中考数学二轮复习讲义第08讲-二次函数-学案
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。
二次函数复习教案-【通用,经典教学资料】
二次函数复习教案一、教材分析二次函数时描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。
在前面学习中，学生已经通过大量丰富有趣的现实背景，运用由简入繁从特殊到一般的研究方法从多方面探索研究了二次函数的概念、性质以及实际应用。
因为二次函数考查的知识点比较多，因此，在复习中，应注重学生对基本概念性质的掌握情况，通过大量不同实际问题，促使学生分析问题、解决问题意识和能力的的提高以及函数模型的进一步加深巩固。
二、学生情况分析初三的学生，已经具备一定的生活经验和有效学习方法，思维比较开阔，能独立思考和探索中形成自己的观点，他们能迅速利用周围的小组合作，共同探讨解决学习中的问题。
在复习课中，学生需要掌握二次函数的基本概念、性质以及有条理的思考和语言表达能力。
三、教学目标1、能根据具体问题，选取表格、表达式、图像这三种方式中适当的方法表示变量之间的二次函数关系2、会作二次函数的图象，并能根据图像对二次函数的基本性质进行分析表达。
3、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和定点坐标。
4、能利用二次函数解决实际问题，并能对变量的变化趋势进行预测。
四、教学理念和方式创设一种师生交往的互动、互惠的教学关系，师生之间彼此平等、互教互学，形成一个真正的“学习共同体”。
在这个过程中，教师与学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求的新的发展，从而达到共识、共享、共进实现教学相长和共同发展。
教师在教学中是组织者、引导者、合作者；建立和谐的、民主的、平等的的师生关系。
整个过程学生是学习的主人，他们在教师的指导下进行主动的、富有个性的学习；教师应充分利用现实情景与先进教学技术，增加教学过程的趣味性，充分调动学生的积极性。
五、教学媒体选用为使教学活动有序高效进行，本节课通过多媒体辅助教学，将一些重难点进行分化演示，加深学生的理解掌握。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
九年级数学《二次函数》总复习教案
教材：初中数学九年级上册复习目标：1.理解二次函数的概念和特征。
2.掌握二次函数的基本性质和图像的特点。
3.熟练运用二次函数解决实际问题。
4.理解抛物线的性质及其与二次函数的关系。
一、概念复习1.二次函数：通过变量的平方项表达的函数。
2.顶点：二次函数图像的最高点或最低点，表示为（a，b）。
3.对称轴：二次函数图像的对称轴，表示为x=a。
4.开口方向：二次函数图像的开口方向，由二次项的系数决定。
二、性质复习1.零点：二次函数与x轴交点的横坐标。
2.判别式：用来判断二次函数的零点个数的式子。
当Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等的零点。
当Δ=b^2-4ac=0时，二次函数有两个相等的零点。
当Δ=b^2-4ac＜0时，二次函数没有实数零点。
3.最大值与最小值：当二次函数开口向上时，最小值是顶点的纵坐标。
当二次函数开口向下时，最大值是顶点的纵坐标。
三、图像特点复习1.开口方向：当a＞0时，二次函数开口向上。
当a＜0时，二次函数开口向下。
2.对称轴：对称轴与顶点的横坐标相等。
3.零点：零点是二次函数与x轴交点的横坐标。
零点的个数由判别式Δ决定。
四、实际问题复习1.利用二次函数解决实际问题的步骤：（1）明确问题中有关条件。
（2）设出二次函数的表达式。
（3）求出二次函数的最值或零点。
（4）用解出的最值或零点回答问题。
2.举例：问题：商场的营业额可以用二次函数y=2x^2+3x+4来表示，其中x表示时间（以小时计），y表示营业额（以万元计）。
求该商场的最大营业额，并在什么时间实现。
解答：（1）根据题目，得到二次函数的表达式为y=2x^2+3x+4（2）通过求导数或将二次函数表示为顶点形式，得到该二次函数的顶点为（-3/4，23/8）。
（3）所以，该商场的最大营业额为23/8万元，实现时间为-3/4小时。
五、抛物线的性质复习1. 加入二次函数的f(x)=ax^2+bx+c。
若a＞0，抛物线开口向上；若a＜0，抛物线开口向下。
(完整版)二次函数复习课教案.docx
二次函数复习2016.06二次函数复习课题二次函数课型复习课掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题．通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．教学目标学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会解决问题策略的多样性．经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活．教学重点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．教学难点二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．课前准备（教具、活制作课件动准备等）教学过程教学步骤基础知识之自我构建基础知识之基础演练师生活动设计意图通过一个具体二次函数，请学生说出尽可能多的结论，x2主要让学生回忆二次函数有让学生思考函数 y4x 3 并写出相关关基础知识．同学们之间可以结论相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．教者让学生思考 1-4题，然后让学生回答，第 1 题主要考查二次函其他同学可以补充．数图像平移知识点，二次函数1、求将二次函数y x22x 图像向右平移1图像平实质上就是点的平移．第 2，3，4 题都是开放性个单位，再向上平移 2 个单位后得到图像的函数题，答案不唯一，只要正确即表达式．可，让学生很大发挥空间，其2、请写出一个二次函数解析式，使其图像的中涉及二次函数解析式的求对称轴为 x=1，并且开口向下．法．3、请写出一个二次函数解析式，使其图象与第 5，6 题涉及二次函数x 轴的交点坐标为（ 2，0）、（－ 1， 0）．图象性质，根据图象，正确表4、请写出一个二次函数解析式，使其图象与示解析式中字母的取值范y 轴的交点坐标为（ 0， 2），且图象的对称轴在 y围．教者也可以在原图形基础轴的右侧．改变形状，让学生经历和体验教者让学生口答第5、 6 题．图形的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化．情感态度解决问题知识技能数学思考5、如图 ,抛物线y ax2bx c ，请判断下列各式的符号：y①a0;②b0;③c0;x④ b24ac0;6、如图 ,抛物线y ax2bx c ,请判断下列各式的符号：y① abc0;② 2a－b0;?x③ a+b+c0; 1 0 1④ a－b+c0．1、二次函数y ax2bx c 的图象如下图,则方程 ax2bx c0 的解为当 x 为时， ax2bx c当 x 为时， ax2bx cy数形结合思想是一种重要的数学思想，第 1 题看似复杂，其实对照图象，很容易找；出题目答案．第 2 题考查学生二次函0 ;数与一元二次方程关系，具体为：一元二次方程无实根说明0 ．相应二次函数图象与 x 轴无交点，再根据隐含条件对称轴为直线 x1，可见顶点在第301x2一象限．第 3题考查学生从图表基础知识之提炼信息的能力．