(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科

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2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

(详细解析)2000年高考数学试卷(全国旧课程)理科

2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ，映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是A ．2B ． 3 C． 4 D． 5【答案】 C【解析】 2n n 20 ，解得 n 4 ．2．在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是3A ． 2 3 B． 2 3i C． 3 3i D． 3 3i【答案】 B【解析】所求复数为(3 3i )[cos( ) i sin()] (3 3i)( 13 i )2 3i ．3 3 2 23．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2, 3, 6 ，这个长方体对角线的长是A ． 2 3B． 3 2 C． 6 D． 6【答案】 D【解析】设长、宽和高分别为a,b, c ，则 ab 2, bc 3, ac 6 ，∴ abc6 ，∴ a 2, b 1, c 3 ，∴对角线长l 2 1 3 6 ．12000 年高考数学试题（全国旧课程）理科4．已知sin sin ，那么下列命题成立的是A ．若, 是第一象限角，则cos cosB ．若, 是第二象限角，则tan tanC．若, 是第三象限角，则cos cosD ．若, 是第四象限角，则tan tan【答案】D【解析】用特殊值法：取60 , 30 ，A 不正确；取120 , 150 ， B 不正确；取210 ,240 ， C 不正确； D 正确．5．函数 y x cos x 的部分图像是【答案】 D【解析】函数y x cos x 是奇函数， A 、 C 错误；且当x (0, ) 时， y 0 ．26．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元 B ．900~1200 元C．1200~1500 元D． 1500~280 0 元【答案】 C【解析】当月工资为1300 元时，所得税为25 元； 1500 元时，所得税为25 20 45元，所以选 C．22000 年高考数学试题（全国旧课程）理科7．若 a b 1 ， Plg a lg b,Q 1 lg a lg b ,R lg a b，则2 2A ． R P QB ． P Q RC ． Q P RD ． P R Q【答案】 B【解析】方法一：1lg a lg b 1(2 lg a lg b)lg a lg b ； lg a b lg ab22 21lg a lg b ，所以 B 正确． 2方法二：特殊值法：取 a100, b 10 ，即可得答案．8．以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， 1 为半径的圆的方程是 A ．2cosB ．2sin44C ．2cos1D ．2sin1【答案】 C【解析】设圆上任意一点M ( , ) ，直径为 2，则 2cos(1) ，即2cos1 ．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是1 2 1 4 1 2 1 4A ．B ． 4C ．D ．2 2【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高 h 2 r ， S 全 2 r 2 (2 r )21 2 ． S 侧 (2 r )2210．过原点的直线与圆x 2y 24x 3 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ． y 3xB ．y 3x C ． y 3 x D ． y3 x3 3 【答案】C【解析】圆的标准方程为( x 2) 2 y 21，设直线的方程为 kx y 0 ，由题设条件可得2k，解得k 3 ，由于切点在第三象限，所以 k3y313 ，所求切线x ．1 k23 332000 年高考数学试题（全国旧课程）理科11 y ax (a 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段 PF与FQ的．过抛物线 2长分别是 p, q ，则11 等于p qA ． 2 a1C． 4a4 B．D．2a a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y 轴，即将y1 1代入抛物线方程得x ，4a 2a∴ 1 1 4a ．p q【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图， OA 是圆锥底面中心 A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为1 1A ． arccos 32B． arccos 2C． arccos 1D． arccos 12 4 2【答案】 D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为 h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过 A 向轴作垂线 AC ，垂足为 C ，OA r cos , CA OA cos r cos2，∴ V11( r cos2 ) 2 h ，原3圆锥的体积为V 1 r 2h 2V12r2h cos4，解得cos 4 2 ，∴arccos41．3 3 2第II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛． 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】 25242000 年高考数学试题（全国旧课程）理科【解析】不同的出场安排共有 A 33 A 72252 ．14．椭圆 x 2 y 2F 1PF 2 为钝角时，点 P 横9 1的焦点为 F 1, F 2 ，点 P 为其上的动点，当4 坐标的取值范围是．【答案】 ( 3 , 3)5 5【解析】方法一：（向量法）设 P( x, y) ，由题设 PF 1 PF 2 0 ，即( x c,y) ( x c,y) 0，x 2 2 y 2 0 ，又由 x 2 y 2 1得y2 4x 2 ，代入 x 2 c 2 y 2 0 并化简得 c 94 4 95x 2 c 24 1 ，解得 3 x3 ．