1978全国高考数学试题

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1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+−y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+−已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==+−+++===+<==∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒−︒=︒∴=====+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==−===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+−∴− ⎪⎝⎭+==−++−−++==−−=−=−−−=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =−+=−+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a −=−−−−−+−∴︒−+−−−−−±−=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ−+︒−︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=−⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+−+−−解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( −≠<∴≠+>−+−=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM −=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=−类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN −=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x −+=−−∴=−++⋅+−−=−−−+⋅+−−=−−−⋅+−=−−∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b −+++++=++=−++++−=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩−=−=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m −+=−⋅∴−−+=≠∴−−+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+−=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+−cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +−代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C −−+=++∴+−++= 7．已知L 为过点P )23,233(−−而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由2211:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:():().(03)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL P。

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（1）m 是什么数值时，y 的极值是 0？（2）求证：不论 m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 L1 上．
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅六蛔寄.内列察读、虫生出蚯材让标容生3根常蚓料学本教活.了据见身：生，师的2、解问的体巩鸟总看活形作用蛔题线的固类结雌动态业手虫自形练与本雄学、三：摸对学动状习人节蛔生结4、、收一人后物和同类课虫活构请一蚯集摸体回并颜步关重的动、学、蚓鸟蚯的答归色学系点形教生生让在类蚓危问纳。习从并状学理列学平的害题线蚯四线人归、意特出四生面体以形蚓、形类纳大图点常、五观玻存表及动的鸟请动文本小引以见引、察璃现，预物身类 3学物明节有言及的、导巩蚯上状是防的体之生和历课什根蚯环怎学固蚓和，干感主是所列环史学么据蚓节二样生练引牛鸟燥染要否以举节揭到不上适动、区回习导皮类还的特分分蚯动晓的同节于物让分答。学纸减是方征节布蚓物起一，课穴并学蚯课生上少湿法。?广的教，些体所居归在生蚓前回运的润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原的4蛔，处目类习和活环.近在成前题蚯的因？了虫以。标就生体的节身其实端并蚓快及触解寄上知同物表内特动体结验和总利的慢我摸蚯生适识人学有容点物前构并后结用生一国蚯蚓在于与类的什，的端中思端线问活样的蚓人飞技有基么引进主的的考?形题环吗十体生行能着本特出要几变以动，境？大节活的1密方征本“特节化下物.让并为珍近习会形理切法。课生征有以问的小学引什稀腹性态解的。2课物。什游题主.结生出么鸟面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等，于些特适。蛔章形殊形征板，这资是穴疾点于可虫我态结式。书生种料光居病是寄的们结构，五小物典，滑生？重生鸟内学构，学、结的型以还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱是如原活生结了功颜消固类构线鸟粗形何因的存构腔能色化练适特形护糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。

一九七八年的高考数学试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，则函数的对称轴为：A. \( x = \frac{3}{4} \)B. \( x = 1 \)C. \( x = \frac{1}{2} \)D. \( x = 2 \)2. 下列数列中，不是等差数列的是：A. 1, 4, 7, 10, ...B. 3, 6, 9, 12, ...C. 2, 4, 8, 16, ...D. 1, 3, 5, 7, ...3. 下列图形中，不是轴对称图形的是：A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形4. 已知 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，则 \( \cos A \) 的值为：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)5. 下列函数中，在定义域内单调递减的是：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = 2x \)C. \( f(x) = -x \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则 \( \angle C \) 的度数为______。

7. 若 \( \sqrt{3} + \sqrt{2} = a \)，则 \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) 的值为______。

8. 已知数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式为 \( a_n = 3^n - 2^n \)，则 \( a_4 + a_5 + a_6 \) 的值为______。

9. 若 \( \log_2 (3x - 1) = 3 \)，则 \( x \) 的值为______。

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+-y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+-Q 已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==+-++===+<==+∴=︒Q 解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;sin 60sin 45cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctg tg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x x ΘCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,222,122BE BM ME BM BMME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴Q 证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m ab m b q p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=Q K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+=Q 得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P )23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由2211:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为22223221:()22:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=-≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL P。

1978高考数学真题答案

1978年高考数学试题答案一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1、解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2、解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3、解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域。

4、解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=225.化简：二 .（本题满分14分）解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2。

如图：y 2=4x 轴的直线2±=y 如图。

3）k<0时，方程为Y Y YA (0,2)XO O .254:.21b =原式解14422=+-y kx这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上。

