神奇的Gamma函数 (上)
pytorch gamma函数
pytorch gamma函数（原创版）目录1.Pytorch Gamma 函数简介2.Gamma 函数的定义和性质3.Gamma 函数在 PyTorch 中的应用4.Gamma 函数的计算方法和实例正文【1.Pytorch Gamma 函数简介】PyTorch 是一种基于 Python 的机器学习库，它提供了强大的 GPU 加速计算能力，使得深度学习模型的训练速度大大提升。
在 PyTorch 中，Gamma 函数是一个非常有用的函数，它可以用于计算 Gamma 函数的值，以及进行相关的数学运算。
【2.Gamma 函数的定义和性质】Gamma 函数是一种数学函数，通常表示为Γ(x)，它是欧拉函数的逆函数。
Gamma 函数的定义为：Γ(x) = ∫(t^(x-1)e^(-t)dt)，其中 x 为正实数，t 为实数。
Gamma 函数具有以下性质：1.当 x=0 时，Gamma 函数没有定义。
2.当 x 增加时，Gamma 函数的值会减小。
3.Gamma 函数是连续可导的。
【3.Gamma 函数在 PyTorch 中的应用】在 PyTorch 中，Gamma 函数主要用于计算 Gamma 函数的值，以及进行相关的数学运算。
PyTorch 提供了一种叫做“torch.gamma”的函数，可以用于计算 Gamma 函数的值。
例如，可以使用以下代码计算 Gamma 函数的值：import torchx = 2gamma_function_value = torch.gamma(x)print(gamma_function_value)【4.Gamma 函数的计算方法和实例】Gamma 函数的计算方法可以使用数值积分方法，例如辛普森法或高斯积分法。
在 PyTorch 中，可以使用“torch.gamma”函数来计算 Gamma 函数的值。
定积分的Gamma函数
定积分的Gamma函数Gamma函数是数学中的一种特殊函数，它是积分学中重要的一种函数类型，而它与定积分之间也有着密切的联系。
那么什么是定积分呢？定积分是数学中的一个重要概念，它是对于一个给定的函数，在一定的区间内，其所对应曲线下的面积。
在这种情况下，Gamma函数与定积分的关系是什么呢？一、Gamma函数的定义第一次引入Gamma函数是由欧拉在1730年左右，但它最终被研究清楚的时间是在18世纪末。
Gamma函数的定义如下：$$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$$其中，$Re(z)>0$，$Re(z)$代表$z$的实部。
需要注意的是，当$z\in\mathbb{N^*}$时，Gamma函数就是阶乘函数$n!=\Gamma(n+1)$。
二、Gamma函数与定积分的联系在Gamma函数的定义中，有一个和定积分相似的形式$ \int_0^\infty$，因此我们可以将Gamma函数看作是某个函数下方的一个定积分。
但引入Gamma函数的原因就不止于此。
当$z>0$时，定义$G(z)=\int_0^1x^{z-1}(1-x)^{z-1}dx$，通过换元可以发现：$$G(z)=\int_0^\infty\frac{u^{z-1}}{(1+u)^{2z-1}}du$$这时，再将$\Gamma(z)$和$G(z)$联系起来，有：$$\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=\int_0^\infty(\frac{t}{1+t})^{z-1}\frac{1}{1+t}dt$$通过这种方法，将Gamma函数转化为另一个形式，这也是Gamma函数与定积分之间的联系之一。
三、Gamma函数的性质Gamma函数有一些非常重要的性质，可以方便我们对含有Gamma函数的表达式进行化简。
下面就来讲解一下：1. 互补公式：$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}}$$2. 递推公式：$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$由于$\Gamma(n+1)=n!$，所以递推公式可以写成$n!=n(n-1)!$的形式。
gamma函数及相关其分布
gamma函数及相关其分布gamma函数的定义及重要性质\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]\[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\]\[\Gamma(n) = (n-1)! \]\[\Gamma(0) = 1\]\[\Gamma({1\over 2}) = 2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt\pi\]gamma函数的图像在matlib中，我们可以⽅便的⽤下⾯的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;plot(x,gamma(x));axis([-10.1,10.1,-4,4]);随机变量\(Y=X^2\)的概率密度假设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty<x<\infty\),求\(Y=X^2\)的概率密度。