9 5 5方法二：（圆锥曲线性质）设P( x, y) ，∵ a 3,b 2 ，∴ c 5 ，又 PF 13 5x ，3 PF 2 35x ，当22F 1F 2 23x 33 F 1PF 2 为钝角时， PF 1PF 2 ，解得 5 ．515．设 a n 是首项为 1的正项数列，且 (n 1)a 2 na 2 a a 0(n 1,2,3,...) ，则它 n 1 n n1 n 的通项公式是 a n ．【答案】 1n【解析】条件化为 (a n1 a n )[( n 1)a n 1 na n ] 0 ，∵ a n 0 ∴ ( n 1)a n 1 na n0 ，即 an1 n ，累成得 a n 1 ．a n n 1 n16．如图， E, F 分别为正方体的面ADD1A1、面 BCC1 B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．52000 年高考数学试题（全国旧课程）理科填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）已知函数y 1 cos2 x 3 sin xcos x 1, x R ．2 2（ I）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ II ）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分 12 分．（Ⅰ） y 1 cos2 x 3 sin x cosx 11 (2cos 2x1) 1 3 (2sin x cos x) 12 2 4 4 41 cos2x3 sin 2 x 5 1 (cos2x sin sin 2xcos ) 54 4 4 2 6 6 41 sin(2x) 5 ．—— 6 分2 6 4y 取得最大值必须且只需2x6 2 2k , k Z ，即 x k , k Z ．6所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为x|x k , k Z—— 8分6（Ⅱ）将函数y sin x 依次进行如下变换：（ i）把函数y sin x 的图像向左平移，得到函数y sin( x ) 的图像；6 6（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数2 y sin(2x ) 的图像；662000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 1 倍（横纵坐标不变），得到函数1 sin(2 x 2y) 的图像；2 65 个单位长度，得到函数1 sin(2 x 5（ iv ）把得到的图像向上平移)的图像；4 2 6 4综上得到函数y 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 的图像．—— 12 分2 218．（本小题满分 12分）如图，已知平行六面体1 11的底面 ABCD 是菱形，且 1 ABCD A1BC D C CBC1CD BCD 60 ．（I）证明： C1C BD ；（II ）假定CD 2,CC13，记面 C1BD为，面 CBD 2为，求二面角BD 的平面角的余弦值；（Ⅲ）当CD的值为多少时，能使AC1平面 C1BD ？请给出证明．CC1【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12 分．（Ⅰ）证明：连结 AC1 1 , AC ， AC 和 BD 交于 O ，连结 C1O ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC BD ,BD CD ．又∵BCC1DCC1, C1C C1C ，∴C1BCC1DC ，∴ C1 B C1D ，∵DO OB ，∴C1O BD ，—— 2 分但 AC BD, AC C1O O ，∴ BD 平面 AC1，又 CC1平面 AC1，∴CC1BD ．—— 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC BD ,C1O BD ，72000 年高考数学试题（全国旧课程）理科∴C1OC 是二面角BD的平面角．在C1 BC 中， BC 2, C1C 3 ,BCC160 ，( 3)2 3213∴ C1B222 2 2 cos 60 ．—— 6 分2 24∵OCB30 ，∴OB 1 BC1．2∴ C1O 2C1B2OB213 19 ，34 4∴ C1O，即 C1O C1C ．2作 O1H3 OC ，垂足为 H ．∴点 H 是 OC 的中点，且OH ，2所以 cos C1OC OH 3．—— 8分C1O 3（Ⅲ）当CD 1时，能使AC1平面C1BDCC1证明一：∵CD1，∴BC CDC1C，CC1又BCD C1CBC1CD ，由此可推得BD C1 B C1D ．∴三棱锥C C1BD 是正三棱锥．—— 10分设AC1与 C1O 相交于G ．∵AC11// AC ，且 AC11 :OC2:1 ，∴ C1G :GO 2:1 ．又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线，∴点 G 是正三角形 C1BD 的中心，∴CG 平面 C1BD ．即 AC1平面 C1BD ．—— 12 分证明二：由（Ⅰ）知，BD 平面 AC1，∵ AC 平面 AC ，∴ BD AC ．—— 10 分1 1 1当CD 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC182000 年高考数学试题（全国旧课程）理科同 BD AC 1 的证法可得BC 1AC 1 ，又 BC 1 B AC C 1BDBD ，∴ 平面．—— 12 分1 19．（本小题满分12 分）设函数 f xx 2 1 ax ，其中 a 0 ．（I ）解不等式 fx 1；（II ）求 a 的取值范围，使函数 f x 在区间 [0, ) 上是单调函数．【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分 12分．（Ⅰ）不等式f x 1 即 x 2 1 1 ax ，由此得 1 1 ax ，即 ax 0 ，其中常数a 0 ．x 2 1 (1 ax) 2 , x 0,所以，原不等式等价于即 —— 3 分 (a 2 1)x 2ax 0. 0.