三角函数的两角和差与倍角公式练习题

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三角函数和差与二倍角公式试题

sin 2
A. 1
B.3
C.
3
D.
1
2
的值等于
－1 3
18. 已知 sin( 4
) 5 ,则 cos2 13 cos( 4
的值为 )
24 A.
13
2 sin 2
19.
1 cos2
13 B.
24 cos2
cos 2
A. tan
B. tan 2
13 C.
12
12 D.
13
=
1
C.1 D.
2
20. 下列各式中，值为
3
3
2
4
(1) 求函数 f （ x）的最小正周期；
(2) 求函数 h（ x） =f （ x） g（x）的最大值，并求使 h（ x）取得最大值的 x 的集合。
11. ( 文 ) 已知函数 f (x)
cos2 x sin2 x ， g( x)
1 sin 2x
1
。
2
2
4
(1) 函数 f ( x) 的图像可由函数 g( x) 的图像经过怎样的变化得到？
（1）求 f ( x) 的最小正周期；
（2）求 f ( x) 在区间 [ , 2 ] 上的最大值和最小值。 63
9. 求函数 y 7 4sin x cos x 4cos2 x 4cos4 x 的最大值与最小值。
文档
实用标准
10. 已知函数 f （ x） =cos（
x ）cos（
x ），g（ x） = 1 sin 2x 1 .
实用标准
三角函数和差与二倍角单元检测题
一．选择题
1. 已知 sin(
x) 1 , 则 sin 2x 的值为

三角恒等变换化简练习题

三角恒等变换化简练习题两角和公式 sin= sin= cos= cos= tan=tan= 倍角公式 tan2α= cos2α= sin2α=半角公式 sin= cos=tan=和差化积sinAcosB= cosAsinB= cosAcosB= -2sinAsinB=积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ=sinαcosβ=万能公式sin= )/) cos= )/) tαn= )/)角函数公式两角和公式sin=sinΑcosB+cosΑsinB sin=sinΑcosB-sinBcosΑ cos=cosΑcosB-sinΑsinB cos=cosΑcosB+sinΑsinB tαn=/ tαn=/倍角公式cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；。

sin2??2sin?cos?；2tan?tan2??1?tan2?半角公式sin=/ cos=/ tαn=/和差化积2sinΑcosB=sin+sin cosΑsinB=sin-sin ) cosΑcosB=cos+cos -2sinΑsinB=cos-cos积化和差公式sinsin=—1/2*[cos-cos] coscos=1/2*[cos+cos] sincos=1/2*[sin+sin]1.三角函数式的化简降幂公式sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。

