第二章 电路的分析方法
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US2=6V
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电路分析基础
支路电流法应用举例
④⑤代入①可得:10-I3+[(6-7I3) ÷ 11] - I3=0 解得:I3=4A 代入 ④⑤可得:I1=6A,I2=-2A I2得负值,说明它的实际方向与参考方向相反. 求各元件上吸收的功率,进行功率平衡校验 R1上吸收的功率为:PR1=62×7=252W R2上吸收的功率为:PR2=(-2)2×11=44W R3上吸收的功率为:PR3=42×7=112W US1上吸收的功率为:PS1=-(6×70)=-420W 发出功率 US2上吸收的功率为:PS2=-(-2)×6=12W 吸收功率 元件上吸收的总功率:P=252+44+112+12=420W 电路中吸收的功率等于发出的功率,计算结果正确
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电路分析基础
结点电压法应用举例
用结点电压法求解结点n=2的复杂电路时,显然只需 列写出2-1=1个结点电压方程式,即: US
例
① I2 R2 + US2 _ I3 R3 I4 R4
-
V1 =
∑R ∑
S
I1 R1 + US1 _
1 R
+
US4
此式称弥尔曼 定理.是结点 电压法的特例
直接应用弥尔曼定理求V1
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电路分析基础
说说结点电压法的适用范围,应用结点电压 法求解电路时,能否不选择电路参考点?
结点电压法适用于支路数较多,结点数目较少的电 路,待求量结点电压实际上是指待求结点相对于电路 参考点之间的电压值,因此应用结点电压法求解电路 时,必须首先选定电路参考结点,否则就失去了待求 结点的相对性.
①
I1
R1=7
+ -
解 图示电路n=2,m=3
I1+I2-I3=0 ①
I3
R3=7 Ⅱ
I2
R2=11
+
选取结点①列写KCL方程式
Ⅰ US1=70V
选取两个网孔列写KVL方程 对网孔Ⅰ:7I1+7I3=70 ② - ② 对网孔Ⅱ:11I2+7I3=6 ③ 由方程式②可得:I1=10-I3 - ④ 由方程式③可得:I2=(6-7I3) ÷ 11 ⑤ -
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电路分析基础
第1节 支路电流法
定义
以支路电流为未知量,根据基尔霍夫两定律列出必 要的电路方程,进而求解客观存在的各支路电流的方 法,称支路电流法 支路电流法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但当支路数很多时, 方程数增加,计算量加大.因此,适用于支路数较少 的电路.
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电路分析基础
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电路分析基础
想想,练练
说说对独立结点和独立回路的看法,应用支路电流法求 解电路时,根据什么原则选取独立结点和独立回路? 下图示电路有几个结点?几条支路?几个回路?几个网 孔?试用支路电流法列出相应方程式.
+
③
R1
+ -
US3
-
4个结点, ②
R6 R3 R5
3个网孔,
R4
④
R2
+
6条支路. 需列KCL方程:4-1=3个 需列KVL方程:6-4+1=3个
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电路分析基础
思考 练习
用结点电压法求解下图所示电路,与回路电流法相比较, 能得出什么结论? US3 R I A+ - 3 3 B
IS1 I1
R1
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
此电路结点n=3,用 结点电压法求解此电 路时,只需列出3-1=2 个独立的结点电压方 程式:
U S3 1 1 1 1 ( + + )V A V B = I S1 + R1 R 3 R 4 R3 R3 ( U 1 1 1 1 + + )V B V A = I S2 S3 R 2 R3 R5 R3 R3
V1 =
US1/R1+US2/R2-US4/R4 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4
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电路分析基础
结点电压法应用举例
例
+
用结点电压法求解下图所示电路中各支路电流
-
2 ①2
2V
+ I4
②
I3
0.5 1A
①
1A 1 1
1A
②
1A 0.5
I1
2V
I2 2
2
I5
-
① ) 列出结点电压方程: (1/1+1/1)V1-V2/1=1-1 ②(1/1+1/0.5)V2-V1/1=1+1 )
6V
IⅠ
7
IⅡ
+
将II=6A代入③得:IⅡ=-2A 根据支路电流与回路电流的关系 可得:I1=II=6A
I2=IⅡ=-2A -
I3=II+IⅡ=6+(-2)=4A
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电路分析基础
想想,练练
说说回路电流与支路电流的不同之处,你能很快找出回 路电流与支路电流之间的关系吗? 试用回路电流法对下图所示电路列写电路方程,与支路 电流法相比较后,说一说回路电流法的适用范围. I3 _ + R3 US3
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电路分析基础
第4节 叠加定理
定义
在线性电路中,任何一条支路的电流或电压,均可看作 是由电路中各个电源单独作用时,各自在此支路上产生的 电流或电压的叠加.
