培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性.docx
一次函数与特殊三角形~存在性问题
一次函数与特殊三角形~存在性问题坚持的力量，时间的证明，难忘的经历！一次函数与特殊三角形~存在性问题—【数学压轴题】盘点思考题目：一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】适用范围：初二与初三学生【考点串讲，拓展思路，体味方法】解题方法：一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】【考点总结】1.一次函数与等腰三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法。
注意：遇到'一定两动'时，尽量先画图，再结合【等腰三角形性质——等边对等角&三线合一】进行思考。
另外，这里的“等腰三角形~存在性问题”与初三数学中的“菱形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
2.一次函数与直角三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法&函数法。
注意：三种方法都可以使用，'代数法'侧重—计算量；“几何法”侧重—构图及转化能力；“函数法”—侧重公式记忆的应用及特殊情况的处理。
另外，这里的“直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“矩形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
3.一次函数与等腰直角三角形~存在性问题：（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：几何法——构造“一线三垂直~全等三角形模型”。
注意：这里的“等腰直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“正方形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
综上所述，这种【数学压轴题】需要思考，敢于挑战，发挥想象，坚持总结，重在积累，走好初中的每一步，在会的基础上提升自己的做题速度，节省时间才能在考试中发挥出真实水平。
加油，我们一起同行【从不同的出发点思考，便会发现不一样的风景】。
一次函数与等腰三角形存在性培优专题
一次函数与等腰三角形存在性培优专题1．已知一次函数1y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．已知一次函数443y x=+的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，若ABC△为等腰三角形，则点C的坐标为______________________________________．3．如图，直线OB是一次函数2y x=-的图象，点A的坐标为(02)，，在直线OB上找点C，使ACO△为等腰三角形，则点C的坐标是______________________________________．4．一次函数1y x=+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，且使得ABC△是等腰三角形，符合题意的点C坐标为______________________________________．5．如果一次函数364y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为______________________________________．6．如图所示，一次函数4=-+与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点y x（不包含A、B两个端点），C是线段OB上一点，45△是等腰三角形，OPC∠=︒，若OPC试求点P的坐标？7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC△的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，4OB=．OA=，3（1）求点C的坐标；（2）求经过点B，C的一次函数的解析式；（3）在x轴上是否存在点P，使PCB△为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，一次函数334y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和B ，再将AOB △沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．连接BC ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）求BOC S △；（3）在y 轴上有一点P ，且PAB △是等腰三角形，求出点P 的坐标．9．如图，一次函数364y x =+的图象与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称．动点P ，Q 分别在线段AC ，AB 上（点P 与点A ，C 不重合），且满足BPQ BAO ∠=∠． （1）求点A ，B 的坐标及线段BC 的长度；（2）当点P 在什么位置时，APQ CBP △≌△，说明理由；（3）当PQB △为等腰三角形时，求点P 的坐标．10．已知一次函数112y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）如果点C 在一次函数112y x =-+的图象上，并且AOC △是等腰三角形，问满足条件的点C 有几个？并求出所有点C 坐标．11．一次函数2y =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边ABC △．（1）求C 点坐标；（2）在第二象限内有一点(1)M m ，，使ABC ABM S S =△△，求M 点坐标；（3）点()0C '，在直线AB 上是否存在一点P ，使ACP △为等腰三角形？若存在，求P 点坐标；若不存在，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 、点C 坐标分别为(50)，、(100)，、(05) ，． （1）求过B 、C 两点的一次函数解析式；（2）若直线BC 上有一动点()P m n ，，以点O 、A 、P 为顶点的三角形面积和以点O 、C 、P 为顶点的三角形面积相等，求P 点坐标；（3）若y 轴上有一动点Q ，使以点Q 、A 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出Q 点坐标．。
第四章++一次函数一次函数中的等腰三角形问题++课件++2023—2024学年北师大版数学八年级上册
自学检测1(4分钟）
如图，在直角坐标系中，已知直线y=kx+6与x
轴、y轴分别交于A、B两点，且△ABO的面积
为12．
y 3 x6
变式1：在（2）的条件下，连接 2
PO，△PBO是等腰三角形吗？是 如果是，试说明理由，如果 P(-2,3)
B(0,6)
不是，请在线段AB上求一点C， P
使得△CBO是等腰三角形．A(-4,0) 变式2：若点M为直线AB上
学习目标（1分钟）
