培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性.docx
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一次函数与三角形存在性问题
相关知识点
1 %两点距离公式3(兀2,旳),则AB二____________________
2、等腰三角形相关性质及作法
3、对于一次函数y二kx+b (k=#0)
①当k> 0时,y随x的增大而_____________ ,向 _______
当k<0时,y随x的增大而_____________ o向 ________
②|刈越—,倾斜角度越_________ o直线y二x,与x轴夹角为 ______ , y-V3x,与x轴正方向
夹角为______ , 丫二牛、与x轴正方向夹角为 _________
③ _____________________________________________ 经过点(0, k)且平行于x轴的直线叫做直线_______________________________________________ ,经过点(k , 0)且平行于y轴的直
线叫做直线______
④对于直线厶:丁二心兀+也和厶:y = k2x-^-b2
当l x//l2时, ________;当厶丄&时,__________ •
⑤若3(兀2,夕2),则直线AB的斜率P肋二 ______
若直线斜率k二3,且过点(1,4),则直线解析式为
类型一、等腰三角形存在性
如图,直线歹=』3兀+ 2与x轴、y轴分别交于A, B两点,
例1・点P是X轴上的动点, 3
若使AABP为等腰三角形,则点P的坐标是___________
例2、如图,直线y二x+3与y轴交于点A,与直线x二1交于点B,点P是直线x二1上的动点, 若使AABP为等腰三角形,则点P的坐标是___________
例3、如图,直线h: y—x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点,点C为x轴上任意一点,直3线I2: y= - -x+b经过点C,且与直线h交于点D,与y轴交于点E,连结AE. 4
(1) 当点C的坐标为(2, 0)时,
①求直线J的函数表达式;
②求证:AE平分ZBAC;
(2) 问:是否存在点C,使AACE是以CE为一腰的等腰三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
类型二、等腰直角三角形存在性
例4、(1)模型建立:如图(1),等腰三角形ABC中,ZACB二90° , CB二CA,直线ED经过
点C,过A作AD丄ED于D,过B作BE丄ED于E.求证△ BEC^ACDA;
(2)模型应用:
①已知直线lF^x+4与y轴交于A点,将直线h绕点A顺时针旋转45°至12,求I?的函数解析式;
②如图3,矩形ABCO, 0为坐标原点,B的坐标为(8, 6) , A, C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC二m,已知点D在第一象限,且是直线y二2x-6上的一点,若Z\APD是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.
图1 图2 图3
例5、如图,点M是直线y二2x+3在第二象限上的动点,过点M作MN垂直x轴于点N,在y轴的正半轴上求点P,使△MNP为等腰直角三角形,请写出符合条件的点P的坐标 ___________ •
练习:
3
1、如图,直线y = + 3与x轴、y轴分别交于A, B两点,点P是线段AB上的动点,
4
2、如图,在平面直角坐标系中,过点A的两条直线分别交y轴于B (0, 3)、C (0, -1)
两点,且ZABC二30° , AC丄AB 于 A.
(1) 求线段A0的长,及直线AC的解析式;
(2) 若点D在直线AC上,且DB二DC,求点D的坐标;
(3) 在(2)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
3、直线严卜+ ®轴,y轴分别交于A,B两点,C是第二象限点,则使8BC是等腰直角三角形的C点坐标是___________________________________
4、如图1,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A (5, 5)为第一象限内一点,点B 在x轴正半轴上,且ZAOB二45° , 0A二0B.
(1) 求点B的坐标;
(2) 动点P以每秒2个单位长度的速度,从点0出发,沿x轴正半轴匀速运动,设点P的运动时间为t秒,AABP的面积为S,请用含有t的式子表示S (SfO),并直接写出t的取值范围;
(3) 如图2,在(2)的条件下,点D坐标为(2, 0),连接AD, AK丄AD,过点B作x轴的垂线交AK于点K,过点A作x轴的平行线a,在点P的运动过程中,直线a上是否存在一点R,使ADKR是以PR 为腰的等腰直角三角形?若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.