所以，当 0 a 1时，所给不等式的解集为 | x 2a ；x 0 1 a 2当 a 1 时，所给不等式的解集为x|x 0 ． —— 6 分（Ⅱ）在区间 [ 0,) 上任取 x , x ，使得 x x ． 1 2 1 2f ( x 1 ) f (x 2 ) x 12 1 x 22 1 a(x 1 x 2 ) x 12 x 12 x 22 a( x 1 x 2 ) 1 x 22 1 (x x )( x 1 x 2 a) ．—— 8分1 2 x 12 1 x 22 1（ⅰ）当 a 1 时，∵x 1 x 21，∴x 1 x 2a 0 ，x 12 1x 22 1x 12 1x 22 1又 x 1 x 2 ，∴ f(x 1)f (x 2 ) 0 ，即 f( x 1 )f (x 2 ) ．所以，当 a1 时，函数 f x 在区间 [ 0, ) 上是单调递减函数． —— 10分92000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ ii ）当 0 a 1 时，在区间[0, ) 上存在两点 x 1 0, x 2 2a ，满足 f (x 1 ) 1， 1 a 2f ( x 2 ) 1 ，即 f( x 1 ) f ( x 2 ) ，所以函数 f x 在区间[ 0,) 上不是单调函数．综上，当且仅当 a 1 时，函数 fx 在区间 [0, ) 上是单调函数． —— 12分20．（本小题满分 12 分）（ I ）已知数列 c n ，其中 c n 2n 3n，且数列 cn 1 pc n 为等比数列，求常数 p ；（ II ）设 a n , b n 是公比不相等的两个等比数列， c n a n b n ，证明数列 c n 不是等比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12 分．（Ⅰ）因为cn 1 pc n 是等比数列，故有 (c n 1pc n )2(c n 2 pc n 1 )(c n pc n 1) ，将c n 2n 3n 代入上式，得[2 n 1 3n 1 p(2n 3n )]2[2n 2 3n 2 p(2n 13n 1)][(2 n 3n p(2 n 13n 1 )] ，—— 3 分即[(2 p)2 n (3 p)3n ]2 [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1 ] [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1] ，整理得 1 (2 p)(3 p) 2n 3n 0 ，6解得 p2 或 p3 ．—— 6 分（Ⅱ）设 a n, b n 的公比分别为 p, q, p q ， c n a n b n ．为证 c 不是等比数列，只需证 c 2c c ． n 2 1 3 事实上，c 22 (a 1 p b 1q)2 a 12 p 2 b 12q 2 2a 1b 1 pq ，c 1 c 3 ( a 1 b 1 )(a 1p 2 b 1q 2 ) a 12 p 2 b 12q 2 a 1b 1( p 2 q 2 ) ．由于 p q, p 2 q 2 2 pq ，又 a 1 ,b 1 不为零，因此c22c1c3，故c n不是等比数列．—— 12 分102000 年高考数学试题（全国旧课程）理科21．（本小题满分 12 分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P f (t ) ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q g(t) ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分 12 分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为，t 200,f (t ) 300 t 0—— 2分2t 300,200 t 300;由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t ) 1 (t 150)2 100,0 t 300 ．—— 4分200 （Ⅱ）设 t 时刻的纯收益为 h(t) ，则由题意得 h(t ) f (t) g(t )1 2 1 175 ， t 200t 2 t 0即 h(t ) 200 2—— 6分1 2 7 1025 ，t 300t 2t200200 2 当 0 t 200 时，配方整理得h(t) 1(t 50)2 100 ，200112000 年高考数学试题（全国旧课程）理科所以，当 t 50 时， h(t ) 取得区间 [0,200] 上的最大值 100；当 200 t 300 时，配方整理得 h(t )1 (t 350) 2100 200所以，当 t 300 时， h(t) 取得区间 [200,300] 上的最大值87.5 ．—— 10分综上，由 100 87.5可知， h(t) 在区间 [0,300] 上可以取得最大值 100，此时 t 50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大．—— 12 分22．（本小题满分 14 分）如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过 C, D , E 三点，且以 A, B 为焦点．当 23 时，求双曲线离心率 e34的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14 分．如图，以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xOy ，则 CD y 轴．因为双曲线经过点 C , D ，且以 A, B 为焦点，由双曲线的对称性知 C , D 关于 y 轴对称．—— 2 分依题意，记 A( c 1 c,0), C ( , h), E( x 0 , y 0 ) ，其中 c AB 为双曲线的半焦距， h 是梯 2 2形的高．由定比分点坐标公式得cc( 2)ch2x 02( , y 0 ．11) 1 设双曲线的方程为x 2 y 2c ．a2 b 21，则离心率 ea由点 C , E 在双曲线上，将点c代入双曲线方程得C , E 的坐标和 ea122000 年高考数学试题（全国旧课程）理科e2h 21，①4 b2e2 2 2 2 h21．②—— 7分4 1 1 b 2由①式得h 2e2 1 ，③b 2 4将③式代入②式，整理得e 24 1 2 ，44故3．—— 10分1e2 2由题设2 3 得，2 1 323 ．3 4 3 e2 4 解得7 e 10 ．所以双曲线的离心率的取值范围为[ 7,10] ．—— 14分13。

