函数单调性求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
已知函数单调性求参数取值范围
技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。
关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。
一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。
注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。
例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。
解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。
设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。
而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。
当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。
所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。
评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。
例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。
【教学随笔】例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法
例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法对数函数的单调性是对数函数的一个重要性质，而求与对数函数的单调性有关的参数范围是一个难点.要正确解答此类题型，主要从下面几点考虑：①抓住函数的定义域，在定义域内进行讨论；②抓住对数函数的底数，由此确定函数的单调性；③注意对数函数真数大于零.下面举例说明.例1已知函数f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)(a ∈R)，若函数f(x)在[10,＋∞)上单调递增，试求a 的取值范围.解：由已知有10a －1＞0，a ＞110，则 因为f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)＝lg(a ＋a-1x-1)在[10,＋∞)上单调递增， 当a ＞1时，f(x)在[1，∞)上为减函数，因此，f(x)不可能在[10,＋∞)上单调递增，不满足条件；当110＜a ＜1时，f(x)在[1，∞)上为增函数，因此，f(x)在[10,＋∞)上单调递增，满足条件.综上所述，所求a 的取值范围是110＜a ＜1. 点评：本题利用对数的性质转化为函数f(x)＝lg(a ＋a-1x-1)，对a －1的符号进行讨论，并结合反比例函数的单调性及单调性的复合规律进行求解的.例2已知函数f(x)＝2x ，设f(x)的反函数为f －1(x)，若f －1(x ＋a x–3)在区间[2,＋∞)上单调递增，求正实数a 的范围.解：∵f －1(x)＝log 2x ，∴f －1(x ＋a x –3)＝log 2(x ＋a x–3)， 设g(x)＝x ＋a x –3，由于f －1(x ＋a x –3)在区间[2,＋∞)上单调递增，故g(2)＝2＋a 2–3＞0，即a ＞2，当2≤x 1＜x 2时恒有：g(x 1)－g(x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2-a x 1x 2＜0成立， ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－a ＞0恒成立，即a ＜x 1x 2恒成立，∴a ≤4，综上所述，a 的取值范围为2＜a ≤4.点评：本题充分利用函数的单调性的定义，通过分离参数，并将a ＜x 1x 2恒成立转化为a ≤x 1x 2无限趋近的一个常数.例3函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：由条件知1＋8–a ＞0，得a ＜9.当0＜a ＜9时，易知函数u ＝x ＋8–a x在(0，＋∞)上单调递增，由此可知函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，满足条件； 当a ＝0时，函数f(x)＝log 9(x ＋8)，易知在[1,＋∞)上单调递增，满足条件；当a ＜0时，函数u ＝x ＋8–a x ＝x ＋－a x＋8在[－a,＋∞)上单调递增，所以－a ≤1，解得a ≥－1.综上所述，所求a 的范围是－1≤a ＜9.点评：本题充分利用函数y ＝x ＋m x 的单调性进行求解的.