全等三角形基础知识巩固及同步练习

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人教版数学八年级上册 12.2【三角形全等的判定】基础巩固训练(一)

12.2【三角形全等的判定】基础巩固训练（一）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等C．底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等D．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，连接BD，若AC ＝8cm，则AD+DE等于（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′C．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．若再增加下列条件中的某一个，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC5．如图，点B，E，C，F在条直线上，AB＝DE，∠B＝∠DEF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BE＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠A＝∠D D．AC＝DF6．△ABC中，若AC＝7，AB＝9，则中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜16B．4＜AD＜32C．1＜AD＜16D．1＜AD＜87．小明发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，且它们的周长相等，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述的两个结论，下列说法正确的是（）A．①，②都错误B．①，②都正确C．①正确，②错误D．①错误，②正确8．已知⊙O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APQ，AP ＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（）A．1+3B．1+2C．3+D．39．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（）A．75°B．70°C．65°D．60°二．填空题11．如图，如果AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于O点，则图中的全等三角形一共有对．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝cm．14．一个三角形的两边长分别为2、3，则第三边上的中线a的范围是．15．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为cm/s．A.；B.1；C.1.5；D.2．三．解答题16．如图，已知AE＝BD，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为点C，F，且BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．17．已知，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，E在△ABC的外部，连接AD、AE、CE，且AD ＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，求证：BD＝CE．（2）如图2，当∠B＝45°，∠BAD＝22.5°时，连接DE交AC于点F，作DG⊥DE交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角形．18．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．（1）如图1，当α＝60时，①请直接写出△ABC和△DEC的形状；②求证：AD＝BE；③请求出∠AEB的度数；（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：①∠AEB的度数；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝，∠AED＝；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．20．如图，△ABC，AB＝AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；（2）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以A选项的说法正确；B、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，所以B选项的说法正确；C、底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，所以C选项的说法正确；D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，所以D选项的说法不正确．故选：D．2．解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴CD＝DE，∴AD+DE＝AD+CD＝AC，∵AC＝8cm，∴AD+DE＝AC＝8cm．故选：C．3．解：A、根据SAS可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．B、根据ASA可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．C、根据AAS可以判定两个三角形确定．本选项不符合题意．D、SSA不可以判定两个三角形确定．本选项符合题意．4．解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴若AB＝CD，则△ABC≌△DCB（SAS），故选项A不符合题意；若AC＝BD，则无法判断△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；若∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB（AAS），故选项C不符合题意；若∠ACB＝∠DBC，则△ABC≌△DCB（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．5．解：已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是BE＝CF，得出BC＝EF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是∠BCA＝∠F，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加的一个条件是AC＝DF，根据条件不能证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；故选：D．6．解：如图，延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，∵AD为△ABC的中线，∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，∵AB＝9，∴EC＝9，∵AC＝7，∴9﹣7＜AE＜9+7，即2＜AE＜16，∴1＜AE＜8．故选：D．7．解：在△A1B1C1与△A2B2C2中，，∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）；∴①正确．若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，SSA不可以判定△A1B1C1≌△A2B2C2．∴②错误．故选：C．8．解：如图，以点P为顶点作等腰三角形OPM，OP＝PM，∠OPM＝120，∵∠APQ＝120°，∴∠OPM＝∠APQ，∵∠OPA+∠APM＝∠MPQ+∠APM，∴∠OPA＝∠MPQ，∵AP＝PQ，OM＝PM，∴△AOP≌△QMP（SAS），∴MQ＝OA＝1，∵∠POM＝30°，∴OM＝2×OP•cos30°＝3，∴OQ≤OM+MQ＝3+1，当且仅当M在OQ上时，取等号，则OQ的最大值为1+3．故选：A．9．解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠ABC＝∠DEF，根据条件不可以证明△ABC ≌△DEF，故选项A符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是EB＝CF，可得到BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；故选：A．10．解：∵在△BFD和△CDE中，，∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠B＝∠C，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝115°，∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣115°＝65°，故选：C．二．填空题11．解：共4对，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，理由是：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），同理△ACD≌△CAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（SAS），同理△AOD≌△COB，故答案为：4．12．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠2＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+20°＝45°．故答案为：45°．13．解：∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠EFC，∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF＝7cm，∵AB＝13cm，∴BD＝13﹣7＝6cm．故答案为614．解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，∵AD是三角形的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，∵，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∵三角形两边长为2，3，第三边上的中线为x，∴3﹣2＜2x＜3+2，即1＜2x＜5，∴0.5＜x＜2.5．故答案为：0.5＜x＜2.515．解：当△ACP≌△BPQ时，则AC＝BP，AP＝BQ，∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∵AB＝4cm，∴AP＝1cm，∴BQ＝1cm，∴点Q的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s）；当△ACP≌△BQP时，则AC＝BQ，AP＝BP，∵AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∴AP＝BP＝2cm，BQ＝3cm，∴点Q的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s）；故选：B、C．三．解答题16．证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠C＝∠F＝90°，∵AE＝BD，∴AB＝DE，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．17．证明（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵∠B＝45°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠DAE，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∵DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴∠GDA＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠DAF＝67.5°，∠BGD＝∠BAD+∠ADG＝67.5°，∴∠BDG＝180°﹣∠B﹣∠BGD＝67.5°＝∠BGD，∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠DAF＝67.5°＝∠DAF，∠ADC＝180°﹣∠ACB﹣∠DAC＝67.5°＝∠DAC，∴△BDG，△ADC，△ADF都是顶角为45°的等腰三角形，∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°，又∵∠AFD＝∠CFE＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，∴△CEF是顶角为45°的等腰三角形．18．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ABC和△DEC是等边三角形；②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE，③∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，又∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，∴∠ADC＝135°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝135°，∴∠AEB＝90°，②∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝2，∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，∴AD＝CD＝2，∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，∴∠DCF＝∠AFC，∴DC＝DF＝2，∴AF＝AD+DF＝4．19．解：（1）∵AB＝AC，∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，故答案为：16°；52°；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠C＝36°，∴∠DEC+∠EDC＝144°，∵∠ADE＝36°，∴∠ADB+∠EDC＝144°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°，此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．20．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∠DEF＝∠ABC，∴∠BDE＝∠CEF，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DE＝EF；（2）成立．理由如下：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥BC相交于点M、N两点，如图2所示：∵EM⊥AB，FN⊥BC∴∠BME＝∠CNF＝90°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△MBE和△NCF中，，∴△MBE≌△NCF（AAS），∴ME＝FN，又∵DE＝EF，∴Rt△DME≌Rt△ENF（HL），∴∠MDE＝∠NEF，又∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∠DEC＝∠MDE+∠ABC，∴∠DEF＝∠ABC．即若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC此命题成立．。

全等三角形知识点复习与巩固练习

全等三角形知识点梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。

（4）全等三角形对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的周长和面积相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

全等三角形常见题型分类练习全等三角形性质的应用类型一.全等三角形的基本性质应用 1．下列命题正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相同的两个三角形C ．两个周长相等的三角形是全等三角形D ．全等三角形的对应边相等、对应角相等 2. 如图1，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )A.ΔABD 和ΔCDB 的面积相等B.ΔABD 和ΔCDB 的周长相等C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBDD.AD//BC ，且AD = BC 3.如图所示，已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°第2题第3题4.如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°5．如图，△ABC ≌△AEF ，AB 和AE ，AC 和AF 是对应边，那么∠BAE 等于 ( )A ．∠ACBB ．∠BAFC ．∠FD ．∠CAF ．6．已知△ABC ≌△EFG ，有∠B=70°，∠E=60°，则∠C=（）A ．60°B ．70°C ． 50°D ． 65°7．如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠=． 8．△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠E＝______．第4题第5题第7题A BC CABCBB 'A 'CA9．如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝34，∠C ＝90）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（） A.56 B.68 C.124 D.180第9题第12题10．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 11．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =________，BC =______，AC =_______． 12．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．⑴在网格中作一个与它全等的三角形；⑵如每一个小正方形的边长为1，则△ABC 的面积是．全等三角形的证明【基础应用】1．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF ，AC=DFC.∠A=∠D ，∠B=∠ED.∠A=∠D ，BC=EF 3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1、2题第3题00ADO4.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。

全等三角形的判定基础练习题

全等三角形的判定巩固与提高A 篇（一）三角形全等的识别方式一、如图：△ABC 与△DEF 中2、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）3、如图：△ABC 与△DEF 中4、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） ∴△ABC ≌△DEF （ AAS ）五、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠____=∠_____=90°∵⎩⎨⎧==______________________________________∴Rt △ABC≌Rt △DEF（）（二）全等三角形的特点 ∵△ABC ≌△DEF∴AB= ，AC= BC= ，（全等三角形的对应边） ∠A= ，∠B= ，∠C= ；B:运用篇一.明白得运用1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,以下判定正确的选项是（） A ．只能证明△AOB ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COBD ．能证明△AOB ≌△COD 和△AOD ≌△COB2．已知△ABC 的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙3．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,以下不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN4．某同窗把一块三角形的玻璃打坏也成了三块,此刻要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去第3题第4题第7题5．以下条件不能够判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等6．△ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,那么BE与CD的大小关系为（）A．BE＞CD B．BE＝CD C．BE＜CD D．不确信7．如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为＿＿＿＿＿＿．8．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,那么EF的长为＿＿＿.九、若△ABC的边a,b知足2212161000a ab b-+-+=,那么第三边c的中线长m的取值范围为10．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他依照DE＝DF,EH＝FH,不用气宇,就明白∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别取得的结论,请问小明用的识别方式是＿＿＿＿＿（用字母表示）．11．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D12. 已知：如图，AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线别离与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF第8题第10题第11题二.拓展提高13．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.14. 已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．15．沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD,A/D交BC于F,如下图,△BDF是何种三角形？请说明理由.16．如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A＋∠C＝180o,试说明AD＝CD.17、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；（2）假设将∠BAC改成钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由；H EABC。

