培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性.docx

一次函数与三角形存在性问题

相关知识点

1 %两点距离公式3（兀2，旳），则AB二____________________

2、等腰三角形相关性质及作法

3、对于一次函数y二kx+b （k=#0）

①当k> 0时，y随x的增大而_____________ ,向 _______

当k<0时，y随x的增大而_____________ o向 ________

②|刈越—，倾斜角度越_________ o直线y二x,与x轴夹角为 ______ , y-V3x,与x轴正方向

夹角为______ , 丫二牛、与x轴正方向夹角为 _________

③ _____________________________________________ 经过点（0, k）且平行于x轴的直线叫做直线_______________________________________________ ,经过点（k , 0）且平行于y轴的直

线叫做直线______

④对于直线厶:丁二心兀+也和厶:y = k2x-^-b2

当l x//l2时， ________；当厶丄&时，__________ •

⑤若3（兀2，夕2），则直线AB的斜率P肋二 ______

若直线斜率k二3,且过点（1,4）,则直线解析式为

类型一、等腰三角形存在性

如图，直线歹=』3兀+ 2与x轴、y轴分别交于A, B两点,

例1・点P是X轴上的动点, 3

若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________

例2、如图，直线y二x+3与y轴交于点A,与直线x二1交于点B,点P是直线x二1上的动点, 若使AABP为等腰三角形，则点P的坐标是___________

例3、如图，直线h： y—x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直3线I2： y= - -x+b经过点C,且与直线h交于点D,与y轴交于点E,连结AE. 4

(1) 当点C的坐标为(2, 0)时,

①求直线J的函数表达式;

②求证：AE平分ZBAC；

(2) 问：是否存在点C,使AACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

类型二、等腰直角三角形存在性

例4、(1)模型建立：如图(1),等腰三角形ABC中，ZACB二90° , CB二CA,直线ED经过

点C,过A作AD丄ED于D,过B作BE丄ED于E.求证△ BEC^ACDA;

(2)模型应用：

①已知直线lF^x+4与y轴交于A点，将直线h绕点A顺时针旋转45°至12,求I?的函数解析式;

②如图3,矩形ABCO, 0为坐标原点，B的坐标为（8, 6） , A, C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC二m,已知点D在第一象限，且是直线y二2x-6上的一点，若Z\APD是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标.

图1 图2 图3

例5、如图，点M是直线y二2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N,在y轴的正半轴上求点P,使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ___________ •

练习：

3

1、如图，直线y = + 3与x轴、y轴分别交于A, B两点，点P是线段AB上的动点,

4

2、如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B (0, 3)、C (0, -1)

两点，且ZABC二30° , AC丄AB 于 A.

(1) 求线段A0的长，及直线AC的解析式；

(2) 若点D在直线AC上，且DB二DC,求点D的坐标；

(3) 在(2)的条件下，直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

3、直线严卜+ ®轴，y轴分别交于A,B两点，C是第二象限点，则使8BC是等腰直角三角形的C点坐标是___________________________________

4、如图1,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A (5, 5)为第一象限内一点，点B 在x轴正半轴上，且ZAOB二45° , 0A二0B.

(1) 求点B的坐标；

(2) 动点P以每秒2个单位长度的速度，从点0出发，沿x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，AABP的面积为S,请用含有t的式子表示S (SfO),并直接写出t的取值范围；

(3) 如图2,在(2)的条件下，点D坐标为(2, 0),连接AD, AK丄AD,过点B作x轴的垂线交AK于点K,过点A作x轴的平行线a,在点P的运动过程中，直线a上是否存在一点R,使ADKR是以PR 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由.