1.掌握一次函数中构成等腰三角形 的基本分析思路(两圆一线）
2.渗透转化和分类讨论的思想 3.重点探究一次函数与等腰三角形的综合应用
自学指导1(4+5分钟） 如图，已知直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、
B两点，且△ABO的面积为12．
（1）求点B、点A的坐标和k的值；y 3 x 6
本节课主要学习了什么？ 1.一次函数中已知两点，在直线上，坐标 轴上是如何确定等腰三角形问题？
分类讨论得到通过画两圆一线确定点的位置
2.将点的坐标与线段长度相互转化的思想 3.等腰三角形中分类讨论的思想
中考链接:当堂训练(7分钟）
1.已知直线AB与x轴、y轴分别交于
点A（ 3，0）、点B（0，1），O为坐标
一动点，使△MBO为等腰 4个 三角形的点M有几个？
自学指导2(6+4分钟） 1.中考题：如图，一次函数
y
-
3 4
x
3
的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B
（1）求点A、点B的坐标； A(4，0),B(0，3)
（2）将 △AOB沿直线CD对折，
使点A与点B重合，直线CD交x 轴与点C，交AB于点D
3
培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性
一次函数与三角形存在性问题相关知识点1、两点距离公式),(11y x A ),(22y x B ，则AB=2、等腰三角形相关性质及作法3、对于一次函数y=kx+b （k ≠0）①当k ＞ 0时，y 随x 的增大而 ，向当k ＜0时，y 随x 的增大而 。
向 ②k 越 ，倾斜角度越 。
直线y=x ，与x 轴夹角为 ，y=3x ，与x 轴正方向夹角为 ，y=33x ，与x 轴正方向夹角为 ③经过点（0，k ）且平行于x 轴的直线叫做直线 ，经过点（k ，0）且平行于y 轴的直线叫做直线④对于直线111:l y k x b =+和222:l y k x b =+当1l ∥2l 时， ; 当12l l ⊥时， .⑤若),(11y x A ),(22y x B ,则直线AB 的斜率AB k = ；若直线斜率k=3，且过点（1,4），则直线解析式为类型一、等腰三角形存在性例1. 如图，直线233+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例2、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例3、如图，直线l 1：y=x+4分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C 为x 轴上任意一点，直线l 2：y=﹣x+b 经过点C ，且与直线l 1交于点D ，与y 轴交于点E ，连结AE ．（1）当点C 的坐标为（2，0）时，①求直线l 2的函数表达式；②求证：AE平分∠BAC；（2）问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．类型二、等腰直角三角形存在性例4、（1）模型建立：如图（1），等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线l1=x+4与y轴交于A点，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至l2，求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD 是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．例5、如图，点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，在y轴的正半轴上求点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．练习：1、如图，直线343-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的动点， 若使△OAP 为等腰三角形，则点P 的坐标是2、如图，在平面直角坐标系中，过点A 的两条直线分别交y 轴于B （0，3）、C （0，﹣1）两点，且∠ABC=30°，AC ⊥AB 于A ．（1）求线段AO 的长，及直线AC 的解析式；（2）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、直线131+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标是4、如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （5，5）为第一象限内一点，点B 在x 轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB ．（1）求点B 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度，从点O 出发，沿x 轴正半轴匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒，△ABP 的面积为S ，请用含有t 的式子表示S （S ≠0），并直接写出t 的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，点D 坐标为（2，0），连接AD ，AK ⊥AD ，过点B 作x 轴的垂线交AK 于点K ，过点A 作x 轴的平行线a ，在点P 的运动过程中，直线a 上是否存在一点R ，使△PKR 是以PR 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。
一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D 处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；＝S△OCD，直接写出点M的坐标．（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．25．综合与探究：如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
第4章一次函数-一次函数之等腰直角三角形的存在性(教案)
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。
专题二：一次函数中等腰直角三角形存在性问题方法总结