\begin{align*}F_Y(y) &=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y) \\&=P(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}) \\ &=F_X(\sqrt{y})-F_X{(-\sqrt{y})} \end{align*}\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(\sqrt{-y}], y >0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]设\(X \sim N(0,1)\)，其概率密度为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}, -\infty<x<\infty\),则\(Y=X^2\)的概率密度如下：\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]Gamma分布\(X \sim \Gamma(\alpha, \theta)\)\[f_X(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, x> 0, \alpha>0,\theta>0 \\0, x \leq 0, \alpha>0,\theta>0 \\\end{aligned}\right.\]当\(\alpha= 1 , \theta = \lambda 时，\Gamma(1,\lambda)\) 就是参数为\(\lambda\)的指数分布,记为\(exp (\lambda)\) ；当\(\alpha= n/2 , \theta = 2 时，\Gamma(n/2,1/2)\)就是数理统计中常⽤的\(\chi^2(n)\) 分布。
gamma 函数
gamma 函数在数学领域，gamma数是一种重要的函数，它为许多深奥的数学概念和物理学解释提供了基础。
本文将阐述gamma函数的定义，探讨它的价值，以及提供几个具体应用的例子。
首先，gamma函数定义为$ Gamma (x) = int_0^{infty} e^{-t} t^{x-1} mathrm {d} t$，其中x是一个实数或复数。
它更常见的形式存在于许多高等教材中，即$ Gamma (x) = (x-1)!$，其中$x in mathbb N^+$，即正整数和大于0的实数。
它是一个多功能的函数，它不仅为一些物理学的概念提供了基础，而且还可以用来分析统计学和概率论中的问题，以及用来处理比较复杂的积分计算。
Gamma函数的最主要应用是用于分析复变函数的行为。
许多复变函数的行为可以由gamma函数来解释。
Gamma函数也可以用来计算复变函数的某些分量，比如它可以用来计算非负实数上复变函数的级数系数。
此外，gamma函数也广泛应用于概率论和统计学中。
它可以用来计算某一实验的概率分布，比如泊松分布函数的实现，以及解决一些非常复杂的概率问题。
此外，gamma函数在计算几何中也有着十分重要的应用。
它可以用来计算一个凸多边形的面积，以及求解一元椭圆方程。
Gamma函数也可以用来估算积分。
它可以用来计算无穷多自变量的积分，而不用极限，也可以用来近似无穷积分，比如用来求解贝塔函数。
最后，gamma函数可以用来处理一些复杂的微积分问题，比如解决Bessel函数和Laplace变换的计算问题。
综上所述，gamma函数是一个十分珍贵的函数，它在许多数学领域中都具有重要的价值，比如复变函数的研究，概率论，几何学，以及微积分的计算。
它的应用范围极其广泛，能够为许多科学领域的研究开启新的可能性。
神奇的Gamma函数 (上)
神奇的Gamma函数 (上)rickjin关键词：特殊函数, 欧拉G a m m a函数诞生记学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质Γ(n)=(n−1)!学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，如果m,n都是正整数，如果m→∞，有1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
积分的Gamma函数
积分的Gamma函数Gamma函数是数学家欧拉在18世纪中提出的。
实际上，欧拉之前一位同样著名的数学家布尔塔伯(Bernoulli)就曾提出类似的组合公式。
Gamma函数广泛用于计算、统计学和物理学等领域的数学问题，因此成为了一个非常重要的函数。
本文将主要探讨Gamma函数在积分中的应用。
一、 Gamma函数的定义Gamma函数的定义为：$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$$其中，实数$z$大于零。
Gamma函数利用积分的方法，对实数$z$大于零的取值进行了定义。
这个积分式子看似简单，但其实是非常重要的积分形式之一。
二、积分中的Gamma函数1. 用Gamma函数求解极限极限在数学中是一个非常基础的概念，而且极限通常都是通过积分来进行计算的。
举个例子来说，如果要求解这样一个极限：$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n^n}$$这个极限可以通过Gamma函数来求解。
先对这个式子做一些变形:$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2\pi}\sqrt{n}(\frac{n}{e}) ^n e^{-n}}{n^n}$$然后再将$\frac{1}{n}$替换成小数$x$，再来看这个式子：$$=\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}(\frac{1}{n^2x e})^{n} e^{-n})$$将$x$通过Gamma函数表示出来，得到：$$=\lim_{x\rightarrow0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}\frac{1}{\Gamma(n+1)}(nx e)^{-n} e^{-n})$$于是，极限的取值为：$$=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}$$可以看到，Gamma函数在求解这个极限问题中起了不小的作用。