初二数学复习巩固经典全等三角形全章复习与巩固(基础)巩固练习

全等三角形全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52. 在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B或∠C3. 如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC 中，∠BAC ＝90° AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C ，∠DAE 的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则的面积为____．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．如图，已知AB⊥BD,AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；若添加条件AC＝EC，则可以用_______公理（或定理）判定全等.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）20. 已知如图所示，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；2. 【答案】A；【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°.3. 【答案】C；【解析】∠EAF＝∠BAC，∠EAC＝∠EAF－∠CAF＝∠BAC－∠CAF＝∠BAF.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】D；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6. 【答案】C ；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7. 【答案】A ；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.8. 【答案】D ；【解析】由题意可得∠B ＝∠DAC ＝60°，∠C ＝30°，所以∠DAE ＝60°－45°＝15°.二.填空题9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】8；【解析】1162BD h =g ，h ＝4，1482AE ⨯=. 12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21；【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14.【答案】BC ＝DC ，HL ；15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC ＝AC ＝AE ，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△AED ．（AAS ）∴AC ＝AD ．∴∠ACD ＝∠ADC ．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB ＋∠1＝∠CAB ＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF （AAS ）∴AC ＝AD.19.【解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．20.【解析】证明：如图所示，过点P 作PE ⊥AO ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ．∵∠2＋∠1＝180°，又∵∠2＋∠PBO ＝180°，∴∠1＝∠PBO．在△AEP和△BFP中，∴△AEP≌△BFP（AAS）．∴PE＝PF（全等三角形对应边相等）．∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．。

浙教版数学(八上)巩固练习 1.4 全等三角形(解析版)

第1章三角形的初步认识1.4 全等三角形知识提要1.全等三角形：能够重合的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形相关概念：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角．3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．练习一、选择题1．如图，下列图形中，与已知图形全等的是( B )2．下列说法中，正确的是( C )A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形C. 全等三角形的周长和面积分别相等D. 所有钝角三角形都是全等三角形3. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，则只需测出其长度的线段是（B）A.PO.B.PQ.C.MO.D.MQ.4．如图，△ABC△△DEF，CD平分△ACB.若△A＝28°，△CGF＝85°，则△E的度数为( D )A. 32°B. 34°C. 36°D. 38°提示：先由△A＝△D，△CGF＝△D＋△BCD求得△BCD，再求得△ACB，△B即可．5．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出( C )A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个6．有下列说法：△全等三角形的形状相同，大小相等；△全等三角形的对应边相等；△全等三角形的对应角相等；△全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个7．[2018·温州]期末如图，已知△ABC△△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE 于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为(C)A．4 B．5 C．6 D．7[解析]根据全等三角形的对应关系，得BC＝BE，所以BF＝BC－CF＝BE－CF＝10－4＝6.8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点．若△ADB△△EDB△△EDC，则△C 的度数是(D)A．15° B．20° C．25° D．30°[解析] △△ADB△△EDB△△EDC，△△C＝△DBC＝△ABD，△A＝△DEB＝△DEC.△△DEB＋△DEC＝180°，△△A＝△DEB＝90°，△△C＋△DBC＋△ABD＝180°－△A＝90°，△△C＝30°.9.如图，△ABC△△AED，点B，C，D，E在同一条直线上，那么图中相等的角有(C)A．3对B．4对C．5对D．6对[解析] △△ABC△△AED，△△B＝△E，△BAC＝△EAD，△ACB＝△ADE.△△DCA＝△BAC＋△B，△CDA＝△EAD＋△E，△BAD＝△BAC＋△CAD，△CAE＝△EAD＋△CAD，△△DCA＝△CDA，△BAD＝△CAE，△图中相等的角有5对．10.[2018·绍兴期末改编]如图，△ABC△△ADE，△DAC＝60°，△BAE＝100°，BC，DE 相交于点F，BC，AD相交于点G，则△DFB的度数是(B)A．15° B．20° C．25° D．30°[解析] 根据全等三角形的对应关系，得△D＝△B，△BAC＝△DAE，所以△DAB＝△EAC＝(△BAE－△DAC)÷2＝20°.又因为△D＝△B，△BGA＝△DGF，所以根据三角形内角和定理，可知△DFB＝△DAB＝20°.二、填空题1．如图，已知△ABC与△DEF全等，根据图中提供的信息，可得x＝__20__．【解】由图可知，△A＝180°－50°－60°＝70°＝△D，△点A与点D是对应点，△△ABC△△DEF，△EF＝BC＝20，即x＝20.2．如图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___27______cm．3.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则△A′=___120_____°，△A=___70_____°，B′C′= ____12______，AD=______6______．4.[2018·宁波江北区校级期末]已知△ABC△△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△DEF的周长是__19______．[解析] △AB＝5，BC＝6，AC＝8，△△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝5＋6＋8＝19.△△ABC△△DEF，△△DEF的周长等于△ABC的周长，△△DEF的周长是19.三、解答题1．如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若△B＝25°，△DOC＝90°，求△AED的度数．【解】△图形沿OG对折后两侧能完全重合，△△AOG△△BOG，△EOG△△FOG，△△A＝△B＝25°，△AOG＝△BOG，△EOG＝△FOG.△△AOG＋△BOG＝180°，△△AOG＝△BOG＝90°.△△DOC＝90°，△△EOG＝△FOG＝45°，△△AOE＝45°.△△AED＝△A＋△AOE＝45°＋25°＝70°.2．如图所示，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD△△ACE.(1)求证：BD＝DE＋CE；(2)当△ABD满足什么条件时，BD△CE？并说明理由．解：(1)证明：△△BAD△△ACE，△BD＝AE，AD＝CE.又△AE＝DE＋AD，△BD＝DE＋CE.(2)当△ABD满足△ADB＝90°时，BD△CE.理由：△△ADB＝90°，△△BDE＝180°－90°＝90°.又△△BAD△△ACE，△△CEA＝△ADB＝90°，△△CEA＝△BDE，△BD△CE.3．已知：如图，在△ABC中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向终点A以a厘米/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．(1)求CP的长(用含t的代数式表示)；(2)若存在t的值，使以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且△B和△C是对应角，求a的值．解：(1)△BP＝3t厘米，BC＝8厘米，△CP＝(8－3t)厘米．(2)△若△BDP△△CPQ，则BD＝CP.△AB＝10厘米，D为AB的中点，△BD＝5厘米，△5＝8－3t，解得t＝1.△△BDP△△CPQ，△BP＝CQ，即3×1＝a·1，解得a＝3.△若△BDP△△CQP，则BP＝CP，即3t＝8－3t，解得t＝4 3.△△BDP△△CQP，△BD＝CQ，即5＝43a，解得a＝154.综上所述，a的值为3或154.4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B 向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．【解】设运动时间为t(s)时，△PEC 与△CFQ 全等． △△PEC 与△CFQ 全等，△斜边CP ＝QC.当0<t<6时，点P 在AC 上；当6≤t≤14时，点P 在BC 上．当0＜t ＜83时，点Q 在BC 上；当83≤t≤143时，点Q 在AC 上．解△有三种情况：△当点P 在AC 上，点Q 在BC 上时⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t<83，如解图△.易得CP ＝6－t ，QC ＝8－3t ，△6－t ＝8－3t ，解得t ＝1.△当点P ，Q 都在AC 上时⎝ ⎛⎭⎪⎫83≤t≤143，此时点P ，Q 重合，如解图△.易得CP ＝6－t ＝3t －8，解得t ＝3.5.△当点Q 与点A 重合，点P 在BC 上时(6＜t≤14)，如解图△. 易得CP ＝t －6，QC ＝6，△t －6＝6，解得t ＝12.综上所述，当点P 运动1 s 或3.5 s 或12 s 时，△PEC 与△CFQ 全等．。

全等三角形复习和例习题含答案

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2022年人教版初中数学8年级上册全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)巩固练习及答案

