6=k π，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，即f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ2，k ∈Z ，故B 正确； f （x ）＝cos （2x +π6），当x ∈[−4π3，−7π6]，则2x ∈[−8π3，−7π3]，2x +π6∈[−5π2，−13π6]，此时y ＝cos x 为增函数，故C 正确； 将f （x ）的图象向右平移3π4个单位长度，得到y ＝cos[2（x −3π4）+π6]＝cos （2x −3π2+π6） ＝cos[3π2−（2x +π6）]＝﹣cos[π2−（2x +π6）]＝﹣sin （2x +π6），再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝﹣2sin （2x +π6），此时可以得到f ′（x ）的图象，故D 正确． 故选：BCD ．11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →=e →，则（ ）A ．AD →=2(AE →+AC →)B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →|2 C ．BC →(CD →⋅FE →)=(BC →⋅CD →)FE →D ．AE →在CB →方向上的投影向量为32e →解：对于选项A ，AD →=AF →+FE →+ED →=AF →+CD →+AB →+ED →=2（AF →+ED →）， 又AF →+ED →−(AE →+AC →)=AF →+AB →−AE →−AC →=EF →+CB →=2CB →≠0→， 所以选项A 错误；对于选项B ，因为AB →⊥EA →， 所以AB →•EA →=0，所以AB →•（EA →+2FA →）=AB →•（2FA →）=AB →•EB →=|AB →|2， 所以选项B 正确；对于选项C ，因为BC →（CD →•FE →）=12BC →，（BC →•CD →）FE →=12FE →，且BC →=FE →，所以BC →（CD →•FE →）＝（BC →•CD →）FE →， 所以选项C 正确；对于选项D ，AE →在CB →方向上的投影向量为AE →⋅CB →|CB →|CB →|CB →|＝（AE →•CB →）CB → =√3×1×cos150°CB →=−32CB →=32e →，所以选项D 正确． 故选：BCD ．12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin ℎx =e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x2，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =e x −e −xe x +e −x等，则下列说法正确的是（ ） A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2B ．tanh x ＞cosh x 恒成立C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1解：对于A ：tan ℎx =e x −e −x e x +e −x =e 2x −1e 2x +1，x ∈R ，(tan ℎx)′=2e 2x (e 2x +1)−(e 2x −1)⋅2e 2x(e 2x +1)2=4e 2x (e 2x +1)2，1−(tan ℎx)2=1−(e 2x −1e 2x +1)2=(e 2x +1)2−(e 2x −1)2(e 2x +1)2=(e 2x +1+e 2x −1)(e 2x +1−e 2x +1)(e 2x +1)2=4e 2x(e 2x +1)2，∴（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2，故A 正确； 对于B ：设e 2x +1＝t ＞1，则e 2x ＝t ﹣1， 则tan ℎx =t−2t =1−2t ∈(−1，1)，cos ℎx =e x +e −x 2≥2√e x ⋅e −x 2=1，当且仅当e x ＝e ﹣x ，即x ＝0时等号成立，∴cosh x ∈[1，+∞）， ∴tanh x ＜cosh x ，故B 错误；对于C ：∵(sin ℎx)′=e x +e −x2＞0， ∴y ＝sinh x 在R 上单调递增， 设f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ＞0， 则f ′(x)=e x +e −x 2−1=e x +e −x −22， ∵e x +e ﹣x ≥2，∴f ′(x)=e x +e −x −22≥0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴f （x ）＞f （0）＝0，即sinh x ＞x ，∴∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0，故C 正确；对于D ：不妨设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，由C 得f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ∈R ，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ）＞0，又∵f(−x)=e −x −e x2+x =−f(x)，即f （x ）为R 上奇函数，∴f （x ）＝sinh x ﹣x 在（﹣∞，0）上单调递增，且f （x ）＜0， ∴f （x ）在R 上单调递增，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝sinh x 1﹣x 1﹣（sinh x 2﹣x 2）＞0， 即sinh x 1﹣sinh x 2＞x 1﹣x 2， ∴sinℎx 1−sinℎx 2x 1−x 2＞1，故D 正确，故选：ACD ． 三、填空题13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 7200 ． 解：先排5个独唱节目有A 55种排法，在五个节目之间形成的空位不包括第一个中，放入3个舞蹈节目有A 53种排法，根据分步计数原理可得不同的排法总数为A 55A 53=7200种．故答案为：7200．14．向量|a →|=|b →|=1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos〈a →−c →，b →−c →〉= 45．解：因为向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→， 所以−c →=a →+b →，所以c →2＝（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →， 所以2＝1+1+2×1×1×cos ＜a →，b →＞， 所以cos ＜a →，b →＞=0， 所以a →⊥b →，又a →−c →=2a →+b →，b →−c →=a →+2b →，所以（a →−c →）•（b →−c →）＝（2a →+b →）•（a →+2b →）＝2a →2+2b →2+5a →•b →=2+2+0＝4， 所以|a →−c →|＝|b →−c →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+0+1=√5，所以cos ＜a →−c →，b →−c →＞=(a →−c →)⋅(b →−c →)|a →−c →||b →−c →|=45×5=45．故答案为：45．15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 2√10−6 ． 解：因为x 2﹣3xy +2y 2＝（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝1， 所以设x ﹣y ＝t ，则x ﹣2y =1t （t ≠0）， 所以x ＝2t −1t，y ＝t −1t，所以x 2+y 2＝（2t −1t ）2+（t −1t ）2＝5t 2+2t 2−6≥2√10−6， 当且仅当5t 2=2t 2时，等号成立， 所以x 2+y 2的最小值为2√10−6． 故选：2√10−6．16．已知当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，12)都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ 228 ．解：∵当x ∈(−12，12)时，有11+2x=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n ，∴到11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+…+（x 3）n +…，则x(1−x 3)(1+2x)=x [1+x 3+x 6+…+x 3n +…]×[1﹣2x +4x 2+…+（﹣2x ）n +…]， a 9为x(1−x 3)(1+2x)展开式中x 9的系数，因为x [1•（﹣2x ）8+x 3•（﹣2x ）5+x 6•（﹣2x ）2]＝228x 9，所以a 9＝228． 故答案为：228． 四、解答题17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．（1）若AQ →=25AB →，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；（2）若点Q 使得AP →⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．解：（1）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →=13BC →，Q 是边AB （含端点）上的动点，∵BP →=13BC →，∴AP →=23AB →+13AC →，又∵A 、O 、P 三点共线， 令AO →=λAP →=2λ3AB →+λ3AC →，∵AB →=52AQ →，∴AO →=5λ3AQ →+λ3AC →，而C 、O 、Q 三点共线， ∴5λ3+λ3=1，∴λ=12，∴AO →=13AB →+16AC →；（2）由已知可得：AP →=13AC →+23AB →， 又因为CQ →=AQ →−AC →， 设AQ →=tAB →(0≤t ≤1)， 则CQ →=tAB →−AC →，由AP →⊥CQ →，可得AP →⋅CQ →=0，即(13AC →+23AB →)⋅(tAB →−AC →)=0， 所以t3AC →⋅AB →−13|AC →|2+23t|AB →|2−23AC →⋅AB →=0，即t−23×6cos∠BAC −3+83t =0，整理得cos ∠BAC =3−83t 2(t−2)=−83(t−2)−732(t−2)=−43−76(t−2)，因为t ∈[0，1]，y =−43−76(t−2)在[0，1]上单调递增， 故cos ∠BAC =−43−76(t−2)∈[−34，−16]， 即cos ∠BAC 的取值范围为[−34，−16]．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cb=sinA−sin(B−C)．（1）求角B；（2）设b＝2，当c+√2a的值最大时，求△ABC的面积．解：（1）∵在△ABC中，cb=sinA−sin(B−C)，A+B+C＝π，∴由正弦定理得sinCsinB=sin(π−B−C)−sin(B−C)=sin(B+C)−sin(B−C)=2cosBsinC，又C∈（0，π），故sin C＞0，故sin2B＝1，又2B∈（0，2π），则2B=π2，解得B=π4；（2）由（1）得b＝2，B=π4，由正弦定理得2R=bsinπ4=2√2，故c+√2a=2RsinC+√2×2RsinA=2√2[sinC+√2sin(C+π4 )]=2√2(sinC+sinC+cosC)=2√2(2sinC+cosC)=2√10sin(C+φ)，其中cosφ=2√55，sinφ=√55，且φ∈(0，π2)，∵C∈(0，3π4)，故C+φ∈(φ，3π4+φ)，3π4+φ∈(3π4，5π4)，故sin（C+φ）的最大值为1，此时C+φ=π2，即C=π2−φ，故sinC=sin(π2−φ)=cosφ=2√55，cosC=cos(π2−φ)=sinφ=√55，∴c=2RsinC=2√2×2√55=4√105，又sinA=sin(3π4−C)=√22(sinC+cosC)=√22×3√55=3√1010，故a=2RsinA=2√2×3√1010=6√55，∴S△ABC=12acsinB=12×4√105×6√55×√22=125，即△ABC的面积为125．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC，P A＝PB＝3，AB＝AC＝4，∠BAC＝θ（0＜θ＜π），平面P AB⊥平面ABC，点M为线段PC上的动点．（1）若点M为PC的中点时AM⊥AB，求BC的长；（2）当θ=π3时，是否存在点M使得直线BM与平面ABC所成角的正弦值为√16533？解：（1）取AB 的中点D ， 因为P A ＝PB ， 所以PD ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ， 所以PD ⊥面ABC ，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则A （﹣2，0，0），B （2，0，0），P （0，0，√5）， C （﹣2+4cos θ，4sin θ，0），M （2cos θ﹣1，2sin θ，√52）， 所以AB →=（4，0，0），AM →=（2cos θ+1，2sin θ，√52）， 因为AM ⊥AB ， 所以AM →•AB →=0， 所以4（2cos θ+1）＝0， 所以cos θ=−12， 因为0＜θ＜π， 所以θ=2π3， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos θ＝16+16﹣2×4×4×（−12）＝48， 所以BC ＝4√3．（2）存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533，理由：当θ=π3时，C （0，2√3，0），M （0，√3，√52），所以BM →=（﹣2，√3，√52）， 因为PD ⊥面ABC ，所以面ABC 的一个法向量为n →=（0，0，1）， 设直线BM 与平面ABC 所成的角为φ， 则sin φ＝|cos ＜BM →，n →＞|＝|BM →⋅n→|BM →||n →||(−2，√3，√5)⋅(0，0，1)(−2)+(√3)+(√2)√16533，所以直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√16533． 20．（12分）已知向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π12)+f(x +2π3)]2−2[f(x +5π12)+f(x +π6)]−5a +12=0在[0，π4]有解，求实数a 的取值范围．解：（1）∵向量a →=(√3cosωx ，−cosωx)，b →=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，∴f(x)=a →⋅b →+12=√3sinωxcosωx −cos 2ωx +12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin （2ωx −π6）， ∵函数f(x)=a →⋅b →+12的最小正周期为π，∴π−ω=π，解得ω＝﹣1，∴f （x ）＝sin （﹣2x −π6）＝﹣sin （2x +π6），∵2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2（k ∈Z ），∴k π+π6≤x ≤kπ+2π3，（k ∈Z ）， ∵x ∈[﹣π，π]，当k ＝﹣1时，−5π6≤x ≤−π3， 当k ＝0时，π6≤x ≤2π3，∴函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间为[−5π6，−π3]，[π6，2π3]．