全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)

全等三角形的提高拓展训练
知识点睛
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，
BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作
60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的
数量关系?
D
O E
C
B A
N
D
【变式拓展训练】
如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交
于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交
于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．
N
C D E
B M A F E
D
C
B
A O E
D C
A
【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是
顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在
AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，
求证：AD 平分∠CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，
求ABC ∠的度数.
【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，
求BDC ∠.
D C
B A
N
M
D
C
B
A C E
D
B
A
D
A
【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又
M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.
【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，
求DBC ∠的度数.
【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，
36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.
C
D
B
A D C
B
A D
E
C
B
A
N
M C
B
A
【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，
在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.
【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC
∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.
全等三角形证明经典20题（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
M
C
A
B
延长AD 到E,使DE=AD,
则三角形ADC 全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=5
2. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：
过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE
∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC
3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C
证明：
在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB ，AD=AD
∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
C
D
B A
D
B
C
A
B
A C
D
F
2 1 E
∴∠B=2∠C
4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：
在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB
所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE
因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC
所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF
所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE
5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF. ∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=
∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌
ΔDCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
6.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC
作AG ∥BD 交DE 延长线于G
AGE 全等BDE
AG=BD=5
AGF ∽CDF AF=AG=5 F
A
E D C B
所以DC=CF=2 7．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．
延长AD 至H 交BC 于H; BD=DC; 所以:
∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC;
三角形ABD 全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;
AD 是等腰三角形的顶角平分线 所以:
AD 垂直BC 8．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．
求证：∠OAB =∠OBA
因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA
所以∠OAB=∠OBA 9．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线
交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
证明： 做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，
又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线
∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，
∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 10．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B
P
E
D
C B
A
证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD
∴△ADE ≌△ADC 。

DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
11．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE ⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE
12、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明： ∵BE ‖CF
∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF
∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM
∴AM 是△ABC 的中线.
F
E
D
C
B
A D C
B
A
M
F
E C
B
A
13、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
14、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：
AF=DE。

因为AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为角DCB=角ABF
AB=DC BF=CE
F
D
C B
A
F
E
D
C
B A
三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE
15.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等
腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF 得AE=AF
16．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.
所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6
17．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．
证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)
则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD
18.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF
C
A
A
C B D
E
F
19．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE ．
在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB ， ∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （AAS ）， ∴AD=CE ，DC=BE ， ∴DE=DC+CE=BE+AD ；
（2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB ， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴AD=CE ，DC=BE ， ∴DE=CE-CD=AD-BE ；
20．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

证明： （1） ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC
∴AM=AN （2）
∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90°
F M N
E 1
23
4
即∠MAN=90°∴AM⊥AN。