2022年人教版初中数学8年级上册【巩固练习】一、选择题1.（2020•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45° B.∠BAC=90° C.BD=AC D．AB=AC2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4.如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB二、填空题7.如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8.如图,已知：∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．9.（2020秋•大同期末）如下图∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是．10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝_______．12.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13.（2020•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．14.如图，已知D、E、B三点共线，AE=CE,AE⊥CE，∠D=∠B=90°．求证：CD+AB=DB．15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，∴BD=CD，∵在△ABD 和△ADC 中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.2.【答案】D；【解析】连接AC 或BD 证全等.3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.5.【答案】A；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA＝'OA ，OB＝'OB ，再由对顶角相等可证.6.【答案】D；【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.二.填空题7.【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝82412︒=︒，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°.8.【答案】ASA，CDE，SAS；【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE＝CE.9.【答案】∠B=∠C．【解析】解：由图可知，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”．故填∠B=∠C．10.【答案】56°；【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.11.【答案】20°；【解析】△ABE≌△ACD（SAS）.12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13.【解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD 中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC 和△DEC 中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．14.【解析】证明：∵AE⊥CE，∴∠AEB+∠CED=90°，又∵∠B=90°∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠CED，在△AEB 与△ECD 中，A CEDB DAE CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEB≌△ECD（AAS）∴AB=DE ，BE=CD∵DE+BE=DB∴CD+AB=DB15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC＝∠DCB，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP＝RQ，M 为PQ 的中点．求证：RM平分∠PRQ．【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【答案】证明：连接DC，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BD CD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF3、（2020春•雅安期末）如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.举一反三：【变式】（2020秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．【巩固练习】一、选择题1．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB.BF＝ECC.AC∥DED.AC＝DF2．如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE3．如图，AB＝BD，∠1＝∠2，要用AAS判定△ABC≌△DBE，则添加的条件是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠DEB＝∠C4．下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5．（2020•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC二、填空题7．（2020春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件________________时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）8．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）9．已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．12．在△ABC 和△DEF 中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F 从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC 与△DEF 全等的方法共有________种.三、解答题13．（2020秋•景洪市校级期中）如图，O 为码头，A，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB 为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 和灯塔B 的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由．14．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =.15．如图，DC∥AB，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E，过E 的直线分别交DC、AB 于C、B 两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；2．【答案】D；3．【答案】D；【解析】满足判定定理AAS的只有D选项.4．【答案】B；【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.5．【答案】D；【解析】解：A、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；B、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；C、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．6．【答案】C；【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空题7．【答案】BC=ED.8．【答案】④【解析】三个角对应相等不能判定三角形全等.9．【答案】6；【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.10．【答案】6；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.12．【答案】13；【解析】ASA类型3种，AAS类型6种，SAS类型3种，SSS类型一种，共13种.三、解答题13．【解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：假设轮船在D处，则DA=DB，AO=BO，在△ADC和△BDC中，，∴△ADO≌△BDO（SSS），∴∠AOD=∠BOD，即DO 为∠AOB 的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．14．【解析】证明：∵CD AB⊥∴90BDC CDA ∠=∠=︒∵45ABC ∠=︒∴45DCB ABC ∠=∠=︒∴DB DC=∵BE AC⊥∴90AEB ∠=︒∴90A ABE ∠+∠=︒∵90CDA ∠=︒∴90A ACD ∠+∠=︒∴ABE ACD∠=∠在BDF ∆和CDA ∆中BDC CDADB DC ABE ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BDF ∆≌CDA ∆（AAS）∴BF AC =.15．【解析】证明：延长DE 交AB 的延长线于F∴∠CDE＝∠F,∠CDA＋∠BAD＝180º∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB ∴∠CDE＝∠ADE＝21∠CDA,∠DAE＝∠EAF＝21∠BAD∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º∴∠AED＝∠AEF＝90º在△ADE 与△AFE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AE AE FEA DEA F ADE ∴△ADE≌△AFE （AAS）∴DE＝EF,AD＝AF在△DCE 与△FBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEB DEC FE DE F CDE ∴△DCE≌△FBE（ASA）∴DC＝BF，∴AD＝AB＋DC.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C．要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）．【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等．【变式】（2020•静海县模拟）已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是．【答案】AC=DF.解：理由是：∵在△ABC 和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：AC=DF．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是经过点C 的一条直线，过点A、B 分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F．求证：CE＝BF【答案与解析】证明：∵AE⊥CD、BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°∴∠BCF＋∠B＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACF＝90°∴∠ACF＝∠B在△BCF 和△CAE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE＝BF．【总结升华】要证CE＝BF，只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN 于点E，过点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH⊥CE 与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE 仍成立，证明：过B 作BH⊥CE 于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．举一反三：【变式】已知Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC、CB 于E、F．当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．图2ADBC E M N F 【答案】解：图2成立；证明图2：过点D 作DM AC DN BC⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME≌△DNF（ASA）∴DME DNFS S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△．类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2020秋•内丘县期中）如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C 处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，求DB 的长度．【思路点拨】延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．【答案与解析】解：如图，延长CE交AB于F，则∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴∠A=∠C，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴DB=DE，∵DE=2米，∴DB的长度是2米．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C是解题的关键.。

人教版数学八年级上册 12.2-4三角形全等的判定(HL)巩固训练(有答案)

人教版数学八年级上12.2-4三角形全等的判定(HL)巩固训练（有答案）一、知识要点1.直角三角形是三角形中的特殊一类,因此判定两个直角三角形全等时可用 ,还可用“ ”判定 2. 边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”)二、双基训练1、如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则△ABC≌△DCB 的理由是( )A HL B.ASA C AAS D SAS2.下列判定两个直角三角形全等的方法中,不正确的是( )A.两条直角边分别对应相等B.斜边和一锐角分别对应相等C.斜边和一条直角边分别对应相等D.两个三角形的面积相等3、如图，AC ＝BC ，AC ⊥OA ，CB ⊥OB ，则Rt △AOC ≌Rt △BOC 的理由是( )A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．HL4、如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90°5、在下列结论中，正确的个数有( )①在Rt △ABC 中，两锐角互余；②有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等；③斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；④所有的直角三角形都全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D 、E,BE 与CD 相交于点O,且∠1=∠2,则下列结论正确的个数为( )①∠B=∠C;②△ADO≌△AEO;③△BOD≌△COE;④图中有四组三角形全等A.1个B.2个C. 3个D.4个第1题图第3题图第4题图第6题图7、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，则下列三个结论( )①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP.A ．全部正确B ．仅①和②正确C ．仅①正确D ．仅①和③正确8.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°AB=AC,分别过点B 、C作经过点A 的直线的垂线BD 、CE,若BD=3,CE=2,则DE=9、如图，BD ＝CF ，FD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BE ＝CD ，若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝．10、如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=10,BC=5.P,Q 两点分别在AC 和AC 的垂线AX 上移动PQ=AB,当AP= 时, △ABC 与△QPA 全等11、如图,∠ACB=∠CFE=90°,AB=DE,BC=EF 求证:AD=CF12、如图,四边形ABCD 中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AC 与BD 相交于点O,求证:AO=CO.第7题图第8题图第9题图第10题图13、如图,AB⊥CF 于点B,AD⊥CE 于点D,且AB=AD,DE=BF.求证:AF=AE证明:在Rt△ABF 和Rt△ADE 中,AB AD BF DE ==⎧⎨⎩Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)∴AF=AE上面的推理过程正确吗?如果不正确,说明错在哪里,并写出正确的推理过程14、已知:如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.求证:AD=BC.15、如图,AB=AC,点D,E 分别在AC,AB 上,AG⊥BD 于G,AF⊥CE 于F,且AG=AF 求证:BD=CE三、综合训练16、如图,已知AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,FAE=DF,AB=DC,求证:(1)∠ABE=∠DCF;(2)AC=DB17、已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图①,若点O在边BC上,求证:∠ABO=∠ACO;(2)如图②,若点O在△ABC的内部,求证:∠ABC=∠ACB答案一、知识要点1、SSS SAS ASA AAS HL2、斜斜边，直角边 HL二、双基训练1、A2、D3、D4、C5、C6、D7、B8、5 9、55°10、5或1011、证明:∠ACB=∠CFE=90°∠ACB=∠DFE=90°在Rt△ACB 和Rt△DFE 中,AB DE BC EF ==⎧⎨⎩Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)AC=DFAC-AF=DF-AF,即AD=CF12、证明:(1)BE=DFBE-EF=DF-EF即BF=DE,又AD=BCRt△ADE≌Rt△CBF(HL)(2)由(1)知Rt△ADE≌Rt△CBF∠ADE=∠CBF,又∠AOD=∠BOC,AD=BC△AOD≌△COB(AAS),OA=OC13、解:不正确,错用了“HL”证明:AB⊥CF,AD⊥CE∠ABF=∠ADE=90°在△ABF 和△ADE 中,ABF ADE BF AB DE AD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩△ABF△ADE(SAS)AF=AE14、证明:连接CDAD⊥AC,BC⊥BD∠A=∠B=90在Rt△ADC 与Rt△BCD 中,DC CD AC BD =⎧⎨=⎩Rt△ADC≌R t△BCD(HL),AD=BC15、证明:在Rt△ABG 和Rt△ACF中,AB=AC,AG=AF,Rt△ABG≌Rt△ACF(HL),∠B =∠C,AB=AC∠BAD=∠CAE,△ABD≌△ACE(ASA),BD=CE三、综合训练16、证明:(1)在Rt△ABE 和Rt△DCF 中,.AB DC AE DF ==⎧⎨⎩Rt△ABE ≌Rt△DCF(HL)∠ABE=∠DCF(2)由(1)得∠ABE=∠DCF,在△ABC 和△DCB 中, AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC△DCB(SAS),AC=DB。