神奇的Gamma函数（scipy）
神奇的Gamma 函数（scipy ）对应于scipy（python库）的：通过分布积分的⽅法，进⾏如下的推导：可得该函数如下的递归性质：于是很容易证明（）， 函数可以看成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下的性质：与 的关系从⼆项分布到 Gamma 分布对Gamma 函数的定义稍作变形，可得如下等式：于是 取积分中的函数作为概率密度（Probability Density Function，PDF），就得到⼀个形式最为简单的Gamma 分布的密度函数（density function）：如果再做⼀个变换 ，就得Gamma 分布的更⼀般形式：其中 称为形状参数（shape parameter），主要决定了分布曲线的形状，⽽ 称为 rate parameter（或叫 inverse scale parameter， 称为scale parameter），主要决定曲线有多陡。
Gamma 分布与Possion 分布Gamma 分布⾸先与Possion 分布（离散型）、Possion 过程发⽣密切的联系。
我们容易发现Gamma分布的概率密度和Possion分布在数学形式具有⾼度的⼀致性。
参数为 的Possion分布，其概率（probability mass function，pmf）为：⽽Gamma分布的密度（）得到：所以这两个分布在数学形式上是⼀致的，只是Possion分布是离散的，Gamma分布是连续的， 可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本。
from scipy.special import gamma>>> gamma(5+1)120.0>>> 5*gamma(5)120.0我们在概率论与数理统计的课程中都学过， 分布可以看成是⼆项分布 在 条件下的极限分布：如果你对⼆项分布的关注⾜够多，可能会知道⼆项分布的随机变量 满⾜下⾯⼀个奇妙的 恒等式：我们在等式右侧做⼀个变换 可得：上式左侧是⼆项分布 的累积分布函数（cumulative density function，cdf），⽽右侧为⽆穷多个⼆项分布 的积分和，所以可以写为：对上式两边在条件 下取极限，则得到：到这，不妨先暂停，我们使⽤scipy做⼀个简单验证：import scipy.stats as stfrom scipy.misc import factorialfrom scipy import integratelmbda, k = 2, 6X = st.poisson(2)# X ~ Poisson(2)print(X.cdf(k))# P(X<=k)def poisson_pdf(x, k):return x**k*np.exp(-x)/factorial(k)print(integrate.quad(possion_pdf, lmbda, np.inf, args=(k))[0])# 0.995466194474# 0.9954661944737513# 两者达到完美的相等书归正传，我们再来看上⾯的公式，该等式即为著名的 Poisson-Gamma duality，接下来我们来点好玩的，对上⾯的等式两边在 取极限，左侧Poisson分布表⽰的是⾄少发⽣事件的概率，的时候就不可能有事件再发⽣了，故 ，于是：该积分式⼦说明 在实数集上是⼀个概率分布函数（probability density function，pdf），⽽这个函数恰好就是 Gamma分布（ ）（ 也即我们通过⼆项分布，再根据泊松定理，推导出了最后的Gamma分布）。
伽玛(Gamma)函数20160710
∫ ∫ Γ′(x)
Γ(x)
=
lim
y→0
( ) +∞
0
t
y
−1
⎡ ⎢e ⎣
−t
−
1 1+ t
⎤ x+ y ⎥dt =
⎦
+∞ 0
⎡ ⎢e
−t
⎣
−
1
(1+ t
)x
⎤ ⎥ ⎦
1 dt t
2、若取 可得
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) B x, y
=
+∞ u x−1 1 − u
u =e −t
y−1du =
+∞ e−xt 1 − e−t y−1dt
Γ( p)⋅ Γ( p Γ(2 p)
)
=
B(
p,
p
)
=
21−2
p
⋅
B⎜⎛ ⎝
1 2
,
p
⎟⎞ ⎠
=
21−2
p
⋅
Γ⎜⎛
1
⎞ ⎟
⎝2⎠
Γ⎜⎛ p
⋅ Γ(
+1
p)
⎟⎞
⎝ 2⎠
将 Γ⎜⎛ 1 ⎟⎞ = π 代入，即勒让德公式 ⎝2⎠
Γ(p)⋅ Γ⎜⎛
⎝
p
+
1 2
⎞ ⎟ ⎠
=
π 22 p−1
⋅Γ(2 p)
四、Gamma 函数的特殊值
∫ ∫ ( ) ( ) =
+∞
du
0 u x−1v x−1u y−1 1 − v
e y−1 −u
− u dv
0
1
∫ ∫ ( ) = +∞ u x+ y−1e−udu v1 x−1 1− v y−1dv
Γ函数
[编辑]递推公式的推导
我们用分部积分法来计算这个积分：
当 时， 。当 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：
.
