二次曲线的射影理论

第五章 二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。

§1 二次曲线的射影定义1.1 二次曲线的射影定义定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程)(031,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑=其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。

二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：()0321333231232221131211321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x a a a a a a a a a x x x其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。

定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。

证明在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为α+λβ=0，α′+λ′β′=0，由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足：a λλ′+b λ+c λ′+d=0 (ad －bc≠0).由以上三个式子消去λ，λ′得,0)()()()(=+''--''d c b a βαβαβαβα即0='-'-'+'βαβαββααc b d a .因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1，x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。

而且α=0与β=0的交点和α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。

定理1.1的逆定理也成立，定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。

定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。

证明设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束O（P）和O′（P）所生成。

在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点，我们只须证明出A（M）∧B（M）即可。

如图所示，设AM 与OP，OB交于K，B′，BM与O′P ，O′A 交于点=K′，A′，于是O（A，B，P，M）∧O′（A，B，P，M）所以O（A，B，P，M）∧（A，B′，K，M）（A′，B，K′，M）∧O′（A，B，P，M）所以（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）由于两底的交点M是自对应点，因此（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）所以两点列对应点连线交于一点，也即AA′，BB′，KK′共点于点S。

S 为一定点，这说明当M 点变动时，OP 上点列（K ）与O ′P 上点列（K ′）成透视对应，对应点连线KK ′通过一个定点S ，所以有A （M ）∧OP （K ）∧O ′P （K ′）∧B （M ）即 A （M ）∧B （M ）推论1 平面内五个点，若其中任意三个都不共线，则这五个点可确定唯一一条二阶曲线。

推论2 若二阶曲线上任一点向此曲线上四定点连四条直线，则此四直线的的交比是常数。

例1 求两个成射影对应的线束：x 1+λx 3=0与x 2－μx 3=0（λ+μ=1）所构成的二阶曲线的方程。

解因为λ+μ=1，所以μ=1－λ，于是两线束可以写成：⎩⎨⎧=--=-0)1(03231x x x x λλ 即⎩⎨⎧=+-=-0033231x x x x x λλ 消去λ得033231=--x x x x x整理得二阶曲线的方程为0233231=-+x x x x x定义1.2 在射影平面上，成射影对应的线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。

注意 上述定义包含了退化的情况：如果两个成射影对应的线束是透视的，此时二阶曲线退化成两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中心的连线。

定义1.3 在射影平面上，若齐次线坐标[u 1，u 2，u 3]满足下列三元二次)(031,'='='∑=ji ij j i j i ij a a u u a的直线的集合叫做二级曲线。

其中a ij′（i，j=1，2，3）为实数且不全为零。

二阶曲线与二级曲线统称为二次曲线。

定理1.1′两个不同底的成射影对应的点列，它们对应点的连线的集合是一条包含两个底在内的二级曲线。

定理1.2 ′设一条二级曲线是由两个不同底的成射影对应（非透视对应）的点列的对应点连线构成的。

则二级曲线上任意两条定直线与二级曲线上的直线相交，便可得到以这两个定直线为底的成射影对应的两个点列。

推论1′平面上无三线共点的任意五条直线唯一确定一条二级曲线。

推论2′二级曲线上任意一条直线与曲线上四条定直线相交所得的四个交点的交比值是常数。

例2如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则她们也同时外切于一条二次曲线。

证明三点形ABC和三点形A′B′C′，内接于二次曲线（C），设AB∩B′C′=D，AB∩A′C′=E，AB∩B′C′=D′，A′B′∩AC=E′，则C′（A，B′，A′，B）∧C（A，B′，A′，C）所以（A，D，E，B）∧C′（A，B′，A′，B）∧C（A，B′，A′，C）∧（E′，A′，B′，D′）即（A ，D ，E ，B ）∧（E ′，A ′，B ′，D ′）由定义可知，这两个点列对应点连线AC ，BC ，C ′A ′，B ′C ′连同两个点列的底AB ，A ′B ′属于同一条二级曲线（C ′），亦即三点形ABC 和三点形A ′B ′C ′的边外切一条二次曲线。

