2000~2001年上海高考数学试题

合集下载

2000年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)

2000年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1.已知向量OA (－1,2)、OB ＝(3,m),若OA ┴OB ,则m ＝。

2.函数,xx y --=312log 2的定义域为。

3.圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

4.计算:nn n )2(lim +＝。

5.已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ,则b＝。

6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%,若GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍,至少需年。

(按:1999年本市常住人口总数约1300)7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,命题A 的等价题B 可以是:底面为正三角形,且的三棱锥是正三棱锥。

8.设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ,则在区间[1,2]上)(x f ＝。

9.在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示) 10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是。

11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点,则=AB 。

12.在等差数列{}n a 中,若0=z a ,则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立,类比上述性质,相就夺:在等此数列{}n b 中,若10=b ,则有等式成立。

2001年高考数学试题(全国文)及答案1

(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4； (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4； (C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4； (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4。

(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π； (B) π33； (C) 6π； (D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是 ( )(A)(210，)； (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，； (C) (21，＋∞)； (D) (0，＋∞)。

2001年春季高考数学试题及答案(上海)

绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分． 1．函数)0(1)(2≤+=x xx f 的反函数=-)(1x f______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z=________．3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：nn n n )13(lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即2baba +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a、b、c都能成立的一个等式可以是_______。

11．关于x的函数)sin()(φ+=xxf有以下命题：（1）对任意的φ，)(x f都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f既是奇函数，又是偶函数；（3）存在φ，使)(x f是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_______。

因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。

12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%。

乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。

2001年高考数学试题(全国文)

(详细解析)2000年高考(全国旧课程)数学试题及答案(文科)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}|101,|||5A x x Z x B x x Z x =∈-≤≤-=∈≤且且，则A B 中的元素个数是A ．11B ．10C ．16D ．15 【答案】C【解析】由题设可得{}{}|101,|55A x x B x x =-≤≤-=-≤≤，所以A B 中有11个元素，即10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5----------．2．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3 【答案】B【解析】所求复数为1(3)sin()](3)()332i ππ-+-==-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac =abc =，∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确；取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确．方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．已知两条直线12:,:0l y x l ax y =-=，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(3C ．((1,3)3D ．【答案】C【解析】直线1l 的倾斜角为4π，设2l 的倾斜角为θ，则412412ππππθ-<<+，且4πθ≠，即64ππθ<<或43ππθ<<，所以a 的取值范围是(1,3)．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．y =B ．y =C ．x y 33=D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =，所求切线x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 A ．321B ．21 C ．21 D ．421【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得cos θ=．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．【答案】( 【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得 225419x c <-=，解得x <<．方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴c =133PF x =+，23PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得x <<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ．【答案】n1【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a na n +=+，累成得1n a n =．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数cos ,y x x x R +∈．（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图像可由sin ()y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）cos 2(sin coscos sin )66y x x x x ππ=+=+2sin()6x π=+，x R ∈． ——3分y 取得最大值必须且只需2,62x k k Z πππ+=+∈，即2,3x k k Z ππ=+∈．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭|． ——6分（Ⅱ）变换的步骤是：（ⅰ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；—9分（ⅱ）令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin()6y x π=+的图像；经过这样的变换就得到函数cos y x x =+的图像． ——12分18．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ．【解】本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)2n S na n n d =+-． ∵7157,75S S ==，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得12,1a d =-=． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{nS n }是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴ n n T n 49412-=． ——12分19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=1C CD BCD ∠=∠．（Ⅰ）证明：1C C BD ⊥；（Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结11,AC AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=．又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——3分但1,AC BD ACC O O ⊥=，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——6分（Ⅱ）当11CDCC =时，能使1AC ⊥平面1C BD ．证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==，又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——9分设1AC 与1C O 相交于G ．∵11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =．又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1AC ⊥平面1C BD ． ——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD AC ⊥． ——9分当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD AC ⊥的证法可得11BC AC ⊥，又1BD BC B =，∴1AC ⊥平面1C BD ． ——12分20．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（Ⅰ）解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）证明：当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|；当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =-． ——9分1<，且1a≥，a-<，又12x x<，∴12()()0f x f x->，即12()()f x f x>．所以，当1a≥时，函数()f x在区间),0[+∞上是单调递减函数．——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t tf tt t-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记(,0),(,),(,0)2cA c C hB c -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h h y E 198********=+⨯+=． ——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =．由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 2222222211,44964 1.361361c h a b c h a b ⎧⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩ ——10分由①式得1412222-⋅=a c bh ，代入②式得922=a c ．所以，离心率322==a c e ． ——14分。