2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2000高考数学全国卷及答案理-推荐下载

(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线
(A) 2 3
(B) 3 2
(4) 已知 sin sin ，那么下列命题成立的是
(A) 若、是第一象限角，则 cos cos
(B) 若、是第二象限角，则 tg tg
(C) 若、是第三象限角，则 cos cos
(C) Q P R
(B) 2sin 4
(D) 2sin 1
(C)
(C) y
1 2
3

3 x
2
税率
5%
10%
15%
…
(D) P R Q ()
(D)
1 4 2
(D) y
3
()
()
()
()
3 x
(11) 过抛物线 y ax2 a 0的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF
王新敞奎屯
(1) 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合
B 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是
数是
的长是
(A) 2
(2)
在复平面内，把复数 3
(A) 2 3
(B) 3
(B) 2 3i
(C) 4
3i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复
2000 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．

2000年全国Ⅱ高考数学试题(理)

2000年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射:f A B →把集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是A ．()3,1B ．31,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,32．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是 A．B．-C3iD．3+3A．B．CD ．64．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②||||||a b a b -<-；③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直；④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-中，真命题的有A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④5．函数cos y x x =-的部分图像是2x 26．《中华人民共和国所得税法》元宝，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额，税率不超过500元的部分5％，超过500元到2000元的部分，10％超过2000元到5000元的部分15％……，某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A．800～900元B．900～1200元C．1200～1500元D．1500～2800元7．若1a b>>，P=，1(lg lg)2Q a b=+，lg2a bR+⎛⎫=⎝，则A．R P Q<<B．P Q R<<C．Q P R<<D．P R Q<<8．右图中阴影部分的面积是A．B．9-C．323D．3539．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A．122ππ+B．144ππ+C．12ππ+D．142ππ+10．过原点的直线与圆22430x y x+++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A．y=B．y=C．y x=D．y x=11．过抛物线2(0)y ax a=>的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则11p q+等于A．2a B．12aC．4a D．14a12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为AOABCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数ξ的概率分别是14．椭圆22194x y+=的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是． 15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式是n a ＝．16．如图，E ，F 分别为正方体的面11ADD A ，面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）①② ③ ④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题有6个，判断题有4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？18．（本小题满分12分）（甲）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面△ABC 中，1CA CB ==，90BCA ∠= ，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．A BC DE F A 1B 1C 1D 1（1）求BN的长；（2）求11cos ,BA CB <>的值；（2）求证：11A B C M ⊥．18．（本小题满分12分）（乙）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面A B C D 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=．（1）证明：1C C BD ⊥；（2）假定2CD =，132C C =，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；（3）当1CDCC 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明． 19．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0a >．（1）解不等式()1f x ≤；（2）求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调函数．20．（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．21．（本小题满分12分）（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ．（1）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列．22．（本小题满分12分）如图，已知梯形ABCD 中||2||AB CD =，点E 满足AE EC λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B为焦点，当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围． ABC NMA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 1D 1DAB CDE数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．2000年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A (10) C (11)C (12) D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）（14）5353<<-x（15）n1（16）②③三、解答题（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分10分.解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择ξ0 1 2 p0.90250.0950.0025题的概率为15131191101314=-C C C C ，所求概率为1513.或+191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513. ——10分注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分. （18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识.满分12分. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，()()()3011001222=-+-+-=——2分（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B ()2 ,1 ,0. ∴()2 ,1 ,11-=BA ，()2 ,1 ,01=CB .⋅1BA 31=CB6=5=.——5分 ∴<cos ⋅1BA 301011=>CB——9分（III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭⎫⎝⎛0 ,21 ,21 ，∴ ⋅A 1=C 1002121=++-，∴⊥ 1A C 1 ， ∴A 1B ⊥C 1M . ——12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.满分12分. （I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结O C 1. ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD .又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠，∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=，∵ DO =OB ，∴ ⊥O C 1BD ， ——2分但 AC ⊥BD ，AC ∩O C1=O ，∴ BD ⊥平面1AC .又 ⊂C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD .——4分（II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ，∴ OC C 1∠是二面角βα--BD 的平面角. 在BC C 1∆中，BC =2，231=C C ， 601=∠BCC ， ∴ 41360cos 23222322221=⨯⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+= B C .——6分∵ ∠OCB = 30，∴ OB =21BC =1.∴ 49141322121=-=-=OB B C O C ，∴ 231=O C 即C C O C 11=.作H C 1⊥OC ，垂足为H.∴ 点H 是OC 的中点，且OH 23=，所以 33cos 11==∠O C OH OC C .——8分（III ）当11=CC CD时，能使C A 1⊥平面BD C 1. 证法一：∵11=CC CD，∴ BC =CD =C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得BD =D C B C 11=.∴三棱锥C - BD C 1是正三棱锥——10分设C A 1与O C 1相交于G .∵11C A ∥AC ，且11C A ∶OC =2∶1，∴G C 1∶GO =2∶1.又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线，∴点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴CG ⊥平面BD C 1.即C A 1⊥平面BD C 1——12分证法二：由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵C A 1⊂平面1AC ，∴BD ⊥C A 1. ——10分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1. 又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1.——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.思路1：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0>a .所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0, 1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥02102a x a x——3分所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ；当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x .——6分（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <2x .()()21x f x f -()21222111x x a x x --+-+=()212221222111x x a x x x x --+++-=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121. ——8分（i ）当1≥a 时， ∵111222121<++++x x x x ，∴011222121<-++++a x x x x ，又021<-x x ，∴()()021>-x f x f ，即()()21x f x f >.所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调递减函数. ——10分（ii ）当10<<a 时，在区间[)+∞,0上存在两点01=x ，2212aax -=，满足 ()11=x f ，()12=x f ，即()=1x f ()2x f ，所以函数()x f 在区间[)+∞,0上不是单调函数.综上，当且仅当1≥a 时，函数()x f 为区间[)+∞,0上的单调函数. ——12分思路2：.1)(2a x x x f -+=——4分(i)当1≥a 时，有.112a x x≤<+，此时0)(/<x f .函数)(x f 在区间（—∞,+∞）上是单调递减函数. 但f (0)=1,因此，当且仅当x ≥0时f (x )≤1 ——8分(ii)当０＜a ＜1时：解不等式0)(/<x f 得21a a x -<，f (x )在区间⎥⎦⎤⎝⎛-∞-21,a a上是单调递减函数；同理，解不等式0)(/>x f 得21a ax ->，f (x )在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞+-，21a a 上是单调递增函数.解方程f (x )=1得 2120aax x -==或. 因为221210aaa a -<-<，所以，当且仅当1)(1202≤-≤≤x f a a x 时. 综上：(Ⅰ)当a ≥1时，1)(≤x f 的解集为{}0≥x x ；当０＜a ＜1时 1)(≤x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x . (Ⅱ)当且仅当a ≥1时，f (x )在区间[0,+∞]上是单调函数.——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.满分12分.解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为()x x x 22.345.0448.14-=+--．由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，设容器的容积为3ym ，则有()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x ．整理，得x x x y 6.12.2223++-=， ——4分 ∴6.14.462++-='x x y ．——6分令0='y ，有06.14.462=++-x x ，即0411152=--x x ，解得11=x ，1542-=x （不合题意，舍去）. ——8分从而，在定义域（0，1.6）内只有在1=x 处使0='y .由题意，若x 过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值8.16.12.22=++-=最大y ，这时，高为2.1122.3=⨯-.答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为38.1m .——12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.满分12分. 解：（I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()1122-++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将n n n c 32+=代入上式，得()[]2113232nn n n p +-+++=()[]()[]11112232323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ——４分即()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得p =2或p =3. ——８分（II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，p ≠g ,n n n b a c +=.为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠.事实上，()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++.——12分由于q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列. ——14分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称. ——2分依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高. 由λ=，即),2(),0000y h x c y c x --=+λ（得λλλλ+=+-=11(2)2(00h y c x ，）．——５分设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =. 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线的方程得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-.111241422222222b h eb h e λλλλ，由①式得14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得 ()λλ214442+=-e ，故2312+-=e λ. ——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e .解得 107≤≤e . 所以，双曲线的离心率的取值范围为[]10 , 7. ——14分。

