量子力学课件
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高等量子力学 课件
20
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
量子力学简介PPT课件
i Et
Ψ (x, y, z, t) (x, y, z)e
2023/12/30
对于等式右边： 1 ( 2 2 V ) E
2m
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
量子力学简介
2. 一维粒子在外保守力场中运动时具有势能 V
粒子的总能量： E p2 V
2m
同理，有：
Ψ
2 2
i
V
t
2m x2
推广：粒子在三维空间中运动时:
引入拉普拉斯算符: 2
2
x 2
2 y 2
2 z 2
i Ψ 2 2 V ——薛定谔方程
t
2m
定义哈密顿算符:
Hˆ
2
2
V
(r )
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
以一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)为例讨论．
2023/12/30
17.4 一维定态问题
量子力学简介
17.4.1 一维无限深方势阱
1. 势能函数
0 V (x)
2. 定态薛定谔方程
0 xa x 0，x a
1.22
应用举例
电子显微镜分辨率 远大于
光学显微镜分辨率
20世纪30年代, 电子显微镜诞生了.电子显微镜是利用高 速运动的电子束代替光线来观察物体的细微结构的, 放大倍 数比光学显微镜高许多, 可以达到几十万倍.电子显微镜大大 开阔了人们的视野, 使人们看到了细胞更细微的结构.
量子力学课件
思考：设粒子处在二维无限深势阱中，
求粒子的能量本征值和本征函数。如a=b，能级的简并 度如何？
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第27页
例： 设粒子处于无限深方势阱
中，粒子波函数为ψ(x) = Ax(a-x)， A为归一化常数。 a) 求A； b) 求测得粒子处于能量本征态
的概率Pn.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第21页
另一个例子
势阱内薛定谔方程及边界条件 在|x|<a的区域内，通解为
V(x)无奇点， ψ(x)和ψ’(x)连续。 ψ1(x), ψ2(x)代表同一量子态。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
3.2 方势
精确求解一些简单的方形势的本征值问题。 经典运动和量子运动的主要不同点 特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反 射、共振和势垒贯穿现象。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第15页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
能量可视为连续改变。可见，量子性显著
表现在空间范围很小的微观尺度中。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程
V (x,t) (x,t)
假定在 t 0 时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？ 答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.
证明:
d (x,t) 2 dx (x,t) 2 dx.
dt
t
2 * * *
i
t
( x, t )
2
2m
d2 dx2
V
( x, t )
接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现
出“粒子性”。
2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的
干涉，“波动性”是单个电子的行为。
问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？ 结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。
§ 3 概率
假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：
j2 j2P( j). 0
注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。
普遍地, 可以给出j的函数的平均值
f ( j) f ( j)P( j).
0
显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和 同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度 的不同？
j j j ,
2 (j)2 . 分布方差
经典物理描述物体运动的范式和途径：
宏观物体，经典力学： （1）求出任意时刻物体的位置 x(t)
（2）求出速度v dx ，动量p mv ，动能 T 1 mv2
dt
2
方法: 牛顿方程
m
d2x dt 2
V (x,t) x
,
F(x,t) V (x,t) x