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =．【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ．【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数，则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 _____ ．【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素个数为 _____ 个．【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ．【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ．【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x --+的展开式中，常数项为 _____ ．【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里），平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是 A ．若//a b ，则//αβ B ．若αβ⊥，则a b ⊥ C ．若,a b 相交，则,αβ相交 D ．若,αβ相交，则,a b 相交【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x ⋅--'==，∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<．可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分）于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分）又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c = ...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c = ...... （12分）故c【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分）若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(5,0),(5,0)F F -． ......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4(5,)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分）若12F PF ∠为直角，则22194155x y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，解得3545,x y ==，即3545(,)P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示）【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立．因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分）过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B B BD a B DB BD''=∠==，故二面角B EF B '--的大小为tan arc ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=的一个根．试用列举法表示集合M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1)i α=+或2)i α=-． ......（2分）当1)i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,(1),(1),(1),)2222i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+---+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)2i α=-时，∵22i α=-，∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分）（Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==，在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当22a >时，12f f >；当22a =时，12f f =；当022a <<时，12f f <．因此，当22a >时，清洗两次后残留在农药量较少；当22a =时，两种清洗方法具有相同的效果；当022a <<时，一次清洗残留的农药量较少． ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力． 22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+．（Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；数据0x 的（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞，∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分）（Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =．即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；word 格式-可编辑-感谢下载支持当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<．要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++，若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷上海卷理

2000年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

（1）已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。

（2）函数，x x y --=312log 2的定义域为。

（3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

（4）计算：nn n )2(lim += 。

（5）已知b x f x+=2)(的反函数为)(),(11x fy x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。

（6）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）（7）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥（8）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。

（9）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）（10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。

（11）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

(12)在等差数列{}n a 中，若=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若1=b ，则有等式成立。

2000年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A ={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B ={x |x ∈Z 且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )(A) 11(B) 10(C) 16(D) 15(2) 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) －23i(C)3－3i (D) 3+3i(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则cos α>cos β (B) 若α、β是第二象限角，则tg α>tg β (C) 若α、β是第三象限角，则cos α>cos β (D) 若α、β是第四象限角，则tg α>tg β (5) 函数y =－x cos x 的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800～900元(B) 900～1200元(C) 1200～1500元(D) 1500～2800元(7) 若a >b >1，P =b a lg lg ⋅，Q =21(lg a +lg b )，R =lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围是( )(A) (0，1)(B) (33，3) (C) (33，1) ∪(1，3) (D) (1，3)(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) y =3x(B) y =－3x(C) y =33x (D) y =－33x (11) 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) 2a(B)a21 (C) 4a (D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 ( )(A)321(B)21 (C)21 (D)421第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有___________种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________________(15) 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)21+n a —2n na + a n +1a n =0(n =1，2，3…)，则它的通项公式是a n =_______________(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________________(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知函数y =3sin x +cos x ，x ∈R ．(Ⅰ)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(Ⅱ)该函数的图像可由y = sin x (x ∈R )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n ．(19) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD ．(Ⅰ)证明：C 1C ⊥BD ； (Ⅱ)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(20) (本小题满分12分)设函数f (x )=12+x －ax ，其中a >0． (Ⅰ)解不等式f (x )≤1；(Ⅱ)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调函数． (21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)5353<<-x (15)n1(16)②③ 三、解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =3sin x +cos x =2(sin x cos 6π+cos x sin 6π) =2sin(x +6π)，x ∈R ——3分 y 取得最大值必须且只需x +6π=ππk 22+，k ∈Z ，即x =ππk 23+，k ∈Z ．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =3π+2k π，k ∈Z }． ——6分 (Ⅱ)变换的步骤是：(1)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x +6π)的图像； ——9分 (2)令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =2sin(x +6π)的图像；经过这样的变换就得到函数y =3sin x +cos x 的图像． ——12分 (18)本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+21n (n －1)d ． ∵ S 7=7，S 15=75，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得a 1=－2，d =1． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴ n n T n 49412-=． ——12分 (19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD ．又∵ ∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C =C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ， ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB ，∴ C 1O ⊥BD ， ——3分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O = O ， ∴ BD ⊥平面AC 1．又 C 1C ⊂平面AC 1，∴ C 1C ⊥BD ． ——6分 (Ⅱ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD =C 1C ，又∠BCD =∠C 1CB =∠C 1CD ，由此可推得BD =C 1B =C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——9分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1C 1∥AC ，且A 1C 1：OC =2：1， ∴ C 1G ︰GO =2︰1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1， ∵ A 1C ⊂平面AC 1，∴ BD ⊥A 1C ． ——9分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1C 的证法可得BC 1⊥A 1C ． BD BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(Ⅰ) 解：不等式f (x )≤1即12+x ≤1+ax ，由此得1≤1+ax ，即ax ≥0，其中常数a >0．所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0,1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥.021,02a x a x ——3分所以，当0<a <1时，所给不等式的解集为{x |0≤x ≤212a a-}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)证明：在区间[)∞+，0上任取x 1、x 2，使得x 1<x 2．f (x 1)－f (x 2)=112221+-+x x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——9分∵11222121++++x x x x <1，且a ≥1，∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)> f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调递减函数． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，所以，当t =50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2+100，所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c cc x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E 19811811180=+⨯+=．——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac bh a c——10分 ① ②由①式得1412222-⋅=a c bh 代入②式得922=a c 所以，离心率322==a c e ——14分。