灵活运用x n0 无实数根，2、关于 x 的一元二次方程x2则抛物线 y x2x n 的顶点在（）A ．第一象限 B.第二象限C. 第三象限D.第四象限3、根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y ax2 bx c-0.06-0.020.030.09不解方程，试判断方程 ax2bx c0（a0，a，b，c 为常数）一个解 x 的范围是（）A 、 3 x 3.23B、 3.23x 3.24C、 3.24x 3.25D、 3.25x 3.26难点突破之思维激活1、已知抛物线y ax2bx c 的对称轴为x=2，第 1，2 题考查抛物线轴对称性．且经过点（3，0），则 a+b+c 的值为．第 3 题考查二次函数图像2、已知抛物线y ax2bx c 经过点A（－2，7），及其性质的相关知识．本部分 3 道题目不能呆板B（6，7）， C（3，－ 8），则该抛物线上纵坐标为地应用二次函数的基础知识，－8 的另一点坐标是 ___________．而要综合相关知识，以达到能3、下图是抛物线y ax2bx c 的一部分，且经力提升之目的．过点（－ 2 ， 0），则下列结论中正确的个数有（）①a <0;②b<0;③c>0;④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可能是（1，0）;⑤抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可能是（ 4，0）．A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个y20x难点突破之聚焦中考教者出示一道函数类应用题，让学生思考，本题首先读懂题意，正确教者点拨．求出二次函数解析式．二次函例题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售数的最值是体现二次函数实出 20 件，进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，际应用价值的一种常见题型，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定它在优选方案、减小投入、增采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬大收益中意义非凡．解题时通衫降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，但每常借助顶点坐标来求，但有时件最低价不得低于108 元．由于实际问题实际意义的限⑴若每件衬衫降低x 元（ x 取整数），商场平制，需结合自变量的取值范围均每天盈利 y 元，试写出 y 与 x 之间的函数关系进行调整．本题由图象可知，式，并写出自变量x 的取值范围．抛物线顶点（15，1250）不在⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）本题图象上，它不是最高点，盈利最多？最高点应该是（12，1232）或者这样理解：顶点横坐标是反思与提高1、本节课你印象最深的是什么？2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？3、在下面的函数学习中，我们还需要注意15，不满足 0 x 12 ，因此不能理解为：当 x 15 时， y 取最大值为 1250 元．让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基哪些问题？础，由此达到数学教学的新境教者归纳本章知识网络图示界——提升思维品质，形成数学素养．实际问题二次函数y ax2bx c目标实际问题利用二次函数的图的答案象和性质求解。
数学《二次函数》教案(4篇)
数学《二次函数》教案（4篇）数学《二次函数》教案篇一教学目标（一）教学学问点1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
（二）力量训练要求1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，培育学生的探究力量和创新精神。
2、通过观看二次函数图象与x轴的交点个数，争论一元二次方程的根的状况，进一步培育学生的数形结合思想。
3、通过学生共同观看和争论，培育大家的合作沟通意识。
（三）情感与价值观要求1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动布满着探究与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性。
2、具有初步的创新精神和实践力量。
教学重点1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
教学难点1、探究方程与函数之间的联系的过程。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法争论探究法。
教具预备投影片二张第一张：（记作§2.8.1A）其次张：（记作§2.8.1B）教学过程Ⅰ。
创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，争论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
数学《二次函数》教案篇二教学目标（一）教学学问点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步进展估算力量。
（二）力量训练要求1、经受用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
二次函数的复习教案
二次函数的复习教案教案标题：二次函数的复习教案教案目标：1. 复习学生对二次函数的基本概念和性质的理解。
2. 强化学生对二次函数图像、顶点、轴对称性和零点的掌握。
3. 提高学生解决与二次函数相关的实际问题的能力。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 通过提问引起学生对二次函数的兴趣，例如：你知道什么是二次函数吗？它有哪些特点？2. 复习基本概念（15分钟）- 提醒学生二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，并解释a、b、c的含义。
- 回顾二次函数的图像特点，如开口方向、顶点位置等。
- 强调二次函数的轴对称性和零点的概念。
3. 图像练习（20分钟）- 展示几个不同形态的二次函数图像，要求学生根据图像特点判断函数的开口方向、顶点和轴对称性。
- 给学生一些简单的二次函数，要求他们画出对应的图像，并标出顶点和轴对称线。
4. 零点练习（15分钟）- 提供一些二次函数的方程，要求学生解方程求出零点。
- 引导学生思考零点与图像的关系，例如：零点在图像上对应什么位置？第二课时：1. 复习顶点和轴对称线（10分钟）- 提醒学生顶点是二次函数图像的最高点或最低点，轴对称线通过顶点并将图像分为两部分。
2. 实际问题解决（20分钟）- 提供一些与实际问题相关的二次函数，要求学生解决问题。
- 引导学生将问题转化为二次函数的方程，并解方程求出答案。
3. 总结（10分钟）- 回顾本节课所学内容，强调二次函数的重要性和应用。
- 鼓励学生通过做更多的练习来巩固所学知识。
教学方法和教学资源：1. 教学方法：- 提问法：通过提问引导学生思考和回忆所学知识。
- 演示法：展示二次函数图像和实际问题，帮助学生理解和解决问题。
2. 教学资源：- PowerPoint幻灯片或白板，用于展示图像和问题。