专题二：一次函数中等腰直角三角形存在性问题方法总结类型二、等腰直角三角形以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 直角顶点，即有23B B 、点；②以C 直角顶点，即有14B B 、点；③以AC 为斜边，即有56B B 、点；二、算法：利用三垂直模型进行计算(,)A A A x y 、(,)B B B x y 、(,)C C C x y 、(,)M M M x y 、(,)M M C x y由MBC ≌NCA可得：MB CN MC AN ==可推出B M C N M C A Nx x y y y y x x -=-⎧⎨-=-⎩例题1、如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （-3,0）、点B （0,2），以点A 为直角顶点，AB 为直角边作等腰直角△ADB ，线段AD 所在直线交y 轴于点P.（1）求直线AB 的解析式；（2）求△BDP 得面积；（3）点C 在x 轴上，D 在x 轴下方时，且△BOC 也是等腰直角三角形，动点M 在y 轴上，若使MC MD -取最大值，求出这个最大值及此时点M 的坐标.【答案】（1）AB 解析式：2+23y x = （2）①1(1,3)D -- 算法：利用1AOB AID ≅ 设1(,)D m n 20(3)0(3)0m n -=--⎧⎨--=-⎩解得13m n =-⎧⎨=-⎩ 则1(1,3)D -- 同理2(5,3)D -（3）根据题意，如图：12(2,0)(2,0)C C -、（两种情况答案一样，自行分类分析）当11,,C D M 三点共线时，MC MD -取最大值，最大值为11C D 11C D 解析式：36y x =--则M （0，-6）11max 10MC MD C D -==练习：1.已知直线1:l y x b =-+与x 轴交于点A ，直线2416:33l y x =-与x 轴交于点B ，直线12l l 、交于点C ，且C 点的横坐标为1．（1）求直线1l 的解析式和点A 的坐标．（2）直线1l 与y 轴交于点D ，将1l 向上平移9个单位得3l ，3l 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点P 为3l 上一动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，求△ABP 的周长和点P 的坐标．（3）将1l 绕点C 逆时针旋转，使旋转后的直线4l 过点G （-2,0），过点C 作5l 平行于x 轴，点M 、N 分别为直线4l 、5l 上两个动点，是否存在点M 、点N ，使△BMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）将1x =代入直线41633y x =-，得4161433y =⨯-=-， 故点C 的坐标为(1,4)-，将C 的坐标(1,4)-代入直线y x b =-+得，41b -=-+， 解得3b =-，∴直线1:3l y x =--，令0y =，则30x --=，解得3x =-，故点A 的坐标为(3,0)-，（2）直线3l 为1l 向上平移9个单位所得，故直线3l 的解析式为：6y x =-+，令0x =，得6y =，令0y =，得6x =，故点E ，点F 的坐标分别为(6,0)，(0,6)， 直线2416:33l y x =-与x 轴交于点B ， 令0y =，得4x =，故B 点的坐标为(4,0)，取点B 关于3l 的对称点Q ，设点Q 的坐标为(,)a b ，则线段BQ 的中点坐标为(2a b +，)2b 在直线3l ， ∴622b a b +=-+，（1） 且(1)14b a ⋅-=--即14b a =-，（2） 联立（1）（2）得622b a b b +⎧=-+⎪⎪⎨⎪，解得：62a b =⎧⎨=⎩， (6,2)Q ∴，直线AQ 的解析式：2293y x =+， 当ABP ∆的周长最小时，即AP BP +最小， 连接AQ ，交直线3l 于点P ，此时AP BP +最小，最小值为22(63)(20)85AQ =++-=，7AB =，此时ABP ∆的周长为785+，由22936y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得48111811x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， P ∴点坐标为48(11，18)11， （3）设4l 的解析式：y mx n =+，将(1,4)C -，(2,0)G -，代入y mx n =+得，024m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得4383m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 4l ∴的解析式为：4833y x =--， 1︒当点M 在直线4l 的上方时，设点(,4)N n -，点48(,)33M s s --， 过点N ，B 分别作y 轴的平行线，过点M 作x 轴的平行线，三条直线分别交于R ，S 两点，如图则R ，S 的坐标分别为48(,)33n s --，48(4,)33s --， RM s n ∴=-，48433RN s =--，4MS s =-，4833SB s =--， 90NMB ∠=︒，90NMR SMB ∴∠+∠=︒，90BMS MBS ∠+∠=︒，90S R ∠=∠=︒，MB MN =，()MNR MBS AAS ∴∆≅∆，RM SB ∴=，RN SM =， 即4833s n s -=--，484433s s --=-， 解得8s =-，16n =-，∴点M 的坐标为(8,8)-，2︒当点M 在直线4l 的下方时，设点(,4)N n -，点48(,)33M s s --， 过点N ，B 分别作y 轴的平行线，过点M 作x 轴的平行线，三条直线分别交于R ，S 两点，如图则R ，S 的坐标分别为48(,)33n s --，48(4,)33s --， RM n s ∴=-，48433RN s =+-，4MS s =-，4833SB s =+， 90NMB ∠=︒，90NMR SMB ∴∠+∠=︒，90BMS MBS ∠+∠=︒，NMR MBS ∴∠=∠，90S R ∠=∠=︒，MB MN =，()MNR MBS AAS ∴∆≅∆，RM SB ∴=，RN SM =，即4833n s s -=+，484433s s +-=-， 解得407s =，16n =， ∴点M 的坐标为40(7，72)7-， 综上点M 的坐标为(8,8)-或40(7，72)7-，练习2：7．（2020春•官渡区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线13:4l y x =与直线2:(0)l y kx b k =+≠相交于点(,3)A a ，直线2l 与y 轴交于点(0,5)B -． （1）求直线2l 的函数解析式；（2）将OAB ∆沿直线2l 翻折得到CAB ∆，使点O 与点C 重合，AC 与x 轴交于点D ．求证：四边形AOBC 是菱形；（3）在直线BC 下方是否存在点P ，使BCP ∆为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线3?:4l y x =与直线?:l y kx b =+相交于点(,3)A a ， (4,3)A ∴， 直线交?l 交y 轴于点(0,5)B -，5y kx ∴=-，把(4,3)A 代入得，345k =-，2k ∴=，∴直线2l 的解析式为25y x =-；（2）22345OA =+=，OA OB ∴=，将OAB ∆沿直线?l 翻折得到CAB ∆，OB OC ∴=，OA AC =，OA OB BC AC ∴===，∴四边形AOBC 是菱形；（3）如图，过C 作CM OB ⊥于M ，则4CM OD ==，5BC OB ==，3BM ∴=，(4,2)C ∴-， 过1P 作1PN y ⊥轴于N ， BCP ∆是等腰直角三角形， 190CBP ∴∠=︒，1MCB NBP ∴∠=∠， 1BC BP =，BCM ∴∆≅△1()PBN AAS ， 4BN CM ∴==， 1(3,9)P ∴-；同理可得，2(7,6)P -，37(2P ，11)2-． 综上所述，点P 的坐标是(3,9)-或(7,6)-或7(2P ，11)2-．。