2001年上海卷(文)

2001年上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分48分） 1．设函数x x f 9log )(=，则满足21)(=x f 的x 值为． 2．设数列{}n a 的首项71-=a ，且满足12n n a a +=+（n ∈N ），则1217a a a +++= ．3．设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是．4．设集合{}|2lg lg(815),A x x x x ==-∈R ，|cos 0,2x B x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R ，则A B 的元素个数为个．5．抛物线0342=--y x 的焦点坐标为．6．设数列{}n a 是公比0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和．若lim 7n n S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围是．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种．（结果用数值表示）8．在621⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项为．9．设sin x α=，且5,66a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos x 的取值范围是． 10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是．11．已知两个圆：221x y +=①与()2231x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两圆的0.25方案盈概率1A 利自然状况(万)元1S 2S 3S 0.300.452A 3A 4A 507020-986526528226167810-对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例．推广的命题为．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．下面第1个图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下面第2个图中图示为：二．选择题（本大题满分16分）13．3a =是直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行且不重合的 ( )（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 ( )（A ）1122a b c -++ （B ）1122a b c ++ （C ）1122a b c -+ （D ）1122a b c --+ 15．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是 ( ) （A ）若a b ，则αβ （B ）若αβ⊥，则a b ⊥（C ）若a 、b 相交，则α、β相交（D ）若α、β相交，则a 、b 相交 16．用计算器验算函数lg xy x=（1x >）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 ( )（A ）lg x y x =在()1,+∞上是单调减函数（B ）lg xy x =在()1,+∞上有最小值（C ）lg x y x =在()1,+∞上的值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）lg lim 0n n n →∞=，（n ∈N *） 2000199019801970196019501014182226年平均土地沙化面积（百平方公里）年份200019901980197019601950250.1253.3257.5260年份土地沙化总面积（万平方公里）ABCD1A 1B 1C 1D M三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是ABC 中A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC 的面积．若4a =，5b =，S =c 的长度．18．(本题满分12分) 设1F 、2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．、19．(本题满分14分)第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体''''OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：''A F C E ⊥；（2）当三棱锥'B BEF -的体积取得最大值时，求二面角'B EF B --的大小．20．(本题满分14分)第1小题满分4分，第2小题满分10分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}|,nz M z n ωω==∈N ．（1）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．A'B CO 'O 'C 'A BFE21．(本题满分16分)第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次．．．．后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）设规定()0f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应满足的条件和具有的性质；（3）设()211f x x =+．现有a （0a >）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．22．(本题满分18分)第1小题满分5分，第2小题满分5分．第3小题满分8分．对任意函数()f x ，x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出()10x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出()21x f x =，并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+．（1）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）是否存在0x ，在输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0，） 6.（0，7）7.78.15 9.[0，] 10.(理)（，）11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2①(x－c)2+(y－d)2=r2②（a≠c或b≠d），由①－②，得两圆的对称轴方程.12.二、CADD三、17.或.18.2或.19.（1）利用空间直角坐标系证明；（2）arctan2.20.(理)（1）M a={(1+i)，－(1－i)，－(1+i)，(1－i)}.∴P==.（2）∵ω∈M z，∴存在m∈N，使得ω=z2m－1.于是对任意n∈N，ω2n－1=z(2m－1)(2n－1)，由于(2m－1)(2n－1)是正奇数，ω2n－1∈M z，所以MωM z .(文)(1) M z={i，－1，－i，1}, P==.(2)z=21.（1）f（0）＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样；（2）函数f（x）应满足的条件和具有的性质是：f（0）＝1，f（1）＝，在[0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1；（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=，清洗两次后残留的农药量为：f2==则由f1－f2可得：①当a＞2时，f1＞f2；②当a＝2时，f1＝f2；③当0＜a＜2时，f1＜f2.22.（1）x1=，x2=，x3=－1.（2）当x0=1时，x n=1，当x0=2时，x n=2.（3）(理)x0∈（1，2）,(文)不存在.。