（2）由（1）知，f （x +5π12）＝﹣sin[2（x +5π12）+π6]＝﹣sin （2x +π）＝sin2x ， f （x +2π3）＝﹣sin[2（x +2π3）+π6]＝﹣sin （2x +3π2）＝cos2x ， f （x +π6）＝﹣sin[2（x +π6）+π6]＝﹣sin （2x +π2）＝﹣cos2x ，方程2a [f （x +5π12）+f （x +2π3）]2﹣2[f （x +5π12）+f （x +π6）]﹣5a +12=0，即方程2a （sin2x +cos2x ）2﹣2（sin2x ﹣cos2x ）﹣5a +12=0，由0≤x ≤π4，得−π4≤2x −π4≤π4，令t ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）∈[﹣1，1]， ∵（sin2x +cos2x ）2+（sin2x ﹣cos2x ）2＝2，∴（sin2x +cos2x ）2＝2﹣t 2，原方程化为2a （2﹣t 2）﹣2t ﹣5a +12=0，整理得2at 2+2t +a −12=0在[﹣1，1]上有解，∵a （2t 2+1）+2t −12=0，a =−2t−122t 2+1=−t−14t 2+12=−t−14(t−14)2+12(t−14)+916， 当t =14∈[﹣1，1]时，a ＝0， 当t ≠14时，令μ=t −14，a =−μμ2+12μ+916=−1916μ+μ+12， 当﹣1≤t ＜14时，μ∈[−54，0）， 函数y =916μ+μ+12在[−54，−34]上单调递增，在[−34，0）上单调递减， 当μ=−34时，y ＝﹣1，当μ=−54时，y =−65，∴y ≤﹣1，∴0＜a ≤1， 综上，−12≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是（0，1]．21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．（1）若p 1=34，p 2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当p 1+p 2=65，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？解：（1）第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道， 则他们获“优秀小组”的概率为：2×（34）2•23•13+2×（23）2•34•14+（34）2•（23）2=23；（2）∵p 1+p 2=65，∴每轮比赛获得“优秀小组”的概率为2p 12p 2（1﹣p 2）+2p 22p 1（1﹣p 1）+p 12p 22=3p 1p 2（45−p 1p 2），令p 1p 2＝t ≤（p 1+p 22）2=925， ∵0≤p 1，p 2≤1，p 1+p 2=65， ∴15≤p 1p 2≤925∴3p 1p 2（45−p 1p 2）＝﹣3t 2+125t ， 令f （t ）＝﹣3t 2+125t ，15≤t ≤925，∵对称轴方程为t =25，抛物线开口向下，∴函数f （t ）在[15，925]上单调递增，∴f （t ）的最大值是f （925）＝﹣3（925）2+125×925=297625， 设要进行n 轮竞赛，则297625n ≥9，解得：n ≥62533≈19． ∴理论上至少要进行19轮竞赛． 22．（12分）已知函数f(x)=ax −sinx2+cosx．（1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f(x)=x −sinx 2+cosx ，求导数f ′(x)=1−2cosx+1(2+cosx)2=(cosx+1)2+2(2+cosx)2＞0，所以f （x ）在R 上单调递增； （2）求导数f ′(x)=3(12+cosx −13)2+a −13．a ≥13时，f ′（x ）≥0，即函数在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝0，符合题意； 当0＜a ＜13时，令h （x ）＝sin x ﹣3ax ，x ＞0，求导数h ′（x ）＝cos x ﹣3a ，则存在x 0∈(0，π2)，使得h ′（x 0）＝0，当0＜x ＜x 0时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）＞h （0）＝0，即sin x ＞3ax ， 因此，当0＜x ＜x 0时，sinx 2+cosx＞sinx 3＞ax ，即f （x ）＜0，不符合题意；当a ≤0时，f(π2)＜0，不符合题意． 综上所述，a ≥13．。
昆山中考数学试卷真题答案
一、选择题1. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. 2.5C. πD. -3答案：C解析：π是一个无限不循环的小数，属于无理数。
2. 已知a、b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两根，则a+b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，a+b=3。
3. 下列函数中，自变量x的取值范围正确的是（）A. y = √(x+1)，x≥-1B. y = √(2-x)，x≤2C. y = √(x^2-1)，x≥1D. y = √(x^2+1)，x∈R答案：D解析：选项D中，x^2+1始终大于0，所以x的取值范围是全体实数。
4. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于x轴的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,-3)C. (-2,3)D. (-2,-3)答案：B解析：点A关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标取相反数。
5. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，且∠ADB=30°，则∠ABC 的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C解析：在等腰三角形中，底角相等，∠ADB=30°，所以∠ABC=60°。
二、填空题6. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 5x的值为（）答案：6解析：根据一元二次方程的解，x^2 - 5x = -6，所以x^2 - 5x的值为6。
7. 在直角坐标系中，点P(3,4)到原点的距离是（）答案：5解析：根据两点间的距离公式，点P到原点的距离为√(3^2 + 4^2) = 5。
8. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的判别式△=b^2 - 4ac，若△=0，则该方程有两个相等的实数根。
答案：正确解析：根据一元二次方程的判别式，当△=0时，方程有两个相等的实数根。
三、解答题9. （1）已知函数y = 2x - 1，当x=3时，求y的值。
XXX2022届高一实验班选拔考试试卷(含答案)
XXX2022届高一实验班选拔考试试卷(含答案)XXX2022级高一数学编班试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为90分钟。
注意事项：1.回答第Ⅰ卷前，考生需在答题卡姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、考场座号（由“考场”+“座号”合成，共四位数字，依次填在准考证号栏内左侧四格），并用2B铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答在试题卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡和第Ⅱ卷一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：每题的四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共40分。
1.2022年北京奥运会圣火在全球传递的里程约为km，用科学记数法表示为（A）1.37×10^5km。
2.下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（C）圆柱。
3.下列方程中，没有实数根的是（D）x^2+x+1=0.4.不等式组{2≤x<3，x-2≤4(x+1)}的解集是（B）-2≤x<3.5.等腰三角形腰长为3，底边长为2，则底角的余弦值为（B）2/3.6.凸四边形ABCD的边长均大于4，分别以A、B、C、D 为圆心，2为半径的圆弧与两邻边相交得到四个扇形（如图所示）。
命题中：（1）四个扇形的面积和是定值；（2）阴影部分之外四个扇形的周长之和是定值。
真命题的个数为（C）2个。
7.若点P(x,y)横坐标与纵坐标均为整数，则点称为整点。
在以(10,0)、(0,10)、(-10,0)、(0,-10)为顶点的正方形中（包括边界），一共有整点的个数为（B）221.8.已知P是抛物线y=x^2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi(i=1,2,3,4)，又xi(i=1,2,3,4)是方程(x^2-4x+m)(x^2-4x+n)=0的根，则二次函数y=x^2+bx+1的最小值为（A）2.二、填空题：每小题5分，共30分．9．(-1,4)。
2006年昆山市高中课改实验班招生考试试卷
2006年昆山市高中课改实验班招生考试试卷第Ⅰ卷（三大题，共70分）一、单项选择（共15小题，每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
1. He is now in year of age.A.twentyB.twentiethC.the twentiethD.the twenty2. He made a shelf his books on.A.to putB.putC.puttingD.for putting3. David said there was no thing.A.so aB.suchC.such aD. a such4. I didn’t want to go to the party; it was late when we started.A.ExceptB.BesideC.as wellD.besides5. The school is more beautiful now than in the past.A./B.itC.thatD.this6. danced in the ball.A.Many a girlsB. A many girlC. A few girlD.Many a girl7. The old man told his son to be a good boy.A.deadB.diedC.deathD.dying8. air is to man, so is water to fish.A.SinceB.JustC.LikeD.As9. It might be I , who caused the accident, who to answer for it.A.has, isB.has, amC.have, isD.have, am10. “These questions easy, but I really much time on them.” said Li Hua.A.seem, spendB.seemed, spentC.seemed, spentD.seemed, spend11. The fire spread through the hotel very quickly but everyone go out.A.wouldB.was able toC.couldD.had to12. ----Do you know if the film on this week?----No, it in Beijing first.A.has been, showsB.is, should be shownC.was, ought to showD.will be, is shown13. When I came in, I found .A.the glass breakingB.some broke the glassC.the glass brokenD.the glass being broken14. My friends, after they heard what had happened to me, advertisements showing happy families.A.thatB.whichC.allD.who15. Turn on the television or open a magazine and you advertisements showing happy families.A.often seeB.are often seeingC.will often seeD.have often seen二、完形填空（共15小题，每小题1分，满分15分）先通读下面的短文，掌握其大意，然后在每小题的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
【冲刺实验班】江苏省昆山中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
【冲刺实验班】江苏省昆山中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣42．绵阳科技城是四川省第二大城市，2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示应为（）万元．A．14×107B．1.4×107C．1.4×106D．0.14×1073．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（）A．平均数是91B．极差是20C．中位数是91D．众数是984．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A．B．C．D．15．已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，则x2+x+1的值为（）A．13B．7C．3D．13或7或36．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（6，1）D．点（5，1）8．将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+1B．y=3（x+2）2﹣1C．y=3（x﹣2）2+1D．y=3（x﹣2）2﹣19．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）A．B．C．D．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB 的值是（）A．B．C．D．11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC ﹣CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．B．25π﹣24C．25π﹣12D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）13．函数中自变量x的取值范围是．14．分解因式：a3﹣4a2+4a=．15．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，且两圆的圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相交，则t的取值范围为．16．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A7的坐标为；若点A n的坐标为（2014，2013），则n=．17．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为．18．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④，其中结论正确的是．三、解答题（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1．（2）先化简，后计算：（÷）•，其中a=﹣3．20．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表年份年增长率（精确到1%）2009年12%2010年2011年22%2012年24%请根据以上信息解答下列问题：（1）北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是；（结果精确到1%）（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）（3）如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到年．（填写年份）21．如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．22．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB 于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．24．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m ∠ACD．