22 辅助角公式asinx?bcosx?sin?x?，其中sin??cos??。

2．在三角函数化简时注意：①能求出的值应求出值；②尽量使三角函数种类最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数；⑥必要时将1与sin2??cos2?进行替换化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等《三角恒等变换练习题》一、选择题1. 已知x?，cosx?45，则tan2x?Α.4B. ?7242424C.D. ?72. 函数y?3sinx?4cosx?5的最小正周期是Α.5B.2C. ?D. ?3. 在△ΑBC中，cosAcosB?sinAsinB，则△ABC为Α. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定4. 设a?sin140?cos140，b?sin160?cos160，c?,则a,b,c大小关系Α. 周期为4的奇函数B. 周期为?4的偶函数C. 周期为?2的奇函数D. 周期为?2的偶函数6.已知cos2??sin4??cos4的值为Α.1318B. 11718C. D. ?1二、填空题1.求值：tan200tan400200tan400_____________.）2. 若1?tan?12008,则?tan2??.1?tan?cos2?3.已知sin4. ?ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA?2cos 值，且这个最大值为.三、解答题1. ① 已知sin??sin??sin??0,cos??cos??cos??0,求cos的值.②若sin??sin??2cos2那么sin?的值为,cos2?的值为.3B?C取得最大22,求cos??cos?的取值范围.21?cos2000?100sin10. 求值：02sin20三角恒等变换测试题第Ⅰ卷一．选择题 1.已知cos??1213,??，则cos?A.521 B.1771 C. D.2.若均?,?为锐角，sin??25,sin?35,则cos?? A. 5B. C.2255或D. ?5.?A. ?11 B. ? C. D.4.tan700tan500tan700tan500A.B.C. ?33D. ?5.2sin2?cos21?cos2cos2?A. tanB. tan2C. 1D.126.已知x为第三象限角，化简?cos2x?A.2sinx B. ?2sinx C.cosx D. ?2cosx 7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45,则这个三角形底角的正弦值为A. ?6B.6C. ? D. ?5?6）9. 已知sin??cos??1，则sin2??1188A．? B．?C． D．229910.已知cos2??44cos??sin?的值为 A．11. 求cos4BC． D．192?3?4?5?coscoscos?111111111111A. B. C. 1 D. 022xx12.函数y?sin?的图像的一条对称轴方程是 22115?5??A．x?? B．x?C．x?? D．x??3333二．填空题cos13．已知?,?为锐角，cos??1,cos??15,则的值为14．在?ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2?7x?2?0的两个实根，则tanC? 15.若sin3?4,cos，则角?的终边在象限．52516.代数式sin15ocos75o?cos15osin105o?三角恒等变换测试题2009-5-11一、选择题：；；三．解答题3517．△ABC中，已知cosA?,cosB?,求sinC的值．5133123,cos?,sin??,求sin2?．18．已知24135)19．已知α为第二象限角，且 sinα=的值． ,求4sin2??cos2??1sin,??,且tan?,tan，427求tan的值及角2．21．已知函数f?cos2xxcosx?1，x?R. 求证f的小正周期和最值；求这个函数的单调递增区间．《数学必修4》三角恒等变换测试题答案一、选择题二、填空题3?313、14、 ? 15、第四 16、42三、解答题3417.解:在?ABC中,cosA?,?sinA?555123又由sinB?,可得cosBsin2B??,?sinA??A?600若cosB??,?B?1200,这时A?B?1800不合题意舍去,故cosB?,13134123563sinCsinsinAcosBcosAsinB5135136519.解:?23?43?2454sin,cos135sin2sin[]sincoscossin3124556513513651?cos2x21?cos2x2sin2xcos2xsin4x?cos4x20.证明:左边222212cosxsinxsinxcosxsin2x41?cos4x222?2cos2x2右边1?cos4x1?cos4x1?cos4x23. 简单的三角恒等变换一、填空题1．若2．已知sinθ=－4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=5．设5π＜θ＜6π，cos二、解答题6．化简7．求证：2sin²sin=cos2x．4Aa?cosB?b?a?b．．在△ABC中，已知cosA=，求证：a?ba?b?cosBtan22tan210．求sin15°，cos15°，tan15°的值．11．设－3π＜α＜－12．求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．cos5π，化简．213．求证：4sinθ²cos?=2sinθ+sin2θ．14．设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos15．已知sinα=124?，sin=，α与β均为锐角，求cos． 135?x的值．参考答案一、填空题1． ?11?a7．．－34．．－522二、解答题6．解：原式=1?sin2??cos2? 1?sin2??cos2?1?2sin??cos1?2sin2??= 1?2sin??cos2cos? 2sin??cossin2?=2sin??cos??2cos?2sincos??sin??=cos??=tanθ．7．证明：左边=2sin²sin4ππ－x）²cos4π－2x） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=1?2sin??cos? cos2??sin2?cos2??sin2??2sin??cos?= ?2===cos??sin? cos??sin?1?tan? 1?tan?=右边，原题得证．9．证明：∵cosA=∴1－cosA=1+cosA=∴a?cosB?b，a?b?cosB?，a?b?cosB?． a?b?cosB1?cosA?． ?1?cosA?2sin2A1?cosA?tan2A， ?而1?cosA2cos2B221?cosBB?tan2， 1?cosB2Atan2AB?a?b．∴tan22?²tan22，即Ba?btan2210．解：因为15°是第一象限的角，所以cos30213223842，2444sin15°=cos15°=1?cos30??21?32?2?3?8?4??6?2，2444tan15°=?cos30?=2－3． 1?cos30?11．解：∵－3π＜α＜－5π3π?5π?，∴－＜＜－，cos＜0．24??又由诱导公式得cos=－cosα，∴1?cos1?cos??=－cos． ?2??1?cos2?12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ－cos2θ=2=右边．??2213．证明：左边=4sinθ²cos?=2sinθ²2cos?=2sinθ²=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，所以sinx=24或sinx=－1．5247，cosx=－．525又因为x是第二象限角，所以sinx=又x是第一或第三象限角，?cosxx??221?7=±3．5从而cos15．解：∵0＜α＜又∵0＜α＜π5，∴cosα=?sin2??． 132ππ，0＜β＜，2π，∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜∵sin＜sinα，∴α+β＜α不可能．故π3＜α+β＜π．∴cos=－．23541233??，1351365∴cosβ=cos［－α］=coscosα+sinsinα=－∵0＜β＜∴0＜π，?π＜．41?cos?765． ?265故cos。