初始条件 x(0), v(0)
等等，
微观粒子,量子力学:
14岁 1人，
量子力学.ppt
2019-8-11
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7
第一章 绪论
§1.1 量子力学发展简史
§1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论
§1.5 微观粒子的波粒二象性
§1.6 波函数的统计解释
2019-8-11
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8
§1.1 量子力学发展简史
1896年 1897年
气体放电管，发现阴极射线。
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25
普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值
* 存在着能量的最小单元（能量子=h)
* 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
从理论上推出：
M 0 (,T ) 2hc 2 5
1
hc
e kT 1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
2019-8-11
J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。
1900年
M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。
1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。
同年创立了狭义相对论。
2019-8-11
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9
1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构
b 2.897 103米开
2019-8-11
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23
经典物理遇到的困难
实验
瑞利和琼斯用
M 0 (,T )
能量均分定理
电磁理论得出：
M0
(,T
)
2ckT 4
只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。
T=1646k
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创建量子力学时，很多从事这方面工作的科学家都访问过玻尔的研究所，那 时玻尔年纪也不大，40岁不到，爱因斯坦年纪也不大，按照中国现在的说法是 中年和中青年。可是建立量子力学的不是玻尔、爱因斯坦，而是一批更年轻的 科学家。
到第二次世界大战以后，又是一批年轻的科学家，36岁的朝永振一郎、 28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。 到1950年代，新的基本粒子被发现了，这些新问题的解答，是由另一 代年轻的科学家做出的。盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。 杨振宁和李政道，分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。伯格统一了电磁作用与弱作用。 1999年得诺贝尔奖的霍夫特（G.'t Hooft）和费尔特曼 （M.J.G.Veltman），也都是更年轻的一代。
1.黑体辐射 普朗克的能量子假设(1900) 实验结果 经典理论结果 普朗克公式 普朗克能量子假设ε=hυ(1918诺贝 尔奖) 2.光电效应 爱因斯坦的光量子假设(1905) 实验结果 经典理论无法解释 爱因斯坦光量子论ε=hυ(1921诺贝尔奖) 3.康普顿效应 光的波粒二象性(1923) 康普顿效应 经典理论无法解释 光具有粒子性：用光子和自由电子碰撞（能量-动量守恒）成功解释康普顿 效 (1927诺贝尔奖) 4.原子的线状光谱与原子的稳定性 玻尔的量子论（1913） 原子模型的发展： 老汤姆孙的蛋糕模型—卢瑟福的核式模型—玻尔的量子论(1922诺贝尔奖) 玻尔理论的意义： 1900-1913年达到早期量子论的高峰，一直延续到1923年。 玻尔首次打开了认识原子结构的大门，明确指出经典物理对原子内部已不 适用，用量子论推动了光谱理论的发展，架起了经典物理通向量子物理的桥 梁。 但是，玻尔理论只是“搭桥”，并没有登上新物理的“彼岸”
量子理论的建立
海森堡矩阵力学（1925;1932年诺贝尔奖）~ 玻尔理论的发展：认为原 子理论应建立在可观察量（如光谱、频率）的基础上，赋予每一个物理 量一个矩阵，得到相应的运算法则和运动方程。 薛定谔波动力学（1926;1933年诺贝尔奖）~ 德布罗意波的发展：德布 罗意波—波动方程（德拜的“发问”）—波函数的统计解释（玻恩 1926;1954年诺贝尔奖）。 量子力学 ~ 波动力学和矩阵力学合一：薛定谔证明了两者的等价—狄 拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系，通过严格的变换理论将两者统 一为量子力学。 狄拉克1930年完成量子力学“圣经”《量子力学》。（1933年诺贝尔 奖） 量子力学的第三种表述 ~ 路径积分：狄拉克提出，费曼发展 （1948;1964年诺贝尔奖）