对于函数y ＝x ＋m x：当m ＞0时，函数的单调递增区间为(－∞，－m)，(m ，＋∞)；当m ＝0时为一次函数；当m ＜0时，函数的递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞).例4是否存在实数a ，使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的变化范围，如果不存在，请说明理由.解：设g(x)＝ax 2－x ，假设符合条件的a 存在，当a ＞1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≤2g(2)=4a-2＞0⇒a ＞12，当注意到a ＞1时，即a ＞1； 当0＜a ＜1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2,4]上是减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≥4g(4)=16a-4＞0，此不等式组无解， 综上可知，当a ＞1时，f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上为增函数.点评：本题充分利用二次函数的对称轴位置及单调区间的端点值的符号进行求解的.。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)
专题15已知函数的单调区间求参数的范一、单选题■1.若函数/（］）=空山在区间（0,工）上单调递增，则实数。
的取值范围是（）cosx 2A.a<-\B.a<2C.a>-\D.a<\【答案】C【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数。
的取值范围.【详解】解：函数/（1）="*COSXnJ”、cosx>cos x+sinx(sin x+a)则/M=；-----cos^xTT•••X£(0,一)上，2/.cos2x>0.要使函数/(幻=吧*在区间(0,工)上单调递增,cosx 271、、二cos2x+sin2x+asinxN0在x G(0,—)上恒成立,2T[即：asinx+120在x£(0,一)上恒成立，2TT•/xe(0,—)±,2sin XG(0,1)故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.2.已知函数/a）=Lf+s—a）x+（a-l）lnx,（a>l）,函数y=2用的图象过定点（0,1）,对于任意玉,七£（0,+8）,西>々，有/（%）一/（工2）>工2一不，则实数。
的范围为（）B.2<a<5C.2<a<5D.3<a<5【答案】A【分析】 由图象过定点可得人=0,设/(x)=〃x)+x,结合已知条件可得F(x)在(0,+8)递增，求尸(X )的导数，令g(x)=%2一(〃-1)工+。
一1,由二次函数的性质可得g 【详解】解：因为>=2'+〃的图象过定点(0,1),所以2人=1，解得6=0,所以一方+(。
-1)1仪(。
>1),因为对于任意X]，W^(0,-KO ),X]>x 2,有/(%)一/(无2)>W 一%，则/(%)+%>%+/(七)，设/(%)=f(x)+x ，即F (x)=/(%)+%=—x 2-ar+(^-l)lri¥+x=—x 2-(6f-l)x+(^-l)lri¥,所以F(x)=x-(〃-1)+0「2—令且(1)=工2—(。
二次函数的单调性及求参数的范围 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
问题 1 已知函数 f(x)的单调区间是 M 与函数 f(x) 在区间 N 上单调, 则区间 M, N 有怎样的关系?
问题2 二次函数的单调性与它的什么要素有关系?
二次函数的单调性问题
例1已知函数f (x) kx2 2x 1的减区间是[2, ), 则实数 k 的取值范围是 _______;
对抽象函数单调性的判断和证明, 仍要紧扣定义,
结合题目所给的条件, 经常采用"赋值","拆","凑"项
等方法,寻求比较 f (x2 ) f (x1) 与0的大小,比如 :
x1
( x1
x2 )
x2
或 x1
x1 x2
x2
等.
抽象函数单调性的证明与应用问题
例2已知函数 f (x)对任意 x, y R,总有f (x) f ( y) f (x y), 且当 x 0时, f (x) 0, f (1) 2 .
y (1) 判断并证明函数 f (x)的单调性; (2) 若f (2) 1, 解不等式f (x 3) f ( 1) 2.
x
课后思考
练习2 : 若函数 f (x) x2 a x 2 在(0, )上单调递增,
则实数 a的取值范围是 _[__4_,_0_] .
实数 a的取值范围是.
a 1
练习:函数 f (x) ax 1 在区间(2, )上单调递增, 则 x2
实数 a的取值范围是( B ).
A.(0, 1) B.(1 , ) C.(2, ) D.(, 1) (1, )
2
2
已知函数的单调性求参数的范围问题
例3已知函数 f (x) x3 在区间(, )上是增函数,若 f (2a 5) f (1 a),求实数 a的取值范围.