适用范围 研究目的
在多个电源同时作用的电路中,仅研究一个电源对多支 路或多个电源对一条支路影响的问题.
在基本分析方法的基础上,学习线性电路所具有的特殊 性质,更深入地了解电路中激励(电源)与响应(电压, 电流)的关系.
求的结点电压(均以参Fra Baidu bibliotek点为负极); 式;
选定参考结点.其余各结点与参考点之间的电压就是待 标出各支路电流的参考方向,对n-1个结点列写KCL方程 用KVL和欧姆定律,将结点电流用结点电压的关系式代
替,写出结点电压方程式; 解方程,求解各结点电压;
由结点电压求各支路电流及其响应.
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电路分析基础
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电路分析基础
支路法,回路法和结点法的比较:
(1) 方程数的比较
KCL方程 方程 支路法 回路法 结点法 n-1 0 n-1 KVL方程 方程 m-n+1 - + m-n+1 - + 0 方程总数 m m-n+1 - + n-1 -
(2) 对于非平面电路,选独立回路不容易,而独立结点 较容易. (3) 回路法,结点法易于编程.目前用计算机分析网络 (电网,集成电路设计等)采用结点法较多.
在电路图上标出客观存在的各支路电流参考方向,按照
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电路分析基础
回路电流法应用举例
举例二 用回路电流法求解下图例一电路中各支路电流.
①
I1
7
+
I3
70V
I2
11
解 标出回路电流的参考绕行方向
显然回路电流自动满足KCL定律 只需对两个网孔列写KVL方程:
对网孔Ⅰ:14II+7IⅡ=70 ① - - 对网孔Ⅱ:18IⅡ+7I=6 ② 由方程式①可得:IⅡ=10-2II ③ 代入②得:II =6A -
I4 I5
+ US1_ R1
R4
I1
R2 _
I2
R5 R6
I6
US2 +
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电路分析基础
阅读,理解
支路电流是客观存在于各条支路中的响应,一般是电路分 析求解的对象;回路电流则是为了减少电路分析中方程式的 数目而人为假想的电路响应,由于回路电流对它所经过的电 路结点,均流入一次,流出一次,因此自动满足KCL定律, 这样在电路求解的过程中就可省去KCL方程,对结点数较多, 网孔数较少的电路十分适用.
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电路分析基础
结点电压法应用举例
2V1-V2=0 3V2-V1=2 ① ②
I 2 -2V + 4 2 ① ②
+
I1
2V
可解得:V1=0.4V; V2=0.8V; : V12=V1-V2=0.4-0.8=-0.4V
I2 2
2
I5
I3
0.5
1A
-
各支路电流分别为:I1=(2-0.4)/2=0.8A;I2=0.4/2=0.2A : ; I3=0.8/0.5=1.6A I5=(-0.4)/2=-0.2A I4=(2-0. 4)/2=0.8A
电路分析基础
回路电流法求解电路的步骤
选取自然网孔作为独立回路,在网孔中标出各回路电流
的参考方向,同时作为回路的绕行方向; 支路上的互阻压降由相邻回路电流而定;
建立各网孔的KVL方程,注意自电阻压降恒为正,公共 联立求解方程式组,求出各假想回路电流. .
它们与回路电流之间的关系,求出各支路电流.
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电路分析基础
叠加定理解题思路
+ US R2 – R1 I IS + R US 2 – R1 I′ R1 I ′′ IS US R2
=
+
I=I′+I" +I"
注意
当电压源不作用时应视其短路 当电流源不作用时则应视其开路
计算功率时不能 不能应用叠加原理!