直角三角形全等判定(基础)巩固练习与答案

直角三角形全等判定（基础）巩固练习一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B ．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图， AB ＝ AC ，AD ⊥ BC 于 D ，E 、 F 为 AD 上的点，则图中共有（）对全等三角形．A． 3 B ． 4C． 5D． 63.能使两个直角三角形全等的条件是()A. 斜边相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 两直角边对应相等4.在 Rt △ABC与 Rt △A' B 'C '中 , ∠ C＝∠C'＝90, A＝∠ B',AB＝A'B',那么下列结论中正确的是 ()A.AC ＝A'C'B.BC ＝B'C'C. AC＝B'C'D. ∠A＝∠A'5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同 B ．周长相等C．面积相等 D ．全等6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A. 一定全等B. 一定不全等C. 可能全等D. 以上都不是二、填空题7．如图， BE ， CD 是△ ABC 的高，且BD ＝ EC ，判定△ BCD ≌△ CBE 的依据是“ ______ ”．8. 已知，如图，∠ A ＝∠ D ＝ 90°， BE ＝CF ， AC ＝ DE ，则△ ABC ≌ _______.9. 如图， BA ∥ DC ，∠ A ＝ 90°， AB ＝CE ， BC ＝ ED ，则 AC ＝ _________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于 B， ED ⊥ BD 于 D ，EC ⊥ AC ， AC ＝ EC ，若 DE ＝ 2， AB ＝ 4，则 DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ ABC ＋∠DFE ＝ ________ ．12. 如图，已知AD 是△ ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F，且 BF ＝ AC ，FD ＝ CD. 则∠BAD ＝ _______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开，墙壁厚是35 cm，B 点与 O 点的铅直距离AB 长是 20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝ 35 cm，画 CD ⊥OC ，使 CD ＝ 20 cm，连接 OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从 B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．14. 如图，已知AB ⊥BC 于 B， EF⊥ AC 于 G， DF ⊥ BC 于 D， BC ＝DF. 求证： AC ＝ EF.15.如图，已知 AB ＝AC ， AE ＝ AF， AE ⊥ EC ， AF⊥ BF ，垂足分别是点 E 、 F.求证：∠ 1＝∠ 2.直角三角形全等判定（基础）巩固练习答案与解析一、选择题1. 【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45 °，可由AAS 定理证明全等.2.【答案】 D；【解析】△ ABD ≌△ ACD ；△ ABF ≌△ ACF ；△ ABE ≌△ ACE ；△ EBF ≌△ ECF ；△EBD ≌△ ECD ；△ FBD ≌△ FCD.3.【答案】 D；4.【答案】 C ；【解析】注意看清对应顶点， A 对应B'，B 对应A'.5.【答案】 C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6.【答案】 C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7.【答案】 HL ； 8.【答案】△ DFE9. 【答案】 CD ；【解析】通过 HL 证 Rt △ ABC ≌ Rt △ CDE.10.【答案】 6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；11.【答案】12. 【答案】90°；45 °；【解析】通过HL 证 Rt △ ABC ≌Rt △ DEF ，∠ BCA ＝∠ DFE.【解析】证△ ADC 与△ BDF 全等， AD ＝BD ，△ ABD 为等腰直角三角形.三、解答题13.【解析】解：在 Rt △ AOB 与 Rt △ COD 中，AOB COD (对顶角相等）AO CO 35A C 90∴Rt △ AOB ≌ Rt △ COD （ ASA ）∴AB ＝ CD ＝ 20 cm .14.【解析】证明：由EF ⊥AC 于 G， DF ⊥ BC 于 D ，AC 和 DF 相交，可得：∠F＋∠ FED ＝∠ C＋∠ FED ＝ 90°即∠ C ＝∠ F （同角或等角的余角相等），在Rt △ ABC 与 Rt △ EDF 中B EDFBC DFC F∴△ ABC ≌△ EDF （ASA ），∴ AC ＝ EF （全等三角形的对应边相等）.15.【解析】证明：∵ AE⊥EC，AF ⊥BF，∴△ AEC 、△ AFB 为直角三角形在Rt△ AEC 与 Rt △ AFB 中AB＝ACAE＝AF∴Rt△AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠ EAC ＝∠ FAB∴∠ EAC －∠ BAC ＝∠ FAB －∠ BAC ，即∠ 1＝∠ 2.。

三角形全等的判定同步练习及答案4 (1)

三角形全等的判定同步练习一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第7题图)3、方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，在4×4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、△DEF，下列说法中成立的是（）A、∠BCA=∠EDFB、∠BCA=∠EFDC、∠BAC=∠EFDD、两个三角形中，没有相等的角4、如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠BCD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°5、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等6、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形7、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定8、如图, 小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.PO B．PQ C．MO D．MQ(第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图)9、如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥BC, 平移△AEF可以得到的三角形是( )A.△BDFB.△DEFC.△CDED.△BDF和△CDE10、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题11、如图，铁路上A，B两站（视为线上两点）相距25千米，C，D为铁路同旁两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA＝15千米，CB＝10千米，现在要在铁路AB 上修一个土特品回购站E，使C，D两村庄到E站的距离相等，则E站应建在距A站______千米处．12、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E，且AD=2cm，DB=4c m，则梯形ADEC的面积是 _____．(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)13、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=____°14、如图，和都是边长为4的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为 .15、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有对（填数字）16、如图，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35, 则∠BAD =________度.(第16题图) (第17题图)17、如图,△ABC的三个顶点分别在格子的3个顶点上,请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点,使得△DBC与△ABC全等,这样的三角形有个．18、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题19、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将两张三角形纸片摆成如图18的形式，使点B，F，C， D在同一条直线上．（1）你能说明AB⊥DE吗？（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予说明．20、如图，已知M在AB上，BC=BD，MC=MD．请说明：AC=AD．21、如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=BE，（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是理由是：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形（只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由。

人教版数学《第十二章全等三角形》知识点梳理及同步训练

人教版数学《第十二章全等三角形》知识点梳理及同步训练知识梳理一．全等三角形概念1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．二．全等三角形的性质：1.全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．2.全等三角形的周长、面积相等．三．全等的变换1.全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．2.全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素四．两个三角形全等的条件1.全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．2.全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．3.全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．4.全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．5.直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理五．判定三角形全等方法的选择：1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

全等三角形知识点总结及对应练习题

全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝DC ：（2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。

全等三角形全章复习与巩固(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1.如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．（1）（5）（2）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（4）（6）（1）2.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三角形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EF D B．FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68二.填空题9. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. 如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．16. 如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】解：A、（1）（5）（2）符合“SAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；B、（1）（2）（3）符合“SSS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；C、（2）（3）（4），是边边角，不能判断△ABC与△DEF全等，故本选项正确；D、（4）（6）（1）符合“AAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误．故选C．2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②正确；四边形ABCD的面积==AC•BD，故③正确；故选D．3. 【答案】C；4. 【答案】B ；【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.5. 【答案】B；【解析】∠C＝∠E，∠B＝∠FDE＝180°－110°－40°＝30°.6. 【答案】C；【解析】A项构不成三角形，B项是SSA，D项斜边和直角边一样长，是不可能的.7. 【答案】D；8. 【答案】A；【解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S=12（6+4）×16-3×4-6×3=50．二.填空题9. 【答案】（1，5）或（1，－1）或（5，－1）；10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】20cm；【解析】BC＝AC＝AE，△DBE的周长等于AB.12.【答案】1.3cm；【解析】AD是∠BAC的平分线，点D到AB的距离等于DC.13.【答案】135°；【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－12（∠BAC＋∠BCA）＝135°.14.【答案】4；【解析】证△ABC≌△CED.15.【答案】3+4；【解析】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE=PB=4，∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，∴∠ABE=∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE=3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P在正方形的边AB上时，Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D是OA中点，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2），②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）.三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC上取点F，使AF＝AE，连接OF，在△AEO和△AFO中，,12, AE AF AO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEO≌△AFO（SAS）．∴∠EOA＝∠FOA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC＋∠BCA)＝180°－12(180°－60°)＝120°．∴∠AOE＝∠AOF＝∠COF＝∠DOC＝60°．在△COD和△COF中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18.【解析】证明：过点P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长线于E ，∵ BP 平分∠ABC ，PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PD在Rt △PBE 与Rt △PBD 中，BP ＝BP ，PE ＝PD∴Rt △PBE ≌Rt △PBD （HL ）∴BE ＝BD又∵AB ＋BC ＝2BD.∴AB ＋BD ＋DC ＝2BD ，即AB ＋DC ＝BD∴AE ＝DC由（SAS ）可证Rt △PEA ≌Rt △PDC ，∴∠PAE ＝∠PCD∵∠BAP ＋∠PAE ＝180°∴∠BAP ＋∠BCP ＝180°.19.【解析】证明：在DA 上截取DN ＝DB ，连接NE ，NF ，则DN ＝DC ，在△DBE 和△DNE 中：∴△DBE ≌△DNE （SAS ）∴BE ＝NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF ＝NF在△EFN 中EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE ＋CF ＞EF.20．【解析】证明：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD，CF=BD.②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，∠DAF=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△C AF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．。

14.1全等三角形2024-2025学年八年级数学上册同步学与练(沪科版)[含答案]