利用函数的单调性求参数的取值范围
利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。
对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。
首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。
对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。
导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。
1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。
2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。
3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。
4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。
步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。
步骤2：求出函数的导函数。
步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。
下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。
例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。
步骤1：确定函数的定义域。
对于二次函数，其定义域是整个实数集R。
步骤2：求出函数的导函数。
对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。
步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。
然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。
当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。
函数的单调性及单调区间
函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。
专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x .列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .例2、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]
则f '( x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '( x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '( x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解：
f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0, 恒成立x [2,4]
方法：（分离参数） 2ax 3x2 3恒成立
已知函数的单调性求参数的范围
已知函数的单调性求参数的范围若函数y =f x 在D 上单调递增，则f x ≥0在D 上恒成立若函数y =f x 在D 上单调递减，则f x ≤0在D 上恒成立 若a ≥g x 恒成立，则a ≥g x max 若a ≤g x 恒成立，则a ≤g x min 1.若函数f x =3a -1 x +1在R 上单调递增，求实数a 的取值范围解：3a -1>0⇒a >132.若函数f x =-x 2+21-m x +3在-3,+∞ 上单调递减，求实数a 的取值范围解：对称轴x =1-m ≤-3⇒m ≥43.若函数f x =2x +a 在3,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：f x =2x +a x ≥-a 2 -2x -a x <-a 2⇒f x 在-∞,-a 2 上单调递减，在-a 2,+∞ 上单调递增所以-a 2≤3⇒a ≥-64.若函数f x =ax +1x +2在-2,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：由f x =a x +2 +1-2a x +2=a +1-2a x +2在-2,+∞ 上递增所以反比例函数y =1-2a t在t ∈0,+∞ 上单调递增所以1-2a<0⇒a>1 25.若函数f x =x2-mx在1,+∞上单调递增，求实数m的取值范围解：函数y=x2-mx的零点为0和m所以m要和0比较大小0和m的中点为m2所以m2要和 1比较大小也即m要和0,2比较大小下面讨论①当m≤0时x≥1⇒f x =x2-mx=x2-mx 又f x 在1,+∞上单调递增所以对称轴x=m2≥1⇒m≥2,这不可能，舍去.②当0<m<2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m2,m上递减因为m2<1⇒1,m⊊m2,m所以f x 在1,m上递减，矛盾，舍去③当m≥2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m,+∞上递增因为m2≥1⇒1,+∞⊆m,+∞所以f x 在1,+∞ 上单调递增，合题意。
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略在数学和统计学中，单调性是指函数图像或数据集的一种特性，确保函数或数据的增减关系不发生变化。
在一些问题中，我们需要确定一个或多个参数的取值范围，以满足特定的单调性要求。
以下是与单调性有关的求参数取值范围的三种策略。
一、求导数法（Derivative Method）求导数法是一种常用的确定参数取值范围的方法，特别适用于连续函数。
通过求函数的导数，我们可以判断函数是否单调递增或单调递减，从而确定参数的取值范围。
具体步骤如下：1.首先，根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.然后，针对函数求导，得到导函数。
3.对导函数进行解析，确定导函数的零点。
4.根据导函数的零点，可以将参数取值范围划定为单调递增或递减的区间。
5.最后，根据导函数的取值范围，进一步确定参数的取值范围。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递增。
我们可以进行如下的推导：1. 函数 f(x) 的导数为 f'(x) = 2ax + b。
2.函数f'(x)为一次函数，为了保证f(x)单调递增，需要保证f'(x)大于零。
3. 将 f'(x) 大于零进行解析：2ax + b > 0。
4. 当 a > 0 时，对任意 x 都有 2ax + b > 0。
5.因此，确定参数a的取值范围为a>0。
二、函数图像法（Graphical Method）函数图像法是一种直观的方法，通过绘制函数的图像来确定参数的取值范围，以满足单调性要求。
具体步骤如下：1.根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.将函数表示为y=f(x)的形式，并绘制函数的图像。
3.根据图像的走向，确定函数递增或递减的区间。
4.通过观察函数图像，确定参数的取值范围，使函数在递增或递减的区间内。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递减。