量子理论建立的特点
众多物理学家共同努力的结晶:标志着物理研究方式的转变（群体化），量 子物理公认的领袖是玻尔（哥本哈根学派）。
量子物理学的成就多属于青年人： 1905年爱因斯坦提出狭义相对论时才25岁； 1912年玻尔提出量子论时27岁； 1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁； 1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学； 1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。
早期量子论
5.实物粒子的波动性 德布罗意假设(1924) 微观粒子（实物） 的波粒二象性：
p k
2 h k p
~ 德布罗意波(1929年诺贝尔奖) 实验验证：戴维孙-革末，电子衍射（1927年诺贝尔奖） 6.量子力学的建立 早期量子论的局限性 在解决实际问题中的困难：如玻尔模型，只能解释氢原子光谱，对仅多一个电 子的氦原子就无能为力；对氢原子也只能给出频率，不能给出光谱的强度。 理论结构本身的根本性缺陷：不是微观体系的一种严密的物理理论，只不过是 “一盘大杂烩” ~ “经典物理+量子条件”的混合物。 真正需要的是：对物理理论重整，使它对所有系统都给出正确结果。并在宏观 领域回到经典理论—这就是量子理论。
到第二次世界大战以后，又是一批年轻的科学家，36岁的朝永振一郎、 28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。 到1950年代，新的基本粒子被发现了，这些新问题的解答，是由另一 代年轻的科学家做出的。盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。 杨振宁和李政道，分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。伯格统一了电磁作用与弱作用。 1999年得诺贝尔奖的霍夫特（G.'t Hooft）和费尔特曼 （M.J.G.Veltman），也都是更年轻的一代。
1.黑体辐射 普朗克的能量子假设(1900) 实验结果 经典理论结果 普朗克公式 普朗克能量子假设ε=hυ(1918诺贝 尔奖) 2.光电效应 爱因斯坦的光量子假设(1905) 实验结果 经典理论无法解释 爱因斯坦光量子论ε=hυ(1921诺贝尔奖) 3.康普顿效应 光的波粒二象性(1923) 康普顿效应 经典理论无法解释 光具有粒子性：用光子和自由电子碰撞（能量-动量守恒）成功解释康普顿 效 (1927诺贝尔奖) 4.原子的线状光谱与原子的稳定性 玻尔的量子论（1913） 原子模型的发展： 老汤姆孙的蛋糕模型—卢瑟福的核式模型—玻尔的量子论(1922诺贝尔奖) 玻尔理论的意义： 1900-1913年达到早期量子论的高峰，一直延续到1923年。 玻尔首次打开了认识原子结构的大门，明确指出经典物理对原子内部已不 适用，用量子论推动了光谱理论的发展，架起了经典物理通向量子物理的桥 梁。 但是，玻尔理论只是“搭桥”，并没有登上新物理的“彼岸”
量子理论的建立
海森堡矩阵力学（1925;1932年诺贝尔奖）~ 玻尔理论的发展：认为原 子理论应建立在可观察量（如光谱、频率）的基础上，赋予每一个物理 量一个矩阵，得到相应的运算法则和运动方程。 薛定谔波动力学（1926;1933年诺贝尔奖）~ 德布罗意波的发展：德布 罗意波—波动方程（德拜的“发问”）—波函数的统计解释（玻恩 1926;1954年诺贝尔奖）。 量子力学 ~ 波动力学和矩阵力学合一：薛定谔证明了两者的等价—狄 拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系，通过严格的变换理论将两者统 一为量子力学。 狄拉克1930年完成量子力学“圣经”《量子力学》。（1933年诺贝尔 奖） 量子力学的第三种表述 ~ 路径积分：狄拉克提出，费曼发展 （1948;1964年诺贝尔奖）
量子理论建立的特点
众多物理学家共同努力的结晶:标志着物理研究方式的转变（群体化），量 子物理公认的领袖是玻尔（哥本哈根学派）。
量子物理学的成就多属于青年人： 1905年爱因斯坦提出狭义相对论时才25岁； 1912年玻尔提出量子论时27岁； 1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁； 1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学； 1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。
早期量子论
5.实物粒子的波动性 德布罗意假设(1924) 微观粒子（实物） 的波粒二象性：
p k
2 h k p
~ 德布罗意波(1929年诺贝尔奖) 实验验证：戴维孙-革末，电子衍射（1927年诺贝尔奖） 6.量子力学的建立 早期量子论的局限性 在解决实际问题中的困难：如玻尔模型，只能解释氢原子光谱，对仅多一个电 子的氦原子就无能为力；对氢原子也只能给出频率，不能给出光谱的强度。 理论结构本身的根本性缺陷：不是微观体系的一种严密的物理理论，只不过是 “一盘大杂烩” ~ “经典物理+量子条件”的混合物。 真正需要的是：对物理理论重整，使它对所有系统都给出正确结果。并在宏观 领域回到经典理论—这就是量子理论。