因此第一项 变成了零，所以：
等式的右面正好是 。因此，递推公式为：
。
[编辑]重要性质
Γ函数在实轴上的函数图形
乘法定理：
。
。
补充：
此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、 分布概率密度函数等的累计概率。
[编辑]特殊值
[编辑]导数
[编辑]复数值
[编辑]斯特灵公式
斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。
[编辑]解析延拓
Γ函数的绝对值函数图形
注意到在Γ函数的积分定义中若取 为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程
并注意到函数 在整个复平面上有解析延拓，我们可以在Re(z) < 1时设
如果n为正整数，则伽玛函数定义为:
Γ(n) = (n−1)!，
这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。
在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。
函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：
对复数 ，我们要求Re(z) > 0。
Γ函数还可以通过对 做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
编辑解析延拓函数的绝对值函数图形注意到在函数的积分定义中若取为实部大于零之复数则积分存在而且在右半复平面上定义一个全纯函数
Γ函数
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（重定向自伽瑪函數）
函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:
gamma函数 代码
gamma函数代码
Gamma函数是数学中的一种特殊函数，它在统计学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
Gamma函数的定义如下：
$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$$
其中，$z$是一个复数，$t$是一个正实数。
Gamma函数的值可以通过数值积分或递归公式计算。
Gamma函数在统计学中的应用非常广泛，它可以用来计算概率密度函数、累积分布函数、分位数等。
例如，当$z$为整数时，Gamma函数可以表示阶乘函数$n!$，即$\Gamma(n+1) = n!$。
此外，Gamma函数还可以用来计算贝塔函数、F分布、卡方分布等概率分布函数。
在物理学中，Gamma函数也有重要的应用。
例如，在量子力学中，Gamma函数可以用来计算氢原子的能级。
在相对论中，Gamma函数可以用来计算洛伦兹因子，即$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，其中$v$是物体的速度，$c$是光速。
在工程学中，Gamma函数可以用来计算信号的功率谱密度、噪声功率等。
例如，在通信系统中，Gamma函数可以用来计算信号的误码率，从而评估通信系统的性能。
Gamma函数是一种非常重要的特殊函数，它在数学、统计学、物
理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
无论是在理论研究还是实际应用中，Gamma函数都发挥着重要的作用。
欧拉伽马函数
欧拉伽马函数
欧拉伽马函数是数论中的一个重要概念，与黎曼ζ函数密切相关。
它由瑞士数学家欧拉在18世纪后期定义，并得到了广泛的研究和
应用。
一、欧拉伽马函数的定义
欧拉伽马函数(gamma function)是指对于任意实数x的实数域上
的一个函数，记作Γ(x)，其定义如下：
Γ(x) = ∫0∞ t^(x-1) * e^(-t) dt
其中，x为实数，积分号表示在0到正无穷之间对该函数t^(x-1) * e^(-t)进行积分得到的结果。
二、欧拉伽马函数的特点
1. 欧拉伽马函数在实数域上有定义。
2. 当x为正整数时，Γ(x) = (x-1)!
3. 当x为复数时，通常将欧拉伽马函数的定义域限制在x的实
部大于0的区域，以避免出现极点。
4. 欧拉伽马函数具有很好的性质，如Γ(x+1) = xΓ(x)等。
三、欧拉伽马函数的应用
欧拉伽马函数在数学中有着广泛的应用，例如：
1. 它在复分析中的应用，是黎曼ζ函数的重要工具，可用于研
究复数空间中的解析函数。
2. 在数论中，欧拉伽马函数可以用于研究一些高级的逼近问题
和求和问题，特别是在研究三角函数或多项式的零点时有很好的效果。
3. 在统计学中，欧拉伽马函数有时可以用于描述某些概率分布。
例如，在贝叶斯统计中，它可以用于计算贝叶斯因子和模型证据。
4. 在物理学中，欧拉伽马函数有时可以用于处理量子场论中的
无限时空积分等问题，例如费曼路径积分。
总之，欧拉伽马函数是一种具有广泛应用价值的数学工具，它的
研究和应用在数学、统计学、物理学等领域都有重要的地位和作用。
Gamma函数用法
•应用4：分数次导数
我们知道：
dn 记：D n , n为正整数；则有 dx D n x a a a 1 a n 1 x a n .
n
定义： 不是整数时， 定义： a 1 a D x x a , a 0 a 1
R 中：单位圆周长 B 2 ,
2
单位圆面积 B = .