（1）已知，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且，求弦CD的长；（3）当时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（n，）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜n）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A1的横坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣4考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的定义作答即可．解答：解：﹣4的相反数是4．故选C．点评：本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为0．2．绵阳科技城是四川省第二大城市，2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示应为（）万元．A．14×107B．1.4×107C．1.4×106D．0.14×107考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将14000000万用科学记数法表示为1.4×107万元，故选B．点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（）A．平均数是91B．极差是20C．中位数是91D．众数是98考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解．解答：解：根据定义可得，极差是20，众数是98，中位数是91，平均数是90．故A错误．故选A．点评：本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A．B．C．D．1考点：概率公式．专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数为6；②符合条件的情况数目为2；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：∵黄球共有2个，球数共有3+2+1=6个，∴P（黄球）==，故选B．点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，则x2+x+1的值为（）A．13B．7C．3D．13或7或3考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质求出x≤1，求出x的值，代入求出即可．解答：解：∵要使（x﹣2）（x﹣3）有意义，∴1﹣x≥0，∴x≤1，∵x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x﹣2=0，x﹣3=0，=0，∴x=2或x=3或x=1，∴x=1，∴x2+x+1=12+1+1=3，故选C．点评：本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出x的值．6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于（）A．B．C．D．考点：三角形中位线定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD，由三角形中位线定理得到BD的长度，然后利用勾股定理的逆定理推知△BCD为直角三角形，最后由锐角三角函数的定义进行解答．解答：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD，EF=BD，∵EF=2，∴BD=4，又∵BC=5，CD=3，∴BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，∴sinC==，故选：C．点评：此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（6，1）D．点（5，1）考点：切线的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：先根据垂径定理的推论得到过格点A，B，C的圆的圆心P点坐标（2，0），连结PB，过点B作PB的垂线，根据切线的判定定理得l为⊙P的切线，然后利用l经过的格点对四个选项进行判断．解答：解：作AB和BC的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则过格点A，B，C的圆的圆心P点坐标为（2，0），连结PB，过点B作PB的垂线，则l为⊙P的切线，从图形可得点（1，3）和点（5，1）在直线l上，故选D．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和坐标与图形性质．8．将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+1B．y=3（x+2）2﹣1C．y=3（x﹣2）2+1D．y=3（x﹣2）2﹣1考点：二次函数图象与几何变换．专题：探究型．分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3（x+2）2﹣1．故选B．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+（a+c）x+c的图象相比较看是否一致，用排除法即可解答．解答：解：A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限，a＞0，与二次函数开口向下，即a ＜0相矛盾，错误；B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限，a＜0，与二次函数开口向上，a＞0相矛盾，错误；C、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与x轴的两个交点为（﹣，0），（﹣1，0），一次函数y=ax+c与x轴的交点为（﹣，0），故两函数在x轴上有交点，错误；排除A、B、C，故选D．点评：本题考查二次函数与一次函数的图象性质，比较简单．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB 的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．解答：解：连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．∴sinB=sinD==．故选A．点评：综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC ﹣CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：先求出点P在BE上运动是时间为6秒，点Q在EF﹣FG上运动是时间为6秒，然后分：①当0≤x≤4时，根据△APQ的面积为y=S矩形MBEF﹣S△ABP﹣S△PEQ﹣S梯形FMAQ，列式整理即可得解；②当4＜x≤6时，根据△APQ的面积为△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．解答：解：①如图1，延长AD交EF于H，延长FG与BA的延长线交于点M．当0≤x≤4时，y=6×4﹣×2•x﹣（6﹣x）•x﹣×（4﹣x+2）×6=x2﹣x+6=（x﹣1）2+，此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且顶点坐标是（1，）．故C、D选项错误；②点Q在GF上时，4＜x≤6，BP=x，MQ=6+4﹣x=10﹣x，△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ，=（x+10﹣x）×4﹣•2•x﹣（10﹣x）•2，=10，综上所述，y=，故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据点Q运动时间和位置，分点Q在CE﹣EF、GF上两种情况，利用割补法求得△APQ的面积，从而得到函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．B．25π﹣24C．25π﹣12D．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质．分析：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可．解答：解：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，∴AD⊥BC，∴BD=DC=BC=4，∵AB=AC=5，∴AD=3，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积=π×（）2﹣×8×3=π﹣12．故选：D．点评：本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）13．函数中自变量x的取值范围是x≥2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．14．分解因式：a3﹣4a2+4a=a（a﹣2）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．解答：解：a3﹣4a2+4a，=a（a2﹣4a+4），=a（a﹣2）2．故答案为：a（a﹣2）2．点评：本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．15．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，且两圆的圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相交，则t的取值范围为0＜t＜6．考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先求得方程的两根，然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定t的取值范围即可．解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，∴解方程得两圆的半径分别为3和5，∵相交两圆的圆心距O1O2=t+2，∴5﹣3＜t+2＜5+3解得：0＜t＜6，故答案为：0＜t＜6点评：本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系，如果设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．16．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A7的坐标为（5，4）；若点A n的坐标为（2014，2013），则n=4025．考点：规律型：点的坐标．分析：根据青蛙在点A（1，0）的变化情况，得出其中的规律，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，从而求出点A7的坐标，再根据点A n的坐标为（2014，2013）在第一象限，以第一次的结果为基础，设为m，求出m的值，即可得出答案．解答：解：∵青蛙在点A（1，0）处，∴第一次在点（2，1），第二次在点（0，﹣1），第三次在点（3，2），第四次在点（﹣1，﹣2），第五次在点（4，3），第六次在点（﹣2，﹣3），从上可以看出除去一二两次，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，∴A7（5，4），∵点A n的坐标为（2014，2013），在第一象限，若以第一次的结果为基础，设置为m，An（2+m÷2，1+m÷2），2+m÷2=2014，m=4024，n=m+1=4024+1=4025．故答案为：（5，4，），4025．点评：本题考查了点的坐标，用到的知识点是点的移动问题，解题的关键是通过观察，得出其中的规律奇数次横纵坐标每次加一，偶数则两个每次减一．17．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为．考点：切线的性质．专题：压轴题．分析：连接OA，过A作AD垂直于C，由PA为圆O的切线，得到PA与AO垂直，在直角三角形AOP中利用勾股定理求出OP的长，利用面积法求出AD的长，在直角三角形APD 中，利用勾股定理求出PD的长，由CP﹣PD求出DC的长，在直角三角形ADC中，利用勾股定理即可求出AC的长．解答：解：连接OA，过A作AD⊥CP，∵PA为圆O的切线，∴PA⊥OA，在Rt△AOP中，OA=3，PA=4，根据勾股定理得：OP=5，∵S△AOP=AP•AO=OP•AD，∴AD===，根据勾股定理得：PD==，∴CD=PC﹣PD=8﹣=，则根据勾股定理得：AC==．故答案为：点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．18．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④，其中结论正确的是①②④．考点：直角梯形；全等三角形的判定；等边三角形的判定．专题：压轴题．分析：△AED与△ABC是等腰直角三角形，根据这个条件就可求得：△ACD≌△ACE的条件，就可进行判断．解答：解：①∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，又∵∠BAD=90°，∴∠BAC=∠DAC，又AD=AE，AC=AC，∴△ACD≌△ACE；故①正确；②同理∠AED=45°，∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，∴∠DEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∵ACD≌△ACE，∴CD=CE，∴△CDE为等边三角形．故②正确．③∵∠EAC=∠DAC，AD=AE，AH=AH，∴△AEH≌△ADH，∴∠CHE=90°，∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°∴EC=2EH∵∠ECB=15°，∴EC≠4EB，∴=2不成立；④作EC的中垂线交BC于点F，连接EF，则EF=FC，∴∠FEC=∠BCE=15°，∴∠BFE=30°，设BE=a，则EF=FC=2a，在直角△BEF中，BF=a，∴BC=a+2a=（2+）a，∴S△BEC=BE•BC=a2；在直角△BEC中，EC==2a，∵△CDE为等边三角形，∴S△ECD==（2+）=（3+2）a2，EH=a，HC=EC=a，又∵△AED是等腰直角三角形，AH是高，∴AH=EH=a，∴S△EHC=a2，∴====．故④正确；故答案为：①②④．点评：认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1．（2）先化简，后计算：（÷）•，其中a=﹣3．考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）利用零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值求解即可，（2）先化简，再把a=﹣3代入求值即可．解答：解：（1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1=2+1﹣2×+，=+．（2）（÷）•=××，=，当a=﹣3时，原式==．点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值．20．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表年份年增长率（精确到1%）2009年12%2010年2011年22%2012年24%请根据以上信息解答下列问题：（1）北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是17%；（结果精确到1%）（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）（3）如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到2015年．（填写年份）考点：条形统计图；统计表．分析：（1）先用2010年的年收入减去2009年的年收入，得到2010年比2009年增加的年收入，再除以2009年的年收入即可；（2）设2011年的年收入为x亿元，根据表格中2011年的年增长率是22%，列出方程，解方程即可；（3）设从2012年以后，再过y年，能够使经营年收入不低于2008年的4倍，列出不等式26.9（1+30%）y≥13.6×4，解不等式即可．解答：解：（1）∵2010年的年收入为17.8亿元，2009年的年收入为15.2亿元，∴2010年比2009年增加的年收入为：17.8﹣15.2=2.6亿元，∴2010年农业观光园经营年收入的年增长率是：×100%≈17%．