- 二次函数练习题，包括图像练习和实际问题练习。
评估方法：1. 课堂表现评估：- 观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性。
《二次函数》教案(优秀7篇)
《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。
3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。
二次函数总复习初中数学讲课教案课件
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0
二次函数的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下
二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；当 a<0时，对称轴左侧函数值随x的增大而增大
抛物线的翻折变换
翻折变换的定义： 将抛物线沿垂直 于对称轴的方向 进行翻折，得到
新的抛物线。
翻折变换的性质： 翻折前后的两个 抛物线关于对称 轴对称，对称轴 为翻折的垂直平
分线。
翻折变换的应用： 通过翻折变换可 以将一些复杂的 二次函数图象转 化为简单的标准 形式，便于分析 函数的性质和解
决相关问题。
时的x值
二次函数的增 减性：在对称 轴两侧，函数 值随着x的增大 而增大或减小
二次函数的图象变
04
换
抛物线的平移变换
向上平移：纵坐标增加
向左平移：横坐标增加
向下平移：纵坐标减少 向右平移：横坐标减少
抛物线的对称变换
横向平移：左右移动抛物线，不改变形状和开口方向 纵向平移：上下移动抛物线，不改变形状和开口方向 旋转：以原点为中心，旋转抛物线，不改变开口方向 翻折：将抛物线沿垂直于对称轴的方向翻折，不改变开口方向
01
添加章节标题
二次函数的基本概
02
念
二次函数的定义
二次函数的一 般形式为
y=ax^2+bx+ c，其中a、b、 c为常数且a≠0
二次函数的图 像是一个抛物 线，其顶点坐 标为(-b/2a, c-b^2/4a)
二次函数的开 口方向由系数a 决定，a>0时
中考数学复习-二次函数-教案
中考数学专题复习五二次函数【教学笔记】考点一：求二次函数的解析式1、用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.2、已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x-h)²+k.3、已知抛物线及x轴两交点坐标或已知抛物线及x轴一交点坐标及对称轴，可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解；4、所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax²+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解.考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号1、二次函数图象及系数的关系.2、注意二次函数的系数及其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.3、二次函数及x、y轴的交点问题，根据题意得出抛物线对称轴.考点三：二次函数及实际问题1、如物体的运动规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等.2、最值问题3、函数及方程结合考点四：二次函数的综合应用1、动点问题2、数形结合3、分类讨论4、及几何图形结合、勾股定理等【典型例题】考点一：求二次函数的解析式【例1】例1：（2016•四川攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ C ）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1【例2】（2016•资阳）已知抛物线及x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，及y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′及直线AC分别交于点E、F．①当点F为M′O′的中点时，求t的值；②如图2，若直线M′N′及抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．（2））①如图1中，AC及OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出E G的最大值即可解决问题．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），∴y=﹣x2+x+2．（2）①如图1中，AC及OM交于点G．连接EO′．∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，∵△M′N′O′是由△MN O平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥A C，∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．②如图2中，∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HE G=∠AEN′，∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大时，EH最大，∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2时，EG最大值=，∴EH最大值=．∴t=2时，EH最大值为．【例3】（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），及x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN 恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．考点：二次函数综合题分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，∴点C的坐标为（5，4），∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）连结BD交对称轴于G，在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，易证GH=HN，∴点G及点M重合，故直线BD的解析式y=﹣x+4根据抛物线可知对称轴方程为x=，则点M的坐标为（，），即GF=，BF=，∴BM==，又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴点N的坐标为（，0）；（3）过点M作直线交x轴于点P1，易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，由“四边形AECD 的面积分为3：4”可知直线P1M必及线段CD相交，设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，由△MKQ1∽△MFP1，得=，易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，∴S2=（5a﹣10+7﹣a），根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣x+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．