R 中：单位球面面积 B 4 4 单位球体体积 B = 3
3
•问题：
R 中， B ？ ,
4
B =？
n 2
2 事实上：R 中单位球面的面积 n = n ， 2
n
R 中单位球体的体积 n
n
1
例如：
3 3 3 2 8 2 D x x x . 5 3 2 1 2
2
这样，多项式就可以求出分数次导数了。 于是：对解析函数
f (k) x0 k f(x)= x x0 k! k=0
逐项求分数次导：
(k) f x0 k D f(x)= D x x0 k! k=0
x x x I b x I b x . xIb xIb xIb
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分部积分公式：
b
a
f x a I g dx x
b
a
g x x I f dx. b
C,Re 0 Weyl分数阶积分：对于
1
神奇的伽玛函数
肯定在候选
队列中；如果要推举最美丽的数学公式，欧拉公式 eiπ + 1 = 0 与和式 常常被数学爱好者们提及；如果有人追问最神奇 的数学函数是什么？这个问题自然又会变得极具争议，而我相信如下这个 长相有点奇特的伽玛函数 ∫ Γ(x) =
0 ∞
tx−1 e−t dt
一定会出现在候选队列中。 伽玛函数不是初等函数，而是用积分形式定义的超越函数，怎么看都 让人觉得不如初等函数自然亲切。然而伽玛函数也被称为阶乘函数，高等 数学会告诉我们一个基本结论：伽玛函数是阶乘的推广。通过分部积分的 方法，容易证明这个函数具有如下的递归性质 Γ(x + 1) = xΓ(x) 由此可以推导出，对于任意的自然数 n Γ(n) = (n − 1)!. 由于伽玛函数在整个实数轴上都有定义，于是可以看做阶乘概念在实数集 上的延拓。 如果我们继续再学习一些数学，就会惊奇地发现这个具有神秘气质的 伽玛函数真是才华横溢。她栖身于现代数学的各个分支，在微积分、概率 论、偏微分方程、组合数学，甚至是看起来八竿子打不着的数论当中，都 起着重要的作用。并且这个函数绝非数学家们凭空臆想的一个抽象玩具， 它具有极高的实用价值，频繁现身于在现代科学尤其是物理学之中。
目录
4
它简洁的对称美，也成为了许多数学人经常提及的数学公式之一。为何沃 利斯公式会和伽玛函数发生联系呢？实际上对沃利斯公式做一下变形整理 就可以得到如下等价形式 (2n · n!)4 π = 2 n→∞ [(2n)!] (2n + 1) 2 lim 我们看到了阶乘，所以沃利斯公式天然和阶乘有着紧密的联系。
三封信 —伽玛函数的诞生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Γ(n) = (n − 1)! 还是 Γ(n) = n! ? . . . . . . . . . . . . . . . . 23 伽玛函数欣赏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 随机数学中的伽马函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 结语 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 推荐阅读 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
gamma函数的定义 -回复
gamma函数的定义-回复什么是Gamma函数？Gamma函数是数学分析中一种特殊的数学函数，它是阶乘函数在实数域的推广。
它通过插值给负整数的阶乘提供了一种扩展。
Gamma函数在概率论、统计学、物理学等领域中的应用非常广泛，特别是在连续分布函数、伽马分布和波函数的计算中起着重要作用。
要了解Gamma函数的定义，我们首先需要回顾一下阶乘函数的概念。
在数学中，阶乘函数定义为：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
阶乘函数只在非负整数上有定义，并且对于负整数和非整数的情况下，阶乘函数并没有明确的定义。
然而，Gamma函数为广义阶乘函数提供了定义和计算方法。
Gamma函数的定义如下：对于任意的正实数x，Gamma函数的定义如下：Gamma(x) = ∫[0, +∞] (t^(x-1)) * e^(-t) dt其中，∫[0, +∞]是积分的上下限，t是变量。
Gamma(x)表示数学函数Gamma在实数x处的值。
Gamma函数满足以下特性：1. Gamma函数的定义域是正实数。
2. 对于正整数n，Gamma函数满足递推关系：Gamma(n) = (n-1) * Gamma(n-1)。
3. 对于半整数，Gamma函数的值可以通过常数得到，例如：Gamma(1/2) = √π。
4. 当x接近正整数时，Gamma函数的值会变得非常大。
此外，Gamma函数与伽马分布有着密切的联系。
伽马分布是定义在非负实数上的连续概率分布函数，一般用于描述随机事件发生的时间间隔。
伽马分布的概率密度函数可以通过Gamma函数来表示：f(x; k, λ) = (λ^k * x^(k-1) * e^(-λx)) / Gamma(k)其中，k是形状参数，λ是尺度参数。
Gamma函数的应用非常广泛。
在物理学中，Gamma函数常用于量子力学中的波函数计算以及在量子场论中的计算。
在概率论和统计学中，Gamma函数广泛应用于伽马分布以及其中的相关统计量的计算。
伽马函数及其相关函数
(7)
Γ ( z + n) 1 = z (z + 1) · · · (z + n − 1) (z )n
∫
0
∞
e−t tz+n−1 dt,
(8)
(9)
Γ ( z + n) (z + n − 1)! = . Γ (z ) (z − 1)! ∫
∞
(10)
e−t dt = 1.