14.1 全等三角形课程标准学习目标①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；②掌握全等三角形的性质． 1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形．2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法．3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明．知识点01全等的概念·全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）1．下列说法中正确的是（）A ．两个面积相等的图形，一定是全等图形B ．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形C ．两个等边三角形一定是全等图形D ．能够完全重合的两个图形是全等图形知识点02 全等三角形的有关概念·能够完全重合的两个三角形；·符号表示:全等符号“≌”，△ABC ≌△111A B C ；·对应元素：对应顶点、对应角、对应边；【即学即练2】2．如图，ABC DCB △≌△，其中AC 与DB 是对应边，那么BAC Ð的对应角是（）A ．ABDÐB ．ACB ÐC ．BDC ÐD ．CDBÐ【即学即练3】3．如图，ABC BAD V V ≌，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．【即学即练4】4．如图，已知ABC DEF ≌△△，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．知识点03 全等三角形的性质（1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对应周长、面积相等；（4）对应角平分线、中线、高线相等．【即学即练5】5．下列说法正确的是（）①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等A ．②③B ．③④C ．①②D ．①②③【即学即练6】6．已知下图中的两个三角形全等，则a Ð等于( )A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）7．如图，ABC ADE △≌△，70B Ð=°，30C Ð=°，35DAC Ð=°，则CAE Ð的度数为（）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【即学即练8】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）8．如图，ABC CDE △≌△，点C ，A ，D 在同一条直线上.(1)求证：AB CE ∥；(2)当7CE =，12AB =时，求线段AD 的长.·全等三角形中的对应关系：根据全等三角形的表示找对应线段和对应角关键：对应点在全等表示中的位置也对应相等案例：ABC ADE △≌△ABC ADE △≌△中的对应关系：·线段AB 与线段AD 对应，线段BC 与线段DE 对应，线段AC 与线段AE 对应·∠ABC 与∠ADE 对应，∠BCA 与∠DEA 对应，∠CAB 与∠EAD 对应【题型一：全等三角形的性质与角度等量代换】例1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）9．如图，ABC DEC ≌△△，过点A 作AF CD ^，垂足为点F ，若65BCE Ð=°，则CAF Ð的度数为（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°变式1.（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）10．如图，ABC DEC ≌△△，75ABC Ð=°，点E 在线段AB 上，过点B 作BF CE ^，且与DE 交于点F ，则BFD Ð的度数为（）A ．150°B ．155°C ．160°D ．165°例2.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）11．如图，已知11ABC A B C V V ≌，若11150,45,60A A B C ACB Ð=°Ð=°Ð=°，则a Ð的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．10°变式2.12．如图所示，ABC ADE △△≌，且1025120，,CAD D EAB Ð=°Ð=°Ð=°，求DFB Ð和DGBÐ的度数．【方法技巧与总结】灵活运用外角的性质、三角形的内角和、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线进行角度等量代换．【题型二：利用全等三角形的性质求线段长】例3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）13．如图，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．若2CE DE ==，则BC = ．变式3-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）14．如图，ABC CDE △≌△，点C ，A ，D 在同一条直线上.(1)求证：AB CE ∥；(2)当7CE =，12AB =时，求线段AD 的长.变式3-2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）15．如图，ABC DBE ≌△△，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，已知162ABE Ð=°，30DBC Ð=°， 2.5AD DC ==，4BC =．(1)求CBE Ð的度数．(2)求CDP △与BEP △的周长和．【题型三：全等三角形的性质与图形综合】例4．16．如图，已知ABC DEB △△≌，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ．(1)若8DE =，5BC =，则线段AE 的长是；(2)已知35D Ð=°，60C Ð=°，求AFD Ð的度数．【题型四：全等三角形与坐标】例5．17．如图，在平面直角坐标系中，已知AOB COD V V ≌，则点C 的坐标是．变式5.（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）18．如图，直线1l ：y ax b =+（常数0a <，0b >）与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线2l ：y ca d =+（常数0c >，0d >）与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，直线1l 与直线2l 交于点E ，且△≌△A O B C O D ．(1)求证AB CD^(2)若2a =-，4b =，求ADE V 的面积．一、选择题（23-24八年级上·安徽淮南·期中）19．已知ABC DEF ≌△△，80A Ð=°，40B Ð=°，则F Ð的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°（23-24八年级上·江苏南通·期中）20．如图，ABC FDE ≌△△，50C Ð=°，100F Ð=°，则B Ð的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°（16-17八年级上·云南红河·期末）21．如图，ABC DCB △≌△，若7AC =，5BE =，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5（23-24八年级上·安徽安庆·期末）22．下列命题中，是假命题的是（）A ．两点确定一条直线B ．对顶角相等C ．同旁内角互补D ．全等三角形的面积相等（23-24八年级上·安徽亳州·期末）23．如图，已知ABC ADE △△≌，55BAC Ð=°，100Ð=°ADE ，则C Ð的度数为（）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）24．下列关于全等三角形的说法中，正确的有（）①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）25．如图，在ABC V 中，AD BC ^于点D ，点E 在AD 上，且CED ABD V V ≌．若14DE DC +=，2DA DB -=，则DE 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（22-23八年级上·江苏南通·期末）26．如图，ABC ADE △≌△，42B Ð=°，30C Ð=°，50BAD Ð=°，则BAE Ð=（23-24八年级上·安徽合肥·期末）27．已知ABC DEF ≌△△，其中6AC =，则DF = ．（16-17八年级下·江西抚州·期中）28．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到DEF V 的位置，10AB =，4DO =，平移距离为6，则阴影部分面积为．三、解答题（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）29．如图，已知ABC DEB @△△，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，若10DE =，6BC =，30D Ð=°，70C Ð=°．(1)求线段AE 的长；(2)求DBC Ð的度数．（21-22八年级上·安徽安庆·期末）30．如图，已知ABC DEB V V ≌，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ．(1)若6AB =，3BC =，求AE 的长；(2)若25A Ð=°，55C Ð=°，求AED Ð的度数．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）31．如图，A 、D 、E 三点在同一条直线上，且ABD CAE ≌V V ．(1)若5BD =，3CE =，求DE ；(2)若BD CE ∥，求BAC Ð．（22-23八年级上·安徽六安·期末）32．如图，直线l ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点()0,4C ，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动，移动了t 秒．(1)求A 、B 两点的坐标．(2)当t 为何值时，COM AOB △△≌，并求此时M 点的坐标．33．如图，在四边形ABCD 中，50B C Ð=Ð=°， 2.5AB =，6BC =，动点E ，F 分别在线段BC ，DC 上，连接AE ，EF ，AF ．(1)若70BAE Ð=°，60AEF Ð=°，求EFC Ð的度数；(2)若V V ≌ABE AFE ，100BAF Ð=°，求AEB Ð的度数；(3)若ABE V 与ECF △全等，点B 与点C 为对应点，求BE 的长．34．综合与实践（1）【探索发现】在ΔABC 中. AC BC =，ACB a Ð=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转a 得到ED ，连接BE ．如图（1），当点D 在线段BC 上，且90a =°时，试猜想：①AF 与BE 之间的数量关系：______；②ABE Ð=______．（2）【拓展探究】如图（2），当点D 在线段BC 上，且090a °<<°时，判断AF 与BE 之间的数量关系及ABE Ð的度数，请说明理由．（3）【解决问题】如图（3），在ΔABC 中，AC BC =，4AB =，ACB a Ð=，点D 在射线BC 上，将AD 绕点D 顺时针旋转a 得到ED ，连接BE ．当3BD CD =时，直接写出BE 的长．【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可．【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A 错误，故不符合要求；若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B 错误，故不符合要求；两个等边三角形不一定是全等图形，C 错误，故不符合要求；能够完全重合的两个图形是全等图形，D 正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．D【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵ABC DCB △≌△，其中AC 与BD 是对应边，∴A 和D 、B 和C 是对应点，∴BAC CDB =∠∠．故选：D ．3．对应边：AB 与BA ，BC 与AD ，AC 与BD ；对应角：CAB Ð与DBA Ð，ABC Ð与BAD Ð，C Ð与DÐ【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可．【详解】解：∵ABC BAD V V ≌，∴对应边：AB 与BA ，BC 与AD ，AC 与BD ；对应角：CAB Ð与DBA Ð，ABC Ð与BAD Ð，C Ð与D Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键．4．见解析【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点，∴这两个三角形的对应边是：BC 和EF ，AB 和DE ，AC 和DF ；对应角是：ABC Ð和DEF Ð，ACB Ð和DFE Ð，BAC Ð和EDF Ð．【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键．【分析】理清全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．【详解】解：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确；②全等三角形的周长相等，面积相等，正确；③面积相等的三角形形状不一定相同，故错误；④周长相等的三角形形状不一定相同，故错误．所以①②正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用是解题的关键．6．D【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质即可求得结果．【详解】解：由全等三角形的性质得：a Ð是边a 和c 的夹角，∴50a Ð=°，故选：D ．7．B【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得80DAE BAC Ð=Ð=°，结合CAE DAE CAD Ð=Ð-Ð即可求得答案．【详解】解：∵ABC ADE △≌△，∴ABC ADE Ð=Ð，C E Ð=Ð，BAC DAE Ð=Ð，∵70B Ð=°，30C Ð=°，∴80DAE BAC Ð=Ð=°，∵35DAC Ð=°，∴45CAE DAE CAD Ð=Ð-Ð=°，故选：B ．8．(1)见解析(2)5【分析】（1）根据三角形全等的性质得到BAC DCE Ð=Ð，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）根据三角形全等的性质得到12CD AB ==，7AC CE ==，根据AD CD AC =-即可求出最后结果．【详解】（1）证明：ABC CDE Q ≌△△，BAC DCE \Ð=Ð，AB CE \∥；（2）ABC CDE Q ≌△△，12CD AB \==，7AC CE ==，1275AD CD AC \=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键．9．A【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得ACB DCE Ð=Ð，进而可得BCE ACD Ð=Ð，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得CAF Ð的度数．【详解】解：Q ABC DEC ≌△△，\ACB DCE Ð=Ð，ACB ACE DCE ACE\Ð-Ð=Ð-Ð即BCE ACD Ð=Ð，Q AF CD ^，65BCE Ð=°，9025CAF ACD \Ð=°-Ð=°，故选：A ．10．D【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出75ABC DEC Ð=Ð=°，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出 15EFB Ð=°，根据邻补角即可求解．【详解】ABC DEC Q △≌△，75ABC Ð=°，75ABC DEC \Ð=Ð=°，BF CE ^Q ，9015EFB FEC \Ð=°-Ð=°，180165BFD EFB \Ð=°-Ð=°．故选：D ．11．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据11ABC A B C V V ≌得到45ABC Ð=°，根据三角形内角和求出85ACB Ð=°，即可求出125BCB Ð=°，问题得解．【详解】解：∵11ABC A B C V V ≌，∴1145A B C ABC ÐÐ=°=，∵50A Ð=°，∴180180504585ACB A ABC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∵160ACB Ð=°，∴11856025BCB ACB ACB Ð=Ð-Ð=°-°=°即25a Ð=°．故选：C12．9065，DFB DGB Ð=°Ð=°【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由ABC ADE △△≌，可得()12DAE BAC EAB CAD Ð=Ð=Ð-Ð，根据三角形外角性质可得DFB FAB B Ð=Ð+Ð，可得DFB Ð的度数；根据三角形内角和定理可得90DGB D Ð=°-Ð，即可得DGB Ð的度数．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴()()11120106522DAE BAC EAB CAD Ð=Ð=Ð-Ð=´°-°=°，25B D Ð=Ð=°，\652590＝DFG FAB B Ð=Ð+Ð=°+°°，∴90DFB DFG Ð=Ð=°，在Rt DCG △中，90902565DGB D Ð=°-Ð=°-°=°．13．