故答案为17%；（2）设2011年的年收入为x亿元，由题意，得=22%，解得x≈21.7．补全统计图如下：（3）设从2012年以后，再过y年，能够使经营年收入不低于2008年的4倍，由题意，得26.9（1+30%）y≥13.6×4，解得y≈3，2012+3=2015．即若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到2015年．故答案为2015．点评：本题考查的是条形统计图与统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．21．如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连结BO、CO，延长AO交BC于点D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90°，AB=AC，再根据OB=OC，可知直线OA是线段BC的垂直平分线，故AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中根据AD=BD=BC，可得出BD=AD，再根据AO=1可求出OD的长，再根据勾股定理可得出OB的长．解答：解：连结BO、CO，延长AO交BC于D．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC∵O是圆心，∴OB=OC，∴直线OA是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中，AD=BD=BC，∵BC=8，∴BD=AD=4，∵AO=1，∴OD=BD﹣AO=3，∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB===5．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．22．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）设件数为x，则销售单价为3000﹣10（x﹣10）元，根据销售单价恰好为2500元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价﹣成本单价）×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤60，x＞60三种情况列出函数关系式．解答：解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2500元，依题意得3000﹣10（x﹣10）=2500，解得x=60．答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元；（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2300）x=700x；当10＜x≤60时，y=x[3000﹣10（x﹣10）﹣2300]=﹣10x2+700x；当x＞60时，y=（2500﹣2300）x=200x；所以y=．点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB 于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图，欲证明EF与⊙O相切，只需证得OD⊥EF．（2）通过解直角△AEF可以求得AF=10．设⊙O的半径为r，由平行线分线段成比例得到=，即=，则易求AB=AC=2r=，所以EB=AB﹣AE=﹣6=．解答：（1）证明：如图，连接OD．∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵AB=AC，∴∠ACB=∠B∴∠ODC=∠B∴OD∥AB∴∠ODF=∠AEF∵EF⊥AB∴∠ODF=∠AEF=90°∴OD⊥EF∵OD是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；（2）解：由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．在Rt△AEF中，sin∠CFD==，AE=6，则AF=10．∵OD∥AB，∴=．设⊙O的半径为r，∴=，解得，r=．∴AB=AC=2r=，∴EB=AB﹣AE=﹣6=．点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．24．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m ∠ACD．（1）已知，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且，求弦CD的长；（3）当时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由．考点：圆的综合题．分析：（1）首先求出m的值，进而由∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可；（2）根据已知得出AD，BD的长，再利用△APC∽△DPB得出AC•DP=AP•DB=×2=①，PC•DP=AP•BP=×=②，同理△CPB∽△APD，得出BC•DP=BP•AD=×2=③，进而得出AC，BC与DP的关系，进而利用勾股定理得出DP的长，即可得出PC，DC的长；（3）由，AB=4，则，得出，要使CD最短，则CD⊥AB于P于是，即可得出∠POD的度数，进而得出∠BCD，∠ACD的度数，即可得出m的值．解答：解：（1）如图1，由，得m=2，连结AD、BD∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，∠ADB=90°又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD∴∠ACD=30°，∠BCD=60°；（2）如图1，连结AD、BD，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4∴AD=2，，∵，。
(2005)年江苏省昆山市高中课改实验班招生考试数学试卷-
2005年江苏省昆山市高中课改实验班招生考试试卷1①圆的半径垂直于弦 ② 圆的外切平行四边形是菱形 ③ 圆的内接平行四边形是矩形 ④ 圆内接四边形的对角互补 ⑤ 长度相等的两条弧是等弧 ⑥ 相等的圆心角所对的弧相等A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2、给出一列数：，，，，10110072511001……根据前四个数的规律，第五个数是 A ．51B ．504 C ．10013 D ．100173、把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有_____种；A ．10B ．15C ．20D ．25 4、方程x1x x 2＝－的解的情况是A ．仅有一正根B ．仅有一负根C ．有一正根一负根D ．无实根 5、已知两点A （3，2）和B （1，－2），点P 在y 轴上且使AP ＋BP 最短，则点P 的坐标是 A ．（0，21-） B ．（0，611） C ．（0，－1） D ． （0，41-）6、一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有____条； A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、某农场主有一块均匀种植的三角形草地，他把草地分成东、南、西、北4块如图（1），经过统计得出，在西边草地可牧5只羊，南边草地可牧10只羊，东边草地可牧8只羊，则北边草地可牧______只羊； A ．13 B ．18 C ．22 D ．238、某同学为画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，先列一个表格，当x 值等间隔增加时，函数值依次为－2，2，15，34，62，98，142，194，后来发现有一个值写错了，则这个数是A ．2B ．15C ．62D ．142东南 西北A BC(1)二、填空题：（每小题5分，共40分）9、一张纸片，第一次将它撕成4小片，第二次将其中的一张又撕成4小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的4片，则第n 次撕后，共有____________张；10、已知四条直线：y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3，x ＝1所围成的四边形面积是12，则k 的值是_______________； 11、如图（2），由九个单位正方形组成，其中与△A 2EB 4全等的三角形有_________个； 12、在⊙O 中，半径R ＝1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BAC的度数为__________；13、将3种作物种植在如图（3）所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有__________种；14、若方程x 2－4∣x ∣＋5＝m 有4个互不相等的实数根，则m 应满足_________________；15、如图（4）在△ABC 中，D 为BC 上的一点，E 为AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于点F ，已知a1BCBD ＝，b1ADAE＝（a ，b 为不小于2的整数），则ACAF 的值是____；16、某人从金坛市出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛；已知各市之间的路费如下表所示，请你为他设计一条路费最省的路线（单位：元）三、解答题：（48分） 17、（8分）（1）先后掷两枚普通的正方形骰子，则 ①向上的点数之和是5的概率是多少？ ②向上的点数之和为多少的概率最大？B 4C 44 1234(2)A CDEF(4)（2）8本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取2本，取出的书中有数学书的概率为多少？18、（10分）如图（5），抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，且当x＝0和x＝－2时，y的值相等，直线y＝3x－1与这条抛物线相交于两点，其中一点的纵坐标为5，另一点是这条抛物线的顶点D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）M为线段AD上一点，过M点向x轴作垂线，垂足为N，若点M在线段AD上运动（不与A、D重合），设N点的坐标是（t，0），四边形MNBC的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？（3）在线段AD上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．x(5)19、（10分）如图（6），在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝6，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，（1）求⊙O 的半径；（2）如果⊙O ′与AB 、AC 相切，那么当⊙O ′的半径r 满足什么条件时，⊙O ′与直线相交？(6)F B20、（10分）某单位进行旧房改造，现想用一边长为a米的旧墙及可以建成24米长的墙的建筑材料来改造三间房屋．如图（7）所示：它们的平面图是一排大小相等的长方形；(1)如果设该房的宽AB是x米，则该房的总面积S平方米与x有怎样的函数关系式？（2请你计算一下，如果该房的总面积为32平方米，应如何安排该房的长BC和宽AB的长度？又旧墙的长度是否会对该房的长度有影响？怎样影响？（3）为了让可用面积更大，在充分利用现有资源的情况下，32平方米是否为最大面(7)21、(10分)先阅读短文，再回答短文后面的问题．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．如图（8），建立直角坐标系xoy ，使x 轴经过点F 且垂直于直线l ，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合．设∣KF ∣＝p （p ＞0），那么焦点F 的坐标为（2p ，0），准线l 的方程为x ＝－2p ．设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ，由抛物线的定义，抛物线就是满足∣MF ∣＝d 的点M 的轨迹．∵∣MF ∣＝22y2p x ＋－⎪⎭⎫ ⎝⎛ d ＝∣x ＋2p ∣ ∴22y2p x ＋－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝∣x ＋2p ∣将上式两边平方并化简，得y 2＝2px （p ＞0） ①方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是（2p ，0），它的准线方程是x ＝－2p ．一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py ．这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：解答下列问题：（1）①已知抛物线的标准方程是y2＝6x ，则它的焦点坐标是_______________，准线方程是___________________．②已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），则它的标准方程是_________________．（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．（3）直线y＝x＋b经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．。
江苏省昆山中学实验班2021届高三10月份周测(2020.10.24)数学试题 Word版含答案
2021届昆中实验班高三数学检测 2020.10.24（满分128分，时间90分钟）一、单项选择题：（本题共8小题，每题5分） 1．已知直线l 过点(3,0)P ，圆22:40C x y x +-=，则（ ▲ ） A ．l C 与相交B ．lC 与相切C ．l C 与相离D ．l C 与的位置关系不确定2．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ▲ ）A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S3．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ▲ ） A ．B ．1C ．D ．4．函数在上的图象大致为（ ▲ ） A. B. C. D.5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ▲ ） A ．B ．C ．D ． 6. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( ▲ ) A. 2B.C. 4D.7. 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ▲ ）A. ，B. ，C. ，D. ，44()sin cos f x x x =+8π()g x ()y g x ω=[,]124ππ-ω123223sin ()x xx xf x e e--=+[],ππ-ABC ∆13AN NC =P BN 211AP mAB AC =+m 911511311211a b y x a =-()ln y x b =+11a b+4222()f x ()()f x f x '<x ∈R ()()10f ef >()()202020200f ef <()()10f ef >2(1)(1)f e f >-()()10f ef <2(1)(1)f e f <-()()10f ef >()()202020200f ef >8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（ ▲ ） A. 992B. 1022C. 1007D. 1037二、多项选择题：（本题共4小题，每题5分，每题全选对得5分，部分选对得3分，选错得0分） 9．下列命题中，是真命题的是（ ▲ ）A ．已知非零向量，若则B ．若则C ．在中，“”是“”的充要条件D ．若定义在R 上的函数是奇函数，则也是奇函数10.设有一组圆()()22:121k C x k y k -++-=，下列说法正确的是（ ▲ ） A.这组圆的半径均为1B.直线220x y -+=平分所有的圆k CC.存在无穷多条直线l 被所有的圆k C 截得的弦长相等D.存在一个圆k C 与x 轴和y 轴均相切11．