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =．【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ．【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数，则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 _____ ．【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素个数为 _____ 个．【答案】1【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ．【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ．【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x--+的展开式中，常数项为 _____ ．【答案】15【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里），平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是 A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是A ．若//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x⋅--'==， ∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<．可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===，求c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分）于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分）又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c =...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c =． ...... （12分）故c．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题． 18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分）若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(F F ． ......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分）若12F PF ∠为直角，则221941x y ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得,55x y ==，即(,55P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示）【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分） ∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立．因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分）过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高， ∴2,tan 224B B BD a B DB BD''=∠==，故二面角B EF B '--的大小为tan 22arc ． ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1(1)2i α=+或2(1)2i α=-． ......（2分）当1(1)2i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,),),)i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+-+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)i α=-时，∵22i α=-， ∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分）（Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==，在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当a >12f f >；当a =12f f =；当0a <<12f f <．因此，当a >当a =当0a << ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+．（Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞， ∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分）（Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =．即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<．要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++，若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。

【速度】详细解析2000年上海高考数学理

【关键字】速度2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷公有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题公有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量，若，则．【答案】4【解析】，，∴．2．函数的定义域为．【答案】【解析】．3．圆锥曲线的焦点坐标是．【答案】【解析】参数方程化为普通方程，∴焦点为，即．4．计算：．【答案】【解析】．5．已知的反函数为，若的图象经过点，则．【答案】1【解析】若的图象经过点，则过点，将点的坐标代入得，∴．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万）【答案】9【解析】由题设条件可得，解得，∴．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等侧棱与底面所成角相等……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间上的图象为如图所示的线段，则在区间上．【答案】【解析】由题设关于点对称，由周期性将向右平移两个单位得，所在的直线过原点，∴在区间上．9．在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）【答案】【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是．【答案】【解析】本小题考查等可能事件的概率．．11．在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则．【答案】【解析】化为普通方程：和，将代入得，∴．12．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的：在等此数列中，若，则有等式成立．【答案】【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理．∵，根据等边数列的性质和类比有．二、选择题（本大题满分16分）本大题公有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数（是虚数单位）的三角形式是A ．B ．C ．443(cossin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+ 【答案】C 【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+． 14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则s T 是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以sT S =． 16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则sin 5α=B ．同时满足13sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D ．三角方程tan()33x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()3tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为1(22,0)F -和2(22,0)F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的中点坐标．【解】设椭圆C 的方程为22221x y a b+=， ……………（2分）由题意3,22a c ==，于是1b =，∴椭圆C 的方程为2219x y +=． ……………（4分）由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270x x ++=，因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x +=-，故线段AB 的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积．【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-，……（6分）设BE 与AD 所构成的角为θ，则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-．且AD 与BE 所成的角的大小为10arccos10， ∴2221cos 410z θ==+，得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分）又16ABCD V AB BC BD =⨯⨯，因此四面体A BCD -的体积83． ……（12分）解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF ∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分） ∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，222AF BE ==． ……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==．∴DF DA =． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAF AF AD ，故422=-=AB AD BD ， ……（10分）又16A BCD V AB BC BD -=⨯⨯，因此四面体A BCD -的体积是38． ……（12分） 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞．（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f 在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分） )(x f 地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分）（2）解法一：在区间),1(+∞上， 22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-． ……（14分）（2）解法二：()2,[1,)a f x x x x=++∈+∞，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分）当0a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a =+， ……（12分）于是当且仅当min ()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-． ……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．【解】（1） 45,24==θr ，得指令为(42,45)， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有 22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x ，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5( -． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b ，对每个自然数n ，点n P 位于函数2000()(010)10x a y a =⋅<<的图象上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶点的等腰三角形．（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围．（3）设12()n n B bb b n N =∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数．【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10x a y a =⋅<<递减， ∴对每个自然数n ，有12n n n b b b ++>>，则以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n n b b b +++>，即2()()101010a a +->， ……（7分）解得5(15)a <-+或5(51)a >-，∴5(51)10a -<<． ……（10分）（3）∴5(51)10a -<<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分）数列{}n b 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥n b 时，1-≥n n B B ，当1n b <时，1n n B B -<，因此，数列{}n B 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b +<．由1272000()110n n b +=≥，得20.8n ≤， 20n ∴=． ……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知复数01(0)z mi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【解】（1）由题设，002w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且0m >，得m ， ……（3分）因此由i y x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式,.x x y y ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩ ……（5分）（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(11)1,x x y x ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩ ……（7分）消去x ，得232)32(+-'-='x y ，故点Q 的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴b y x k y x ++=-)3(3，即b x k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-k k k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分）当0=b 时，由1)1k k -+=，得03232=-+k k ，解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=， ……（18分）解法二：取直线上一点)0,(k b P -，其经变换后的点)3,(kb k b Q --仍在该直线上， ∴b kb k k b +-=-)(3，得0=b ， ……（14分）故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上． ∴)31(3k k k +=-， ……（16分）即03232=-+k k ，得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=， ……（18分）此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

(详细解析)2000年上海高考数学(理)