专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1．已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2．若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【解析】由ln 1a y x a x y x'=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10a x +≥在[)1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100a x a a x x +≥⇒+≥⇒≥-，因为[)1,x ∞∈+，所以(,x -∈-∞-，于是有1a ≥-，故选：D3．若函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．（-1，1）B ．[)1,+∞C ．（-1，+∞）D ．（-1，0）【解析】()sin f x a x '=-，由题意得：()sin 0f x a x '=-≥，即sin a x ≥在(),-∞+∞上恒成立，因为[]sin 1,1y x =∈-，所以1a ≥恒成立，故实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：B4．若函数()2sin f x bx x =+在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，则实数b 的取值范围是（）A ．0b ≥B ．0b >C ．b ≥D ．b >【解析】由题意()2cos 0f x b x '=+≥在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上恒成立，2cos b x ≥-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2cos y x =-是增函数，max 0y =（π2x =时取得），所以0b ≥．故选：A ．5．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(8,)-+∞【解析】由2()ln 2f x x ax =+-可得：1()2f x ax x'=+.因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以()0f x '>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即212a x >-在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解.设()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭，由()30g x x -'=>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()g x 在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.所以184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.故选：D 6．已知函数32()132x ax f x ax =+++存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由题意，函数32()132x ax f x ax =+++，可得2()f x x ax a '=++，因为函数()f x 存在三个单调区间，可得()'f x 有两个不相等的实数根，则满足240a a ∆=->，解得0a <或4a >，即实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：C.7．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．13a <£B ．4a ≥C ．23a -≤≤D ．14a <≤【解析】函数()219ln 2f x x x =-，()0x >.则()299x f x x x x-'=-=，因为()f x 在区间[1]a a -,上单调递减，则()0f x '≤在区间[1]a a -,上恒成立，即290x -≤，所以03x <≤在区间[1]a a -,上恒成立，所以103a a ->⎧⎨≤⎩，解得13a <£，故选：A.8．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-【解析】因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知，max π2tan()24y =-=-，所以2a ≥-，故选：C9．若()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞-C ．5,4⎛⎤-∞ ⎝⎦D ．[)1,+∞【解析】由1sin 2()()cos 24x f x a x x =--+，得1cos 2()sin 22xf x a x '=---，因为()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，所以1cos 2()sin 022x f x a x '=---≤在R 上恒成立，即221cos2sin cos sin 1sin sin 22x a x x x x x ≤++=+=-+=215(sin )24x --+在R 上恒成立，由于1sin 1x -≤≤，所以215(1124a ---+=-≤．故选：B.10．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在区间7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞【解析】函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-()()1cos 23sin cos 412x a x x a x =+-+-()()()()2'sin 23cos sin 41cos sin 3cos sin 40f x x a x x a x x a x x a ∴=-+++-=-++++≤，对7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈恒成立.πcos sin sin 4x x x ⎛⎫ ⎪⎝++⎭ ，∴当7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈时，0cos sin 1x ≤+≤.令()()23401g t t at a t =-++≤≤，欲使()0g t ≤恒成立，只需满足231t a t ≤+，当01t ≤≤时，恒成立，即2min31t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，设[]311,4t m +=∈，13m t -=，222112203199999t m m m t m m -+==+-≥=+，当199m m =时，等号成立，即0a ≤.故选：D 11．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .二、多选题12．若函数21()9ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调，则实数m 的取值范围可以是（）A ．4m =B ．2m ≤C ．12m <≤D ．03m <≤【解析】定义域为()0,∞+，299()x f x x x x'-=-=；由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞；由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3；因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥；结合选项可得A,C 正确.故选：AC.三、填空题13．若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】()'2f x x a =-+，由于函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，所以()'20f x x a =-+=有两个不相等的实数根，所以0a >.故答案为：()0,∞+14．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，若()f x 的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，得'2()36(1)f x kx k x =+-，因为()f x 的单调递减区间是(0,4)，所以'()0f x <的解集为(0,4)，所以4x =是方程236(1)0kx k x +-=的一个根，所以126(1)0k k +-=，解得13k =15．若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则实数m 的取值范围为________.