2000年全国高考理科数学试题及其解析范文

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 52. 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（） A ．23B ．i 32-C ．i 33-D ．3i 3+3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长是 ( ) A ．23B ．32C ． 6D ．64．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtg tg >C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α、β是第四象限角，则βαtg tg >5．函数x x y cos -=的部分图像是 ( )6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ． Q <P <RD ． P <R <Q 8．以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρC ． ()1cos 2-=θρD ． ()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．x y 3=B ．x y 3-=C ． x y 33=D ． x y 33-= 11．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )A ．a 2B ．a 21C ． a 4D ．a412．如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( ) A ．321arccosB ．21arccosC ． 21arccos D ． 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______16．如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？18． (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD=2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．19． (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．20． (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．21． (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)22． (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sinxcosx)＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x·sin 6π＋sin2x·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x=6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x|x=6π＋kπ，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx 依次进行如下变换： (i)把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x ＋6π)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD=CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B=C 1D ， ∵ DO=OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC∩C 1O=O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC=2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O=23即C 1O= C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH=23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC=CD= C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD= C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC=2∶1， ∴ C 1G ∶GO=2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，OHGC 1CDA BD 1B 1A 1又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x|0212aax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f(x 1)－f(x 2)=121+x －122+x －a(x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a(x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a)． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a<0，又x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．所以，当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a<1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f(x 1)=1，f(x 2)=1，即f(x 1)=f(x 2)，所以函数f(x)在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有（c n+1－pc n ）2=( c n+2－pc n+1)(c n －pc n －1)，将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p(2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n +3n －p(2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p)2n +(3－p)3n ]2=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n －1+(3－p)3n －1]，整理得61(2－p)(3－p)·2n ·3n =0，解得p=2或p=3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t －50)2＋100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t －350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A(－c ，0)，C(h c ，h)，E(x 0, y 0)，其中c=21|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =．由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e ， ①1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b he λλλλ． ②——7分由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2000年全国统一高考数学试卷(理科)