【课后练习】1、（2016•四川成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ A ）A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣32、(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c及x轴的一个交点为A（3，0），及y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形及△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c及x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c及x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．3、(2015年四川资阳)已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，及x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴及y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．解析：先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．4、(2014年四川成都)将二次函数322+-=xxy化为khxy+-=2)(的形式，结果为（）（A）4)1(2++=xy（B）2)1(2++=xy（C）4)1(2+-=xy（D）2)1(2+-=xy解：2)1(21232222+-=++-=+-=xxxxxy.故选D。
中考数学一轮复习讲义第08讲-二次函数(培优)-学案
中考数学一轮复习讲义第08讲-二次函数（培优）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第08讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义.图像与性质.三种表达式及最值等综合应用问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识概念一二次函数的定义一般地，如果yax2bxca，b，c 是常数，a0，那么y叫做x的二次函数注意1.二次项系数a0；yax2bxca，b，c是常数，a0叫做二次函数的一般式；2.ax2bxc必须是整式；3.一次项.常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；x的取值范围是全体实数二二次函数的图像与性质1.二次函数图像的基本性质二次函数yax2bxca，b，c为常数，a0图象a0a0开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x 顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y有最小值当x时，y有最大值2.二次函数图像的平移方法一总结在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”方法二沿轴平移向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移向左（右）平移个单位，变成（或）总结概括成八个字“左加右减，上加下减”3.二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（2）一次项系数在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，“左同右异”。
（3）常数项决定了抛物线与轴交点的位置总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的三二次函数的表达式1.一般式（，，为常数，）；2.顶点式（，，为常数，）；3.两根式（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.使用条件1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式四二次函数的应用解题一般方法步骤（先构造二次函数模型）（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值五二次函数与一元二次方程（1）二次函数yax2bxca0，当y0时，就变成了ax2bxc0a0（2）ax2bxc0a0的解是抛物线与x轴交点的横坐标（3）当0时，有两个不同的交点；当0时，有一个交点；当c0时，抛物线与x轴没有交点考点一二次函数的定义例1.若y（1m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A3B3C3D0例2.下列函数关系中，可以看做二次函数yax2bxc模型的是（）A在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1，这样我国总人口数随年份变化的关系C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D圆的周长与半径之间的关系考点二二次函数的图像与性质例1.一次函数yaxb（a0）与二次函数yax2bxc（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD例2.如图，已知二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于点A （1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x1下列结论abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc其中含所有正确结论的选项是（）ABCD例3.若抛物线yx22x3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）Ay（x2）23By（x2）25Cyx21Dyx24考点三二次函数的表达式例1.把二次函数yx2x3配方化为ya（xh）2k形式（）Ay （x2）22By（x2）24Cy（x2）24Dy（x1）23例2.二次函数图象如图所示，则其解析式是（）Ayx22x4Byx22x4Cyx22x4Dyx22x3考点四二次函数的应用例1.将抛物线yx22x3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线yxb 与此新图象的交点个数的情况有（）种A6B5C4D3例2.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG1米，AEAFx米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x 的函数图象大致是（）ABCD例3.