高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式练习理

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 答案：D 4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．cos π9cos 2π9cos 4π9＝( )A.13B.14C.16D.18 解析：cosπ9cos 2π9cos 4π9＝12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9＝12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9＝14sin π9sin 4π9cos 4π9＝18sin π9sin 8π9＝18sinπ9sin π9＝18.故选D.答案：D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：C7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ等于( ) A ．－13 B.13C ．－79 D.79解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×19＝79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝－cos[π－(π3－2θ)]＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝－79.故选C.答案：C8．函数y ＝sin 2x1＋cos 2x的最小正周期为________．解析：y ＝sin 2x 1＋cos 2x ＝2sin x cos x2cos 2x ＝tan x ，所以最小正周期T ＝π. 答案：π9．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α 的值为______．解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 答案：4310．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________．解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．若sin (π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2 sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：42512．已知向量a ＝(cos 2x ，1)，b ＝(1，sin 2x)，x ∈R ，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝325，求cos 2α的值．解析：(1)f (x )＝a·b ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝2cos α＝325 ，则cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.13．在△ABC 中，已知cos A ＝17，cos(A －B)＝1314，且B ＜A.(1)求角B 和sin C 的值；(2)若△ABC 的边AB ＝5，求边AC 的长．解析：(1)由cos A ＝17＞0，cos(A －B )＝1314＞0，得0＜A ＜π2且0＜A －B ＜π2.可得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，sin(A －B )＝1－cos 2（A －B ）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314， ∴cos B ＝cos[A －(A －B )]＝cos A cos (A －B )＋sin A ·sin (A －B ) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵0＜B ＜π，且B <A ， ∴B ＝π3.∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝437×12＋17×32＝5314. (2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AC ＝AB ·sin Bsin C ＝5×325314＝7.。