(详细解析)2000年上海高考数学(理)2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA AB⊥，则m =．【答案】4【解析】(4,2)AB m =-，42(2)0OA AB OA AB m ⊥⇒⋅=-+-=，∴4m =．2．函数221log3x y x-=-的定义域为．【答案】)3,21( 【解析】2110(21)(3)0(21)(3)0332x x x x x x x ->⇒-->⇒--<⇒<<-．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万）【答案】9【解析】由题设条件可得4035(19)403521300(10.08)1300n n +≥⨯+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数)(x fy=是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上()f x=．【答案】x【解析】由题设(1,1)B'-关于点B对称，由周期性将B A'向右平移两个单位得BA'，BA'所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x=．9．在二项式11)1(-x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）【答案】462-【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C-=-．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是．【答案】141【解析】本小题考查等可能事件的概率．39321114P C ⨯⨯==．11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B两点，则=AB ．【答案】32【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =代入得3y = ∴23AB =12．在等差数列{}na 中，若10a=，则有等式121219nna a a a a a -+++=+++(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}nb 中，若91b=，则有等式成立．【答案】121217(17,)n n b bb b b b n n N -=<∈【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理． ∵91b =，根据等边数列的性质和类比有121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数3(cos sin )55z i ππ=--（i 是虚数单位）的三角形式是A ．3[cos()sin()]55i ππ-+-B ．3(cos sin )55i ππ+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+【答案】C【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+．14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a 其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A 【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,xS y y x R T y y xx R ==∈==-∈，则sT是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S=．16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则25sin α=B ．同时满足13sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D ．三角方程tan()33x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()3tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为1(22,0)F -和2(22,0)F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB的中点坐标．【解】设椭圆C的方程为22221x y a b +=， ……………（2分）由题意3,22a c ==，于是1b =， ∴椭圆C的方程为2219x y +=． ……………（4分）由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270xx ++=，因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x+=-，故线段AB的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积．【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-，……（6分）设BE 与AD 所构成的角为θ，则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-．且AD与BE所成的角的大小为10arccos，∴2221cos 410z θ==+，得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分）又16ABCDVAB BC BD =⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积83． ……（12分）解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，222AF BE ==．……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==． ∴DF DA=． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ，故422=-=AB AD BD ， ……（10分）又16A BCDVAB BC BD -=⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积是38． ……（12分）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞．（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f 在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分）)(x f 地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分）（2）解法一：在区间),1(+∞上，22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x x y ， 1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，ay +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min30ya =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-．……（14分）（2）解法二：()2,[1,)af x x x x=++∈+∞，当≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分）当a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a=+， ……（12分）于是当且仅当min()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-．……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．【解】（1）45,24==θr ，得指令为(42,45)， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5( -． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b ，对每个自然数n ，点nP 位于函数2000()(010)10xa y a =⋅<<的图象上，且点nP 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以nP 为顶点的等腰三角形．（1）求点nP 的纵坐标nb 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,nn n b bb ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围．（3）设12()nn Bb b b n N =∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}nB 的最大项的项数．【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10xay a =⋅<<递减，∴对每个自然数n ，有12nn n bb b ++>>，则以21,,++n n nb bb 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n nb b b +++>，即2()()101010a a+->，……（7分）解得5(15)a <-+或5(51)a >-，∴5(51)10a <<．