一次函数特殊三角形存在性
特殊三角形存在性知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．3.不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．②等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置．精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-3，4)，P是x轴上的一个动点，则当△AOP是等腰三角形时，点P的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x=+与x轴交于点A，与y 轴交于点B．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点O落在AB上的点D处，折痕交x轴于点E．（1）求点D的坐标．（2）x轴上是否存在点P，使得△PAD是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且43OB OA =．点C 在第一象限，是直线y =kx -4上的一个动点，当△AOC 的面积为6时，x 轴上是否存在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，在第一象限内是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=x轴、y轴分别交于点A，B，点C在点A左侧，是x轴上一点，且满足AC=OA，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在第二象限内是否存在点P，使得△PAD是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，Q是直线x=3上的一个动点，y轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】知识点睛1.运动的结果2.坐标或表达式精讲精练1.(5,0)，(-5,0)，(-6，0)，(256-，0)2.（1）(-3，（2）存在(，0)，(-6-0)，(0，0)，(-4，0)3.存在(8，0)，(-2，0)，(9，0)，(436，0)4.存在(7，4)，(3，7)，(72，72)5.存在3，3)，6，3+)，(92，32+)6.存在(0，1)，(0，3)，(0，4)。
一次函数背景下等腰三角形存在性问题分析与策略
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿源 数学学习与研究 2022.12◎肖 杜1 罗 丽2∗ (1.重庆市南开两江中学校,重庆 401135;2.西南大学银翔实验中学,重庆 401533)【摘要】等腰三角形的存在性问题一直是中学数学的重点、难点,对学生的数学能力要求很高,又往往出现在压轴题中,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上归类分析,先从常规的两圆一线说起,再到平移、旋转.特别是旋转过程中产生的等腰三角形,利用圆这个工具,能有效解决找不到、找不全的问题.【关键词】等腰三角形;存在性;两圆一线;平移;旋转在中考数学的压轴题中,等腰三角形的存在性问题是一个热门考点,也一直是教学中的重点、难点内容,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,让许多学生望而却步.本文从等腰三角形产生的原理上进行归类分析,谈谈解决此类问题的常用方法和策略.类型一 两圆一线产生等腰三角形1.如图1-1,点A 的坐标为(1,1),点B 的坐标为(4,3),在x 轴上存在一点C ,使△ABC 是等腰三角形,求出点C 的坐标.解析 分三种情况讨论△ABC :①AB =AC ②BA =BC ③CA =CB图1-1①当AB =AC 时,即以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-2),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 1,C 2.过点A 作AH ⊥x 轴于点H ,AB =13,所以AC 1=AC 2=13,图1-2所以H (1,0),HC 1=HC 2=23,所以C 1(1-23,0),C 2(1+23,0).②当BA =BC 时,即以点B 为圆心,AB 长为半径画圆,与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-3),由图可知,此时的C 点有两个,分别记为C 3,C 4.图1-3过点B 作BH ⊥x 轴于点H ,所以BC 3=BC 4=AB =13,H (4,0),所以HC 3=HC 4=2,所以C 3(2,0),C 4(6,0).③当CA =CB 时,此时点C在AB 的垂直平分线上,所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点即为此时的C 点(如图1-4),记为C 5.设点C 5的坐标为(x ,0),图1-4所以C 5A =(x -1)2+1,C 5B =(x -4)2+9,则(x -1)2+1=(x -4)2+9解得x =236,所以C 5236,0().综上,点C 的坐标为(1-23,0)或(1+23,0)或(2,0)或(6,0)或236,0().类型二 平移变换中的等腰三角形2.如图2-1,直线AB :y =-33x -1交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,将直线AB 沿x 轴翻折交y 轴于点C.将直线BA 沿射线AC 平移分别交AC 于点H ,交x 轴于点K ,当△OKH 为等腰三角形时,请写出OK 的长,并说明理由.图2-1解析 由题中给出的直线AB 的解析式可知,∠CAO =∠BAO =30°,从这个特殊的角度出发,通过平移、讨论,大致确定K ,H 的位置,通过几何计算,解决问题.JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法员猿缘数学学习与研究 2022.12①当KO =KH 时,根据平移,先大致确定两个位置,如图2-2,2-3所示,在图2-2中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-2所以HA =HK ,AK =2MK =23HM ,KO =KH =2HM ,所以AO =23+2HM =3所以OK =2HM =3-32.在图2-3中,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,因为∠HAK =∠HKA =30°,图2-3所以HA =KH =KO ,AK =2MK =23HM.因为AK =AO +KO =AO +HK =3+2HM ,所以23=3+2HM ,所以HM =3+34,所以OK =2HM =3+32.②当OK =OH 时,如图2-4所示,过点H 作HM ⊥x 轴于点M ,图2-4因为∠HAK =∠HKA =30°,所以HA =HK =2HM ,OH =OK =2OM ,AM =KM =3OM ,所以AO =4OM =3,所以OM =34,所以OK =32.综上,OK 的长为3-32或3+32或32.为什么没有讨论HO =HK 呢?