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电路分析基础
叠加定理解题方法
用叠加定理解决电路问题的实质,就是把含有多个电源的复 杂电路分解为多个简单电路的叠加.应用时要注意两个问题: 一是某电源单独作用时,其它电源的处理方法;二是叠加时各 分量的方向问题.以上问题的解决方法请看应用举例
内阻保留 IS RS + U _ S I R IS RS I′ 于 R 开 流 路 源 相 当 恒
+ _US
+
当 RS 于 短 路 压 源 相
恒
I〃 R
电 源单独作用时 电 源单独作用时 电路 US RS 叠加定理 I = I' + I" I' = , I" = I S ; RS + R RS + R
回路电流经过的各条支路,若某支路上仅流过一个回路电 流,且方向与回路电流一致时,则这条支路电流在数值上应 等于该回路电流,若方向相反应为回路电流的负值;若某公 共支路上通过两个回路电流时,则支路电流在数值上应等于 这两个回路电流之代数和,其中与该支路电流方向一致的回 路电流取正值,与该支路电流方向相反的回路电流取负值.
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电路分析基础
思考 练习
根据求得的两结 点电压,再应用 欧姆定律可求得 各支路电流为:
VA I1 = R1
VB I2 = R2
A+
IS1 I1
R1
US3
-
R3 I3 B
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
VA VB US3 I3 = R3
VA I4 = R4
VB I5 = R5
如果用回路电流法,由于此电路有5个网孔,所以需列 5个方程式联立求解,显然解题过程繁于结点电压法. 因此,对此类支路数多,结点少,回路多的电路,应选 择结点电压法解题.
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电路分析基础
第3节 结点电压法
定义
以结点电压为待求量,利用基尔霍夫定律列出各结 点电压方程式,进而求解电路响应的方法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但对于支路数较多, 且结点数较少的电路尤其适用.与支路电流法相比, 它可减少m-n+1个方程式.
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电路分析基础
结点电压法求解电路的步骤
支路电流法求解电路的步骤
确定已知电路的支路数m,并在电路图上标示出各 支路电流的参考方向; 应用KCL列写n-1个独立结点 独立结点方程式. . 应用KVL列写m-n+1个独立电压 独立电压方程式. . 联立求解方程式组,求出m个支路电流. 电流.
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电路分析基础
支路电流法应用举例
举例一 用支路电流法求解下图所求电路中各支路电流,并用 功率平衡校验求解结果.
比较回路电流法和结点电压法,你能从中找 出它们相通的问题吗?
回路电流作为电路的独立待求量时,可自动满足结点电流 定律,因此回路电流法与支路电流法相比可减少n-1个KCL方 程式;结点电压作为电路的独立待求量时,可自动满足回路 电压定律,与支路电流法相比可减少m-n+1个KVL方程式. 两种方法都是为了减少方程式的数目而引入的解题方法.
7个回路,
US1
US2
-
在练习本上列出各方程式
①
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电路分析基础
第2节 回路电流法
定义
以假想的回路电流为未知量,根据KVL定律列出必 要的电路方程,进而求解客观存在的各支路电流的方 法,称回路电流法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但对于支路数较多, 且网孔数较少的电路尤其适用.
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电路分析基础
第2章 电路的分析方法
2.1 支路 电流法 2.2 回路 电流法 2.3 结点 电压法 2.5 戴维南 定理
2.4 叠加 定理
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电路分析基础
本章的学习目的和要求
熟练掌握支路电流法,因为它是直接应用 基尔霍夫定律求解电路的最基本方法之一;理 解回路电流及结点电压的概念,掌握回路电流 法和结点电压法的内容及其正确运用;深刻理 解线性电路的叠加性,了解叠加定理的适用范 围;理解有源二端网络和无源二端网络的概念 及其求解步骤,初步学会应用维南定理分析电 路的方法.
结点电压法应用举例 例 用结点电压法求解例一电路中各支路电流.
