离散数学例题
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离散数学例题
一、证明对任意集合A,B,C,有
a)A-B)-C=A-(B∪C);
b)(A-B)-C=(A-C)-B;
c)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)。
证明
a)(A-B)-C=(A∩~B)∩~C
=A∩(~B∩~C)
=A∩~(B∩C)
=A-B∪C)
b)(A-B)-C=A∩~B∩~C
=A∩~C∩~B
=(A-C)-B
c)(A-C)-(B-C)
=(A∩~C)∩~(B∩~C)
=(A∩~C)∩(~B∪C)
=(A∩~C∩~B)∪(A∩~C∩C)
=A∩~B∩~C
=(A-B)-C
二、设命题公式G=(P→Q)∪(Q∪(P→R)),求G的主析取范式
G=(P→Q)∪(Q∪(P→R))
=(P∪Q)∪(Q∪(P∪R))
=(P∪Q)∪(Q∪(P∪R))
=(P∪Q)∪(Q∪P)∪(Q∪R)
=(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪ R) =(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)∪(P∪Q∪R)
=m3∪m4∪m5∪m6∪m7=(3,4,5,6,7).
三、假设f和g是函数,证明f∩g也是函数。
证明
f∩g={
={
令h=f∩g,则
dom h={x|x∪dom f∩dom g,f(x)=g(x)}
若y1 =y2 ,因为f是函数,故必有y1 =/f(x1 ),y2 =/f(x2 ),且x1 ≠x2 ,所以h=f∩g
是一个函数。
因为dom h存在且y1 ≠y2 时x1 ≠x2 ,即h={
Dom h,y=h(x)=f(x)=g(x)}
四、设函数f:R→R,若x≤y=>f(x)≤f(y),则称函数f是单调递增的。设f和g是在R 上单调递增,证明
1)若(f十g)(x)=f(x)+g(x),则f+g是单调递增;
2)复合函数f○g是单调递增:
3)f和g的乘积不一定是单调递增。
证明
1)因为f和g是单调递增,若x≤y,则有f(x)≤f(y),g(x)≤g(y),
(f+g)(x)=f(x)十g(x)≤f(y)+g(y)=(f十g)(y)
所以f+g是单调递增。
2)若x≤y,则f(x)≤f(y)且g(x)≤g(y),
f○g(x)=f(g(x))≤f(g(y))=f○g(y)
所以f○g是单凋递增。
3)令f(x)=g(x)=x,则f和g是单调递增,但其积函数
g*g(x)=f(x)*g(x)=x2
在R上不是单凋递增。
五、设R和S是集合A={a,b,c,d}上的关系,其中R={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)},
S={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}.
计算R•S,R∪S,R-1,S-1•R-1.
R•S={(a,b),(c,d)},
R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)},
R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)},
S-1•R-1={(b,a),(d,c)}.
六、若f:A→B是双射,则f-1 :B→A是双射。
证明
因为f:A→B是双射,则f-1 是B到A的函数。下证f-1是双射。
对任意x∪A,必存在y∪B使f(x)=y,从而f-1 (y)=x,所以f-1 是满射。
对任意的y1、y2∪B,若f-1 (y1)=f-1 (y2)=x,则f(x)=y1,f(x)=y2。因为f:A→B 是函数,则y1=y2。所以f-1 是单射。
综上可得,f-1 :B→A是双射。
七、设函数g:A→B,f:B→C,则:
(1)f。g是A到C的函数;
(2)对任意的x∪A,有fg(x)=f(g(x))。
证明
(1)对任意的x∪A,因为g:A→B是函数,则存在y∪B使
对任意的x∪A,若存在y1、y2∪C,使得
综上可知,f。g是A到C的函数。
(2)对任意的x∪A,由g:A→B是函数,有
f。g(x)=f(g(x))。