实际上若HO =HK ,则∠HOK =∠HKO =30°,而∠HAO =30°,显然矛盾,因此舍去了.类型三 旋转变换中的等腰三角形3.如图3-1,在平面直角坐标y =-2x -2与x轴交于点A ,与y 轴交于点C ,直线y -2与x 轴交于点B ,点E 是点A 关于y 轴的对称点,连接CE ,将△BCE 绕点E 旋转,旋转后点B ,C 的对应点分别为点B′,C′,在旋转过程中,直线B′C′与x 轴交于点M 、与直线BC 交于点N.当△BMN 是以MN 为腰的等腰三角形时,求BM 的长度.图3-1解析 在直线BC 绕点E 旋转的过程中,点E 到直线BC 的距离保持不变,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,以点E 为圆心,EH 的长为半径作圆,记r =EH =3-12,则直线B′C′始终保持与☉E 相切,而∠MBN =30°不变.在旋转过程中,利用∠MNB 与∠NMB 的变化趋势确定所在位置.利用这个方法,不容易漏掉某些存在的情况,能帮助我们找出所有的解.①如图3-2,记此时的M ,N 为M 1,N 1,∠M 1N 1B =∠M 1BN 1=30°,所以∠EM 1N 1=60°,图3-2所以r EM 1=32,EM 1=2-33,所以BM 1=231-2-33=733-3.②如图3-3,记此时的M ,N 为M 2,N 2,∠M 2N 2B =∠M 2BN 2=30°,图3-3解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA员猿远 数学学习与研究 2022.12所以r EM 2=32,EM 2=2-33,所以BM 2=23-1+2-33=533+1.③如图3-4,记此时的M ,N 为M 3,N 3,∠N 3M 3B =∠M 3BN 3=30°,图3-4所以EM 3=2r =23-1,所以BM 3=23-1+23-1=43-2.综上,BM 的长为733-3或533+1或43-2.4.如图4-1,四边形OABC 是边长为6的正方形,点P为OA 边上任意一点(与点O ,A 不重合),连接CP ,若OP =23,把△OCP 绕点O 顺时针旋转一周的过程中,设旋转后的三角形为△OC′P′,直线C′P′与直线OB 的交点为Q ,当△OP′Q 为等腰三角形时,写出点Q 的坐标,并说明理由.图4-1解析由题可知,∠PCO =30°,∠COP =90°,在Rt △OCP 旋转的过程中,角度和边长均不发生变化,又OP =23,OC =6,从而点O 到线段CP 的距离不变,设点O 到线段CP 的距离为r ,则r =3.以点O 为圆心,r 为半径作圆,则在旋转过程中,CP 始终与☉O 相切,利用旋转过程中OQ 的长度变化趋势以及Q 点位置变化确定Q 点大致位置,再利用△OP′Q 为等腰三角形及∠AOB =45°,计算出Q 点的坐标.①如图4-2,记此时的P′,C′,Q 为P′1,C′1,Q 1,因为OP′1=OQ 1=23,∠AOB =45°,所以x Q1=y Q 1=232=6,所以Q 1(6,6).图4-2②如图4-3,记此时的P′,C′,Q 为P′2,C′2,Q 2,因为∠OP′2C′2=60°,所以∠Q 2P′2O =120°.图4-3又P′2O =P′2Q 2=23,所以OQ 2=OC′2=23×3=6,x Q 2=y Q 2=-62=-32,所以Q 2(-32,-32.③如图4-4,记此时的P′,C′,Q 为P′3,C′3,Q 3,因为OP′3=OQ 3=23∠Q 3P′3O =60°,所以此时的△Q 3P′3O 为等边三角形,当然,不难算出x Q 3=y Q3=-232=-6,所以Q 3(-6,-6).图4-4图4-5④如图4-5,记此时的P′,C′,Q 为P′4,C′4,Q 4,因为∠OP′4C′4=60°,所以∠Q 4P′4O =120°.又P′4O =P′4Q 4=23,所以OQ 4=OC′4=23×3=6,x Q 4=y Q 4=62=32,所以Q 4(32,32).综上,点Q 的坐标为(6,6)或(-32,-32)或(-6,-6)或(32,32).通过上面的例题,我们总结经验,发现等腰三角形的存在性问题找对、找全并不是太难,关键在于找到其中不变的量以及变化的量的变化趋势,同时要有克服困难的勇气,不断尝试突破,找到一些规律,也就慢慢熟练解题了.【参考文献】[1]刘正荣,董建功.关于等腰三角形存在性问题的解题策略初探[J ].中小学数学(初中版),2012(5):34-36.[2]于芸.等腰三角形存在性问题的解题策略[J ].中学数学研究(华南师范大学版),2013(20):34-35.[3]左效平.例析一次函数图像截出的等腰三角形问题[J ].初中数学教与学,2016(15):33-35.。
(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题
一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题)1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2,3），B（4，3),C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形,则满足条件的点C共有（)A．2个B．3个C．4个D．6个2．(2008•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4,0),B(2，0)，若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上,且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2016•江宁区一模)已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和(2,0)，在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题）4．（2015•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中,点A（﹣4，0)，B（2，0）,设点C是函数y=﹣（x+1)图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形,则点C的坐标是．5．（2009秋•南昌校级期末）在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1，2）、（0，0）、（3，0)，若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D的坐标应为．6．（2009秋•扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C(2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．7．（2010春•江岸区期中)一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为．三．解答题(共14小题）8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC,求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B,在第一象限是否存在点P，使以A,B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．