已知，，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ▲ ）A ．B ．C ．的周长为D ．12. 已知函数()1e x xf x =+，2(), 0()2, 0f x xg x x x a x ≤⎧=⎨-+>⎩，且(1)0g =，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是（ ▲ ）A ．当t ＜﹣2时，方程(())10g g x t --=没有相异实根B ．当11e-+＜t ＜0或t ＝﹣2时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根 C ．当1＜t ＜11e +时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根D ．当﹣1＜t ＜11e -+或0＜t ≤1或t ＝11e+时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根{}n a ,a b ,a b a b +=-a b ⊥():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤ABC ∆sin cos sin cos A A B B +=+A B =()y f x =()()y ff x =a b c ABC A B C ()sin 3sin b A b c B =-1cos 3A =3a c b +=tan A =ABC 4c ABC 2三、填空题：（本题共4小题，每题5分） 13.▲ .14. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得（单位：千米），测得、两点的距离为 ▲.15. 已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若a 1＝b 1＝d ，且是正整数，则= ▲ .16. 已知()2,0b c k k b c ==>⋅=，若存在实数λ及单位向量a ，使得不等式： 1()(1)()12a b b c c b c λλ-+-++--≤ 成立， 则实数k 的最大值为 ▲ . 四、解答题：（本题共4小题，每题12分） 17. (本小题满分12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， ()cos cos sin C a B b A c C += ②sinsin 2A Ba c A += ③()22sin sin sin sin sin B A C B A -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sin A B ⋅的最大值.1cos 201sin10tan 52sin 20tan 5+⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭A B D C E D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE A B {}n a d {}n b q 124123a a ab b b ++++q18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：222x y r +=(r ＞0)，点M (12-，32-)，N (﹣1，﹣3)，点A 在圆O 上，ANAM= （1）求圆O 的方程；（2）直线x ＝2与圆O 交于E ，F 两点（E 点在x 轴上方），点P (m ，n )(0＜m ＜12)是抛物线22y x =上的动点，点Q 为△PEF 的外心，求线段OQ 长度的最大值，并求出当线段OQ 长度最大时，△PEF 外接圆的标准方程．20. （本小题满分12分）已知函数()3423223+-=x x x f ，()()R x ax e x g x∈-=．（1）若()x f 在区间[]1,5--a a 上的最大值为34，求实数a 的取值范围； （2）设()()123+-=x x f x h ，()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=x g x h x g x g x h x h x F ,,，记n x x x ,,21为()x F 从小到大的零点，当3e a ≥时，讨论()x F 的零点个数及大小.2021届昆中实验班高三数学检测 2020.10.24（参考答案）一、单项选择题：（本题共8小题，每题5分）二、多项选择题：（本题共4小题，每题5分，每题全选对得5分，部分选对得3分，选错得0分）三、填空题：（本题共4小题，每题5分）13.2 14. 3千米 15. 12 16. 5四、解答题：（本题共4小题，每题12分）19．20.。
2020年昆山市中考提前招生提前招生数学模拟试卷
12020年昆山市中考提前招生提前招生数学模拟试卷(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 姓名__________得分____________一､选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.A .B . - aC . aD . a 22.分式2A . -3.A .4.A . 405.在两个袋内,分别装着写有 1､2､3､4 四个数字的 4 张卡片,今从每个袋中各任取一张卡片,则所取A .6.为 AE A .7.路程 ()28.若直角坐标系内两点 ､满足条件①､都在函数 的图象上②､关于原点对称,则称点对(P ,Q )是 函数 y 的一个 “ 友 好 点 对 ”(点对 (P ,Q ) 与 (Q ,P ) 看 作 同 一 个”友 好 点对 ”) ｡ 已 知 函 数,则函数 22410102x x x y x x ⎧++≤⎪=⎨⎪⎩的“友好点对”有( )个 A.0 B.1 C. 2 D.3二、填空题(每题 5 分,共 50 分)9.10< k+ 1, k 为整数, 则 k =11.处,12.｡13.过 314.15.如图,AB 是半圆 O 的直径,四边形 CDMN 和 DEFG 都是正方形,其中 C ,D ,E 在 AB 上,F ,N 在半圆上｡若 AB =10,则正方形 CDMN 的面积与正方形 DEFG 的面积之和是16.如图,CD 为直角 ΔABC 斜边 AB 上的高,BC 长度为 1,DE ⊥AC ｡设 ΔADE ,ΔCDB ,ΔABC 的周长分别是p 1 , p 2 , p ｡当12p p p+取最大值时,AB= .317.如图放置的等腰直角 ∆ ABC 薄片( ∠ACB = 900, AC = 2 )沿 x 轴滚动,点 A 的运动轨迹曲线与 x 轴有交 点,则在两个相邻交点间点 A 的轨迹曲线与 x 轴围成图形面积为18. 如图是一个数表,第 1 行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻 的两个数的和写在这两数正中间的下方,得到下一行,数表从上到下与从 左到右均为无限项,则这个数表中的第 11 行第 7 个数为 (用具体数字作答)三､19. ( (1)(2)动点 AB 于点M,,并写出(3)设在为 平行四边形?问对于所求的 t 值,平行四边形 BCMN 能否为菱形?请说明理由.420. (本小题满分12 分)函数 ()f x ,若自变量 x 取值范围内存在 x 0 ,使 f (x 0 ) = x 0 成立,则称以 ( x 0 , x 0 ) 为 坐标的点为函数 ()f x 图像上的不动点｡( f ． (． x ．)． 的．． 定． 义见．． 第．12．．题．) (1)若函数3()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点,求 a,b 应满足的条件; (2)在(1)的条件下,若 a=2,直线 l : (1)1y a x b =-+-与 y 轴､x 轴分别相交于 A ､B 两点,在by x=的图象上 取一点 P(P 点的横坐标大于 2),过 P 作 PQ ⊥x 轴,垂足是 Q,若四边形 ABQP 的面积等于 2,求 P 点坐标(3)定义在实数集上的函数f ( x) ,对任意的 x 有()()f x fx -=-恒成立｡下述命题“若函数 ()f x 的图像上 存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,给予证明;若不正确,举反例说明｡521. (本小题满分 12 分)已知圆 O 圆心为坐标原点,半径为43 ,直线l : 4)3y x =+交 x 轴负半轴于 A 点,交y 轴正半轴于 B 点(1)求 ∠BAO(2)设圆 O 与 x 轴的两交点是 F 1 , F 2 ,若从 F 1 发出的光线经 l 上的点 M 反射后过点 F 2 ,求光线从 F 1 射出经反 射到 F 2 经过的路程(3)点P 是 x 轴负半轴上一点,从点 P 发出的光线经 l 反射后与圆 O 相切.若光线从射出经反射到相切经过 的路程最短,求点 P 的坐标622. (本小题满分 12 分)在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1 根),且不少于七层, (Ⅰ)共有几种不同的方案?(Ⅱ)已知每根圆钢的直径为10cm ,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4m ,则选择哪个方案,最能节省堆 放场地?23. (本小题满分 12分)试求出所有正整数 a 使得关于 x 的二次方程 ax 2+ 2(2a -1)x + 4(a - 3) = 0 至少有一个整数根.。
高一实验班招生面试数学试卷(解析版) (2)
高一试验班招生面试试题数学试卷说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知113a b=+,则2523a ab bb ab a --=+-( )A ．116-B ．138-C ．156D ．1372．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +5（m ﹣5）＝0的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2＝7，则m 的值是（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．74． 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ） A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关5．已知m,n 是正整数，并且2223,120mn m n m n mn ++=+=，则22m n +=（ ） A ．209B ．49C ．93D ．346．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知非零实数a,b,c 满足a 21+4a 2=b 4，b 21+10b 2=c 10,c 21+16c 2=a 2则a b c ++=( ) A ．1312B ．1912C ．1710D ．19108．如图，在x 轴正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1（n 为正整数），过点A 1、A 2、A 3、…、A n 分别作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ，连接P 1P 2、P 2P 3、…、P n ﹣1P n ，过点P 2、P 3、…、P n 分别向P 1A 1、P 2A 2、…、P n ﹣1A n ﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）A ．B ．C ．D ．第3页（/共4页） 第4页/（共34页）知人善教 培养品质 引发成长动力二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2+2xy +y 2+x +y ﹣12＝0，则x （1﹣y ）的最小值为 ．10． 将正整数对作如下分组，第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}…则第30组第16个数对为 ．11．因式分解:2()4()()c a b c a b ----= ．12．若实数a 满足a 3＜a ＜a 2，则不等式x +a ＞1﹣ax 的解集为 ．13．设有正数11a =，12n n a a +=+（n 是正整数），60a +++=+ ．14．一枚均匀的普通骰子被掷三次，若前两次所掷点数之和等于第三次的点数，则掷得的点数至少有一次是2的概率是 ．15．若0x y z ++=,0xyz ≠,则111111()()()3x y z y z z x x y++++++= ．16．规定运算*a b 满足：*1(0),*(*)(*)a a a a b c a b c =≠=,其中,0b c ≠,,,a b c 为实数，则方程2*250x x =的解x= ．三．解答题（共5小题，17~18题9分，19题10分，20~21题12分）17．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且＝，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：△ACD 是等边三角形；（2）连接OE ，若⊙O 的半径为2，求OE 的值．18．在直角坐标系中，有以A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）为顶点的正方形，设它在折线y＝|x ﹣a |+a 上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象．19．已知平面直角坐标系中，B（﹣3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；（2）如图②，若CG＝2BC，求OA的长；（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD＝1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，2OGOF的值不是否改变？请说明理由．20．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？21．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1．（1）试证明c＞0；（2）证明b2＞2（b+2c）；（3）对于二次函数y＝x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．第7页（/共4页）第8页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷参考答案说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
2014年XXX高一新生实验班选拔考试数学试卷(含答案)
2014年XXX高一新生实验班选拔考试数学试卷(含答案)2014年XXX高一新生实验班选拔考试数学试卷注意：试卷共有三大题16小题，满分150分，考试时间60分钟。
请把解答写在答题卷的对应题次上，做在试题卷上无效。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得分）1.（7分）设，则代数式a2+2a-12的值为（）A。
-6 B。
24 C。
0 D。
122.（7分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）A。
1 B。
2 C。
3 D。
43.（7分）在等边△ABC所在平面内有一点P，使得△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）A。
1个 B。
7个 C。
1个 D。
无数个4.（7分）若x>1，y>1，且满足，则x+y的值为（）A。
4 B。
5 C。
6 D。
75.（7分）设，则4S的整数部分等于（）A。
4 B。
2 C。
3 D。
5二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.（7分）若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是_________。
7.（7分）若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是_________。
8.（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、2、2、3、3、4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、3、4、5、6、8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。
9.（7分）如图，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B 两点分别作y轴的平行线交双曲线于C、D两点。