三角函数两角和与两角差倍角公式

三角函数训练-两角和与两角差1.若sin532=θ，542cos -=θ则θ在（） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限Ｄ.第四象限 2.cos2125π＋cos 212π＋cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45 Ｄ.1+433.已知π＜α＜23π，且sin （23π＋α）＝54，则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－34.若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍＤ.21m5.下列关系式中不正确．．．的是 ( ) A.sin α＋sin β＝2sin2βα+cos2βα-B.sin α－sin β＝2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α＋cos β＝2cos 2βα+cos 2βα-Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α，那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.－53 Ｄ.－547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.－tan x Ｄ.cot x8.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( )A.5B.－5C.51 Ｄ.－51三角函数训练-两角和与两角差1.设5π＜θ＜6π，cos2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a- C.－21a + Ｄ.－21a - 2.若tannmA =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍＤ.ｍ3.若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝ .4.tan5π＋tan 52π＋tan 53π＋tan 54π＝ .5.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝ .6.已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ .7.cos 85πcos 8π＝ .8.sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°）－3cos （θ＋15°）＝ . 9.已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 11.若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝，cos2β＝ .12.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.13.已知sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41，求cos4x 的值. 14.求证tan xx x x x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数ｙ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)，及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）的值.三角函数训练- 两倍角公式1．如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是（） A ．251 B.1 C.2517 D.2517-2．若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值. 3．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=.4．已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证：αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5．已知α、)2,0(πβ∈，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证：,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（）A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >27．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 等于（） A ．322 B. 322- C. 32 D.32-三角函数训练(三)答案1、解：由sin532=θ＞22，cos 2θ＝－54＜－22 得2θ为第二象限角. 即2ｋπ＋43π＜2θ＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）∴4ｋπ＋23π＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）∴θ在第四象限. 答案：Ｄ 2、解：原式＝sin 212π＋cos 212π＋sin 12πcos 12π＝1＋21sin 6π＝45 答案：C3、解：由sin （23π＋α）＝－cos α＝54，π＜α＜23π，得cos α＝－54，2π＜2α＜43π∵cos α＝1－2sin22α ∴sin 2α＝10103 cos2α＝－1010∴tan 2α＝－3答案：Ｄ4、解：∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ即：m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ＝m2tan 1tan 22=+θθ答案：B5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2βα+sin2βα-.答案：B6、解：cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα.答案：B7、解：原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案：C8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan2α＝5cos 1sin =+αα答案：A三角函数训练(四)答案1、解：∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a - 即sin4θ＝－21a -. 答案：Ｄ2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案：C3、解：由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α＝55.答案：55 4、解：原式＝tan 5π＋tan 52π＋tan （π－52π）＋tan （π－5π）＝tan 5π＋tan 52π－tan52π－tan 5π＝0. 答案：05、解：∵3π＜θ＜27π ∴23π＜2θ＜47π又∵sin θ＝532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ＝－3. 答案：－36、解：∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π（sin2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34∴sin2α＋cos 2α＝－332. 答案：－332 7、解：cos85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π＝－sin8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42.答案：－428、解：设θ＋15°＝α原式＝sin （α＋60°）＋cos （α＋30°）－3cos α＝sin αcos60°＋cos αsin60°＋cos αcos30°－sin αsin30°－3cos α＝0. 答案：09、解：由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π 又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54∴cos2θ＝－1010. 答案：－101010、解：原式＝tan （19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1. 答案：111、解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－ 1. 答案：－257－112、解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解：由sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41 ⇒21［sin （2x －π）＋sin （－2π）］＝－41⇒sin2x ＝－21⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝21.14、证明：左边＝2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-＝右边. 15、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2三角函数训练(五)答案1、分析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案：C2、分析：角2A 与A +4π不是倍角关系，但)4(222A A +=+ππ，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解：169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析：因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明：∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理，2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明：∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定βα2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解：由已知得：ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-=即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+，原式成立.由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈， ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得：1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β 6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方，则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α，同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b .答案：A7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角，则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案：A。

第35课__两角和与差及二倍角公式(经典例题练习、附答案)

第35课两角和与差及二倍角公式◇考纲解读和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦.正切公式 .③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦.余弦.正切公式，导出二倍角的正弦.余弦.正切公式，了解它们的内在联系 .◇知识梳理1．和、差角公式sin()______________________________αβ+=；sin()________________________________αβ-=cos()______________________________αβ+=；cos()_______________________________αβ-=;tan()__________________________________αβ+=；tan()_________________________________αβ-=.2．二倍角公式sin 2_________________α=；cos 2__________________________________________________α===； tan 2__________________α=．◇基础训练1．(2008广州一模文)已知3cos 5α=，则cos2α的值为（） A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425 2．(2007·江西文) 若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（） A ．3- B ．13- C ．3 D ．133．(2007·重庆文) 的是（） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+ 4. 2tan151tan 165-的值是（）◇典型例题例1．(2007广州一模) 已知3sin 5θ=(0,)2πθ∈,求tan θ和cos2θ的值变式1：已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于( ) A.71 B.7 C.－ 71 D.－7。