某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个若销售单价每降低1元，每月可多售出2个据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系月产销量y（个）160200240300每个玩具的固定成本Q（元）60484032（1）写出月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求每个玩具的固定成本Q （元）与月产销量y（个）之间的函数关系式；（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元销售单价最低为多少元考点五二次函数与一元二次方程例1.已知抛物线yax22x1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限例2.如图，一段抛物线yx（x3）（0x3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，得到一条“波浪线”若点P（41，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A2B2C0DPPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.二次函数yax2bx与一次函数yaxb（a0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）ABCD2.已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，现有下列结论abc0；b24ac0；4a2bc0；b2a则其中结论正确的是（）ABCD3.二次函数yax2bxc的图象如图所示，则在下列各不等式中，成立的个数是（）abc0；abc0；acb；aA1B2C3D44.已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（2，0），（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论abc；2ac0；4ac0；2ab10其中正确结论的个数为（）A1B2C3D45.如图是抛物线yax2bxc（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论abc0；3ab0；b24a（cn）；一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A1B2C3D46.如图，已知抛物线yax2bxc与轴交于A.B两点，顶点C的纵坐标为2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线ya1x2b1xc1，则下列结论b0；abc0；阴影部分的面积为4；若c1，则b24a正确的是（）ABCD7.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围8.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由课后反击1.在同一平面直角坐标系内，一次函数yaxb与二次函数yax25xb的图象可能是（）ABCD2.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x1给出四个结论b24ac；2ab0；abc0；5ab其中正确结论是（）ABCD3.己知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，则下列结论abc0；方程ax2bxc0的两根之和大于零y随x的增大而增大；一次函数yaxbc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个4.已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列5个结论abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abm（amb）（m1的实数）其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个5.已知二次函数ykx2（2k1）x1与x轴交点的横坐标为x1.x2（x1x2），则对于下列结论当x2时，y1；当xx1时，y0；方程kx2（2k1）x10有两个不相等的实数根x1.x2；x11，x21；，其中所有正确的结论是（只需填写序号）6.如图，抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论4acb2；方ax2bxc0的两个根是x11，x23；3ac0；当y0时，x的取值范围是1x3；当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个7.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等（1）该工艺品每件的进价.标价分别是多少元（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大获得的最大利润是多少元8.如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，0）.B（1，0）.C（2，6）（1）求经过A.B.C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证AECE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC 于点F，试问以A.B.F为顶点的三角形与ABC相似吗（4）若点P为直线AE上一动点，当CPDP取最小值时，求P点的坐标直击中考1.【xx赤峰】函数yk（xk）与ykx2，y（k0），在同一坐标系上的图象正确的是（）ABCD2.【xx兰州】二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴是直线x1，有以下结论abc0；4acb2；2ab0；abc2其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D43.【xx深圳】如图1，关于x的二次函数yx2bxc经过点A（3，0），点C （0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E 在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD 的距离与到x轴的距离相等若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC3SEBC若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由4.【xx深圳】如图，直线AB的解析式为y2x4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C （0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时，E点坐标；记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在8倍的关系若有请直接写出F点的坐标SSummary-Embedded归纳总结重点回顾1.二次函数的定义；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数的表达式与应用；4.二次函数与一元二次方程。
二次函数复习课教案