【解析】由()2sin x f x e mx x =+-，得()'2cos xf x e mx x =+-，若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则()'2cos 0xf x e mx x =+-在[)0,∞+上恒成立，令()2cos xg x e mx x =+-，0x，则()'2sin x g x e m x =++，再令()2sin xh x e m x =++，0x，则()'cos x h x e x =+，因为0x ，所以01x e e = ，所以()'cos 0xh x e x =+在[)0,∞+上恒成立，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()min ()012h x h m ==+；当120m +时，得12m - ，此时()()'0g x h x = ，则()g x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g =，此时符合()'2cos 0x f x e mx x =+- 在[)0,∞+上恒成立；当120m +<时，得12m <-，()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，故[)00,x x ∈时，()0h x <，即()'0g x <，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在[)00,x 上单调递减，则当[)00,x x ∈时，()()00g x g =，此时()'2cos 0x f x e mx x =+- ，不合题意；综上，实数m 的取值范围为12m - .16．已知函数1()2ln f x x x x=--，21()(1)2x g x x e ax =--，R a ∈.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，必有()()()()12120f x f x g x g x ->-，则a 的取值范围是___________.【解析】()f x 定义城为(0,)+∞.22212(1)()10x f x x x x-'=+-=≥.故()f x 在(1,)+∞内单调递增.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()120f x f x -<.故()()120g x g x -<，()()12g x g x <，()g x 在(1,)+∞内单调递增.故()()0x xg x xe ax a e x '=-=-≥在(1,)+∞恒成立，即x a e ≤恒成立，可知a e ≤.∴a 的取值范围为(,]e -∞.17．已知函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，则k 的取值范围是______.【解析】22()341f x x kx '=-+，因为函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，所以223410x kx -+=必有解，当223410x kx -+=只有一个解时，22()3410f x x kx '=-+≥得出函数()f x 在R 上单调递增，与题干矛盾，故223410x kx -+=必有两个不等实根则()2044310k ∆>⇒--⨯⨯>，解得k <或k >18．若实数()0,2a ∈，()0,2b ∈，则函数()232211432f x a x b x x =+-在区间()1,+∞单调递增的概率为___________.【解析】由题意222()40f x a x b x ¢=+-³在(1,)+∞上恒成立，二次函数的对称轴是2202bx a=-<，因此()'f x 在(1,)+∞上单调递增，所以22(1)40f a b ¢=+-³，易知满足02,02a b <<<<的点(,)a b 据区域为图中正方形OABC ，面积为224⨯=，又满足2240a b +-³的(,)a b 在正方形OABC 在圆224x y +=外部的部分，面积为214244p p -´=-，所以概率为44P π-=．19．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.【解析】 函数()324132x af x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.四、解答题20．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-1=，即3a =.21．已知函数()ln af x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时，3()ln (0)f x x x x =+>，则'22133()x f x x x x-=-=，令'()0f x =，得3x =，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增所以当3x =时，()f x 取得极小值(3)ln 31f =+，无极大值(2)由()ln a f x x x =-（0x >），得()'221a x a f x x x x+=+=（0x >），当0a ≥时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，当0a <时，由'()0f x =，得x a =-，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x (0,)a -a-(,)a -+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增因为()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以a e -≤，得0e a -≤<，综上，a 的取值范围为[,)e -+∞22．已知a R ∈，函数2()()e (xf x x ax x R =-+∈，e 为自然对数的底数）．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围；【解析】(1)当2a =时，2()(2)e x f x x x =-+，2()(2)e x f x x '=--令()0f x '>，得220x -<，∴x <()f x ∴的单调递增区间是(；(2)2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+，若()f x 在(1,1)-内单调递增，即当11x -<<时，()0f x '，即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立，即111a x x +-+ 对(1,1)x ∈-恒成立，令111y x x =+-+，则2110(1)y x '=+>+，111y x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增，1311112y ∴<+-=+，32a ∴ ，当32a =时，当且仅当0x =时，()0f x '=，a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．23．已知函数1()xxf x ax e +=-．(1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围；(3)若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【解析】(1)因为1(1)()x x x xf x a a e e'-+=-=+，所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．(2)因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0x xf x a e='+>在(0,2)上有解，即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可．令1()(),()x x x xh x f x a h x e e-==+=''，当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e +，故只需10a e +>，即1a e >-．所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．(3)212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 24．1.已知函数()()31R f x x ax a =--∈.(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的单调递减区间是)-，求实数a 的值；(3)若函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.【解析】(1)易知()23f x x a '=-.因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，即23a x ≤恒成立，故()2min30a x≤=.经检验，当0a =时，符合题意，故实数a 的取值范围是(],0-∞.(2)由（1），得()23f x x a '=-.