若BD=2AC，则4OC2-OD2的值为_________。
高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题参考答案及评分标准
上海尚德实验学校杨晓编录 Email:qdyangxiao@上海市2003年高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题参考答案及评分标准一、填空题1、-8；2、3447； 3、7841； 4、9.43； 5、8； 6、7； 7、65 8、144； 9、1； 10、32 二、解答题11、在p 1，p 2，p 3……中，当n 》2时，p n 和p n+1都是奇质数，则()121++n n p p 是正整数， (6分)由p n <p n+1可得()1121++<+<n n n n p p p p ，而p n 和p n+1是相继的两个质数，于是()121++n n p p 为合数，它可以表示为两个或两个以上不小于2的正整数的乘积，所以p n +p n+1=2⨯()121++n n p p 可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数的乘积。
(14分)12、解法一：如图所示，作∠ACB 的平分线交AB 于F ，由角平分线定理可得 AF ：FB=7：4，117477AB AF =+= (4分) 则AB 的中点D 在线段AF 上，过D 作DG ∥CF 交AC于G ，过G 作GH ∥BC 交ED 的延长线于H ，连接BH ， 于是有∠DGA=∠FCA=21∠ACB ，∠DGH=∠FCB=21∠ACB ， 则∠DGA=∠DGH ，又∠AED=∠EDG+∠DGA=∠EDG+21∠ACB ，而已知∠AED=90°+21∠ACB ，则∠EDG=90°，则有Rt △EDG ≌Rt △H DG则EG=HG ，ED=HD (8分)又D 为AB 的中点，则四边形AEBH 是平行四边形，于是BH ∥AC ， 则四边形CBHG 是平行四边形，EG=HG=BC=4， (12分)()211EG -AG -AC AE -AC CE 211AG 1411AB AB AFADAC AG 11721===∴=∴===，，(16分)解法二：如图所示，过C 作CF ∥DE 交AB 于的延长线于F ，则CF 是∠ACB 的外角平分线 (4分)B上海尚德实验学校杨晓编录 Email:qdyangxiao@于是有AF2ABAF AD AC AE ==(8分)而由外角平分线定理可得;143AF 2AB 74AC BC AF BF ===，则 (14分) 所以，211AE -AC CE 23AC 143AE ====， (16分)13、如图所示，当正方形内的五个圆按图中的方式放置时， 正方形的边长a=222+，它表明当正方形的边长为 222+时，放置正方形内部的五个半径为1的圆可以满足任意两个圆至多只有一个公共点。
昆山数学高中测试题及答案
昆山数学高中测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3,-2)，向量b=(1,2)，则向量a+向量b的坐标为（）。
A. (4,0)B. (2,0)C. (2,4)D. (4,2)3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x^2+14. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为（）。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 已知双曲线的方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，该双曲线的焦点坐标为（）。
A. (±5,0)B. (±3,0)C. (0,±5)D. (0,±3)6. 以下哪个不等式是正确的？（）A. |x| > xB. |x| ≤ xC. |x| ≥ xD. |x| < x7. 已知函数f(x)=x^3-3x，求导数f'(x)的值为（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^3-3x8. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，该圆的半径为（）。
A. 3B. 2C. 1D. 59. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x10. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，根据勾股定理，该三角形为（）。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=2x+3，当x=1时，f(x)的值为______。
12. 已知向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，向量a·向量b的值为______。
13. 已知等比数列{bn}的首项b1=4，公比q=2，则b3的值为______。
2024年江苏省苏州市昆山市八校联考中考数学段测试卷及答案解析
2024年江苏省苏州市昆山市八校联考中考数学段测试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（）A．7℃B．﹣70℃C．3℃D．﹣3℃2．（3分）化简的结果是（）A．﹣2B．±2C．2D．43．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6B．2a+3a＝5a2C．（a+b）2＝a2+b2D．a2•a3＝a64．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107 5．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．65°6．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．7．（3分）已知实数x，y满足2x﹣3y＝4，并且x≥﹣1，y≤2，则x﹣y的最大值（）A．1B．C．D．38．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．10．（3分）因式分解：x3﹣16x＝．11．（3分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是．12．（3分）一个多边形的内角和与外角和的差为540°，则它的边数为．13．（3分）点B是反比例函数（x＞0）的图象上一点，将线段OB绕点O逆时针旋转90°得到线段OA，若点A在反比例函数的图象上，则k＝．14．（3分）函数的图象与直线y＝x没有交点，那么m的取值范围是．15．（3分）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，点D是边AC 上一动点，连接BD，以BD为斜边作Rt△BDE，使∠BDE＝30°，∠BED＝90°，连接CE．则△CDE面积的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．（6分）计算：．18．（6分）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）19．（8分）解不等式（组）：，并写出其整数解．20．（8分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．22．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（1，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的取值范围；（3）求△ABO的面积．23．（8分）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件．公司规定：售价不超过70元．（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？24．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC ＝45cm，（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝°；②投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）25．（8分）如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线L的表达式；（2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L′，求抛物线L′的表达式；＝2S△ABP，若存在，求出点P的坐标；（3）在抛物线L′上是否存在一点P，使得S△ABC若不存在，请说明理由．26．（8分）问题提出（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC 的度数为．问题探究（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．问题解决（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．27．（8分）定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y＝px+q和反比例函数，则二次函数y＝px2+qx﹣k为一次函数和反比例函数的“生成”函数．（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y＝﹣x+3和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数存在“生成”函数y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2015，求m的值．（3）若同时存在两组实数对坐标（x1，y1）和（x2，y2）使一次函数y＝ax+2b和反比例函数为“生成”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c＝0，设L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．（注：一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式为）2024年江苏省苏州市昆山市八校联考中考数学段测试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据温差＝最高气温﹣最低气温，列式计算．【解答】解：根据题意得：5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃）．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是解题关键．2．【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．【解答】解：＝＝2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．3．【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【解答】解：A、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故本选项符合题意；B、2a+3a＝5a，故本选项不合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；D、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式以及合并同类项，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1300000＝1.3×106，故选：C．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．6．【分析】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，∴9x＝11y；∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，∴8x+y＝10y+x﹣13．∴根据题意可列方程组．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．【分析】运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解、辨别．【解答】解：∵2x﹣3y＝2x﹣2y﹣y＝2（x﹣y）﹣y＝4，∴2（x﹣y）＝y+4，∴x﹣y＝，∵y≤2，∴x﹣y＝≤＝3，即x﹣y的最大值是3，故选：D．【点评】此题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．8．【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．【解答】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥AB交AB于点E，则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE＝x，∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝＝﹣x2+x（0＜x≤5），∴此时图象为抛物线开口方向向下；（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥BC交BC于点E，则有AB+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE＝x，∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x﹣5）×x＝x2﹣x（5＜x≤5），∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；综上，只有选项B的图象符合，故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．【分析】根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答．【解答】解：当x﹣2≠0，即x≠2时，函数y＝有意义．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．【解答】解：原式＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4）．故答案为：x（x+4）（x﹣4）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式是解决本题的关键．11．【分析】利用根与系数的关系求出另一根即可．【解答】解：∵关关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，设另一根为m，∴﹣1×m＝﹣2，解得：m＝2，则另一根为2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．【分析】需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：设这是一个n边形，则180°（n﹣2）﹣360°＝540°，解得n＝7，答：它的边数是7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，掌握外角和的度数以及内角和度数的计算公式是解题的关键．13．【分析】设B（m，n），过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，得到BE＝m，OE ＝n，根据全等三角形的性质得到AF＝BE＝m，OF＝OE＝n，再利用点A在第二象限于是得到结论．【解答】解：设B（m，n），点B是反比例函数（x＞0）图象上的一个点，∴．mn＝4，BE＝m，OE＝n，∵将线段OB绕点O逆时针旋转90°得到线段OA，∴AO＝BO．过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，∴∠AFO＝∠BEO＝90°．∵∠AOB＝90°，∠FOE＝90°，∴∠AOF+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝90°，∴∠AOF＝∠BOE．在△AOF与△BOE中，∴△AOF≌△BOE（AAS），∴AF＝BE＝m，OF＝OE＝n．∵A点在第二象限，∴A（﹣n，m），∴k＝﹣mn＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了坐标与图形变化一旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．