两角和、差及倍角公式-高考数学复习

β）＝2 2 cos
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点分类突破
课时跟踪检测
课堂演练
考点分类突破
精选考点典例研析技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】（1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】（2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋）＝，则
6
5
sin
π
（2θ－）
6
）
法一
π
（2θ＋）＝－
3
sin

第4课两角和与差及倍角公式

第4课两角和与差及倍角公式（二）【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________；（3）22sin 151︒-=_________；（4）22sin 15cos 15︒+︒=________．2．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=_________． 3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212ππ=_________．4．求值：tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒=________．5．已知tan32α=，则cos α=________．6．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________．【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan103)︒︒-；（2）2sin 50sin 80(13tan10)1cos10︒+︒+︒+︒．例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2α，cos2β．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．【反馈演练】1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________．2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒_________．6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值第三章三角函数B第5课三角函数的图像和性质（一）【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；（3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．第3题【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有___________．2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移______个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=______；ϕ=__________．4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_________．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象－2 22x =8xyO第6题第5题与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．第6课三角函数的图像和性质（二）【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）sin3xy =的定义域是______________________________；（2）sin 2cos xy x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域：（1）sin 2sin 1tan xy x x =++；（2）122log tan y x x =++．例2．求下列函数的单调减区间：（1）sin(2)3y x π=-；（2）2cos sin()42xy x π=-；例3．求下列函数的最小正周期：（1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________．yx3O PA 第7题2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________．3．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos 2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π12cos 24()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 7．设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像第7课三角函数的值域与最值【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ___．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3.已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【反馈演练】 1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是____________． 3．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．第８课解三角形【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =．（1）求ca的值；（2）求b 的值．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.（1）证明：sin cos 20αβ+=；（2）若AC =3DC ，求β．【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________．2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是______三角形．4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长．第9课解三角形的应用【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶4h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，BDCαβA例3BC D北 1B2B1A2A120 105 乙甲例1（1）测得45BDC ∠= ，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC【范例解析】例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【反馈演练】 1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长_______km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。

两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四

2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式一、选择题1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－ 32 D.322．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．23．(2011年辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是______________．7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)．(1)当a ⊥b 时，求tan2θ；(2)求|a ＋b |的最大值．11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－128.π 9．－566510．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0)⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 31－(－3)2＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝(cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＝cos 2θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2θ＋2sin θ＋1＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝5＋4⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin (θ＋60°). 当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3. 11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝2 23. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝4 29， cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318.。

两角和、差及倍角公式-高考理科数学课时分层作业练习

两角和、差及倍角公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=( )A. B.- C.- D.【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin 2θ= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcos β=cos α(1+sin β),则( )A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.因为sin αcos β=cos α(1+sin β),所以sin(α-β)=cos α=sin,所以α-β=-α,即2α-β=.4.已知sin α=,sin=-,α,β均为锐角,则cos 2β=( )A.-B.-1C.0D.1【解析】选C.由题意知:cos α==,cos(α-β)==.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=0.【变式备选】已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cos β的值为( )A.-B.C. D.-【解析】选 C.因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,故cos β= cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( )A. B. C. D.【解析】选 A.tanβ=tan[(α+β)-α]===.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sin θ及cos θ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.【解析】选B.由题意知sin θ=,cos θ=,故sin=cos2θ= cos2θ -sin2θ=-=-.7.(2018·郑州模拟)已知sin α+cos α=,则sin2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-,因此sin2==(1-2sin αcos α)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·江苏高考)若tan=, 则tan α=__________ ____.【解析】tan α=tan===.答案:9.(2018·长沙模拟)已知P,Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P 点的纵坐标为,Q 点的横坐标为,则cos ∠POQ= __________.【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos ∠xOP 和sin ∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.【解析】由题意可得,sin ∠xOP=,cos ∠xOQ=,所以cos ∠xOP=,sin ∠xOQ=.所以cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos ∠xOP ·cos ∠xOQ-sin ∠xOP ·sin ∠xOQ=×-×=-.答案:-10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin =,cos =,则sin(A+B)=__________.【解析】因为sin=,所以cos=±,因为cos=-<-=cosπ,所以A+>⇒A>(舍),所以cos=,由cos=⇒sin=,所以sin(A+B)=sin=sin cos+cos sin=×+×=.答案:1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=.②①+②得sin αcos β=.②-①得cos αsin β=.==5.2.(5分)化简:·=________.【解析】原式=tan(90°-2α)·=··=··=. 答案:3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α= cos 2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin 2α==,所以原式=cos 2αcos -sin 2αsin =×-×=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cos β的值.【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cos α的值,再由cos β= cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM= ,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=和α为锐角,所以sin α=,cos α=.又点B的纵坐标是.所以sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2××=,所以2α∈.因为β∈,所以2α-β∈.因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,所以2α-β=-.。