因为()f x 的单调递减区间是()1,1-，所以不等式230x a -<的解集为()1,1-，所以-1和1是方程230x a -=的两个实根，所以3a =.(3)由（1），得()23f x x a '=-.因为函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，所以()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立，即23a x ≥在()1,1x ∈-上恒成立.又函数23y x =在()1,1-上的值域为[)0,3，所以3a ≥.故实数a 的取值范围是[)3,+∞.25．已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则()()2211121()21x x x x f x x x x x+---'=-+=-=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 有最大值0，无最小值；（2）21()2f x a x a x-'=+，因为函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，所以21()20f x a x a x=-+≤'在区间[1,)+∞上恒成立，令()212g x a x a x =-+，则()22120g x a x'=--<，所以()g x 在区间[1,)+∞上递减，所以()()2max 121g x g a a ==-++，则2210a a -++≤，即2210≥--a a ，即()()2110a a +-≥，解得12a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围1(,[1,)2-∞-⋃+∞.26．已知函数()22f x x a x x =⋅-+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若()22f x x a x x =⋅-+在区间[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()22·21||()1f x x x x x x =+=--，则2()341'=-+f x x x ，所以()(252,2)f f '==，所以，所求切线方程为25(2)y x -=-，即580x y --=.（2）设()()2201g x x x a x =+≤≤-，则()2(1)0g x x '=-≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减，从而()()()10g g x g ≤≤，即()1a g x a ≤≤-.（i ）当1a ≥时，()10g x a ≥≥-，则()22()f x x x x a -=+，则2()34f x x x a '=-+，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≥-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当23x =时，2434()3max x x +=-，所以43a ≥，又1a ≥，此时a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ii ）当0a ≤时，()0g x ≤，则()2()2f x x x x a =-+-，则2()34f x x x a '=-+-，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+-≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≤-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当0x =时，2min 340()x x +=-，所以0a ≤，此时a 的取值范围为(,0]-∞.（iii ）当01a <<时，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00g x =.当()100,x x ∈时，()10g x >，即存在()010,1x x ∈，且10x x <，使得()()10g x g x >，从而()()1100x g x x g x >，即()()10f x f x >，这与“()f x 在[]0,1上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数a 的取值范围(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭27．已知函数()ln f x ax x =-，()e 2ax g x x =+，其中a ∈R ．(1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞，则1()2f x x'=-，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在12x =处取得极小值，且11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值．(2)由题意知，1()f x a x'=-，()e 2ax g x a '=+．当0a >时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，而()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故必存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上单调递增；当0a =时，1()0f x x '=-<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在(0,)+∞上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；当0a <时，1()0f x a x '=-<，即()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在12,ln a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在12ln ,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上有相同的单调性，则有12ln 0a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得2a <-．综上可知，a 的取值范围为(,2)(0,)-∞-+∞ ．。
利用函数的单调性求参数的取值范围使用
利用函数的单调性求参数的取值范围使用在数学中，单调性指的是函数图像在定义域内的增减趋势是否保持一致。
具体而言，如果函数f(x)在一些区间上是递增的，则称它在该区间上是单调递增的；如果函数f(x)在一些区间上是递减的，则称它在该区间上是单调递减的。
假设我们面对的问题为求使函数f(x)大于等于一些给定值的参数x 的取值范围。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定函数f(x)的单调性。
可以通过函数的导数来判断函数的增减性。
如果f'(x)大于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
2.其次，我们可以将函数f(x)大于等于给定值转化为不等式f(x)-C>=0的形式，其中C表示给定值。
例如，如果我们需要求函数f(x)大于等于0的参数x的取值范围，可以将不等式f(x)>=0转化为f(x)-0>=0。
3.接下来，我们可以利用不等式的性质来求解参数的取值范围。
对于单调递增的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x>=g(C)的形式，其中g(C)表示函数f(x)-C=0的解。
对于单调递减的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x<=g(C)的形式。
4.最后，我们可以利用函数f(x)的定义域来进一步限制参数x的取值范围。
函数f(x)的定义域表示函数f(x)的取值范围，此范围也是参数x的取值范围的一部分。
因此，我们需要将函数f(x)的定义域与参数x的取值范围进行交集运算，以得到最终的参数取值范围。
需要注意的是，在利用函数的单调性求参数的取值范围时，我们需要确保函数f(x)存在单调性。
如果函数f(x)在一些区间上既不是递增的也不是递减的，那么我们无法利用单调性来求解参数的取值范围。
举例说明：假设我们需要求函数f(x)=x^2+3x+2大于等于5的参数x的取值范围。
一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题