(11)
在(7)式中令z = 1，得 Γ (n + 1) = n! = n (n − 1) · · · 2 · 1. 这说明在z 为正整数n时，Γ (z + 1)就是阶乘n!。 由公式(8)看出Γ (z )是半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点。极点为 z = 0, −1, −2, · · · , −n, · · · . 在极点z = −n处残数为
(16)
因为应用莱布尼茨法则两个积分
∫
1
xa−1 ln x · e−x dx xa−1 ln x · e−x dx
0 ∫ ∞ 1
对a一致收敛：第一个当x = 0时对a ≥ a0 > 0(优函数为xa0 −1 |ln x|)，而第二个当x = ∞时对a ≤ A < ∞(优函数为xA e−x ). 用这个方法可以证明存在二阶导数 Γ (a) =
Gamma Function and Related Functions Jiawei Pan
Abstract The gamma function is not a primary function, but a transcendental functions, the gamma function is also called factorial function. Advanced Mathematics will tell us a basic conclusion: the gamma function is promotion of factorial, due to the gamma function is always has definition on the whole real number axis, so we can regard the gamma function as the continuation of factorial on real number axis. In this paper we will mainly talk about the gamma function, beta function and other related function or formula. In addition, we will also study their character and application, and give the strict proof for the main formula. Keywords: Gamma Function; Beta Function; Riemann Function.
gamma函数计算
gamma函数计算Gamma函数是一种重要的数学函数，它在数学和物理学领域中具有广泛的应用。
它是通过对实数域上的阶乘函数进行推广而得到的。
在本文中，我们将探讨Gamma函数的定义、性质以及一些实际应用。
让我们来了解一下Gamma函数的定义。
Gamma函数可以用积分的形式表示，即：Γ(x) = ∫[0,∞] t^(x-1) * exp(-t) dt其中，x是一个实数，t是积分变量，exp(-t)是自然指数函数。
从定义可以看出，当x为正整数时，Gamma函数与阶乘函数n!相等，即Γ(n) = (n-1)!。
当x为实数时，Gamma函数是无穷连续的。
接下来，让我们来了解一些Gamma函数的性质。
首先，Gamma函数满足递推关系：Γ(x+1) = x * Γ(x)这个递推关系对于计算Gamma函数的值非常有用。
此外，Gamma 函数还满足对称性：Γ(x) * Γ(1-x) = π / sin(πx)这个对称性关系可以用来计算Gamma函数在负整数点的值。
另外，Gamma函数还满足如下的性质：- Γ(x+1) = x!- Γ(1/2) = √π- Γ(n+1/2) = (2n-1)!! * √π / 2^n- Γ(n+1) = n!这些性质使得Gamma函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
现在，让我们来了解一下Gamma函数的一些实际应用。
首先，Gamma函数在概率统计中扮演着重要的角色。
在估计参数、计算置信区间、假设检验等方面，Gamma函数都起到了至关重要的作用。
此外，Gamma函数还在物理学中广泛应用于量子力学、统计力学、电磁学等领域。
例如，在量子力学中，Gamma函数用于计算粒子在势阱中的能级分布。
在统计力学中，Gamma函数用于计算玻尔兹曼因子和配分函数。
在电磁学中，Gamma函数用于计算电磁波的功率谱密度。
除了在数学和物理学领域中的应用，Gamma函数还在工程学和计算机科学中有着重要的应用。
例如，在通信工程中，Gamma函数用于计算信号的功率谱密度和误码率。
gamma函数极限
gamma函数极限Gamma函数是数学中的一种特殊函数，它是阶乘函数在实数域上的延拓。
在数学中，阶乘函数是一个非常重要的函数，它用于描述自然数的乘积。
然而，阶乘函数只在自然数域上有定义，而无法在实数域上推广使用。
为了解决这个问题，数学家们引入了Gamma函数。
Gamma函数的定义如下：Gamma(x) = ∫[0, +∞] t^(x-1) * e^(-t) dt在这个定义中，x是一个实数，t是一个正实数。
Gamma函数可以看作是阶乘函数在实数域上的推广。
当x是正整数时，Gamma(x)的值就是(x-1)的阶乘。
而当x是其他实数时，Gamma函数的计算需要使用积分的方法。
Gamma函数的极限是一个非常有趣的问题。
当x趋向于正无穷时，Gamma函数的极限是无穷大。
这是因为在积分的过程中，指数函数e^(-t)的作用会越来越小，而幂函数t^(x-1)的作用会越来越大。
因此，Gamma函数在正无穷处的极限是无穷大。
另一方面，当x趋向于负无穷时，Gamma函数的极限是0。
这是因为在积分的过程中，幂函数t^(x-1)的作用会越来越小，而指数函数e^(-t)的作用会越来越大。
因此，Gamma函数在负无穷处的极限是0。
除了正无穷和负无穷之外，Gamma函数还有一些特殊的极限值。
例如，当x等于1时，Gamma函数的极限是1。
这是因为在积分的过程中，指数函数e^(-t)的作用会完全抵消幂函数t^(x-1)的作用，导致积分结果为1。
另一个特殊的极限是当x等于1/2时，Gamma函数的极限是√π。
这个结果与圆的面积公式有关，可以通过计算圆的面积来验证。