……（10分）（3）∴51)10a <<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分）数列{}nb 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥nb时，1-≥n nB B，当1nb<时，1nn BB -<，因此，数列{}nB 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b+<．由1272000()110n n b+=≥，得20.8n ≤，20n ∴=．……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知复数01(0)zmi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【解】（1）由题设，02w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且m >，得3m = ……（3分）因此由iy x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式3,3.x x y x y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（5分）（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(13)3,31)1,x x y x x ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（7分）消去x ，得232)32(+-'-='x y ，故点Q的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴by x k y x ++=-)3(3，即bx k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分）当0=b 时，由31)31k k k-+-=，得3232=-+k k ，解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）解法二：取直线上一点)0,(kb P -，其经变换后的点)3,(kb k b Q --仍在该直线上，∴b kbk k b +-=-)(3，得=b ， ……（14分）故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上．∴)31(3k k k +=-，……（16分）即3232=-+k k ，得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）。

2000届上海高考数学理科卷(含答案)

2000上海高考数学试卷（理）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向 OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m=。

2．函数，x x y --=312log 2的定义域为。

3．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

4．计算：n n n )2(lim +=。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象过点)2,5(Q ，则b =。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f =。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。

11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=z a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++≺⋯⋯成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若10=b ，则有等式成立。

2001高考数学全国卷及答案文

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4 (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是 ( ) (A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg是 ( )(A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x(D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减．其中，正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = (16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）15 （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k = 2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得 ()25502212=⋅-+⋅k k k ，整理得 k 2＋k －2550 = 0，解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k = 50． ——6分（Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分 ∴ 1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ．——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面 43131⨯⨯= 41=． ——4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ——10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tg ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ——12分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cos A ，在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C = 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C ∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°，∴ 38120sin 16=︒=S ． ——12分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2pmy x +=； ——4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840．设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10)= λ x 2＋(16λ＋10) x ＋160， ——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ． ——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S 取得最小值． ——8分此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ——2分 ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，2)1(=f ，∴ f (21)212=． ——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=，f (21)212=，∴ f (41)412=． ——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称，故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ——11分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ——14分。

2000年高考.上海卷.文科数学试题及答案

2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。

2．函数xx y --=312log 2的定义域为。

3．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是。

4．计算：=+∞→nn n n )2(lim 。

5．已知b x f x+=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x fy -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f = 。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数是小的项的系数为。