10．(2012秋•中山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8）,直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；(1）求直线AB的解析式；(2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标;若不存在，请说明理由．11．(2011秋•东城区期末）如图，四边形OABC的顶点A（0,4），B（﹣2,4），C(﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．探究:当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合),在直线AB上是否存在P,使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在，请说明理由．12．（2005•大连）如图,P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．13．（2014春•曲靖期末）如图，直线y=﹣x+6与坐标轴分别相交于点A、B．（1）求A、B两点坐标；（2）以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；（3）在坐标系中是否存在点M，使得以M、O、A、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2014秋•长兴县期末)如图，在平面平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B,点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．（1）填空：线段OA的长为;线段OB的长为；(2）求点C的坐标；（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2012秋•淮安校级期末）在直角坐标系中，有A(﹣1，1)，B（3，1)，C(2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．21．（2013秋•丽水期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（，0），点B（0，)．（1）求直线l的函数解析式；（2）若给定点M（5，0)，存在直线l上的两点P,Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP 全等，请求出所有符合条件的点P的坐标．参考答案一．选择题(共3小题）1．B; 2．D；3．D;二．填空题（共4小题）4．(-4,3），（2，-3），（-，），（，—）；5．（4，2）或（-2,2）或(2，—2）；6．（-2,3）或（6，3）或（0，—3）；7．(2，3）或(-6，3）或（4，—5)；。
一次函数与等腰三角形存在性问题
每日一题 079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．可求325:48PEl y x=-+，∴25(,0)6P．图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P ，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P 的坐标为(x , 0)，其中x ＞0，然后表达△DOP 的三边长（的平方）． DO 2＝52，OP 2＝x 2，PD 2＝(x －3)2+42．①当DO ＝DP 时，52＝(x －3)2+42．解得x ＝6，或x ＝0．当x ＝0时既不符合点P 在x 轴的正半轴上，也不存在△DOP ．②当OD ＝OP 时，52＝x 2．解得x ＝±5．当x ＝－5时等腰三角形DOP 是存在的，但是点P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO ＝PD 时，x 2＝(x －3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x 轴和OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷ 如图2-1，直线3y x =+与y 、x 轴相交于点A 、C ，动点P 以1个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CO 向点O 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动的过程中，当△PCQ 为等腰三角形时，求t 的值．图2-1【解析】在P 、Q 两点移动的过程中，△PCQ 的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边CQ ＝t ，CP ＝6－t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要在∠PCQ 的边上取点P 或Q 画圆．图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2，当CP ＝CQ 时，t ＝6－t ，解得3t =(秒).②如图2-3，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 1622t PC -==. 在Rt △QMC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CQ =，62tt -=，解得3t =-(秒). ③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则1122CN CQ t ==. 在Rt △PNC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CP =，62tt -=，解得9t =-秒).例❸ 如图3-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图3-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D(2, 4－m)．于是我们可以表达出△APD 的三边长（的平方）：22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图3-2）． ②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-． 解得43m =（如图3-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．解得23m=（如图3-4）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图3-2 图3-3 图3-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图3-3，当P A＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.。
一次函数之等腰三角形的存在性 (习题及答案).