Gamma函数的极限在数学和物理学中都有广泛的应用。
在概率论和统计学中，Gamma函数被用于描述连续随机变量的概率分布。
在物理学中，Gamma函数被用于描述粒子的衰变过程和能级的分布。
Gamma函数是阶乘函数在实数域上的推广，它可以描述自然数乘积的延拓。
Gamma函数的极限在数学和物理学中有着重要的应用，它可以描述连续随机变量的概率分布和粒子的衰变过程。
神奇的Gamma函数 (下)
神奇的Gamma函数 (下)rickjin关键词：特殊函数, 概率分布从二项分布到G a m m a分布Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布(t分布，χ2分布，F分布)、Beta分布、Dirichlet 分布的密度公式中都有Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma 函数变换得到的Gamma 分布。
对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子∫∞0xα−1e−xΓ(α)dx=1于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α)如果做一个变换x=βt, 就得到Gamma 分布的更一般的形式Gamma(t|α,β)=βαtα−1e−βtΓ(α)其中α称为shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而β称为rate parameter 或者inverse scale parameter (1β称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。
Gamma(t|α,β)分布图像Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。
指数分布和χ2分布都是特殊的Gamma 分布。
另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。
如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是Gamma 分布的情人。
接下来的内容中中我们主要关注β=1的简单形式的Gamma 分布。
Gamma 分布首先和Poisson 分布、Poisson 过程发生密切的联系。
我们容易发现Gamma 分布的概率密度和Poisson 分布在数学形式上具有高度的一致性。
参数为λ的Poisson 分布，概率写为Poisson(X=k|λ)=λk e−λk!在Gamma 分布的密度中取α=k+1得到Gamma(x|α=k+1)=x k e−xΓ(k+1)=x k e−x k!所以这两个分布数学形式上是一致的，只是Poisson 分布是离散的，Gamma 分布是连续的，可以直观的认为Gamma 分布是Poisson 分布在正实数集上的连续化版本。
gamma函数 复数
gamma函数复数Gamma函数是一个在数学中非常重要的函数，它对于复数的定义也是非常有意义的。
复数是由实数和虚数部分组成的数，可以用形如a+bi的表达式表示，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
在复数平面上，Gamma函数的定义是通过积分来实现的。
具体来说，对于任意的复数z，Gamma函数可以表示为一个积分形式，即：Γ(z) = ∫[0, ∞] t^(z-1) * e^(-t) dt其中，Γ(z)表示Gamma函数，积分的上限是正无穷，积分的被积函数是t的z-1次方乘以e的-t次方。
这个积分在复平面上是收敛的，因此Gamma函数对于复数是有定义的。
Gamma函数在数学和物理中有广泛的应用。
它在组合数学中用于计算阶乘的推广，因为对于正整数n，Γ(n) = (n-1)!。
此外，Gamma 函数还在统计学中用于定义t分布和F分布的概率密度函数。
对于复数的Gamma函数，它在复平面上有很多有趣的性质。
例如，Gamma函数满足Γ(z+1) = z * Γ(z)，这意味着它是一个阶乘函数的推广。
此外，Gamma函数还满足Γ(z) = (z-1) * Γ(z-1)，这意味着它可以通过递归方式计算。
Gamma函数还可以通过Euler积分公式来表示，即：Γ(z) = lim(n→∞) (n!)^(1/z) * (n/z)^n * e^(-n/z) *√(2π/n)这个公式将Gamma函数与复数的阶乘联系起来，展示了它们之间的深层次关系。
在复平面上，Gamma函数还有很多有趣的性质和特殊值。
例如，当z 是正整数时，Γ(z) = (z-1)!，当z是负整数时，Γ(z)有极点，当z是1/2时，Γ(z) = √π，当z是2的负整数倍时，Γ(z)是有理数。
总的来说，Gamma函数是一个非常重要的函数，在数学和物理中有广泛的应用。
它对于复数的定义使得我们可以更深入地研究复数的性质和特点。
通过对Gamma函数的研究，我们可以更好地理解数学和物理中的各种现象和问题。
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神奇的Gamma函数 (上)
rickjin
关键词：特殊函数, 欧拉
G a m m a函数诞生记
学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数
Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt
通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质
Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质
Γ(n)=(n−1)!
学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：
∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!
最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，
如果m,n都是正整数，如果m→∞，有
1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!