【分析】根据函数的图象与直线y＝x没有交点，可转化为一元二次方程，根据判别式小于0得出关于m的不等式，求解即可．【解答】解：∵函数的图象与直线y＝x没有交点，∴方程＝x无解，方程整理得，x2+m﹣2＝0，∴Δ＝0﹣4（m﹣2）＜0，解得m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的应用，关键是能根据题意得出关于m的不等式．15．【分析】设对称函数上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），由点P'在函数x＝2y+3的图象上，即可求y＝x﹣．【解答】解：设对称函数上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），∵点P'在函数x＝2y+3的图象上，∴y＝x﹣．故答案为：y＝x﹣．【点评】本题考查二次函数图象的几何变换，理解函数图象的几何变换实质是点的变换是解题的关键．16．【分析】过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于M根据题意得到△ACB∽△DEB，△ADB ∽△CEB，进而得到即可解答．【解答】解：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于M，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴，∵∠BDE＝30°，∠BED＝90°，∴△ACB∽△DEB，∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC＝60°，∴，∠ABD＝∠CBE，∴，∴△ADB∽△CEB，∴，∠BAD＝∠BCE＝30°，∴AD＝2CE，∴∠ECM＝60°，∴∠CEM＝30°，∴CE＝2CM，∴，∴AD＝2CE＝4CM，∴CD＝（4﹣4CM），∴，∴△CDE面积的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+3﹣﹣3＝．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18．【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，解得：x1＝3，x2＝5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴该不等式组的整数解为0，1，2，3．【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．20．【分析】先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．【解答】解：原式＝＝＝，当时，原式＝．【点评】本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．21．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数；【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．解：（2）∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°．【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．22．【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可．（3）根据S△AOB【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），B（1，n）在反比例函数图象上，∴k2＝﹣2×1＝n，∴k2＝n＝﹣2，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，∵A（﹣2，1），B（1，﹣2）在一次函数图象上，∴，解得，∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1．（2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式k1x+b＞的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1．（3）设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，﹣1）即OC＝1，＝S△AOC+S△BOC＝＝．∴S△AOB【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．23．【分析】根据题意，可设利润为W，售价为x元．总利润＝（售价﹣成本）×数量，则有W＝（60+x﹣50）（800﹣25x）．（1）令W＝10800，解出x即可（2）利用二次函数的顶点公式即可以求出最值，即可以进行判断．【解答】解：设这次销售中获得利润为W元，售价为x元，依题意得，W＝（60+x﹣50）（800﹣25x），整理，得W＝﹣25x2+550x+8000（1）令W＝10800得10800＝﹣25x2+550x+8000，整理得，x2﹣22x+112＝0解得，x1＝8；x2＝14∵售价不超过70元．∴x2＝14（不合题意，舍去）∴此时售价为：60+8＝68元故这批产品的售价每件应提高8元．（2）由题意，W＝﹣25x2+550x+8000∵a＝﹣25＜0∴由顶点公式x＝＝＝11，∵当x＝11时，售价为60+11＝71＞70∴x≠11，∴当x＝10有最大利润，此时利润W＝﹣25×102+550×10+8000＝11000此时定价为：60+10＝70元故这批产品售价每件应定为70元．【点评】此题主要考查的是二次函数的最值问题，此题给给考生设置了一个陷进，求最值时，当x＝11，已经不符合题意中售价不能超过70．而售价是按1元增加的，所以只能取离对称轴最近的数x＝10．故在做题时要注意审题．24．【分析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD求得结果；（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，解直角三角形求出CM，再根据线段的和差关系求得投影探头的端点D到桌面OE的距离．【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABF＝40sin70°≈37.6（cm），则投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD≈37.6+6.4﹣8＝36（cm）；（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，如图3，∵∠MBA＝70°，∠ABC＝30°，∴∠MBC＝40°，在Rt△BMC中，MC＝BC•sin∠MBC＝45sin40°≈28.8（cm），则投影探头的端点D到桌面OE的距离≈CD+36﹣MC﹣CD≈36﹣28.8＝7.2（cm）．故投影探头的端点D到桌面OE的距离约为7.2cm．故答案为：160；36cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．25．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求解；（2）根据抛物线L与抛物线为L′关于原点对称，求出抛物线L′的表达式即可；（3）设点P坐标为（m，m2+3m﹣4），根据S△ABC＝2S△ABP，列出关于m的方程，解方程求出m即可．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，则，解得，∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线L'与L关于原点对称，∴抛物线L'的解析式为y＝x2+3x﹣4；（3）存在，理由：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4），＝AB•OC＝×5×4＝10，∴S△ABC＝2S△ABP，∵S△ABC＝5，∴S△ABP设点P坐标为（m，m2+3m﹣4），∴S ABP＝AB•|y P|＝5，∴|m2+3m﹣4|＝1，解得m＝或m＝，∴P（，2）或（，﹣2）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．26．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据等腰三角形的三线合一得到∠PAC＝30°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PF，根据等边三角形的性质得到∠PAF＝60°，进而求出∠BAP＝15°，根据要求判断即可．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的中线，∴∠PAC＝∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75°；（2）如图2，连接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四边形PBCA为平行四边形，∵CA＝CB，∴平行四边形PBCA为菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE•tan∠ABC＝，＝S△ABC﹣S△OBE∴S四边形OECA＝×6×3﹣×3×＝；（3）符合要求，理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四边形FDCA为正方形，∵PE是CD的垂直平分线，∴PE是AF的垂直平分线，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF为等边三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，得出△PAF为等边三角形是解题的关键．27．【分析】（1）只需将y＝﹣x+3与y＝组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；（2）根据题意得，解得．然后根据t＜n＜8m求出n的取值范围，进而求出m的取值范围，就可求出整数m的值；（3）由a＞b＞c，a+b+c＝0可得a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，即可得到（2b）2﹣4ac＞0，﹣2＜＜﹣，由题可得x1+x2＝﹣，x1•x2＝，从而得到L＝＝＝＝2，利用二次函数的增减性并结合﹣2＜＜﹣即可得到L的取值范围．【解答】解：（1）联立，解得或．则一次函数y＝﹣x+3和反比例函数y＝存在“生成”函数，它们的“生成”函数为y＝﹣x2+3x﹣2，实数对坐标为（1，2），（2，1）；（2）根据题意得：，解得：．∵t＜n＜8m，∴，解得6＜n＜24，∴9＜n+3＜27，∴1＜＜3，∴1＜m＜3．∵m是整数，∴m＝2；（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，∴（2b）2﹣4ac＞0，﹣2＜＜﹣，∴方程ax2+2bx+c＝0有两个不相等的实根．由题意可知：x1、x2是方程ax2+2bx+c＝0的两个不等实根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴L ＝＝＝＝＝＝，∵﹣2＜＜﹣，∴＜L ＜．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查解方程组、解不等式组、根与系数的关系、完全平方公式等知识，有一定的难度，运用配方法及二次函数的增减性是解决第（3）小题的关键。
昆山高中实验班招生考试数学试卷无答案
昆⼭⾼中实验班招⽣考试数学试卷⽆答案2006年昆⼭⾼中实验班招⽣考试数学试卷⽆答案⼀、选择题：（每题4分，共32分）1、如图，A 是半圆上⼀个三等分点，B 是AN 的中点，P 是直径MN 上⼀动点．若⊙O 的半径为1，则PA ＋PB 的最⼩值为 A ．1 B ．22C ．2D ．3－1 2、计算3的正整数次幂：31＝3，32＝9，33＝27，34＝ 81，35＝243，……，归纳各计算结果中的个位数字规律，可得32006的个位数字是A ．1B ．3C ．7D ．93、如图，在矩形ABCD 中，AE 、AF 三等分∠BAD ，若BE ＝2，CF ＝1，则最接近矩形⾯积的数据是A ．10B ．15C ．18D ．204、有编号为1，2，3，4，……，的若⼲盆花按如图所⽰摆放，花盆中的花根据编号由⼩到⼤的顺序按⾚、橙、黄、绿、青、蓝、紫依次循环排列，则第10⾏从左边数第6盆花的颜⾊为 A ．橙⾊ B ．蓝⾊ C ．绿⾊ D ．青⾊5、如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，在MN 上是否存在点D ，使A B ·CD ＝ A C ·BC A ．不存在 B ．存在⼀点 C ．存在⼆点 D ．存在⽆数点6、设关于x 的⽅程ax 2＋（a ＋2）x ＋9a ＝0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是 A ．－72＜a ＜52 B ．a ＞52 C ．a ＜－72D ．－112＜a ＜07、某⼯艺品⼚要从⼀块矩形的⽯板中截断的⽅式割出⼀块与原矩形各边分别平⾏的较⼩的矩形⽯板（如右图），“截断切割”是指每次割沿⼀条直线将⽯板切割成两块．设切割的成本与切割长度成正⽐，那么，共有多少种CDF10987654321……CBANM成本不同的切割顺序？A ．12B ．14C ．18D ．248、观察图形，寻找规律，在“？”填上数字A ．128B ．136C ．162D ．188⼆、填空题（每⼩题5分，共40分）9、⽔平放置的正⽅体六个⾯分别⽤“前⾯、后⾯、上⾯、下⾯、左⾯、右⾯”表⽰，如图是⼀个正⽅体的平⾯展开图，若图中的“快”表⽰正⽅体的前⾯，“乐”表⽰右⾯，“节”表⽰下⾯，则“祝”、“你”、“春”分别表⽰正⽅体的___________________________． 10、⽤“○×”、“＊”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ○×b ＝a ，a ＊b ＝b ，例如3○×2＝3，3＊2＝2，则（2006○×2005）＊（2004○×2003）＝__________． 11、如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝____________度．12、某商店出售同⼀种规格的旅⾏箱（除颜⾊有红、黄区别外，其余都⼀样），如果售出红⾊旅⾏箱与黄⾊旅⾏箱的机会均等．某天该商店共出售该旅⾏箱5只，那么售出旅⾏箱的颜⾊“三黄两红”与“三红两黄”的机会___________（只需填“⼀样”或“不⼀样”）．13、在△ABC 中，D 是BC 上⼀点，已知AC ＝5，AD ＝6，BD ＝10，CD ＝5，那么△ABC 的⾯积是_______________．14、若⽅程∣x 2＋ax ∣＝4只有3个不相等的实数根，则a ＝____________．15、某学⽣为了描点作出函数y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的图象，取⾃变量的7个值，x 1＜x 2＜……＜x 7，且x 2－x 1＝x 3－x 2＝……＝但由于粗⼼算错了其中⼀个y 值，请指出算错的是___________．（从上述数据中选⼀个填⼊）884826148422乐快祝节春你A B C D16、把⼀个直径30厘⽶的精密球体，装进⼀个棱长为32厘⽶的正⽅体箱⼦⾥，为了使这个精密球体在运输过程中不致晃动，能保持绝对稳定，需要在8个箱⾓处各放⼀个⼤⼩相同的⼩球．则这种⼩球的半径应该为__________厘⽶．三、解答题：（本题共5⼩题，共计48分）17、（本题8分）如图，AB是半圆O的直径，点M与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．（1）当∠QPA＝60°时，请你对△QPC的形状作出猜想，并给予证明．（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是__________三⾓形．（3）由（1）、（2）得出的结论，请进⼀步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP⼀定是__________三⾓形．18、（本题10分）《红楼梦》⾥有这样⼀⾸诗：“阶下⼉童仰⾯时，清明妆点最堪宜，游丝⼀断浑⽆⼒，莫向东风怨别离．”这⾸诗⽣动地描绘了清明时节⼈们放风筝时的情景．假设⼀个扇形风筝的周长（l）已经确定，要使它的⾯积最⼤，那么这个风筝的具体形状该如何设计？19、（本题10分）如图，⽤同样规格⿊、⽩两⾊的正⽅形瓷砖铺设矩形地⾯，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在地n个图中，每⾏共有块瓷砖；每⼀竖列共有块瓷砖（均⽤含n的代数式表⽰）．（2）设铺地⾯⽤瓷砖的总数为y，请写出y与（1）中n的函数关系式（不要求写⾃变量的取值范围）．（3）按上述铺设⽅案，铺⼀块这样的矩形地⾯共⽤了506块瓷砖，若⿊瓷砖每块4元，⽩瓷砖每块3元，问共需多少元钱购买瓷砖？（4）是否存在⿊瓷砖与⽩瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明理由．20、（本题10分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0）（A 在B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ．如果x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－6，且△ABC的⾯积为215．（1）求此抛物线的解析式．（2）如果P 是线段AC 上⼀个动点（不与A 、C 重合），过点P 作直线y ＝m （m 为常数），与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为⼀腰的△PQR 为等腰三⾓形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 21、（本题10）将10盒⾹烟⼀次性包装成长⽅体或正⽅体，且盒与盒之间紧密接触．若设⼀盒⾹烟的长、宽和厚分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），则（1）共有多少种不同的包装⽅式？（只考虑包装后的形状）（2）请分别写出各种包装⽅式表⾯积的代数式．（3）哪⼀种包装⽅式的表⾯积最⼩？若设a ＝88mm ，b ＝58mm ，c ＝22mm ，那么最⼩表⾯积为多少？n ＝1 n ＝2 n ＝3。