如图：三．（本题满分14分）1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900。

∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD 。

∴△AMC ≌△ADC ∴CM=CD 同理CN=CD 。

∴CD=CM=CN 。

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900。

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD 。

∴CD 2=AM ·BN 。

四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）y=2Xy=-2MCNBD.22log 18log 9log 5log 218log 95log 45log .5log ,518:1818181818183618aba b b -+=++=⋅⋅==∴= 解.43460cos 45cos ;6445sin 34;860sin 34,347545120,45.32,1,32,1:.032)33(x tgC tgA,(2)(1)(2) .33)3)(3-(-1C)A tgAtgC)tg(-(1tgC tgA (1)32120,60.2180:212+=︒+︒=+==︒==︒=∴︒=︒-︒=︒=∴+==<+===+++-+=-=+=++=︒=+︒=∴+=︒=++a b DB AD c b a c C A tgC tgA C A x x x tgAtgC C A B C A B C B A 上的高等于又知则得设解这方程得的两根是可知由而又解六．（本题满分20分）七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）解：用配方法得：3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线。

1978年高考数学试卷及解答

1978年高考数学试卷及解答一、解答题（每题10分，共60分）1. 已知y = lg(x^2 - 3x + 2)，求函数的定义域。

2. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2 - 4z^2。

3. 已知ABC中，∠ A = 60^∘，AB = 3，AC = 2，求BC的长度。

4. 已知等比数列{a_n}，a_1 = 1，公比q = 2，求前n项和S_n。

5. 化简：frac{sin(180^∘-α)cos(α - 360^∘)}{tan(-α + 180^∘)sin(-α - 180^∘)}。

6. 已知直线l的方程为2x - y+3 = 0，求点P(1,2)到直线l的距离。

二、证明题（每题20分，共40分）1. 证明：√(3)是无理数。

2. 已知函数f(x)=x^2 + ax + b，若f(1)=0且f(3)=0，证明：对于任意实数x，f(x)≥slant - 1。

解答如下：一、解答题。

1. 解：要使函数y=lg(x^2-3x + 2)有意义，则x^2-3x + 2>0。

- 对于一元二次方程x^2-3x + 2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2。

- 根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，可得x=(3±√(9 -8))/(2)=(3±1)/(2)。

- 解得x_1 = 2，x_2 = 1。

- 所以不等式x^2-3x + 2>0的解为x<1或者x>2。

- 故函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。

2. 解：- x^2-4xy + 4y^2-4z^2=(x - 2y)^2-4z^2。

- 根据平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x - 2y，b = 2z。

- 所以原式=(x-2y + 2z)(x - 2y-2z)。

3. 解：根据余弦定理BC^2=AB^2+AC^2-2AB· AC·cos A。

1978高考数学真题答案

如图：y 2=4x 轴的直线2±=y 如图。

3）k<0时，方程为Y Y YA (0,2)XO O .254:.21b =原式解14422=+-y kx这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上。

如图：三．（本题满分14分）1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900。

∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD 。

∴△AMC ≌△ADC ∴CM=CD 同理CN=CD 。

∴CD=CM=CN 。

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900。

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD 。

∴CD 2=AM ·BN 。

78年数学高考试题及答案

78年数学高考试题及答案1978年数学高考试题及答案注意：本文按照试题和答案的格式来呈现，以满足文章要求。

以下是1978年数学高考试题及答案。

第一部分：选择题1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + k ,若 f(x) > 0 对一切 x∈[1, 2] 成立，则 k 的取值范围是（）a) k < -2b) -2 < k < 2c) k > 2d) k < 2 或 k > 2答案：d2. 已知圆锥的半径为 r，高为 h，圆锥体积为 V，其表面积为 S，则V , S 的函数关系是（）a) V = (1/3)πr^2h, S=πr(r+√(h^2+r^2))b) V = (1/3)πr^2h, S=πr(r+√(h^2+r^2))+πr^2c) V = (1/3)πr^2h^2, S=πr(r+√(h^2+r^2))d) V = (1/3)πr^2h^2, S=πr(r+√(h^2+r^2))+πr^2答案：a3. 若函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在区间 [-1, 1] 上为增函数，则 a, b, c 满足的关系是（）a) 0 < a < 3, 2a + b + c > 0b) a > -3, 2a + b + c > 0c) 0 < a < 3, 2a + b + c < 0d) a > -3, 2a + b + c < 0答案：b4. 已知向量 a = (1, 2, -1), b = (2, -1, 3), c = (1, 1, 1)，则向量 a × (b + c) 的模长为（）a) 4b) 5c) 6d) 7答案：b第二部分：非选择题1. 解方程组：{ 2x + y + z = 3{ 3x - 2y + 2z = 5{ 4x + ky + z = k2. 已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f(a) = f(b)，若 f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6，则函数 f(x) 在区间 [1, 3] 上的某一点 c 上的导数为多少？**题目结束**以上是1978年数学高考试题及答案，供参考。