《二次函数图像性质复习》教学设计陕西省旬邑县湫坡头中学 王海峰一、考查要求：1、会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质；2、会利用二次函数的图像估计相应的一元二次方程的解的大致范围；3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a （x —h ）2+k 的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单的实际问题；4、会确定二次函数的表达式；二、教学流程： 学生思考交流陕西省近四年二次函数中考试题 （学生完成） 展示归类探究及命题角度 考点聚焦（复习考点）方法点析 强化训练或中考预测 陕西省中考试题分析及2014年中考预测 归纳小结及作业布置三、教学过程：导入展示近四年陕西省二次函数中考试题，学生进行思考交流其考查的知识点及命题特点。
正课●归类探究探究一 二次函数的定义命题角度：1、二次函数的概念；2、二次函数的形式。
例1、下列函数中，是二次函数的是（ ）A.y=8x 2—1B.y=8x —1C.y=x 8D.y=182 x●考点聚焦考点1 二次函数的概念定义：一般地，如果______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．方法点析：利用二次函数的定义判定，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.●归类探究探究二 二次函数的图像与性质命题角度：1、二次函数的图像及画法；2、二次函数的性质。
例2、[2012·烟台] 已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个●考点聚焦考点2 二次函数的图像及画法1、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线2、用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的步骤(1)用配方法化成________________的形式；(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图考点3 二次函数的性质学生回答出二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等性质。
初中数学九年级《二次函数》复习课导学案
二次函数复习导学案学习目标：1、理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质2、会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向学习重点、难点：1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。
2．难点：二次函数图象的平移。
课前延伸整理本部分的知识网络图课内探究一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象性质。
例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?2.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。
强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。
再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。
(2)通过配方，求抛物线y＝x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。
3．知识点串联，综合应用例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。
(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。
强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结1．让学生反思本节学习过程，归纳本节课复习过的知识点及应用课后提升提升训练：已知抛物线y＝x2和直线y＝ax＋1(1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。
初中数学二次函数专题复习教案
初中数学二次函数专题复习教案〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与某轴的交点内容（1）二次函数及其图象如果y=a某2+b某+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做某的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=a某+b某+c(a≠0)的顶点是(2b2a,4acb4a2)，对称轴是某b2a，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a（某+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是某=-h.〖考查重点与常见题型〗1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以某为自变量的二次函数y＝(m－2)某2＋m2－m－2额图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y＝k某＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y＝k某2＋b某－1的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为某＝，求这条抛物线的解析式。
34．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y＝a某＋b某＋c（a≠0）与某轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐3标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐2标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
推荐【解析版】中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用
意林数学思维方法讲义之八年级：九年级§第8讲二次函数图象的应用（一）【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。
①当__时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。
③当||越大，图象开口越_____。
（2）和b共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；②和b同号时对称轴在y轴___侧；③和b异号时对称轴在y轴___侧。
简记为。
（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___时，图象与y轴正半轴相交；当___时，图象与y轴负半轴相交；当___时，图象过原点。
（4）当___时，图象与x轴有两个交点；当_时，图象与x轴仅有一个交点；当___时，图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：为，下如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.。