1 .2 二阶曲线与二级曲线的关系我们先来讨论二阶曲线与直线的相关位置设两个点P ，Q 坐标分别为P （p 1，p 2，p 3），Q （q 1，q 2，q 3），则直线PQ 上任意点的坐标（x 1,x 2,x 3）可以写成x i = p i + λq i (i=1，2，3)直线PQ 与二阶曲线)(031,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑=的交点坐标满足0))((31,=++∑=j i j j i i ij q p p p aλλ 即 0)(31,31,31,31,2=+++∑∑∑∑====j i j i ij j i i j ij j i j i ij j i j i ij p p a q p a q p a q q a λλ若点Q 不在二阶曲线上，则上式是关于λ的二次方程，为了书写简便，我们引进下列记号：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡∑=32132131,),,(x x x A x x x x x a S j i j i ij,,),,(31,321321∑=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠j i j i ij pp p p p A p p p p p a S∑=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡31,321321),,(j i j i ij qq q q q A q q q q q a S,),,(32132131,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡∑=q q q A p p p q p a S j i j i ij pq⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡∑=32132131,),,(p p p A q q q p q a S j i j i ij qp∑=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡31,321321,),,(j i j i ij p x x x A p p p x p a S⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡∑=32132131,),,(x x x A q q q x q a S j i j i ij q由于a ij =a ji ，从而S pq =S qp 。

若（p 1，p 2，p 3），(q 1，q 2，q 3)为常数，(x 1，x 2，x 3)是变数，则S 为二次式，S P 与S q 为一次式，S pp ，S qq 与S pq 为常数。

采用以上记号后，关于λ的二次方程可以写成S qq λ2+2S pq λ+S pp = 0 （*）当S pq 2－S qq S pp >0时，直线与二阶曲线相交于两个实点，称为二阶曲线的割线；当S pq 2－S qq S pp <0时，直线与二阶曲线相离；当S pq 2－S qq S pp =0时，直线PQ 与二阶曲线的两个交点重合，称为二阶曲线的切线。

以下求非退化二阶曲线上一点的切线方程。

（1）设点P （p 1,p 2,p 3）在二阶曲线上S=0上，则S PP =0，从而方程（*）有一个根为0。

因为过点P 的切线与二阶曲线有两个重合交点，所以另一个根也必为0，若将Q 的坐标改写为（x 1，x 2，x 3），由（*）式可得P 点处切线方程为：S p =0，即以P （p 1,p 2,p 3）为切点的切线方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321)(x x x A p p p S p即：0332211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x x S x x S x x S PP P（2）若点P 不在二阶曲线上，设点Q 为过P 的切线上任意点，则PQ 交二阶曲线于重合点，因此（*）式有两个相等的实根，所以 S pq 2=S qq ·S pp ，若将Q 的坐标改写为（x 1，x 2，x 3），那么以Q 为动点的轨迹的通过P 的切线方程为：S pp ·S = S p 2这个方程表示两条切线。

当P 点在二阶曲线上时，二者重合为一条直线： S p =0。

例3 求二阶曲线01124632232221=+--x x x x x 的经过点P （2，0，1）切线方程。

解 将点P 的坐标代入二阶曲线方程，得S pp =0所以P 点在二阶曲线上，切线方程为S p =0即 024211021110006)102(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 也即0481124321=-+x x x为所求切线方程。

例4 求通过二直线l[1，3，1]和m[1，5，－1]交点且属于二级曲线4u 12+u 22－2u 32=0的直线.解通过二直线l[1，3，1]和m[1，5，－1]交点的直线的线坐标为[1，3，1]+λ[1，5，－1]=[1+λ，3+5λ，1－λ]若此直线属于二级曲线4u 12+u 22－2u 32=0，则有4（1+λ）2+（3+5λ）2－2（1－λ）2=0即27λ2+42λ+11=0解得λ=－1/3，λ=－11/9所求直线的坐标为[1，2，2]和[－1，－14，10]下面讨论二阶曲线和二级曲线的关系。

定理1.3 一条非退化的二阶曲线的切线的集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条非退化的二级曲线的切点的集合是一条二阶曲线。