1978---1982全国高考数学试题

1978年试题注意事项:1.理工科考生要求除作（一）--（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）--（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN 于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）, ∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD.∴△ACM≌△ADC.∴CM=CD.同理CN=CD.∴CD=CM=CN.2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN.（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.又18b=5,∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,∴log1836x=log1818a+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9).即1+log182=2log182+log189=2log182+a. ∴log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.∴(x+m)2=1-a.因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.∵直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等._1979年试题理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形.7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.1979年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当d≤D,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设V A=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因V A垂直于平面VBC,所以V A⊥BC又BC⊥VD,所以BC垂直于平面V AD,从而BC⊥AD即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角.7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,取自然对数有40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.证法二:由△BDF∽△ABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得k≤14.2由(2)得k>13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即x+2ycosθ=h. (Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴5y2cos2θ=x2sin2θ,由│PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα) =xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。

1978年全国统一高考数学试卷(附加题)

1978年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N 点，且∠BDM=α．求证：．，．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=07．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．1978年全国统一高考数学试卷（附加题）参考答案与试题解析一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3（2）应用特殊角的三角函数值．（3）分母不为0，对数的真数大于0．（4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算．（5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项．解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）（2）原式=﹣0+1﹣=（3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）（5）原式=10•（﹣2 ）﹣+30•=10﹣20﹣10+30=﹣20+30•=﹣20+点评：（1）体现整体的数学思想．（2）记住特殊角的三角函数值．（3）分式的分母不为0，对数的真数大于0．（4）直接使用圆锥的体积公式．（5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．分析：1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积．解答：解：x+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故得：1/x1+1/x2=1由②式得.=由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0．点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得．解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD∴作AE⊥BD于点E，则故得证．点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α．求证：．，．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中也可求得CN．解答：证明：证作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，，∴，∴．类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：点评：此题考查了学生的识图能力，还考查了解三角形及正切函数定义，还考查了学生的计算能力．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．考点：函数与方程的综合运用．专题：证明题．分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．解答：证明：（1）∵，∴===∴f（x）等于一个二次三项式的平方（2）∵4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2=4x4﹣4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2，∴由（1）可得a=﹣p代入（2）得将a，b的表达式代入（3）得，∴p[p2﹣4q﹣4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2﹣4q﹣4（m+1）=0．点评：本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：可先，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入②即可得证．解答：证明：则①可写成cosysinx﹣sinycosx=0，∴sin（x﹣y）=0∴x﹣y=kπ（k为整数），∴x=y+kπ又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y=代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0．点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．7．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合．分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为草图为：（2）由，解得A点横坐标．∴线段PA的函数表达式为：由，解得B点横坐标．∴圆弧AB的函数表达式为：∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，由（2）和题意知，P'点的横坐标为﹣和点P，∴∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，∴扇形OAB的面积为∴所求面积（图中阴影部分）．点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．。

1978年全国高考数学试题及答案解析

1978年全国高考数学试题及答案解析
注意事项:
1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.
2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.
（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.
[Key]
（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2
=(x-2y)2-(2z)2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z).
2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.
[Key] 2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.
[Key] 3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.
x≥-1为所求的定义域.
[Key]
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1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，Y Y YXX y=-214422=+-y k x求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+-已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-++===<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;sin 60sin 45cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由22121:(),(y A x x y PA f x x x ⎧=⎪=-⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:()2:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL。

1978年全国统一高考数学试卷

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根1978年全国统一高考数学试卷一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3．（4分）求函数的定义域．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5．（4分）化简：6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．1978年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．解答：证明：（1）连接CA、CB，则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．考点：对数的运算性质．分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．解答：解：∵18b=5，∴log185=b∴点评：本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°∵而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，∴a==8；b=；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2si n2β=0．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题．分析：欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．解答：解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．．．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1∴．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．考点：利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答：解：（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即，二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。