4【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到AC DE =，BC AE =，再利用线段的和差关系，求出AE 的长即可．【详解】解：∵ABC DAE △△≌，∴AC DE =，BC AE =，∵2CE DE ==，∴2AC =，∴4BC AE AC CE ==+=；故答案为：4．14．(1)见解析(2)5【分析】（1）根据三角形全等的性质得到BAC DCE Ð=Ð，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）根据三角形全等的性质得到12CD AB ==，7AC CE ==，根据AD CD AC =-即可求出最后结果．【详解】（1）证明：ABC CDE Q ≌△△，BAC DCE \Ð=Ð，AB CE \∥；（2）ABC CDE Q ≌△△，12CD AB \==，7AC CE ==，1275AD CD AC \=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键．15．(1)66°(2)15.5【分析】（1）根据全等三角形的性质得到ABC DBE Ð=Ð，计算即可；（2）根据全等三角形的性质求出BE 、DE ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】（1）解：∵162ABE Ð=°，30DBC Ð=°，∴132ABD CBE Ð+Ð=°，∵ABC DBE ≌△△，∴ABC DBE Ð=Ð，∴132266ABD CBE Ð=Ð=°¸=°，即CBE Ð的度数为66°；（2）解：∵ABC DBE ≌△△，∴5DE AC AD DC ==+=，4BE BC ==，∴CDP △与BEP △的周长和为DC DP PC BP PE BE+++++DC DE BC BE=+＋＋2.5544=+++15.5=．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键．16．(1)3(2)130°【分析】（1）根据全等三角形的性质得到8A B D E ==，5BE BC ==，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到60DBE C Ð=Ð=°，35A D Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理求出ABC Ð，计算即可．【详解】（1）解：∵ABC DEB △△≌，8DE =，5BC =，∴8A B D E ==，5BE BC ==，∴853AE AB BE =-=-=；（2）解：∵ABC DEB △△≌，35D Ð=°，60C Ð=°，∴60DBE C Ð=Ð=°，35A D Ð=Ð=°，ABC DEB Ð=Ð，∴18085ABC A C Ð=°-Ð-Ð=°，∴85DEB Ð=°，∴95AED Ð=°，∴3595130AFD A AED Ð=Ð+Ð=°+°=°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．17．()0,1【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据点A 的坐标推出1OA =，结合全等三角形对应边相等，即可解答【详解】解：∵()1,0A ，∴1OA =，∵AOB COD V V ≌，∴1OC OA ==，∴C (0,1)，故答案为：(0,1)．18．(1)证明见解析；(2)365．【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到ABO CDO Ð=Ð，再根据对顶角相等，得到DCO BCE Ð=Ð，进而得到90ABO BCE Ð+Ð=°，即可证明结论；（2）利用直线1l ：24y x =-+，求出A 、B 两点坐标，得到2OA =，4OB =，再利用全等三角形的性质，得到2OC OA ==，4OD OB ==，进而得到C 、D 两点坐标，从而求出直线2l ：122y x =+，联立方程组，求出点E 坐标，即可求出ADE V 的面积．【详解】（1）证明：AOB COD QV V ≌，ABO CDO \Ð=Ð，DCO BCE Ð=ÐQ ，90CDO DCO ABO BCE \Ð+Ð=Ð+Ð=°，()18090BEC ABO BCE \Ð=°-Ð+Ð=°，AB CD \^；（2）解：2a =-Q ，4b =，\直线1l ：24y x =-+，令0x =，得4y =；令0y =，得240x -+=，解得2x =，()2,0A \，()0,4B ，2OA \=，4OB =，AOB COD QV V ≌，2OC OA \==，4OD OB ==，()0,2C \，()4,0D -，240d c d =ì\í-+=î，解得：122c d ì=ïíï=î，\直线2l ：122y x =+，联立方程组12224y x y x ì=+ïíï=-+î，解得：45125x y ì=ïïíï=ïî，\点E 的坐标为412,55æöç÷èø，ADE \V 的面积为()111236242255E AD y ×=´+´=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键．19．C【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．根据三角形内角和定理求出C Ð，根据全等三角形性质推出F C Ð=Ð，即可得出答案．【详解】解：80A Ð=°Q ，40B Ð=°，18060C A B \Ð=°-Ð-Ð=°，ABC DEF QV V ≌，60F C \Ð=Ð=°，故选：C ．20．B【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．【详解】解：∵ABC FDE ≌△△，50C Ð=°，100F Ð=°，∴100BAC F Ð=Ð=°，∴1801005030B Ð=°-°-°=°．故选：B ．21．A【分析】根据全等三角形的对应边相等推知7BD AC ==，然后根据线段的和差即可得到结论．【详解】解：ABC DCB QV V ≌，7BD AC \==，5BE =Q ，2DE BD BE \=-=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．22．C【分析】本题主要考查真假命题，利用对顶角的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及确定直线的条件即可确定正确的选项．【详解】解：A 、两点确定一条直线，该命题是真命题，故本选项不符合题意；B 、对顶角相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意；C 、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意；D 、全等三角形的面积相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意；故选：C ．23．D【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出100B ADE Ð=Ð=°，再根据三角形内角和定理即可求出C Ð的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵ABC ADE △△≌，100B ADE \Ð=Ð=°，在ABC V 中，55BAC Ð=°，100B Ð=°，180C BAC B\Ð=°-Ð-Ð18055100=°-°-°25=°．故选：D24．C【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可．【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确；③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误；④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键．25．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，二元一次方程组的应用．由全等三角形的性质求得==AD CD y ，BD DE x ==，根据题意得到方程组，解之即可求解．【详解】解：设DE x =，CD y =，∵CED ABD V V ≌，∴==AD CD y ，BD DE x ==，∵14DE DC +=，2DA DB -=，∴14x y +=①，2y x -=②，-①②得212x =，解得6x =，即6DE =，故选：A ．26．58°##58度【分析】此题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质等知识，根据三角形内角和定理得到180108BAC B C Ð=-Ð-Ð=°°，由全等三角形的性质得到108DAE BAC Ð=Ð=°，作差即可求出BAE Ð.【详解】解：∵42B Ð=°，30C Ð=°，∴180108BAC B C Ð=-Ð-Ð=°°，∵ABC ADE △≌△，∴108DAE BAC Ð=Ð=°，∴1085058BAE DAE BAD Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为：58°．27．6【分析】本题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键．【详解】解：Q ABC DEF ≌△△，6AC DF \==，故答案：6．28．48【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出BE 、DE ，根据题意求出OE ，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由平移的性质知，6BE =，10DE AB ==，1046OE DE DO \=-=-=，ABC DEF QV V ≌，ABC DEF S S \=△△，()()1110664822ODFC ABEO S S AB OE BE \==+×=´+´=四边形梯形，故答案为4829．(1)4AE =(2)10DBC Ð=°【分析】（1）由全等三角形的性质可得10AB DE \==，6BE BC ==，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得30BAC Ð=°，70DBE Ð=°，再利用三角形内角和定理求得80ABC Ð=°，即可求解．【详解】（1）解：ABC DEB @Q △△，10DE =，6BC =，10AB DE \==，6BE BC ==，4AE AB BE \=-=；（2）解：ABC DEB @Q △△，30D Ð=°，70C Ð=°，30BAC D °\Ð=Ð=，70DBE C Ð=Ð=°，180180307080ABC A C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，807010DBC ABC DBE °°°\Ð=Ð-Ð=-=.【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．30．(1)3AE =(2)80AED Ð=°【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理．（1）利用全等的性质即可求出3BE BC ==，然后根据线段的和差即可求出AE ．（2）利用全等的性质求出ABC DEB Ð=Ð，然后根据三角形的内角和定理即可求出100ABC DEB Ð=Ð=°，然后利用角的和差即可求出AED Ð．【详解】（1）（1）∵ABC DEB V V ≌，3BC =，∴3BE BC ==，∴633AE AB BE =-=-=．（2）∵ABC DEB V V ≌，∴ABC DEB Ð=Ð．∵25A Ð=°，55C Ð=°，∴1801802555100ABC A C Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴100DEB Ð=°，∴180********AED DEB Ð=°-Ð=°-°=°.31．(1)2(2)90°【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质得到3AD CE ==，5AE BD ==，即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到BDE CEA Ð=Ð，根据全等三角形的性质得到ADB CEA Ð=Ð，ABD CAE Ð=Ð，则ADB BDE Ð=Ð，由平角的定义及等量代换即可得到BAC Ð的度数．【详解】（1）解：∵ABD CAE △△≌，5BD =，3CE =，3\==AD CE ，5AE BD ==，2DE AE AD \=-=；（2）∵BD CE ∥，BDE CEA \Ð=Ð，∵ABD CAE △△≌，ADB CEA \Ð=Ð，ABD CAEÐ=ÐADB BDE \Ð=Ð，180ADB BDE Ð+Ð=°Q ，90ADB \Ð=°，90ABD BAD \Ð+Ð=°，90BAC BAD CAE BAD ABD \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°．32．(1)()40A ，，()02B ，；(2)当2t =时，COM AOB △△≌，此时M 的坐标是()20，；或6t =时，COM AOB △△≌，此时M 的坐标是()20-，．【分析】（1）由直线l 的函数解析式，令0y =求A 点坐标，0x =求B 点坐标；（2）若COM AOB △△≌，则2OM OB ==，分情况求出t 值，并得到M 点坐标．【详解】（1）解：122y x =-+，当0x =时，2y =．当0y =时，1202x -+=，解得4x =．所以()40A ，，()02B ，；（2）解：因为COM AOB △△≌，所以2OM OB ==．当04x <<时，42OM t =-=，所以2t =，当>4x 时，42OM t =-=．所以6t =，即当2t =时，COM AOB △△≌，此时M 的坐标是()20，；或6t =时，COM AOB △△≌，此时M 的坐标是()20-，．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．33．(1)70°(2)80°(3)3或3.5【分析】（1）根据三角形内角和算出60AEB Ð=°，再根据平角定义算出60,FEC Ð=°最后再运用三角形内角和即可求解；（2）根据V V ≌ABE AFE 得出150,2BAE EAF BAF Ð=Ð=Ð=°再由三角形内角和即可求解；（3）根据ABE ECF ≌△△和ABE FCE △≌△分类讨论即可求解；【详解】（1）50,70B BAE Ð=°Ð=°Q ，180,B BAE AEB Ð+Ð+Ð=°60AEB \Ð=°，60,AEF Ð=°Q 180AEB AEF FEC Ð+Ð+Ð=°，60,FEC \Ð=°50,C Ð=°Q 180FEC C CFE Ð+Ð+Ð=°，70EFC \Ð=°；（2）∵,100ABE AFE BAF Ð=°V V ≌，150,2BAE EAF BAF \Ð=Ð=Ð=°180B BAE AEB Ð+Ð+Ð=°Q ，180505080AEB \Ð=°-°-°=°．（3）当ABE ECF ≌△△时，则2,5AB EC ==，6,BC =Q 6 2.5 3.5,BE BC EC \=-=-=当ABE FCE △≌△时，则BE CE =，6BC BE CE ==+Q ，1 3.2BE CE BC \===综上可得：BE 为3或3.5．【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．34．（1）①AF BE =；②90°；（2）AF BE =，ABE a Ð=．理由见解析；（3）BE 的长为1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF ≌△EDB ，可得AF=BE ，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；（2）结论：AF=BF ，∠ABE=a ．由“SAS”△ADF ≌△EDB ，即可解决问题；（3）分当点D 在线段BC 上和当点D 在BC 的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．【详解】解：（1）如图1中，设AB 交DE 于O ．∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°，∵DF ∥AC ，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB ，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB ，且DA=DE ，DF=DB∴△ADF ≌△EDB （SAS ），∴AF=BE ，∠DAF=∠E ，∵∠AOD=∠EOB ，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案为AF=BE ，90°．（2）AF BE =，ABE a Ð=.理由：∵//DF AC ，∴FDB ACB a Ð=Ð=，CAB DFB Ð=Ð.∵AC BC =，∴ABC CAB Ð=Ð.∴ABC DFB Ð=Ð.∴DB DF=∵ADE FDB a Ð==Ð，ADF ADE FDE Ð=Ð-Ð，EDB FDB FDE Ð=Ð-Ð，∴ADF EDB Ð=Ð.又∵AD DE =，∴ADF EDB D @D .∴AF BE =，AFD EBD Ð=Ð.∴AFD ABC FDB Ð=Ð+Ð，DBE ABD ABE Ð=Ð+Ð，∴ABE FDB a Ð=Ð=.（3）1或2.解：当点D 在线段BC 上时，过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，如图（1）.∵//DF AC ，∴3BF BD AF CD==.∵4AB BF AF =+=，∴1AF =.∵//DF AC ，∴BDF C ADE a Ð=Ð=Ð=，DFB CAB Ð=Ð.∵ADF ADE FDE Ð=Ð-Ð，EDB FDB FDE Ð=Ð-Ð，∴ADF EDB Ð=Ð.∵AC BC =，∴CAB CBA Ð=Ð.∴DFB DBF Ð=Ð.∴DF DB =.又AD DE =，∴ADF EDB D @D ，1BE AF ==.当点D 在线段BC 的延长线上时，过点D 作//DF AC ¢交BA 的延长线于点F ¢，如图（2）.∵//DF AC ¢，∴2AB BC AF CD==¢.∴24AB AF ¢==.∴2AF ¢=.同理可得2BE AF ¢==.综上可得，BE 的长为1或2.【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