（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。

11．图中阴影部分的点满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2001年上海高考数学试题一、填空题1.(理)设函数f(x)=，则满足41)(=x f 的x 值为 . (文) 设函数x x f 9log )(=, 则满足21)(=x f 的x 值为 .2.(理)设数列的通项为a n =2n －7(n ∈N*)，则|a 1|＋|a 2|……＋|a 15|= . (文) 设数列的首项,且满足,则a 1＋a 2……＋a 17= . 3.设P 为双曲线－y 2=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 . 4.设集合A={x|2lgx=lg(8x —15)，x ∈R}B={x|cos＞0，x ∈R}，则A∩B 的元素个数为个. 5.抛物线x 2－4y －3=0的焦点坐标为 .6.设数列是公比q ＞0的等比数列，S n 是它的前n 项和.S n ＝7，则此数列的首项a 1的取值范围是 .7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）8.(理)在代数式(4x 2－2x －5)(1+)5的展开式中，常数项为 .(文) 在代数式62)1(x x -的展开式中，常数项为 .9.设x=sinα，α∈［－，］，则arccosx 的取值范围为 .10.(理)直线y=2x －与曲线（φ为参数）的交点坐标为 .11.已知两个圆：x 2+y 2=1①与x 2+(y －3)2=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.12. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为.二、选择题13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝、＝、＝，则下列向量中与相等的向量是（）A.－＋＋B.＋＋C.－＋D.－－＋15.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（）A. 若a∥b，则α∥βB.若α⊥β，则a⊥bC.若a、b相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a、b相交16. 用计算器验算函数y=（x＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（）A. y=在（1，+∞）上是单调减函数B. y=，x∈（1，+∞）的至于为（0，C. y=，x∈（1，+∞）有最小值D.=0 ，n∈N三、解答题17.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度.18.设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.19.在棱长为a的正方体OABC－O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF. （1）求证：A'F⊥C'E；（2）当三棱锥B'－BEF的体积取得最大值时，求二面角B'－EF－B的大小.（结果用反三角函数表示）20.(理)对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z2n-1，n∈N*}.（1）设a是方程x+＝的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，求其和为零的概率P；（2）设复数ω∈M z，求证MωM z .(文) 对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z n，n∈N*}.（1）设a是方程1=+xx的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，求其和为零的概率P；（2）设集合M z中只有3个元素,试写出满足条件的一个z的值,并说明理由 .21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数f（x）.（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由22. 对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.现定义f（x）=.（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}.请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；（3）(理)若输出x0时，产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n均有x n＜x n+1，求x0的取值范围.(文)是否存在x0,,在输入数据x0时, 该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。

2．函数xx y --=312log 2的定义域为。

3文．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是。

3理．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是。

4．若常数t 满足|t|>1,计算：=++++-∞→)...1(lim 12n n n tt t t 。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。

8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f =。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为。

（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。

11文．所有满足不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x 的点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是。

11理．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式*),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立。

二、选择题。

13．函数]2,2[),2sin(πππ-∈+=x x y 是（A ）增函数（B ）减函数（C ）偶函数（D ）奇函数[答]（） 14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a a //，a b //，则b a //。

（2）若a a //，β//a ，则β//a 。

（3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3[答]（）15．若集合{}{}T S R x x y y T R x y y S x 则,,1|..3|2∈-==∈==是（A ）S （B ）T （C ）φ（D ）有限集[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则552sin =a 。

（B ）同时满足23cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。

（C ）当1|| a 时，)(arcsin a tg 的值恒正。

（D ）三角方程3)3(=+πx tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1-F 和)0,22(2F ，长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD 的体积。

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。

已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f 。

（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值。

（2）若对任意],1[+∞∈x ，0)( x f 恒成立，试求实数a 的取值范围20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0(≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

2000~2001年上海高考数学试题

2000年全国普通主等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)

2001年高考数学试题(全国文)及答案1

2001年春季高考数学试题及答案(上海)

2001年高考数学试题(全国文)

(详细解析)2000年高考(全国旧课程)数学试题及答案(文科)

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷上海卷理

2000年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

2001年上海卷(文)

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

【速度】详细解析2000年上海高考数学理

(详细解析)2000年上海高考数学(理)

2000届上海高考数学理科卷(含答案)

2001高考数学全国卷及答案文

2000年高考.上海卷.文科数学试题及答案

2000年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)