于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
例如，取n=2.5, m足够大，基于上式就可以近似计算出 2.5!。
欧拉也偶然的发现n!可以用如下的一个无穷乘积表达
[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]⋯=n!(∗)
用极限形式，这个式子整理后可以写为
lim m→∞1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n=n!(∗∗)
左边可以整理为
===1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n1⋅2⋅3⋯n⋅(n+1)(n+2)⋯m(1+n)( 2+n)⋯m⋅(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!∏k
=1n m+1m+k→n!(m→∞)
所以(*)、(**)式都成立。
欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。
当n=1/2的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到
(12)!=2⋅43⋅3⋅4⋅65⋅5⋅6⋅87⋅7⋅8⋅109⋅9⋯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
然而右边正好和著名的Wallis 公式关联。
Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线y=x(1−x)−−−−−−−√下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于π的如下结果，
2⋅43⋅3⋅4⋅65⋅5⋅6⋅87⋅7⋅8⋅109⋅9⋯=π4
于是，欧拉利用Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果
(12)!=π−√2
大数学家欧拉
欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。
高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。
拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。
”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。
欧拉看到(12)!中居然有π, 对数学家而言，有π的地方必然有和圆相关的积分。
由此欧拉猜测n!一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把n!表达为积分形式。
虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分∫10x12(1−x)12dx，受Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
J(e,n)=∫10x e(1−x)n dx
此处n 为正整数，e为正实数。
利用分部积分方法，容易得到
J(e,n)=ne+1J(e+1,n−1)
重复使用上述迭代公式，最终可以得到
J(e,n)=1⋅2⋯n(e+1)(e+2)⋯(e+n+1)
于是欧拉得到如下一个重要的式子
n!=(e+1)(e+2)⋯(e+n+1)∫10x e(1−x)n dx
接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取e=f/g并且令f→1,g→0,
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：
n!=∫10(−log t)n dt
欧拉成功的把n!表达为了积分形式！如果我们做一个变换t=e−u,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式
n!=∫∞0u n e−u du
于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到Gamma 函数的一般形式
Γ(x)=∫10(−log t)x−1dt=∫∞0t x−1e−t dt
Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何Gamma 函数被定义为Γ(n)=(n−1)!, 这看起来挺别扭的。
如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的t x−1替换为t x
Γ(x)=∫∞0t x e−t dt
这不就可以使得Γ(n)=n!了嘛。
欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了Γ(n)=n!，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了Gamma 函数的定
义，使得Γ(n)=(n−1)!。
而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。
有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分
B(m,n)=∫10x m−1(1−x)n−1dx
这个函数现在称为Beta 函数。
如果Gamma 函数的定义选取满足Γ(n)=(n−1)!, 那么有
B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)
非常漂亮的对称形式。
可是如果选取Γ(n)=n!的定义，令
E(m,n)=∫10x m(1−x)n dx
则有
E(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n+1)
这个形式显然不如B(m,n)优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。
要了解更多的Gamma 函数的历史，推荐阅读。