三角函数变换及和差倍角公式

1.△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．函数 y=15sin2x 图象的一条对称轴是（） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π43．函数y=sin(2x+π6)的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π64.已知角α的终边经过点P （3，—4），则sin α=________；cos α=__________;tan α=________5．（1）sin 3π7=____________；（2）cos 4π17=_______________ （3）tan （－6π23）=_________ （4）sin （－765°）=_____________ 6、已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值；(III)若3()4f α=，求s i n 2α的值. 1．20sin 240等于（）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 2．函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 3．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（）．A ．－aB ．2＋aC ．2－aD ．4－a4．已知角α的终边在直线y =－3x 上，则10sin α+3cos α=_________．5．根据下列三角函数值，求角α的取值或范围．（1）sin α=21；（2）cos α=21；（3）tan α=－1；（4）sin α＞21． 1．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（） A .43- B .34- C .43 D .342．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（） A ．34 B ．34- C ．34± D ．33．已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x ∈R,则()f x 是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 4．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（）Ａ．6T =，π6ϕ=Ｂ．6T =，π3ϕ= Ｃ．6πT =，π6ϕ=Ｄ．6πT =，π3ϕ= 5．函数y =2sin 2x +2cos x －3的最大值是____________6．已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值；（2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭63,25f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求()sin αβ+的值． 1、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同,那么y=f(x)的解析式为（） A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π) 2．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（）A ．2B ．0C ．41-D ．3．函数 y=f(x) 的图象右移π4，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象，则y=f(x)解析式是_______________．。