昆山市高中实验班招生考试试卷——数学
昆山市高中实验班招生考试试卷——数学一、选择题：（每题4分）1、下列说法中，正确的个数有 （ ）①等边三角形有三条对称轴； ②在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形； ③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22； ④一个三角形中至少有两个锐角；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2、要使（x －1）（x+3）（x －4）（x －8）+m 为完全平方式，则m 等于 （ ） A. 12 B. 24 C. 98 D. 1963、如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AN 平分∠A ，且AN ⊥BN 于点N ，AB ＝10，AC ＝16，则MN 等于 （ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.54、已知：m ＞0，化简根式3mn -所得结果是 （ ） A. mn n B. mn n - C. mn n - D. mn n --5、如果一条直线l 经过不同的三点A （a ，b ），B （b ，a ），C （a-b ，b-a ），那么，直线l 经过( ) A. 第二、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限6、如图，矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝x ，AD ＝BC ＝y ，把它折叠起来，使顶点A 与C 重合，则折痕PQ 的长度为 （ ）A. 22y x xy+ B.22y x y x + C.222y x xy+ D. 222y x y x + 7、已知函数y ＝ax 2+bx+c取值范围是 （ ）A. －2＜a+b+c ＜0B. －2＜a+b+c ＜2C. 0＜a+b+c ＜2D. a+b+c ＜28、如图，四条线段的长分别为9，5，x 、1（其中x 为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段，则x 可取值的个数为 （ ） A. 1个 B. 3个 C. 6个 D. 9个二、填空 （每题5分）NMCBAxA BCD O9、若10x ＝3，10y＝31，则x+y ＝___________； 10、已知a+b ＝5，ab ＝－14，则a 3+a 2b+ab 2+b 3＝______________；11、已知（x 2－x+1）6＝a 12x 12+a 11x 11+……+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 12+a 10+a 8+……+a 2+a 0＝_____________；12、如果α、β是方程x 2+2（k+3）x+k 2+3＝0的两实根，则（α－1）2+（β－1）2的最小值是_______________________； 13、如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，过点C 作圆的切线交AB 的延长线于点D ，若OD ＝43cm ，那么弦AC 的长是_______________________cm ；14、如图，AC 是△ABC 的外接圆的直径，AB ＝4，AC ＝42，P 是BC 上任一点，过点P 作PD ∥AB 交AC 于点D ，设BP ＝x ，则△APD 的面积y 与x 之间的函数关系式为___________________；15、如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点坐标B （17，6），C （5，6），直线y ＝21x+b 恰好将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，那么b ＝__________________； 16、如图是某人出差从A 城出发到B 城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市之间的连线上（单位：时），若这个人租用一辆小汽车出行，且汽车行驶的平均速度为80千米/时，而汽车行驶1千米需费用1.2元，请写出这个人从A 城出发到B 城的最短路线的走法：__________________，这时，他所需的最小费用为________________________元；三、解答题17、（本题8分）已知抛物线y ＝2x 2-4mx+m 2（1） 求证：当m 为非零实数时，抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2） 若抛物线与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ＝42，求m 的值；A 第13题图第14题图 第15题图 第18题图18171514131210976511HG FE O D C B A18、（本题8分）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1） 当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？（2） 当点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ，为什么？19、（本题10分）新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿元资金投资发展项目，现有6个项目可供选择（每个项目或者全部投资，或者不投资）各项目所需金额和预计年收益如下表 20、（本题10分）如图，⊙H 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心H 的坐标是（1，－1），半径是5.（1） 求经过点D 的切线的解析式；（2） 问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说A21、（本题12分）阅读并解答看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
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昆山市高中实验班招生考试试卷——数学
一、选择题：（每题4分）
1、下列说法中，正确的个数有 （ ）
①等边三角形有三条对称轴； ②在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2
，则△ABC 不是直角三角形； ③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22； ④一个三角形中至少有两个锐角；
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 2、要使（x －1）（x+3）（x －4）（x －8）+m 为完全平方式，则m 等于 （ ） A. 12 B. 24 C. 98 D. 196
3、如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AN 平分∠A ，且AN ⊥BN 于点N ，AB ＝10，AC ＝16，则MN 等于 （ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
4、已知：m ＞0，化简根式3mn -所得结果是 （ ） A. mn n B. mn n - C. mn n - D. mn n --
5、如果一条直线l 经过不同的三点A （a ，b ），B （b ，a ），C （a-b ，b-a ），那么，直线l 经过( ) A. 第二、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
6、如图，矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝x ，AD ＝BC ＝y ，把它折叠起来，使顶点A 与C 重合，则折痕PQ 的长度为 （ ）
A. 22y x x
y
+ B.22y x y x + C.
222y x x
y
+ D. 222y x y x + 7、已知函数y ＝ax 2
+bx+c
取值范围是 （ ）
A. －2＜a+b+c ＜0
B. －2＜a+b+c ＜2
C. 0＜a+b+c ＜2
D. a+b+c ＜2
8、如图，四条线段的长分别为9，5，x 、1（其中x 为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且
AB 与CD 是其中的两条线段，则x 可取值的个数为 （ ） A. 1个 B. 3个 C. 6个 D. 9个
二、填空 （每题5分）
N
M
C
B
A
x
A B
C
D O
9、若10x ＝3，10y
＝
3
1
，则x+y ＝___________； 10、已知a+b ＝5，ab ＝－14，则a 3
+a 2
b+ab 2
+b 3
＝______________；
11、已知（x 2－x+1）6＝a 12x 12+a 11x 11+……+a 2x 2
+a 1x+a 0，则a 12+a 10+a 8+……+a 2+a 0＝_____________；
12、如果α、β是方程x 2+2（k+3）x+k 2+3＝0的两实根，则（α－1）2+（β－1）2
的最小值是_______________________； 13、如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，过点C 作圆的切线交AB 的延长线于点D ，若OD ＝43cm ，那么弦AC 的长是
_______________________cm ；
14、如图，AC 是△ABC 的外接圆的直径，AB ＝4，AC ＝42，P 是BC 上任一点，过点P 作PD ∥AB 交AC 于点D ，设BP ＝x ，则△APD 的面积y 与x 之间的函数关系式为___________________；
15、如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点坐标B （17，6），C （5，6），直线y ＝
2
1
x+b 恰好将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，那么b ＝__________________； 16、如图是某人出差从A 城出发到B 城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市之间的连线上（单位：时），若这个人租用一辆小汽车出行，且汽车行驶的平均速度为80千米/时，而汽车行驶1千米需费用1.2元，请写出这个人从A 城出发到B 城的最短路线的走法：__________________，这时，他所需的最小费用为________________________元；
三、解答题
17、（本题8分）已知抛物线y ＝2x 2-4mx+m 2
（1） 求证：当m 为非零实数时，抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2） 若抛物线与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ＝42，求m 的值；
A 第13题图
第14题图 第15题图 第18题图18
17
15141312
10
97
6511
H
G F
E O D C B A
18、（本题8分）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.
（1） 当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？
（2） 当点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2
＝DE ·DF ，为什么？
19、（本题10分）新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿元资金投资发展项目，现有6个项目可供选择（每个项目或者全部投资，或者不投资）各项目所需金额和预计年收益如下表 20、（本题10分）如图，⊙H 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心H 的坐标是（1，－1），半径是5.
（1） 求经过点D 的切线的解析式；
（2） 问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说
A
21、（本题12分）阅读并解答
看下面的问题：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班，汽车有2班。
那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5种不同的走法。
一般地，有如下原理：
分类计数原理：完成一件事，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋……＋m n 种不同的方法。
再看下面的问题：
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一问题不同。
在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地。
而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地。
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有 3×2＝6种不同的走法。
一般地，有如下原理：
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有
N＝m1×m2×……×m n种不同的方法。
例：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法。
根据分类计数原理，不同取法的种数是
N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种取法。
根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是N ＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24
答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
完成下列填空：
（1）从5位同学中产生1名组长，1名副组长有___________________种不同的选法。
（2）如下图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的路线。
A
B
（3）用数字0、1、2、3、4、5组成_________________个没有重复数字的六位奇数。
（4）一种汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，则不同牌
照号码的个数是_______________。