1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要

求做第七题）

一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.

解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a

则.42,222

2

πππππa a a a r a r =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅==体积

3．求函数)2lg(x y +=的定义域

解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

2

2 5.化简： 二 .（本题满分14分）

已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指

.254:.)()1.0()4(41 2

1

2

14323

12

1b b a ab =

⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛----原式解

出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图

解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=

k

2;

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=

k

2，半短轴=2

如图：

2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y

如图 3）k<0时，方程为

这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：

三．（本题满分14分）

（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C

Y Y Y

k=2 A k=1 (0,2) k=1/4

O A X O B X O X

Y Y

y=2 k=-4 A O O X B X y=-2

1

442

2=+-y k x

点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△

ADC

∴CM=CD 同理CN=CD ∴

CD=CM=CN

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD

∴CD 2=AM ·BN

四．（本题满分12分）

18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.

log 59log 5log 9log 45.

log 182log 18log 22b b a a b a b

a

=≠==∴=⋅++=

==⋅+-Q 已知求解

五．（本题满分20分）

已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于34求三角形各边a ,b,c

的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）

M C N

A B D

212:1802.60,1202 3 (1)

tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)(-1-3)(3)3 3. (2)(1)(2)tgA,tgC x (33)230.:1,23,1,2 3.45,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+=-=+-+++===+<==+∴=︒Q 解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045754343

43,8;46;

sin 60sin 45cos 45cos 6043 4.

c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴=

===︒︒

=+=︒+︒=+又知上的高等于

六．（本题满分20分）

22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.

3

3sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..

2

sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.

1

sin ()

3

sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.

2

ααααπ

αβ=+==∴+=

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？

2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论

3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任

.

2

2:0,

2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知