V1 ①
I1
7
+
解
I2
选取结点②作为参考结点,求V1: I1+I2-I3=0
11
+
I3
7
因为:I1=(70-V1) ÷7 ① - I2=(6-V1) ÷11 ②
70V
- -
6V
I3=V1 ÷7 ③ ② ①②③代入电流方程: 70-V1 + 6-V1 - V1 =0 解得V1=28V 11 7 7 V1代入①②③得:I1=6A; I2=-2A; I3=4A ①②③ : ; ; ①②
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电路分析基础
支路电流法应用举例
④⑤代入①可得:10-I3+[(6-7I3) ÷ 11] - I3=0 解得:I3=4A 代入 ④⑤可得:I1=6A,I2=-2A I2得负值,说明它的实际方向与参考方向相反. 求各元件上吸收的功率,进行功率平衡校验 R1上吸收的功率为:PR1=62×7=252W R2上吸收的功率为:PR2=(-2)2×11=44W R3上吸收的功率为:PR3=42×7=112W US1上吸收的功率为:PS1=-(6×70)=-420W 发出功率 US2上吸收的功率为:PS2=-(-2)×6=12W 吸收功率 元件上吸收的总功率:P=252+44+112+12=420W 电路中吸收的功率等于发出的功率,计算结果正确
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电路分析基础
结点电压法应用举例
用结点电压法求解结点n=2的复杂电路时,显然只需 列写出2-1=1个结点电压方程式,即: US
例
① I2 R2 + US2 _ I3 R3 I4 R4
-
V1 =
∑R ∑
S
I1 R1 + US1 _
1 R
+
US4
此式称弥尔曼 定理.是结点 电压法的特例
直接应用弥尔曼定理求V1
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电路分析基础
说说结点电压法的适用范围,应用结点电压 法求解电路时,能否不选择电路参考点?
结点电压法适用于支路数较多,结点数目较少的电 路,待求量结点电压实际上是指待求结点相对于电路 参考点之间的电压值,因此应用结点电压法求解电路 时,必须首先选定电路参考结点,否则就失去了待求 结点的相对性.
①
I1
R1=7
+ -
解 图示电路n=2,m=3
I1+I2-I3=0 ①
I3
R3=7 Ⅱ
I2
R2=11
+
选取结点①列写KCL方程式
Ⅰ US1=70V
选取两个网孔列写KVL方程 对网孔Ⅰ:7I1+7I3=70 ② - ② 对网孔Ⅱ:11I2+7I3=6 ③ 由方程式②可得:I1=10-I3 - ④ 由方程式③可得:I2=(6-7I3) ÷ 11 ⑤ -
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第1节 支路电流法
定义
以支路电流为未知量,根据基尔霍夫两定律列出必 要的电路方程,进而求解客观存在的各支路电流的方 法,称支路电流法 支路电流法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但当支路数很多时, 方程数增加,计算量加大.因此,适用于支路数较少 的电路.
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电路分析基础
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电路分析基础
想想,练练
说说对独立结点和独立回路的看法,应用支路电流法求 解电路时,根据什么原则选取独立结点和独立回路? 下图示电路有几个结点?几条支路?几个回路?几个网 孔?试用支路电流法列出相应方程式.
+
③
R1
+ -
US3
-
4个结点, ②
R6 R3 R5
3个网孔,
R4
④
R2
+
6条支路. 需列KCL方程:4-1=3个 需列KVL方程:6-4+1=3个
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电路分析基础
思考 练习
用结点电压法求解下图所示电路,与回路电流法相比较, 能得出什么结论? US3 R I A+ - 3 3 B
IS1 I1
R1
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
此电路结点n=3,用 结点电压法求解此电 路时,只需列出3-1=2 个独立的结点电压方 程式:
U S3 1 1 1 1 ( + + )V A V B = I S1 + R1 R 3 R 4 R3 R3 ( U 1 1 1 1 + + )V B V A = I S2 S3 R 2 R3 R5 R3 R3
V1 =
US1/R1+US2/R2-US4/R4 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4
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电路分析基础
结点电压法应用举例
例
+
用结点电压法求解下图所示电路中各支路电流
-
2 ①2
2V
+ I4
②
I3
0.5 1A
①
1A 1 1
1A
②
1A 0.5
I1
2V
I2 2
2
I5
-
① ) 列出结点电压方程: (1/1+1/1)V1-V2/1=1-1 ②(1/1+1/0.5)V2-V1/1=1+1 )
6V
IⅠ
7
IⅡ
+
将II=6A代入③得:IⅡ=-2A 根据支路电流与回路电流的关系 可得:I1=II=6A
I2=IⅡ=-2A -
I3=II+IⅡ=6+(-2)=4A
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电路分析基础
想想,练练
说说回路电流与支路电流的不同之处,你能很快找出回 路电流与支路电流之间的关系吗? 试用回路电流法对下图所示电路列写电路方程,与支路 电流法相比较后,说一说回路电流法的适用范围. I3 _ + R3 US3
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第4节 叠加定理
定义
在线性电路中,任何一条支路的电流或电压,均可看作 是由电路中各个电源单独作用时,各自在此支路上产生的 电流或电压的叠加.