全等三角形专题复习(含练习讲评)

一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ；（2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。

(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。

例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。

练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？并说明理由。

3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。

人教版八年级上册 12.2三角形全等的判定巩固练习

三角形全等的判定巩固练习一、选择题1.如图，已知∠C=∠D=90°，有四个可添加的条件：①AC=BD；②BC=AD；③∠CAB=∠DBA；④∠CBA=∠DAB.能使△ABC≌△BAD的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若要证明△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则正确的补充方法是()A. BC=DFB. AC=EFC. BC=EFD. AC=DF3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需添加的条件是()．A. ∠A=∠DB. ∠B=∠EC. ∠C=∠FD. 以上都可以4.在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，要判定这两个三角形全等，还需要条件()．A. AB=EDB. AB=FDC. AC=FDD. ∠A=∠F5.如图，△ABC是等边三角形，若它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将△ABC分成两个全等三角形，则这样的点共有()．A. 1个B. 3个C. 6个D. 9个1/ 126.如图，在下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是()A. AB=DC，AC=DBB. AB=DC，∠ABC=∠DCBC. BO=CO，∠A=∠DD. AC=BD，∠A=∠D7.如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE=CF，则图中的全等三角形共有()．A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8.如图，∠ADC=∠ADB，添加一个条件，仍不能说明△ABD≌△ACD的是()A. AB=ACB. ∠BAD=∠CADC. ∠B=∠CD. BD=CD9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线．AE⊥BC.若∠C=65°，则∠BAE的度数为BE于点E，且BE=12()A. 65°B. 55°C. 35°D. 25°二、填空题10.如图，AD=CB，AB=CD，∠A=60°，则∠C的度数为_________．11.在平面直角坐标系中，点A(2,0)，B(0,4)，当点C的坐标为_________时，△BOC与△ABO全等．12.如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形_________，并说明你的理由_________．13.如图，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若∠1=30°，则∠2=_________．14.如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=________．三、解答题15.如图，已知AE⊥ED，AF⊥FD，AF=DE，EB⊥AD，FC⊥AD，垂足分别为B，C，求证：EB=FC．3/ 1216.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O．(1)求证：①△ABC≌△ADC；②OB=OD，AC⊥BD；(2)如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积．17.如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD//BC.求证：AD=BC．5/ 12答案和解析1.D解：添加①AC=BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；添加②BC=AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；添加③∠CAB=∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；添加④∠CBA=∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．∴共有4个可以使△ABC≌△BAD的条件．2.D解：如图所示，∵AB=DE，∠A=∠D，再添一组边AC=DF，∴根据SAS就可得出△ABC≌△DEF，3.B解：∵AB=DE，BC=EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，∴添的是两边的夹角，夹角为∠B=∠E，4.C解：A.已知条件已存在，不符合符合全等三角形的判定定理，无法证明这两个三角形全等，故A项不符合题意；B.已知条件不是对应边的相等关系，不符合符合全等三角形的判定定理，无法证明这两个三角形全等。

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假期第一讲：认识全等三角形，三角形全等的判定目标一：认识全等形，及全等三角形的性质1.全等形的、相同.2.一个图形经过、、后得到另一个图形，这两个图形一定是全等形.3.全等三角形的性质是：，.4.“全等”用符号“ ”表示，读作“ ”；记两个三角形全等时通常把表示对应定点的字母写在的位置上.【目标一典型例题】例1.下列图形中，和左图全等的图形是（）例2.如图，△≌△，和，和是对应边.∠和∠相等吗？为什么？【堂上练习】1.若Δ≌Δ, ∠70°,∠60°,点A的对应点是点D,,那么∠F的度数为（）A.50°B.60°C.50°D.以上都不对2.已知：△≌△A′B′C′，∠∠A′，∠∠B′，∠70°，15，则有：∠C′，A′B′.3.如图，△≌△，∠F 和∠M 是对应角，在△中，是最长边。