一次函数之等腰三角形的存在性（习题）➢复习巩固
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+m 与y=nx+6 交于点A，
两直线与x 轴分别交于点B(-1，0)，C(4，0)．
（1）求点A 的坐标；
（2）若P 是x 轴上一动点，当△AOP 是等腰三角形时，点P 的坐标为．
2.如图，直线y =4
x + 2 与y 轴交于点A，与直线x=3 交于点B，3
点P 为直线x=3 上一点，当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为．
3.如图，直线y=2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，在直线
y=2 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1 与x 轴、y 轴分别交
于点A，B，点C(1，m)为直线y=x+1 上一点，直线y =-1
x +b
2
过点C，与x 轴交于点D．
（1）求m，b 的值，及点D 的坐标；
（2）若P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P，使△ADP是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
13 2 2 【参考答案】
1. （1）点 A 的坐标为(2，3)；
（2）( - ，0)，( ，0)，(4，0)或( 13
，0)．
4 2. (3，11)，(3，1)，(3，-2)，(3， 23 )． 8
3. 存在，点 P 的坐标为(-6，2)，(2，2)，(-4，2)，(4，2)．
4. （1）m =2，b = 5 ，点 D 的坐标为(5，0)；
2
（2）存在，点 P 的坐标为：
(3 -1，3 2) ， (-3 -1，- 3 2) ，(5，6)，(2，3)．
13。
第四章一次函数-一次函数与等腰三角形(教案)
（3）培养学生的空间想象力和几何直观。
举例：在教学过程中，通过画图、举例子等方式，帮助学生建立空间观念，提高对等腰三角形和一次函数图像的理解。
（4）指导学生掌握合作交流、自主探究的学习方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.在实践活动和小组讨论中，关注学生的个体差异，给予他们更多的指导和鼓励，使每个学生都能参与到课堂讨论中来。
3.课后及时进行教学反思，调整教学策略，以提高教学效果。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对一次函数与等腰三角形的联系表现出浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过提问方式引起学生的好奇心，他们能够积极参与课堂讨论，这是一个很好的开始。
在讲授新课内容时，我尽量用简单明了的语言解释一次函数与等腰三角形的内在联系，让学生们能够更好地理解这两个概念。同时，通过案例分析，让学生们看到一次函数在解决实际问题时的重要作用。在此过程中，我发现有些学生对一次函数图像的对称性质掌握不够牢固，需要我在课堂上进一步强调和解释。
举例：讲解一次函数y=kx+b（k≠0）的图像在坐标系中的对称性，引导学生发现等腰三角形的轴对称性质。
（2）运用一次函数解决与等腰三角形相关的实际问题，如求解等腰三角形的面积、周长等。
初中数学课件一次函数中三角形的存在性问题
求出的值，并求此时点的坐标；若不能，请说明理由.
课堂小结
等腰三角形的存在性：两圆加一中垂线，记得去掉共线点.
知识讲解
直角三角形的存在性
关联知识点
1
尺规作图：作弧
2
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
知识讲解
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
△ 为直角三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
课堂小结
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
原题证明
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
△ 为等腰三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
原题证明
如图，点坐标为（4,0），点在第一象限，且在直线 = − + 5上，
此时，2 = = 4 − (−3) = 7，点2 在第一象限，离轴的距离为7，离
轴的距离为4，∴ 2 (4, 7)；
③当∠3 是直角时，∵∠ = 45∘
∴此情况不存在，应舍去
综上所述，当取0.5或4时，△ 是直角三角形．
应用练习
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
当 = 时，3 点的坐标为(2, 0)，
当 = 时，4 点的坐标为(0, 0)，
综上所述，点的坐标为(2 2 − 2, 0)，(−2 2 − 2, 0)，(2, 0)，(0, 0)．
应用练习
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与轴交于点
(−3, 0)，与 轴交于点 ，且与正比例函数 = 的图象交点为(3, 4)．求：
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
一次函数之存在性问题培优专题
第九讲一次函数之存在性问题一、知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①研究背景图形，把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．3.不变特征举例：①等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置．②等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．③全等三角形找准目标三角形，根据目标三角形的特征确定分类标准，利用对应关系确定点的位置．二、精讲精练1. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，在第一象限是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yxO BAyxO BA2. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB . （1）求点B 的坐标和k 的值．（2）若点A 是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．CBO yAxCBO yAx3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OC ，OA 分别与x 轴、y轴重合，AB ∥OC ，∠AOC =90°，∠BCO =45°，BC =2，点C 的坐标为(-9，0)． （1）求点B 的坐标．（2）如图，直线BD 交y 轴正半轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式． （3）若点P 是（2）中直线BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．DCBOy A xDCBOy A x4. 如图，直线y =kx +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，34OB OA ，点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．B OyAxB OyAx5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， P (x ，y )是直线122y x =+上的一个动点（点P 不与点A 重合）．过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．BOy AxBOy Ax。