适用范围 研究目的
在多个电源同时作用的电路中,仅研究一个电源对多支 路或多个电源对一条支路影响的问题.
在基本分析方法的基础上,学习线性电路所具有的特殊 性质,更深入地了解电路中激励(电源)与响应(电压, 电流)的关系.
求的结点电压(均以参Fra Baidu bibliotek点为负极); 式;
选定参考结点.其余各结点与参考点之间的电压就是待 标出各支路电流的参考方向,对n-1个结点列写KCL方程 用KVL和欧姆定律,将结点电流用结点电压的关系式代
替,写出结点电压方程式; 解方程,求解各结点电压;
由结点电压求各支路电流及其响应.
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电路分析基础
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电路分析基础
支路法,回路法和结点法的比较:
(1) 方程数的比较
KCL方程 方程 支路法 回路法 结点法 n-1 0 n-1 KVL方程 方程 m-n+1 - + m-n+1 - + 0 方程总数 m m-n+1 - + n-1 -
(2) 对于非平面电路,选独立回路不容易,而独立结点 较容易. (3) 回路法,结点法易于编程.目前用计算机分析网络 (电网,集成电路设计等)采用结点法较多.
在电路图上标出客观存在的各支路电流参考方向,按照
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电路分析基础
回路电流法应用举例
举例二 用回路电流法求解下图例一电路中各支路电流.
①
I1
7
+
I3
70V
I2
11
解 标出回路电流的参考绕行方向
显然回路电流自动满足KCL定律 只需对两个网孔列写KVL方程:
对网孔Ⅰ:14II+7IⅡ=70 ① - - 对网孔Ⅱ:18IⅡ+7I=6 ② 由方程式①可得:IⅡ=10-2II ③ 代入②得:II =6A -
I4 I5
+ US1_ R1
R4
I1
R2 _
I2
R5 R6
I6
US2 +
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电路分析基础
阅读,理解
支路电流是客观存在于各条支路中的响应,一般是电路分 析求解的对象;回路电流则是为了减少电路分析中方程式的 数目而人为假想的电路响应,由于回路电流对它所经过的电 路结点,均流入一次,流出一次,因此自动满足KCL定律, 这样在电路求解的过程中就可省去KCL方程,对结点数较多, 网孔数较少的电路十分适用.
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电路分析基础
结点电压法应用举例
2V1-V2=0 3V2-V1=2 ① ②
I 2 -2V + 4 2 ① ②
+
I1
2V
可解得:V1=0.4V; V2=0.8V; : V12=V1-V2=0.4-0.8=-0.4V
I2 2
2
I5
I3
0.5
1A
-
各支路电流分别为:I1=(2-0.4)/2=0.8A;I2=0.4/2=0.2A : ; I3=0.8/0.5=1.6A I5=(-0.4)/2=-0.2A I4=(2-0. 4)/2=0.8A
电路分析基础
回路电流法求解电路的步骤
选取自然网孔作为独立回路,在网孔中标出各回路电流
的参考方向,同时作为回路的绕行方向; 支路上的互阻压降由相邻回路电流而定;
建立各网孔的KVL方程,注意自电阻压降恒为正,公共 联立求解方程式组,求出各假想回路电流. .
它们与回路电流之间的关系,求出各支路电流.
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叠加定理解题思路
+ US R2 – R1 I IS + R US 2 – R1 I′ R1 I ′′ IS US R2
=
+
I=I′+I" +I"
注意
当电压源不作用时应视其短路 当电流源不作用时则应视其开路
计算功率时不能 不能应用叠加原理!