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式1．计算sin95cos50cos95sin50︒︒-︒︒的结果为（）A ．2-B ．12C ．2D ．22．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( )A ．12-B ．0C ．1D ． 3．计算sin13cos17cos13sin17+的值为（）A ．2B ．12C ．1-2D ．4．00sin37522+的值为（）A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 5．cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )A ．12B C D ．16．cos165°的值为（）A B C ． D ． 7．若tan ,tan αβ是方程2240x x --=的两根，则()tan αβ+=（） A ．25B ．23-C ．25-D ．238．函数2530x x ++=的两根是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（） A ．53B ．52C ．52-D ．53-9．已知3tan 4α=-，则tan()4πα+=（）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若3cos 5α=，α是第四象限角，则sin()4πα+=（）A ．10-B ．10C ．10-D ．1011．若,αβ均为第二象限角，满足3sin 5α=，5cos 13β=-，则c o s ()αβ+=（）A ．3365-B ．1665-C ．6365D ．336512．若tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A ．B ．C ．-D ．13．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则s i n()4πα+=（）A ．10B ．10C D ．-1014．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-15．2sin15cos15︒︒的值等于（）A ．0B C ．1 D ．1216．已知sin α=，则cos2=α（）A ．35-B ．35C ．5-D 17．sin15cos15︒︒的值是( )A ．14B ．12C D 18．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 19．212cos 67.5-︒=（）A ．12B ．2-C ．2D ．20．下列各式中的值为的是（） A ． B ． C ．D ．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2α=（）A B ．13C ．13-D ． 22．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =（）A ．316-B ．8-C ．8±D 23．在平面直角坐标系中，角α的终边过()P 2,1-，则2cos αsin2α-的值为( ) A ．2425B ．85C ．65D ．4524．若α为第一象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（） A ．2425B ．1225-C ．1225D ．2425-25．若2sin()3απ-=，则cos2=α（） A ．59 B ．19C ．19-D ．59-26．已知3sin 4α=，则()cos 2απ-=( )A ．18 B ．18-C ．19D ．327．已知cos θ=13，θ∈（0，π），则cos （32π+2θ）=（）A ．9-B ．79-C ．9D ．7928．已知sin()25πα+=，(,0)2απ∈-，则sin 2α=（） A ．45-B ．45C ．25D ．25-29．己知，则（）A ．B ．C ．D ．30．已知，则（） A ． B ．C ．D ．31．计算sin 47cos17cos47sin17︒︒︒︒-的结果为________.32．若4tan 3α=，则3tan()4πα+= ________. 33．cos75︒=_____. 34．已知,αβ均为锐角，且满足11sin ,cos ,23αβ==则()cos αβ-=________.35．已知3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=________ 36．已知sin 2cos 0αα-=，则tan2α=________. 37．已知，则______．38．已知3sin α5=，πα,π.2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1求cos α和()tan απ+的值． ()2求πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭和πcos α.3⎛⎫- ⎪⎝⎭39．已知45cos α=-，且α为第二象限角．（Ⅰ）求22cos πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求24tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．参考答案1．C 【解析】【分析】由两角差的正弦公式计算可得答案. 【详解】sin95cos50cos95sin50sin(9550)sin 452︒︒-︒︒=︒-︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属于简单题. 2．D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可得原式为cos （2ππ36+），再由特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】2ππ2ππcoscos sin sin 3636-=cos （2ππ36+）＝cos 5π6=-cos π62=-，故选D ．【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】根据式子的特点，逆用正弦两角和公式，即可计算出。

高一-三角函数的和差公式与二倍角含答案

课程主题：三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值．分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于。

三角函数和差与二倍角公式试题(1)

三角函数和差与二倍角单元检测题一．选择题1. 已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为 A.97 B.95 C.94 D.92 2. =+οοοο55cos 10cos 35cos 80cosA ．22 B ．22- C ．21D ．21- 3. 已知βαβαβαcos cos ,31)cos()cos(则=-++的值为 A.21 B.31 C.41 D.61 4. 已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于A.17B.7C.17- D.7- 5. (文)0000sin15cos75cos15sin105+等于A.0B.12D.16. 设α是第四象限角，53sin -=α，则=+)4cos(2παA.57B.51C.57-D.51- 7. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A.-1 B. 12- C. 12 D.18. 已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= A.2425- B.1225- C.45- D.24259. 的值是015cot 15tan +334.4. 32. 2.D C B A + 10. 已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 A.232 B.－232 C.31 D.－3111. 已知532cos =α，则αα44cos sin -的值是 A.53B.－53C.259D.－25912. 若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sinA.315B.315-C.35D.35-13. 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] 14. (文)已知πcos 2ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且π||2ϕ<，则tan ϕ=A.-C.15. α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A.15B.15-C.513D.513-16. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,1312sin πθθ，则2tan θ=. A.23 B.2332或 C.32 D.21 17. 已知ααααα22sin cos cos sin 21,2tan -+=则的值等于A.31B.3C.－31D.－3 18. 的值为则已知)4cos(2cos ,135)4sin(απααπ+=-1312D. 1213C. 2413B. 1324.A 19. αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =A.tan αB.tan 2αC.1D.1220. 下列各式中，值为23的是A οο15cos 15sin 2 B.οο15sin 15cos 22-C.115sin 22-οD.οο15cos 15sin 22+21. 已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是A.此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12πB.此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12πC.此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6πD.此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π22. 已知)211cos(,53)9cos(,2παπαπαπ--=-<<求的值A.53B.－53C.－54D.54 二填空题1. 若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=⋅βαtan tan _____. 2. ____cos ),2,0(,,54)cos(,135cos =∈-=+=βπβαβαα则且已知3. 已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是__________ 4. 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 5. 函数)4sin(cos )4cos(sin π++π+=x x x x y 的最小正周期T=___________。

