离散数学 ch2.习题课-修

a) R和S都自反， R o S 一定自反。 因为任取a∈A, 由于R和S都自反， 所以(a,a)∈R 及 (a,a)∈S 故(a,a)∈ R o S ∴ R o S 自反， b) R和S都反自反， o S 不一定反自反。举反例： R Ｒ 。 Ｓ。 R c) R和S都对称， o S 不一定对称。 R
所以R对称。 ⑶证传递性:任取x,y,z∈I,设xRy, yRz, (要证出xRz)
由R定义得 x-y=3m, y-z=3n (m.n∈I) x-z= (x-y)+(y-z)=3m+3n=3(m+n), 因m+n∈I, 所以xRz, 所以R传递。 证毕
三.证明R∩S传递性： 方法1 用传递定义证：任取 x,y,z∈A, 设(x,y)∈R∩S,(y,z)∈R∩S, (证出(x,z)∈R∩S) (x,y)∈R∩S∧(y,z)∈R∩S (x,y)∈R∧(x,y)∈S∧(y,z)∈R∧)(y,z)∈S ((x,y)∈R∧(y,z)∈R)∧((x,y)∈S ∧(y,z)∈S) (x,z)∈R∧(x,z)∈S （因为R、S传递） (x,z)∈R∩S 所以R∩S传递。 方法2 用传递闭包证：证出 t(R∩S)=R∩S, 即 (R∩S)∪(R∩S)2∪(R∩S)3∪... =R∩S. 方法3用定理证：证出 (R∩S) o (R∩S) (R∩S) 用方法2、方法3证明此题的传递性有很大难度。
x2 x3 x4 x5 x6
1 1 0 0 1 x1
1 0 0 0 x2
1 1 1 1 0 1 x3 x4 x5
Ex8. P={x1,x2, x3, x4, x5}, P上偏序关系的
Hasse图如图所示，求子集 {x1,x2, x3}， {x2, x3, x4}，{x3, x4, x5}和P的极小(大)元、 最小(大)元、上界、下界、最小上界和 x1 。 最大下界(上确界和下确界)。 。2 x
3 4
1 2
3 2
C41 = 4 1/2C42 = 3 C4 2 = 6 C44 =1 15
1 1 2 1 1 1 1
(2). X是集合，且|X|=4，X上有多少个不同的等 价关系？ 解. 此题的答案与上题一样。因为每个划分对应一个等价 关系。
练习13：设R是集合A上的一个自反关系,求证： R是对称和传递的，当且仅当 <a,b>和<a,c>在R中,则有<b,c>也在R中。
3。 2。 1。
Ex 4: S是Ｘ上关系。 【P35页6题】 1)证明Ｓ自反，当且仅当 IX S。 (P35页6题1) 证明：充分性，已知IX S， 任取x∈X, 有（x,x）∈IX , 由已知得(x,x)∈S, 所以Ｓ自反。 必要性，已知Ｓ自反， 任取(x,y)∈IX , 得x=y, 而S自反，所以(x,y)∈S∴ IXS 2)证明Ｓ传递，当且仅当 S o S Ｓ (P35页6题5) 证明：充分性，已知 S o S Ｓ 任取x,y,z∈X, 且有(x,y)∈S,(y,z)∈S, 根据关系的复合得 (x,z)∈ S o S ,由已知得(x,z)∈S ,所以Ｓ传递。 必要性，已知Ｓ传递， 任取(x,y)∈ S o S ,根据关系的复合得 z使z∈X，且(x,z)∈S∧(z,y)∈S,由Ｓ传递得(x,y)∈S 所以 S o S Ｓ
。
2
1
。
2
1
。
1
。
2
。 。 3
R5
。 。 3
R6
。 。 2。 。 3 3
R7 反对称性 Y N N Y R8 传递性 Y N N Y
R5 R6 R7 R8
自反性 反自反性 对称性 N Y N N N Y N N N N
∞
Y
Y
∪Ri i=0
练习1:令I是整数集合，I上关系R定义为： R={<x,y>|x-y可被3整除}，求证R是自反、对称和传递的。
证明：⑴证自反性：任取x∈I, (要证出<x,x>R )
因 x-x=0, 0可被3整除,所以有<x,x>∈R, 故R自反。
⑵证对称性：任取x,y∈I,设<x,y>∈R, (要证出 <y,x>R ) 由R定义得 x-y可被3整除, 即x-y=3n(n∈I)，
y-x=-(x-y)=-3n=3(-n), 因-n∈I, ∴<y,x>∈R,
第二章 关系与映射
到此结束
下面归纳这八个关系的性质：Y-有
N-无
1
。
2
1
。
2
1
。
1
。
2
。 。 3
R1
。 。 3
R2
。 。 2。 。 3 3
R3 反对称性 Y Y N Y R4 传递性 Y N Y Y
R1 R2 R3 R4
自反性 反自反性 对称性 Y N N N Y N Y N Y Y N Y
1
归纳：关系性质证明方法
设R是A上关系， 一.证明R的自反性： 方法1 用自反定义证：任取 x∈A,证出(x,x)∈R. 方法2 用恒等关系IA证：证出IA R. 方法3 用自反闭包证：证出r(R)=R, 即R∪IA=R. 二.证明R的反自反性： 方法1 用反自反定义证：任取 x∈A,证出(x,x)R. 方法2用充分必要条件证： 三.证明R的对称性： 方法1 用对称定义证： 任取 x,y∈A,设(x,y)∈R, 证出 (y,x)∈R. 方法2 用求逆关系证：证出 Rc=R. 方法3 用对称闭包证：证出 s(R)=R, 即R∪Rc =R.