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叠加定理解题方法
用叠加定理解决电路问题的实质,就是把含有多个电源的复 杂电路分解为多个简单电路的叠加.应用时要注意两个问题: 一是某电源单独作用时,其它电源的处理方法;二是叠加时各 分量的方向问题.以上问题的解决方法请看应用举例
内阻保留 IS RS + U _ S I R IS RS I′ 于 R 开 流 路 源 相 当 恒
+ _US
+
当 RS 于 短 路 压 源 相
恒
I〃 R
电 源单独作用时 电 源单独作用时 电路 US RS 叠加定理 I = I' + I" I' = , I" = I S ; RS + R RS + R
回路电流经过的各条支路,若某支路上仅流过一个回路电 流,且方向与回路电流一致时,则这条支路电流在数值上应 等于该回路电流,若方向相反应为回路电流的负值;若某公 共支路上通过两个回路电流时,则支路电流在数值上应等于 这两个回路电流之代数和,其中与该支路电流方向一致的回 路电流取正值,与该支路电流方向相反的回路电流取负值.
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电路分析基础
思考 练习
根据求得的两结 点电压,再应用 欧姆定律可求得 各支路电流为:
VA I1 = R1
VB I2 = R2
A+
IS1 I1
R1
US3
-
R3 I3 B
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
VA VB US3 I3 = R3
VA I4 = R4
VB I5 = R5
如果用回路电流法,由于此电路有5个网孔,所以需列 5个方程式联立求解,显然解题过程繁于结点电压法. 因此,对此类支路数多,结点少,回路多的电路,应选 择结点电压法解题.
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电路分析基础
第3节 结点电压法
定义
以结点电压为待求量,利用基尔霍夫定律列出各结 点电压方程式,进而求解电路响应的方法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但对于支路数较多, 且结点数较少的电路尤其适用.与支路电流法相比, 它可减少m-n+1个方程式.
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电路分析基础
结点电压法求解电路的步骤
支路电流法求解电路的步骤
确定已知电路的支路数m,并在电路图上标示出各 支路电流的参考方向; 应用KCL列写n-1个独立结点 独立结点方程式. . 应用KVL列写m-n+1个独立电压 独立电压方程式. . 联立求解方程式组,求出m个支路电流. 电流.
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电路分析基础
支路电流法应用举例
举例一 用支路电流法求解下图所求电路中各支路电流,并用 功率平衡校验求解结果.
比较回路电流法和结点电压法,你能从中找 出它们相通的问题吗?
回路电流作为电路的独立待求量时,可自动满足结点电流 定律,因此回路电流法与支路电流法相比可减少n-1个KCL方 程式;结点电压作为电路的独立待求量时,可自动满足回路 电压定律,与支路电流法相比可减少m-n+1个KVL方程式. 两种方法都是为了减少方程式的数目而引入的解题方法.
7个回路,
US1
US2
-
在练习本上列出各方程式
①
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第2节 回路电流法
定义
以假想的回路电流为未知量,根据KVL定律列出必 要的电路方程,进而求解客观存在的各支路电流的方 法,称回路电流法.
适用范围
原则上适用于各种复杂电路,但对于支路数较多, 且网孔数较少的电路尤其适用.
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第2章 电路的分析方法
2.1 支路 电流法 2.2 回路 电流法 2.3 结点 电压法 2.5 戴维南 定理
2.4 叠加 定理
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本章的学习目的和要求
熟练掌握支路电流法,因为它是直接应用 基尔霍夫定律求解电路的最基本方法之一;理 解回路电流及结点电压的概念,掌握回路电流 法和结点电压法的内容及其正确运用;深刻理 解线性电路的叠加性,了解叠加定理的适用范 围;理解有源二端网络和无源二端网络的概念 及其求解步骤,初步学会应用维南定理分析电 路的方法.
结点电压法应用举例 例 用结点电压法求解例一电路中各支路电流.
V1 ①
I1
7
+
解
I2
选取结点②作为参考结点,求V1: I1+I2-I3=0
11
+
I3
7
因为:I1=(70-V1) ÷7 ① - I2=(6-V1) ÷11 ②
70V
- -
6V
I3=V1 ÷7 ③ ② ①②③代入电流方程: 70-V1 + 6-V1 - V1 =0 解得V1=28V 11 7 7 V1代入①②③得:I1=6A; I2=-2A; I3=4A ①②③ : ; ; ①②