两角和与差的三角函数及二倍角公式

两角和与差的三角函数及二倍角公式填空题1 ．设为锐角,若,则的值为____.2 ．已知π2cos()23α-=,则cos α=________. 3 ．在锐角△ABC 中,A = t + 1,B = t - 1,则t 的取值范围是_______. 4 ．在△ABC 中,若sin 2cos(),tan sin B A B B A=+则的最大值为_____________. 5 ．已知113cos ,cos()714ααβ=-=,且02πβα<<<,则cos β=_________. 6 ．已知5,,36ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若455sin ,cos 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()sin αβ-的值为_________.7 ．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 8 ．已知,则________. 9 ．已知01cos(75)3α+=,则0cos(302)α-的值为__________. 10．已知为锐角,,则_________. 11．在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是____. 12．设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____. 13．已知,2)4tan(=+πx 则x x 2tan tan 的值为__________ 14．已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________. 15．已知,,则的值为________.16．已知θ是第二象限角,且4sin 5θ=,则tan()24θπ-的值为________. 17．已知,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos ===ππππππ,根据这些结果,猜想出的一般结论是______________________________________________. α4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)122sin(π+a tan tan 32cos()23απ+=-cos 2α=10cos()410πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)4πθ-18．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为________. 19．如图,在直角坐标系xOy 中,锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴,AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ,记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若,23222b c a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++的值; (2)若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值.20．已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.21．已知α,β∈(0,π),且tan α=2,cos β=-.(1)求cos2α的值; (2)求2α-β的值.22．在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且.⑴求的值；⑵求的值。

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三角函数的两角和差及倍角公式练习题
一、选择题： 1、若 sin
3 ( 2
), tan
1
,则 tan(
) 的值是
5
2
A ． 2
B ．－ 2
2 2
C ．
D ．
11
11
2、如果 sin x
3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是
1
1
2 3 A ．
B ．
C ．
D ．
6
5
9
10
3、如果 tan(
)
2
, tan(
)
1
, 那么 tan(
)的值是
5
4 4
4
13
3
13 13 A ．
B ．
C ．
D ．
18
22
22
18
4、若 f (sin x)
cos2x,则 f 3 等于
2
1
3 1 3 A ．
B ．
C ．
D ．
2
2
2
2
5、在 ABC 中， sin A · sin B
cos A · cosB, 则这个三角形的形状是
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题：
6、角终边过点 (4,3) ，角终边过点 ( 7, 1)，则 sin()
；
7、若 tan
3，则 2 所在象限是
；
8、已知 cot
4
3，则 2 sin
cos ；
cos
2sin
9、 tan 65
tan 70
tan 65 ·tan 70 ；
10、化简 3sin 2x
3 cos2x。

三、解答题：
11、求 sec100
tan 240·csc100 的值。

12、已知3
，求(1tan )(1 tan )的值。

4
13、已知cos23, 求 sin 4cos4的值。

5
14、已知tan, tan是方程 x 23x50的两个根，求 sin 2 () 2 sin()
· cos() 的值。

答案：
一、
1、 B
1
2、 D 提示: tanx = 3,所求sin 2 x, 用万能公式。

3、 B提示 :
44
4、 A提示 : 把 x代入
3
5、 B提示 : ∵ cos(A + B) > 0∴角 C 为钝角。

二、
2
6、
2
7、分别用万能公式算出sin 2 及 cos 2 。

第二
8、1
10、2 3 sin( 2x)
9、－ 1
26
三、
173
11、－ 412、 213、14、
255。