斜齿轮建模

计算机辅助造型技术已在产品设计、工程分析、快速成型等技术领域获得了广泛应用。在应用CAD/CAM技术设计、制造齿轮产品时，齿轮的三维实体造型是一个瞬需解决的技术难题，如齿轮造型精度不高，将直接影响有限元分析、虚拟样机设计的仿真结果，并影响到齿轮产品的CAM制造精度。目前，对工程中最常用的渐开线圆柱直齿轮的三维造型理论与方法已进行了大量研究，并取得了较为成熟的研究成果(如基于UG软件的3种生成方法、基于CAXA软件的生成方法等)。对于结构更为复杂的斜齿轮，山于其齿面为螺旋渐开线齿廓曲面，因此三维造型难度更大，目前主要采用二次开发法和加工模拟法来实现其造型(如基于AutoCAD软件的造型方法、基于Solid Edge软件的造型方法等)。其中，二次开发法对设计人员技术水平要求较高，造型过程烦琐，适用范围也受到一定限制;加工模拟法需要模拟刀具和轮坯两个模型的范成运动并进行全程布尔运算，生成的文件较大，设计周期较长。

在采用CAD/CAM/CAE集成化软件UG进行斜齿轮设计的过程中，我们将UG的三维参数化造型、表达式处理、自由曲面扫描等功能有机结合起来，提出一种通用的斜齿轮三维设计方法—扫描成型法。该方法首先求得斜齿轮的端面轮廓线，然后通过投影关系获得其法而轮廓线;将法面轮廓线沿螺旋线扫描获得刹一齿轮廓面，然后利用该面对造型实体进行裁剪操作以生成单个轮齿，并通过布尔运算最终获得斜齿轮的完整轮齿。实际应用表明，扫描成型法的设计精度和设计效率较高，操作简便。本文介绍应用该方法进行刹齿轮设计造型的主要步骤，包括端面轮齿轮廓线的精确绘制、端面与法面轮廓线的关系、螺旋线的生成、单个轮齿与完整轮齿的生成等。

2 轮廓线与螺旋线的生成

2.1 端面轮廓线的生成

齿轮上的所有轮齿都具有相同的结构特征。应用扫描成型法进行斜齿轮造型设计时，首先需求取斜齿轮的端面齿形，然后据此生成法面齿形。以标准渐开线圆柱斜齿轮为例，由于其端面轮廓线为渐开线，因此设计时可直接利用直齿圆柱齿轮的表达式。例如，被设计斜齿轮的齿顶圆直径da=76.40mm，齿数z=23，齿宽b=22mm，法向模数mn=3mm，齿顶圆螺旋角β=12.43333°，旋转方向为左旋。设计时，选择UG软件的表达式(Expression)工具，输入渐开线表达式：

pi=pi()

afan=20

z=23

da=76.4

mn=3

bata=12.433333

…

t=0

qi=(tan(afat)一afat*c)/C

q′=90/z

q=q′+qi

s=(1一t)*e+t*f

u=s*c

x=rb*sin(s)-rb*u*cos(s)

y=rb*cos(s)+rb*u*sin(s)

xt=x*cos(q)-y*sin(q)

yt=x*sin(q)+y*cos(q)

arc=b*tan(bata)

a=deg(arc*2/d)

x0=d/2*sin(a*t)

y0=d/2 *cos(a*t)

以上表达式的后半段采用了知阵变换方式来解决渐开线轮廓对称问题，使渐开线精度较采用手工取舍旋转角度的方法显著提高，有利于齿轮廓线的精确绘制。由于采用了UG 内部的表达式工具，避免了编程处理，因此提高了设计效率。

选取UG中规则曲线(Law Curve)的By Equa-tiou方式，以坐标原点为基准点插入规则曲线，UG将自动计算(x0，yo)值(z轴坐标为O)并绘制渐开线。以y轴为对称中心，对渐开线进行镜象操作，可得到两条齿侧轮廓线。方程中的所有参数可随时进行修改，参数变化后生成的曲线将相应发生变化。

以工作坐标原点为基准，利用齿顶圆、齿根圆对其进行修剪并处理齿顶、齿根处的过渡圆角，得到如图1所示的端面齿形轮廓线。

图1 端面齿形轮廓线

2.2 螺旋线的生成

由于斜齿轮的轮廓线需通过其法面轮廓线沿螺旋线扫描生成，因此首先必须生成螺旋线。本方法采用分度圆上的螺旋线作为引导线。在UG的自由曲而扫描方式中，为保证生成的曲面不变形，需要生成三条螺旋引导线。分度圆上螺旋线表达式的生成方法如下：在斜齿轮分度圆柱面的展开图中(见图2a)。S为导程，β为分度圆上的螺旋角。根据三角形边角关系，可得出arc弧长为arc=btanβ

分度圆半径r= d/2，可得arc弧长在分度圆上对应的中心角弧度值为:φ=arc/r=2arc/d

图2 斜齿轮分度圆柱面的展开图

UG软件中的三角函数值是以度为单位，因此需用deg()内部函数将弧度转换为度，即a =deg(φ)=deg(2arc/d)

通过表达式绘制圆弧时，必须以圆弧所对应的中心角为变量参数。系统提供的内部变量参数t的变化范围为0～1，因此需进行参数代换(at)，使t在0～2arc/d的角度范围内变化。代入圆的参数方程

按此方法绘制的圆弧是从x轴开始，为使圆弧从y轴开始，需对表达式稍作变动，将x 和y对换。在表达式对话框中输入以下表达式：

arc=b*tan(bata)

a=deg(arc*2/d)

xO=d/2*sin(a*t)

y0=d/2*cos(a*t)

式中，arc为分度圆圆柱而螺旋线在端面投影的弧长，a为与arc圆弧对应的中心角度。

按规则曲线方式插入(x0，y0，Z)生成的螺旋曲线，z轴分量以线性(Linear)方式输入起始值0、终止值50以替代齿宽b(b<50)，在对话框中选择“OK”后，图形窗口中即生成一条螺旋线。对该螺旋线进行围绕圆心旋转变换的复制操作，即可在分度圆上生成任意位置的两条螺旋线，即得到如图3所示的三条螺旋引导线。

图3 生成的三条螺旋引导线

2.3 法面轮廓线的生成

将工作坐标的z轴向x轴旋转螺旋角β，在x-y坐标面上建立一个参考平而，然后将端面轮廓线投影到该参考平面上，即可得到如图4所示的法面齿形轮廓线。

图4 法面齿形轮廓线

3 轮齿实体的三维造型

将法面轮廓线沿螺旋引导线进行扫描，即可生成斜齿轮的轮廓曲面。以该轮廓曲面为边界对实体进行裁剪操作，获得的剩余实体即为被设计的轮齿实体。

3.1 法面轮廓线的扫描