2000年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2000•全国）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）（2000•新课程）在复平面内，把复数对应的向量按顺时钟方向旋转，所得向量对应的复数是（）A．2 B．C．﹣3i D．3+3．（5分）（2000•新课程）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（）A．2 B．3 C．6 D．4．（5分）（2000•全国）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ5．（5分）（2000•新课程）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A． B．C．D．6．（5分）（2000•新课程）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．800～900元 B．900～1200元C．1200～1500元D．1500～2800元7．（5分）（2000•新课程）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q8．（5分）（2000•全国）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A．B．C．ρ=2cos（θ﹣1） D．ρ=2sin （θ﹣1）9．（5分）（2000•新课程）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．10．（5分）（2000•新课程）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．11．（5分）（2000•新课程）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．12．（5分）（2000•全国）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2000•全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．14．（4分）（2000•新课程）椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是．15．（4分）（2000•新课程）设{a n}是首项为1的正项数列，且（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是a n=．16．（4分）（2000•新课程）如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2000•全国）已知函数，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？18．（12分）（2000•新课程）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）证明：C1C⊥BD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α﹣BD﹣β的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．19．（12分）（2000•新课程）设函数，其中a＞0，（1）解不等式f（x）≤1；（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数．20．（12分）（2000•新课程）（1）已知数列{c n}，其中c n=2n+3n，且数列{c n+1﹣pc n}为等比数列，求常数p；（2）设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明数列{c n}不是等比数列．21．（12分）（2000•全国）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）22．（14分）（2000•新课程）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围．2000年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2000•全国）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3C：映射．【分析】A中的元素为原象，B中的元素为象，令2n+n=20即可解出结果．【解答】解：由2n+n=20求n，用代入法可知选C．故选：C．【点评】解决象与原象的互化问题要注意以下两点：（1）分清象和原象的概念（2）确定对应关系2．（5分）（2000•新课程）在复平面内，把复数对应的向量按顺时钟方向旋转，所得向量对应的复数是（）A．2 B．C．﹣3i D．3+【考点】A5：复数的运算．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意知复数对应的向量按顺时钟方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．【解答】解：∵由题意知复数对应的向量按顺时钟方向旋转，∴旋转后的向量为．故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数与向量的对应，是一个基础题，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．3．（5分）（2000•新课程）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（）A．2 B．3 C．6 D．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】11 ：计算题．【分析】设出长方体的三度，利用面积公式求出三度，然后求出对角线的长．【解答】解：设长方体三度为x，y，z，则．三式相乘得．故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．4．（5分）（2000•全国）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ【考点】G3：象限角、轴线角．【专题】11 ：计算题．【分析】由于题中条件没有给出角度的范围，不妨均假定0≤α，β≤2π，结合三角函数的单调性加以解决．【解答】解：若α、β同属于第一象限，则，cosα＜cosβ；故A 错．第二象限，则，tanα＜tanβ；故B错．第三象限，则，cosα＜cosβ；故C错．第四象限，则，tanα＞tanβ．（均假定0≤α，β≤2π．）故D正确．答选为D．【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数的性质是三角部分的核心，主要指：函数的定义域、值域，函数的单调性、对称性、奇偶性和周期性．5．（5分）（2000•新课程）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A． B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3M：奇偶函数图象的对称性；H7：余弦函数的图象．【专题】31 ：数形结合．【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故选：D．【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．6．（5分）（2000•新课程）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．800～900元 B．900～1200元C．1200～1500元D．1500～2800元【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】16 ：压轴题；33 ：函数思想．【分析】首先理解所得税的征收方式，分别算得个人当月工资S≤800，S∈[800，1300]，S∈（1300，2800]时应缴的税额的最大值，然后再根据税款26.78元，确定工资额．【解答】解：设收入为S元，税款为M元，则当S≤800时，M=0；当S∈[800，1300]时，M≤500•5%=25；当S∈（1300，2800]时，M≤25+1500•10%=175．题设M=26.78，故S=1300+（26.78﹣25）÷10%=1317.8．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用问题．7．（5分）（2000•新课程）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11 ：计算题．【分析】由平均不等式知．．【解答】解：由平均不等式知．同理．故选：B．【点评】本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）（2000•全国）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A．B．C．ρ=2cos（θ﹣1） D．ρ=2sin （θ﹣1）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11 ：计算题．【分析】设圆上任意一点的极坐标为（ρ，θ），直接利用极径的长为1得到关于极角与极径的关系，化简即得圆的极坐标方程．【解答】解：设圆上任意一点的极坐标为（ρ，θ），则由半径为1得，，化简得，所求方程是ρ=2cos（θ﹣1）．故选：C．【点评】本题考查点的极坐标方程的求法，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．9．（5分）（2000•新课程）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题．【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选：A．【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．10．（5分）（2000•新课程）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选：C．【点评】本题考查直线和方程的应用，数形结合的数学思想，是基础题．11．（5分）（2000•新课程）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】设PQ直线方程是，则x1，x2是方程的两根，，同理q=x2r．由此可知+的值．【解答】解：如图：设PQ直线方程是，则x1，x2是方程的两根，，其中．同理q=x2r．从而===4a．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，解题时要认真审题，仔细解答．12．（5分）（2000•全国）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（）A．B．C．D．【考点】L3：棱锥的结构特征．【专题】11 ：计算题；13 ：作图题；15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB 于D，令圆锥体的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBA=∠β，求出上部两个圆锥的体积的和，再求出大圆锥的体积，两个之比为，然后求出β的值．【解答】解；设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB于D，令圆锥的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBC=∠β将OBA看作是底面积相等的两个锥形，r2π•BD+r2π•0D=V r2π•OB=V…①V=R2π•OB…②由①、②得R2=2•r2（R=r），r=OA•COSβOA=R•COSβ，r=R•COS2β，COS2β==β=故选：D．【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2000•全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有252种（用数字作答）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意知3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，根据分步计数原理知共有A33A72，实际上是选出两个，再在两个位置上排列．【解答】解：∵3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，∴根据分步计数原理共有A33A72=3•2•1•7•6=252．