一次函数与等腰直角三角形
一次函数与等腰直角三角形1，如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），则B点的坐标是________．2，如图1,把一块等腰直角三角尺放入一个固定的“U”型槽ADEB中,使三角尺的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动,已知.(1)在滑动过程中,与是否全等?请说明理由.(2)在滑动过程中,四边形ABED的面积是否发生变化?为什么?(3)利用(1)中所得结论,尝试解决下列问题:如图2,已知直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线绕着A点顺时针旋转得到直线,试求直线的函数解析式.3，已知直线与y轴交于点A,将直线绕A点顺时针旋转至,求的解析式.4，【模型建立】(1)如图1,等腰直角三角形ABC中,,,直线ED经过点C,过A作于点D,过B作于点E.求证:;【模型应用】(2)①已知直线与坐标轴交于点A、B,将直线绕点A逆时针旋转至直线,如图2,求直线的函数表达式;②如图3,长方形ABCO,O为坐标原点,点B的坐标为,点A、C分别在坐标轴上,点P是线段BC上的动点,点D是直线上的动点且在第四象限.若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.5，如图①,四边形OACB为长方形, , ,直线l为函数的图象.(1)点C的坐标为(2)若点P在直线l上, 为等腰直角三角形, ,求点P的坐标; 小明的思考过程如下:第一步:添加辅助线,如图②,过点P作轴,与y轴交于点N,与AC的延长线交于点M;第二步:证明;第三步:设,列出关于m的方程,进而求得点P的坐标.请你根据小明的思考过程,写出第二步和第三步的完整解答过程;(3)若点P在直线l上,点Q在线段AC上(不与点A重合), 为等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.6，如图1，在平面直角坐标系中，A（，0），B（0，），且、满足.（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求的值. （3）如图3过点A的直线交轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值。
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一次函数与三角形存在性问题
相关知识点
1 %两点距离公式3（兀2，旳），则AB二____________________
2、等腰三角形相关性质及作法
3、对于一次函数y二kx+b （k=#0）
①当k> 0时，y随x的增大而_____________ ,向 _______
当k<0时，y随x的增大而_____________ o向 ________
②|刈越—，倾斜角度越_________ o直线y二x,与x轴夹角为 ______ , y-V3x,与x轴正方向
夹角为______ , 丫二牛、与x轴正方向夹角为 _________
③ _____________________________________________ 经过点（0, k）且平行于x轴的直线叫做直线_______________________________________________ ,经过点（k , 0）且平行于y轴的直
线叫做直线______
④对于直线厶:丁二心兀+也和厶:y = k2x-^-b2
当l x//l2时， ________；当厶丄&时，__________ •
⑤若3（兀2，夕2），则直线AB的斜率P肋二 ______
若直线斜率k二3,且过点（1,4）,则直线解析式为
类型一、等腰三角形存在性
如图，直线歹=』3兀+ 2与x轴、y轴分别交于A, B两点,
例1・点P是X轴上的动点, 3
若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________
例2、如图，直线y二x+3与y轴交于点A,与直线x二1交于点B,点P是直线x二1上的动点, 若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________
例3、如图，直线h： y—x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直3线I2： y= - -x+b经过点C,且与直线h交于点D,与y轴交于点E,连结AE. 4
(1) 当点C的坐标为(2, 0)时,
①求直线J的函数表达式;
②求证：AE平分ZBAC；
(2) 问：是否存在点C,使AACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
类型二、等腰直角三角形存在性
例4、(1)模型建立：如图(1),等腰三角形ABC中，ZACB二90° , CB二CA,直线ED经过
点C,过A作AD丄ED于D,过B作BE丄ED于E.求证△ BEC^ACDA;
(2)模型应用：
①已知直线lF^x+4与y轴交于A点，将直线h绕点A顺时针旋转45°至12,求I?的函数解析式;
②如图3,矩形ABCO, 0为坐标原点，B的坐标为（8, 6） , A, C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC二m,已知点D在第一象限，且是直线y二2x-6上的一点，若Z\APD是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标.
图1 图2 图3
例5、如图，点M是直线y二2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N,在y轴的正半轴上求点P,使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ___________ •
练习：
3
1、如图，直线y = + 3与x轴、y轴分别交于A, B两点，点P是线段AB上的动点,
4
2、如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B (0, 3)、C (0, -1)
两点，且ZABC二30° , AC丄AB 于 A.
(1) 求线段A0的长，及直线AC的解析式；
(2) 若点D在直线AC上，且DB二DC,求点D的坐标；
(3) 在(2)的条件下，直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
3、直线严卜+ ®轴，y轴分别交于A,B两点，C是第二象限点，则使8BC是等腰直角三角形的C点坐标是___________________________________
4、如图1,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A (5, 5)为第一象限内一点，点B 在x轴正半轴上，且ZAOB二45° , 0A二0B.
(1) 求点B的坐标；
(2) 动点P以每秒2个单位长度的速度，从点0出发，沿x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，AABP的面积为S,请用含有t的式子表示S (SfO),并直接写出t的取值范围；
(3) 如图2,在(2)的条件下，点D坐标为(2, 0),连接AD, AK丄AD,过点B作x轴的垂线交AK于点K,过点A作x轴的平行线a,在点P的运动过程中，直线a上是否存在一点R,使ADKR是以PR 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由.。