在△中，是最长边2.1㎝，1.1㎝，3.3㎝. （1）写出其他对应边及对应角. （2）求线段及线段的长度.【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2. 如图，△≌Δ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠＝35°，则∠的度数为（）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°MNHGFE3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个4．△≌△，且△的周长为100cm，A、B分别及D、E对应，且＝35cm，＝30cm，则的长为（）A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm5.在△中，∠B＝∠C，及△全等的三角形有一个角是120°，那么在△中及这个120°的角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B 或∠C6.如图，△≌△＝, ＝, ∠B＝50°,∠＝120°，则∠的度数为（）A.120°B.70 °C.60°D.50°二、填空题7. 如图，把△绕C点顺时针旋转35°，得到△''A B C，''A B交于点D，则AB'D =∠.8.如图，△≌△，如果＝5cm，＝7cm，＝6cm，那么的长是.9.如图，△≌△，则，＝，∠E ＝∠；若∠＝120°，∠＝40°，则∠＝.10.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、分别为折痕，则∠的度数为.11. △中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△≌△，则∠＝12.如图、相交于点O，△≌△，则及的位置关系是.三、解答题13. 如图，△中，∠＝90°，△≌△，你能判断及互相垂直吗？说出你的理由.14. 如图，E为线段上一点，⊥，△≌△.判断及的关系，并证明你的结论.15.如图，把△纸片沿折叠，当点A 落在四边形内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设的度数为x ，∠的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 及∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.目标二:全等三角形的判定判定一：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（.）。

【目标二典型例题】例1. 如图.求证：①△≌△②∥∥AED ∠ADE FBA例2．如图所示，已知，，求证：∠∠D过关同步测试题一、填空1、能够完全的两个三角形叫做全等三角形.2、全等三角形的相等，全等三角形的相等.3、完成下面的证明过程：如图，＝，＝. 求证：∠＝∠. 证明：在△和△中，∴≌（）.∴∠＝∠（）.4、△和A B C '''△中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件可得到△≌A B C '''△．5、如图所示，在△中，＝，D 为的中点，（EDCBACOAB则△≌△，根据是，及的位置关系是．二、选择1、如图，＝，＝，欲证△≌△，则需补充的条件是（）Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．＝2、全等三角形是( )A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．三边对应相等的两个三角形3、如图所示，在△中，，，则由“”可以判定( )A．△≌△B．△≌△C．△≌△D．以上都不对4、下列各组条件中能判定△≌△的是（）A、，B、∠∠D，∠∠FC、,Δ的周长等于Δ的周长D、∠∠D，∠∠E, ∠∠F三、解答题已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且，，。

求证：（1）△≌△(2)BD2、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且，，。

求证：(1)△≌△(2)3、已知：如图，，，求证：(1)∠∠D (2)FCEB4、已知：如图, , , ．求证：∠∠．判定二：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（.）例3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，且∥，求证：△≌△B E DCBB CA例4．如图，, ∠∠,求证: △≌△同步练习1、如图2，、相交于O，、、、的长度如图所标，△和△是否能完全重合呢？猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形。

2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠＝45°，②在、上分别取B、C，使＝3.1，＝2.8。

③连结，得△。

④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇。

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△上，观察△A＇B＇C＇及△是否能够完全重合？3、边角边公理．(简称“边角边”或“”)一、例题及练习1、填空：ED CBA(1)如图3，已知∥，＝，要用边角边公理证明△≌△，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是＝(已知)，二是；还需要一个条件(这个条件可以证得吗？)。

(2)如图4，已知＝，＝，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△≌，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是,二是还需要一个条件(这个条件可以证得吗？)。

2、例1 、已知：∥，＝(图3)。

求证：△≌△．问题：如果把图3中的△沿着方向平移到△的位置(如图5)，那么要证明△≌△，除了∥、＝的条件外，还需要一个什么条件(＝或＝)？怎样证明呢？例2、已知：＝、＝、∠1＝∠2(图4)。

求证：△≌△。

1、已知：如图，＝，F、E分别是、的中点。

求证：△≌△。

2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，＝，∥，＝．求证：△≌△．3、已知：如图,∠∠，求证：△≌△ABC D E4、如图，△中，＝，平分∠，试说明△≌△。

AB DC5、已知：如图，AD ∥BC ，CB AD =。

求证：CBA ADC ∆≅∆。

6、已知：如图，AD ∥BC ，CB AD =，CF AE =。

求证：CEB AFD ∆≅∆。

7、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，DB AC =，DF AE =，AD EA ⊥，AD FD ⊥，垂足分别是A 、D 。

求证：FDC EAB ∆≅∆8、已知：如图，AC AB =，AE AD =，21∠=∠。

求证：ACE ABD ∆≅∆。

9、如图，在ABC∆中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FEDE=，AE=，AB及CF有什么位置关系？说明你判断的理由。

CE10、已知：如图，DBA∠，BDAC=。

求证∠∠D=CAB∠11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OCOB=。

OA=，OD求证：DC∥AB。

12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DCAC=。

求证：AB=，DB =∠。

B∠C13、已知：如图、E分别是△的边的中点,点F在的延长线上,且．求证：(1) (2)∥14、已知: 如图, , , 的延长线交于D．求证：．15、已知:如图,∠∠.求证16、已知，△和△都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：17、如图，已知，∥，，。

请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。

判定三：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为( .)。

例5．如图，O是的中点，∠∠B，求证：△≌△例6.已知如图，⊥于点E，⊥于点D，、交于点O，且平分∠，求证ODCB AEOE DC BA同步练习1、如图，∠∠，∠∠，试说明△≌△. ADBC2、已知：如图，∠∠，∠∠。

求证：.DABEC4、如图：在△和△中,∠∠,∠∠,求证：.ADB C6、如图，已知：，∠∠C，∠∠，求证：. AEC BD9、如图, ∥, 、交于O点, 过点O分别交、于E、F，且, 求证：O是的中点A E BoCFD1. 已知：如图, , ∥ , ∥、C在直线上．求证：, ．2.已知：如图, ⊥于B , ⊥于G , ⊥于D , ．求证：.3. 已知：如图⊥于C , ⊥于D , M是的中点, 连结并延长交于点F。

求证：．4. 已知：如图, E、D、B、F在同一条直线上, ∥ , ∠∠ , ．求证：∥.5.如图在△和△中, ∠1=∠2 , ∠3=∠4 ,P是上任意一点．求证：.6.已知：如图, , ∥ , 、交于O点．求证：判定四：如果两个三角形的两个角及一组角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．写成：“角角边”或简记为(.)例7.已知：∠1＝∠2 , ∠3＝∠4，求证：△≌△AD判定五：（直角三角特有判定定理：）如果两个直角三角形的斜边及一组直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等例8．如图,在△中，∠＝90°，＝，点D 在的延长线上，点E 在上，＝延长交于点F. 求证：⊥.同步练习：一、选择题1.△中，∠90°，为角平分线，32，∶9∶ 7,则点D 到的距离为( ) A.18 B.16 C.14 D.122．在△内部取一点P 使得点P 到△的三边距离相等，则点P 应是△的哪三条线交点．（）（A ）高（B ）角平分线（C ）中线（D ）边的垂直平分线 3．已知，如图，△中，，是角平分线，，则下列说法正确的有几个（）（1）平分∠；（2）△≌△；（3）；（4）⊥．（A ）1个（B ）2个FE DCBA（C ）3个（D ）4个二、填空题4．如图，在△和△中，∠∠90°，若利用“”证明△≌△，则需要加条件或；若利用“”证明△≌△，则需要加条件或．第4题第5题第6题5.如图，有一个直角△，∠90°，10，5，一条线段，两点分别在和过点A 且垂直于的射线上运动，当时,才能使Δ≌Δ.6.如图,在△中，∠C ＝90°，＝，平分∠，交于⊥于E ，且＝6 ，则△的周长为. 三、解答题7.如图，在△中，已知D 是中点，⊥，⊥，垂足分别是E 、F ，＝. 求证：CBBAE F AE F8.已知：如图，平分∠，⊥于E，⊥于F，且＝.你能说明及相等吗？9．已知：如图，在△中，∠90°，⊥于D，∠30°.求证14B A10.如图，在△中，，是过点A的直线，⊥于D，⊥于E．（1）若在的同侧（如图①）且，说明：⊥．（2）若在的两侧（如图②）其他条件不变，问及仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．课后练习：1.下列说法正确的是（）A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相同的两个三角形C.全等三角形的周长、面积分别相等D. 两个等边三角形是全等三角形2.如图，∠∠, ∠∠，则下列结论中:①△≌△，②△≌△，③△≌△，④△≌△，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D. 4个3.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块及以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可OCB DA4.如图,△≌△，，，∠50°，∠120°，则∠的度数等于( ).A．120B． 70C． 60D． 505.如图在△中，，D是的中点、E在上，求证: △≌△.6.在△中，∠∠C，D、E分别在、边上，∠∠B，. 求证：△≌△.7.已知：⊥，，，求证：① △≌△② ⊥.ECBAEDC BAECBAFE DC B A8.如图，已知中，点E为边的中点，连结并延长交延长线于F. 求证：．9.如图，，，O为上任意一点，过O点的直线分别交，于E、F点.求证：∠1=∠2.10.如图，∠∠，∠∠，，求证.11.如图在△中，∠90°，沿过点B的一条直线折叠△，使点C恰好落在边中点D处，求∠A的度数.ED CBA21OFEDCBAAEDC B FED CBA12.如图在△中，∠600，、分别平分∠和∠，求证：.13.如图，在△、△中，∠＝∠＝90°，＝，＝，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连结.试猜想、有何特殊位置关系，并证明.14.已知△边上的高所在的直线及边上的高所在的直线相交于F. （1）如图1，若为锐角三角形，且∠450，过点F 作，交直线于G ，试探究线段、、三者之间满足怎样的数量的关系？并说明理由；（2）如图2，若∠ =1350，其他条件不变，试探究（1）中三条线654321CDBAE段之间满足怎样的数量的关系？并说明理由.（提示：等腰直角三角形的两个底角都是450，两条腰相等.）图2图1GFEDCBAGFEDCBA。