故答案为：252．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．14．（4分）（2000•新课程）椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是为：．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．【解答】解：如图，设p（x，y），则，且∠F1PF2是钝角⇔x2+5+y2＜10．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题．15．（4分）（2000•新课程）设{a n}是首项为1的正项数列，且（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是a n=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先对（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0进行化简得到，再由累乘法可得到数列的通项公式是a n．【解答】解：∵（n+1）a n+12﹣na n2+a n+1a n=0∴（另解﹣a n不合题意舍去），∴•…•=，即，故答案为：．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法﹣﹣公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握．16．（4分）（2000•新课程）如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是②③．（要求：把可能的图的序号都填上）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】13 ：作图题；16 ：压轴题．【分析】由三视图的定义研究四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，由于线是由点确定的，故研究四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．【解答】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故答案为②③【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．本题是根据三视图投影规则来选择正确的视图，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2000•全国）已知函数，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H5：正弦函数的单调性．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦函数化简函数为y=sin（2x+）+，借助正弦函数的最大值，求出函数y取得最大值时，自变量x的集合；（2）由y=sinx（x∈R）的图象，按照先φ，向左平移，把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin （2x+）+的图象；【解答】解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1=（2cos2x﹣1）++（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=（cos2x•sin+sin2x•cos）+=sin（2x+）+（6分）y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z．所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}（8分）（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin （2x+）的图象；④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图象；综上得到函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象．（12分）【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意函数图象的变换的顺序：→φ→ω→A→b的过程．18．（12分）（2000•新课程）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）证明：C1C⊥BD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α﹣BD﹣β的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题．【分析】（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，由线面垂直的判定定理，只要找到一条直线垂直于两条相交直线即可，由题意易得，∴△C1BD为等腰三角形，故AC和BD交于O，则C1O⊥BD，又AC⊥BD，命题可证．（2）由（1）知∠C1OC是二面角α﹣BD﹣β的平面角，由余弦定理解△C1OC即可．（3）可先猜测的值，然后证明A1C⊥平面C1BD．只要证A1C⊥平面C1BD内的两条相交直线即可，易得BD⊥平面AC1，BD⊥A1C．同理再证BC1⊥A1C即可．【解答】解：（1）证明：如图连接AC、设AC和BD交于O，连接C1O∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD=CD．又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，∴△C1BC≌△C1DC∴C1B=C1D，∵DO=OB∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1C，又C1C⊂平面AC1C∴C1C⊥BD．（2）解：由（1）知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α﹣BD﹣β的平面角．在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+（）2﹣2×2××cos60°=∵∠OCB=30°，∴OB=BC=1∴C1O2=C1B2﹣OB2=，∴C1O=即C1O=C1C．作C1H⊥OC，垂足为H．∴点H是OC的中点，且OH=，所以cos∠C1OC==．（3）如图：当=1时，能使A1C⊥平面C1BD由（1）知，BD⊥平面AC1C，∵A1C⊂平面AC1C，∴BD⊥A1当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力．19．（12分）（2000•新课程）设函数，其中a＞0，（1）解不等式f（x）≤1；（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数．【考点】7E：其他不等式的解法；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；32 ：分类讨论．【分析】（1）不等式f（x）≤1，转化为一元二次不等式组，根据a的范围求解不等式即可．（2）当a≥1时，利用函数单调性的定义，即：在区间[0，+∞）上任取x1，x2，使得x1＜x2，证明f（x1）﹣f（x2）＞0，从而证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．【解答】（1）解：不等式f（x）≤1即，由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．所以，原不等式等价于即（3分）所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为；当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．（6分）（2）证明：在区间[0，+∞）上任取x1，x2使得x1＜x2==∵，∴，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．（12分）【点评】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．20．（12分）（2000•新课程）（1）已知数列{c n}，其中c n=2n+3n，且数列{c n+1﹣pc n}为等比数列，求常数p；（2）设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明数列{c n}不是等比数列．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题；16 ：压轴题．﹣pc n）2=（c n+2﹣pc n+1）（c n﹣pc n 【分析】（1）利用等比中项的性质可推断出（c n+1），整理后求得p的值．﹣1（2）设{a n}、{b n}的公比分别为p、q，为证{c n}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．利用等比数列的通项公式分别表示出a n和b n，表示出c22的表达式，整理由于p≠q，推断出p2+q2＞2pq，进而推断出c22≠c1•c3，进而可知{c n}不是等比数列．【解答】解：（1）因为{c n﹣pc n}是等比数列，故有+1（c n﹣pc n）2=（c n+2﹣pc n+1）（c n﹣pc n﹣1），+1将c n=2n+3n代入上式，得[2n+1+3n+1﹣p（2n+3n）]2=[2n+2+3n+2﹣p（2n+1+3n+1）]•[2n+3n﹣p（2n﹣1+3n﹣1）]，即[（2﹣p）2n+（3﹣p）3n]2=[（2﹣p）2n+1+（3﹣p）3n+1][（2﹣p）2n﹣1+（3﹣p）3n﹣1]，整理得（2﹣p）（3﹣p）•2n•3n=0，解得p=2或p=3．（2）设{a n}、{b n}的公比分别为p、q，p≠q，c n=a n+b n．为证{c n}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．事实上，c22=（a1p+b1q）2=a12p2+b12q2+2a1b1pq，c1•c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=a12p2+b12q2+a1b1（p2+q2）．由于p≠q，p2+q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1•c3，故{c n}不是等比数列．【点评】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．21．（12分）（2000•全国）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题；33 ：函数思想．【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（4分）（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=（6分）当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5（10分）、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．22．（14分）（2000•新课程）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x0和y0的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，依题意，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．考点卡片1．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y=f（x﹣a）；y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y=f（x）+b．（2）伸缩变换：y=f（x）y=f（ωx）；y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y=Af（x）．（3）对称变换：y=f（x）关于x轴对称⇒y=﹣f（x）；y=f（x）关于y轴对称⇒y=f（﹣x）；y=f（x）关于原点对称⇒y=﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y=f （|x|）；y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．解题方法点拨1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．。