一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题已知函数单调性,求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(≥'x f ;若函数单调递减,则 0)(≤'x f ”来求解.例：若函数1)(23+-=ax x x f 在]2,1[上单调递减,求实数a 的取值范围.思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.)23(23)(2a x x ax x x f -=-='解析：方法一：由)(x f 在]2,1[上单调递减知0)(≤'x f ，即0232≤-ax x 在]2,1[上恒成立, 即x a 23≥在]2,1[上恒成立.故只需max )23(x a ≥, 故3≥a . 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞). 方法二：当0=a 时，0)(≥'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增，与)(x f y =在 ]2,1[上单调递减不符，舍去.当0<a 时，由0)(≤'x f 得a 32≤x≤0，即)(x f 的单调递减区间为]0,32[a ，与 )(x f 在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0>a 时，由0)(≤'x f 得0≤x≤a 32，即)(x f 的减区间为]32,0[a ，由)(x f 在 ]2,1[上单调递减得232≥a ,得a≥3. 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞).针对性练习：1．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A ．b ＜－1或b ＞2 B ．b ≤－2或b ≥2 C ．－1＜b ＜2 D ．－1≤b ≤2解析 D 由题意，得y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2.2．函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2－2ax ＋5在区间[－1,1]上不单调，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x ＋2)(x －a )＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若f (x )在[－1,1] 上不单调，则－1<a <1.3．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ，而 (3x 2)min ＝3，∴a ≤3.4．已知f (x )＝e x －ax －1. 若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 即a 的取值范围为(－∞，0]．5．函数f(x)＝24x －mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．解析 由题意知m 8≤－2，∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25. 6.已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.若f (x )在R 上是减函数， 则0)(≤'x f (x ∈R)恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3. 故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．7.已知函数1)(23+++=x ax x x f 在(－∞，1]上是增函数，试求实数a 的取值范围．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由于函数f (x )在(－∞，1]上是增函数，∴当x ∈(－∞，1]时，0)(≥'x f (在个别点f ′(x )可以为0)恒成立，即3x 2＋2ax ＋1≥0在x ≤1时恒成立．令g (x )＝3x 2＋2ax ＋1， ∴Δ＝4a 2－12≤0或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->∆≥16200)1(a g ， 即a 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－2，a 2>3，a <－3.∴a 2≤3，即－3≤a ≤ 3. 故a 的取值范围是[－3，3]．。
由单调性求参数范围的几种方法
由单调性求参数范围的几种方法1、定义法:①任取x1、x2∈d，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适度变形(“水解因式”、配方Z917号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。
2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间d内可导。
如果f′(x)>0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间d内为减函数。
特别注意：(补足)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间d内为减函数。
定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、（补足）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为减(减至)函数。
2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减至(减)函数，如果同时存有f(x)>0，则为减至(减）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数存有相同的单调性。
4、y＝f[g(x)]是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性恰好相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。
简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点等距的.两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
(1)谋某些函数的值域或最值。
(2)比较函数值或自变量值的大小。
(3)求解、证不等式。
(4)求参数的取值范围或值。
(5)并作函数图象。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
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上单调递增
变式1：设函数f ( x) 2x3 （3 a 1）x2 6x 7, 若f ( x)在（- ，0）上为增函数，求a的取值范围
变式2：设函数f ( x) 2x3 （ 3 a 1）x2 6ax 7, 若f ( x)在（- ，0）上为增函数，求a的取值范围
f ( x) 0在区间D上有解
例1：求函数f ( x) 2x3 3x2 6x 7 的增区间
解：f ( x) 6x2 6x 6 0
x 1 5 或x 1 5
2
2
f
(
x)在
,
1
2
5
和
1
2
5
，
高考二轮复习专题
——已知函数单调性，求参数范围
骆驼中学 劳冠钧
导数与函数单调性之间的关系：
f ( x) 0
f ( x)单调递增
f ( x) 0
f ( x)单调递减
f ( x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0在区间D上无解
函数f ( x)在区间D上单调
反之不成立
函数f ( x)在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间D上不单调
变式3：设函数f ( x) 2x3 （ 3 a 1）x2 6(a2 1)x 7, 若f ( x)在（- ，0）上为增函数，求a的取值范围
已知函数f ( x) x3 ax2 x 1,a R， 若f ( x)在区间（- 2， 1）内为减函数，求a的取值范围
33
已知函数f ( x) x3 1 a x2 a(a 2)x b,a,b R，
若函数f ( x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围