二次函数 中考复习教案
二次函数一、课标要求二、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c=++2（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：y a x h k=-+()2（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x=--()()12，其中x x12，是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c20++=的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2.二次函数y ax bx c=++2的图象①二次函数y ax bx c=++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线y a x h k=-+()2可以由抛物线y ax=2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3.二次函数的性质4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x h =，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y k 最小值=；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，y k 最大值=。
（教案）二次函数图象和性质复习教案（共五篇）
（教案）二次函数图象和性质复习教案（共五篇）第一篇：(教案)二次函数图象和性质复习教案《二次函数的图象和性质》复习课教案海洲初级中学初三数学备课组内容来源：初中九年级《数学（上册）》教科书教学内容：二次函数图像与性质复习课时：两课时教学目标：1.根据二次函数的图象复习二次函数的性质，体会配方、平移的作用以及在解决相关问题的过程中进一步体会数形结合的数学思想。
2.会利用二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。
3.在解决二次函数相关问题时，渗透解题的技巧和方法，培养学生的中考意识。
教材分析：二次函数是学生在中学阶段学习的第三种函数，是中考的重要考点之一，它与学生前面所学的一元二次方程有密切的联系，也是初中数学与高中数学的一个知识的交汇点。
本节课通过二次函数的图象和性质的复习，从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题，加深学生对函数图象和性质之间的联系，构建知识网络体系，发展技能，归纳解题方法，让学生在练习中体会数形结合思想。
学情分析学生具有初步的、零散的关于二次函数的图象和性质的知识基础，但是还没有形成系统的知识体系，缺乏解决问题有效的、系统的方法，解决问题办法单一，较难想到运用函数的图象解决问题。
本节课针对班级学生特点采取小组合作进行教学，通过小组的交流、讨论和展示，提高学生学习的积极性和有效性。
通过本节课的学习使学生把函数的图象和性质紧密联系在一起，掌握解决一类问题的常用方法。
教学过程一、旧知回顾1、已知关于x的函数y=2、已知函数y=-2x-2,化为y=a+3x-4是二次函数，则a的取值范围是.+k的形式：此抛物线的开口向，对称轴为，顶点坐标；当x= 时，抛物线有最值，最值为；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减少。
3、二次函数y=-3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到抛物线的解析式为4、若二次函数y=2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是5、抛物线的顶点在（-1，-2）且又过（-2，-1），求该抛物线的解析式。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教学目标：（1）了解二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质，能正确画出二次函数的图象，并能根据图象探索函数的性质；（2）能根据具体条件求出二次函数的解析式；运用函数的观点，分析、探究实际问题中的数量关系和变化规律。
教学重点◆二次函数的三种解析式形式◆二次函数的图像与性质教学难点◆二次函数与其他函数共存问题◆根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、数学知识及要求层次二次函数知识点1、二次函数的解析式三种形式一般式y=ax2 +bx+c(a≠0)顶点式 2()y a x h k =-+ 交点式 12()()y a x x x x =-- 2、二次函数图像与性质 对称轴：2b x a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向；○2对称轴；○3顶点；○4与x 轴交点；○5与y 轴交点。
图像平移步骤（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）； （2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减。
二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x +=根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向（2）b ——对称轴与a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点4.二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等 【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 例2.下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
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中考数学二轮复习讲义第08讲-二次函数-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第08讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标深刻理解并运用二次函数的相关知识点；掌握常考重点题型及相关解法，突破中考数学第22.23题；提高综合分析与解题能力。