2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2000年高考北京卷数学(理科)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33- (D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg >(5) 函数x x y cos -=的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元(D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ(D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3= (B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-=(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2(B)a 21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos (C) 21arccos(D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分) 已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；(III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． (19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．C 1CDABD 1B 1A 1(20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换：(i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212a ax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212a a-，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)，将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]，整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0，解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100，所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (h c ，h )，E (x 0, y 0)，其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =. 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=-b h e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

(详细解析)2000年高考数学试卷(全国旧课程)理科

2000年高考全国卷理科数学试题及答案

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）2a （B）（C）4a （D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年高考试题全国卷(L)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是（A ） 2（B ） 3（C ） 4（D ） 5（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ） 23（B ） i 32-（C ）i 33- （D ） 3i 3+（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A ） 23（B ） 32（C ） 6（D ）6（4）已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则βαcos cos > （B ）若α、β是第二象限角，则βαtg tg > （C ）若α、β是第三象限角，则βαcos cos > （D ）若α、β是第四象限角，则βαtg tg > （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ） 800~900元（B ） 900~1200元（C ） 1200~1500元（D ） 1500~2800元（7）若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ） R <P <Q （B ） P <Q <R （C ） Q <P <R（D ） P <R <Q（8）以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是（A ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ（B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ（C ） ()1cos 2-=θρ（D ） ()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ） x y 3-= （C ） x y 33=（D ） x y 33-= （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（A ） a 2（B ）a21 （C ） a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos（B ）21arccos（C ）21arccos （D ）421arccos第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．（14）椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________．（15）设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．（16）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BC C 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ．（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由()R ∈=x x y sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；（III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．（I ）解不等式()1≤x f ；（II ）求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．（13）252 （14）－5353<<x （15）n1（16）②③ 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：（Ⅰ） y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 =41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1 =41cos2x ＋43sin2x ＋45=21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45 =21sin （2x ＋6π）＋45——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分（Ⅱ）将函数y =sin x 依次进行如下变换：（i ）把函数y =sin x 的图象向左平移6π，得到函数y =sin （x ＋6π）的图象；（ii ）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y =sin （2x ＋6π）的图象；（iii ）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y =21sin （2x ＋6π）的图象；（iv ）把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin （2x ＋6π）＋45的图象；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象． ——12分（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋（23）2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1．∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分（Ⅲ）当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）不等式f （x ） ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212a ax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2．f （x 1）－f （x 2）=121+x －122+x －a （x 1－x 2）=1122212221+++-x x x x －a （x 1－x 2）=（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）． ——8分（ⅰ）当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）．所以，当a ≥1时，函数f （x ）在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分（ii ）当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f （x 1）=1，f （x 2）=1，即f （x 1）=f （x 2），所以函数f （x ）在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f （x ）在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， ——3分即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3． ——6分（Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）=2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． ——4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得 h （t ）=f （t ）－g （t ）即h （t ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h （t ）=－2001（t －50）2＋100，所以，当t =50时，h （t ）取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h （t ）=－2001（t －350）2＋100 所以，当t =300时，h （t ）取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分综上，由100>87．5可知，h （t ）在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A （－c ，0），C （h c ，h ），E （x 0, y 0），其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =.由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ． ——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)

=
1 1 3 (2cos2x－1)＋＋ (2sinxcosx)＋1 4 4 4 1 3 5 1 5 π π cos2x＋ sin2x＋ = (cos2x·sin ＋sin2x·cos )＋ 4 4 4 2 6 6 4 1 5 π sin(2x＋ )＋ 2 6 4
——6 分
= =
y 取得最大值必须且只需 2 x＋
/hanlaoshi139 第 4 页共 12 页韩教练 13910305542
(21) (本小题满分 12 分) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
王新敞
奎屯新疆
x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 、 F2 ，点 P 为其上的动点，当 ∠F1 PF2 为钝角时，点 4 9
王新敞
奎屯新疆
P 横坐标的取值范围是________
(15) 设 {a n }是首项为 1 的正项数列，且 (n + 1)a n +1 − na n + a n +1 a n = 0 ( n =1， 2， 3， …)，
π⎞ ⎛ (B) ρ = 2 sin⎜θ − ⎟ 4⎠ ⎝
(D) ρ = 2 sin(θ − 1) )
(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( (A)
1 + 2π 2π
(B)
1 + 4π 4π
(C)
1 + 2π
π
(D)
1 + 4π 2π
(10) 过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 (A) y = 3 x (B) y = − 3 x (C) y = ( )