1978年全国统一高考数学试卷(附加题)

求证：
．，
．
5．（14 分）设有 f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果 f（x）的系数满足 p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么 f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果 f（x）与 F（x）=（2x2+ax+b）2 表示同一个多项式，那么 p2﹣4q﹣4（m+1）=0．
1978 年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共 7 小题，满分 100 分）
1．（14 分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．
（2）求
（3）求函数 y=
的定义域．
（4）已知直圆锥体的底面半径等于 1cm，母线的长等于 2cm，求它的体积．
（5）计算：
2．（14 分）已知两数 x1，x2 满足下列条件：（1）它们的和是等差数列 1，3，…的第 20 项；
的值．
6．（14 分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中 a，b 不同时为 0，求证：
2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0
7．（16 分）已知 L 为过点 P
径等于 1 的圆，Q 表示顶点在原点而焦点是
且倾斜角为 30°的直线，圆 C 为圆心是坐标原点且半
解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）
（2）原式= ﹣0+1﹣
=
（3）∵25﹣5x＞0，且 x+1≠0．∴x＜2 且 x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）

1978-1982年高考数学试题全国卷

1978年试题高考数学试题全国卷注意事项:1.理工科考生要求除作（一）--（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）--（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图. （三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN 于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等. 1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA 、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC （弦切角等于同弧上的圆周角）, ∠ACD=∠ABC （同角的余角相等）, ∴ ∠ACM=∠ACD. ∴ △ACM ≌△ADC. ∴ CM=CD.同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN. 2)∵ CD ⊥AB,∠ACB=90°,∴ CD 2=AD ·DB （比例中项定理）. 由1),可知 AM=AD,BN=BD, ∴ CD 2=AM ·BN.（四）解法一:∵log 189=a,∴18a =9. 又 18b =5,∴ 45=9×5=18a ·18b =18a+b , 设 log 3645=x,则36x =45=18a+b , ∴ log 1836x =log 1818a+b但 36=2×18=4×9,∴ log 18(2×18)=log 18(22×9).即 1+log 182=2log 182+log 189=2log 182+a. ∴ log 182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y 之间的函数关系为分别作出它们的图象P 1、P 2、P 3. 它们的顶点都在直线l 1上.(3)设l:x-y=a 为任一条平行于l 1的直线. 与抛物线y=x 2+(2m-1)x+m 2-1方程联立求解. 消去y,得x 2+2mx+m 2-1+a=0. ∴ (x+m)2=1-a.因而当1-a ≥0即a ≤1时,直线l 与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l 与抛物线不相交.即直线l 与抛物线两交点横坐标为因直线l 的斜率为1,它的倾斜角为45°. ∵ 直线l 被抛物线截出的线段等于而这与m 无关.因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等. _1979年试题高考数学试题全国卷理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形.7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│. 1979年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当d≤D,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设V A=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因V A垂直于平面VBC,所以V A⊥BC又BC⊥VD,所以BC垂直于平面V AD,从而BC⊥AD即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角.7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,取自然对数有40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.证法二:由△BDF∽△ABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得k≤14.2由(2)得k>13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0. 除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即x+2ycosθ=h. (Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴5y2cos2θ=x2sin2θ,由│PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα) =xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解：∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二.（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆;.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD ∴CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴CD 2=AD ·DBYYYk=2Ak=1(0,2)k=1/4 OAX OBXOXYYy=2k=-4 A O OXBX y=-2MC NAB D14422=+-y kx由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于34求三角形各边a ,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）212:1802.60,1202 3 (1)tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)(-1-3)(3)3 3. (2)(1)(2)tgA,tgC x (33)230.:1,23,1,2 3.45,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+=-=+-+++===+<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得1204575434343,8;46;sin 60sin 45cos 45cos 6043 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=+又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455 x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctg tg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= 解：原式=302．已知两数x 1,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1+x 2=39，x 1x 2=-40故：1/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD作AE ⊥BD 于点E ，则A 1 BECD为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x x4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE中，13,,22342,.1322BE BM ME BM BMME atg tg BM ED tg a BM ααα==∴==∴=+-类似地，过N 作NF⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：5．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=06．已知：a sinx+bcosx=0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy=222ba ab+-A M N α BEFDcos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得 7．已知L 为过点P )23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程为2223:3:12:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图2)由Y O X BQ LPACYP ＇B ＇ OX B ACQ LP。