2 2
Ex 3:A={1,2,3}，A上五个关系如下：
1 1 1 1 1
。
R 自反 R S T Φ
A×A
。
S 反自反
。
T
。
Φ 反对称
。
A×A
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
对称 传递
上述五个关系中， 哪些是等价关系？如果是等价关系，求其商集。 哪些是相容关系？如果是相容关系，求其完全覆盖。 哪些是偏序关系？如是偏序关系,画Hasse图,并求Ａ的极 小(大)元、最小(大)元、上界与下界、上确界和下确界。 等价关系：S和A×A，对应的商集分别是： A/S={{1,2},{3}} A/A×A={{1,2,3}} 相容关系: S和A×A，对应的完全覆盖分别是： CS(A)={{1,2},{3}} CA×A(A)={{1,2,3}} 偏序关系: T Ａ的极小元、最小元、下界、下确界都是：1 Ａ的极大元、最大元、上界、上确界都是：3
解：R0=Φ R1={(a,s)} R2={(b,s)} R3={(c,s)} R4={(a,s),(b,s)} R5={(a,s),(c,s)} R6={(b,s),(c,s)} R7={(a,s),(b,s),(c,s)} (2)设|A|=n ，有多少个A上的关系？ 因为RA×A，所以A×A有多少个子集就有多 少个A上关系，由集合的幂集就是该集合的子 集构成的，所以A上关系个数就是A×A 的幂 集P(A×A)的元素个数|P(A×A)|, |A×A|=2nn= 2 n 。 而2 所以有 2 n 个不同的A上关系。
b
１
。
２
１
。
２
１
。
R oS
。
２
。
。
。
a
S
c。aR源自oScd) R和S都传递， o S 不一定传递。 R R
a b
。
。
a
b
。
。
a
。
a
c
。
S
。
c
b
。
。
R oS
c
。
b
。
。
。
c
Ex12.（1） X是集合，且|X|=4，X有多少个不同的划分？
解.
划分块数 各块元素个数 相应划分个数 总数
1
4
C44 = 1
2
x4 。
。 x3
。
x5
Ex9: R是A上关系， 设
S={（a,b)|c∈A使(a,c)∈R∧（c,b）∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。 证明： a)证S自反： b)证S对称: c)证S传递: Ex 10. R是A上对称和传递的关系，证明如果a∈A,b∈A,
Ex 11: R和S都是A上关系，
第二章 习题课
Ex1:A={0,1} B={1,2} 求A2×B。 解： AB={(x,y)|xA∧yB} A2 =A×A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) } A2×B={(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1）,（1,1,1）, （0,0,2）,（0,1,2),(1,0,2),(1,1,2) } Ex2：求(1) X={a,b,c} Y={s} X到Y的所有关系. (2)设|A|=n ，有多少个A上的关系？ 解： (1) X×Y={(a,s),(b,s),(c,s)} X×Y的任何一个子集都是一个 从X到Y的关系。 如果|X|=m |Y|=n，则有2mn个从X到Y的关系, 故,有23=8个关系:
R (S∩T)(R S)∩(R T)

希望同学们灵活掌握证明关系性质的方法。
Ex6 . X={x1,x2, x3, x4, x5, x6}, R是X上相容关系，
其简化关系矩阵如下：求X的完全覆盖。 解. R的简化图为： x 。 。x
1 2
x6
。
x5
。 x3
。 。 x4
CR(X)={{x1,x2,x3,},{x1,x3,x6},{x3,x4,x5},{x3,x5,x6}}
四.证明R的反对称性： 方法1 用定义1证： 任取 x,y∈A,设(x,y)∈R, (y,x)∈R.证出 x=y。 方法2用定义2证： 任取 x,y∈A,x≠y, 设(x,y)∈R,证出(y,x)R. 方法3 用定理证：证出 R∩Rc IA . 五.证明R的传递性： 方法1 用传递定义证： 任取 x,y,z∈A,设(x,y)∈R,(y,z)∈R, 证出 (x,z)∈R. 方法2 用传递闭包证：证出 t(R)=R, 即 R∪R2∪R3∪... =R. o 方法3用定理证：证出 Ro RR