授课日期及时段T （Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理1.求证“两线段相等”的问题2.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题3.平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题4.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题5.三角形周长的“最值最大值或最小值”问题6.“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题7.“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题8.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题9.常数问题10.“两个三角形相似”的问题11.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题12.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”13.三角形面积的最大值问题14.“定四边形面积的求解”问题15.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题二.知识概念常用公式或结论破解二次函数难题的基石1.横线段的长横标之差的绝对值纵线段的长纵标之差的绝对值（2）点轴距离点P（，）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。
（3）两点间的距离公式若A（）,B,则AB（4）点到直线的距离点P（）到直线AxByC0其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算的距离为或（5）中点坐标公式若A，B（），则线段AB的中点坐标为（）（6）直线的斜率公式若A （），B（），则直线AB的斜率为,（7）两直线平行的结论已知直线若若（8）两直线垂直的结论已知直线若若（9）由特殊数据得到或猜想的结论已知点的坐标或线段的长度中若含有.等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。
在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。
还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率k的值，若，则直线与X轴的夹角为；若；则直线与X轴的夹角为；若，则直线与X轴的夹角为。
这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。
1.求证“两线段相等”的问题借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
2.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。
（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。
先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。
解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。
例1.【xx临沂】如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PAQA（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
例2.【xx大连】如图，抛物线yx23x与x轴相交于A.B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标4.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。
5.三角形周长的“最值最大值或最小值”问题“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。
6.“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题若夹直角的两边与y轴都不平行先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。
补救措施是过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。
例3.【xx枣庄】如图，已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线ymxn经过B.C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标7.“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有1若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
2若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
3若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
例4.【xx荆门】如图，在矩形OABC中，OA5，AB4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE 的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C 出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q 从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DPDQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由8.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题）先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程（通常需要用到点到直线的距离公式），解之即可。
（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
9.常数问题（1）点到直线的距离中的常数问题“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
（2）三角形面积中的常数问题“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
例5.【xx深圳】如图1，关于x的二次函数yx2bxc经过点A（3，0），点C （0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E 在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD 的距离与到x轴的距离相等若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC3SEBC若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由例6.【xx西宁】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M 的内接四边形，点A，B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP 的面积等于定值5若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由10.“两个三角形相似”的问题（1）已知有一个角相等的情形运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例若成比例，则相似;否则不相似。