第06讲-变化规律(教师版)
新概念英语二.第06讲.教师版
新概念二Lesson 6课堂内容Percy ButtonsI have just moved to a house in Bridge Street. Yesterday a beggarknocked at my door. He asked me for a meal and a glass of beer. Inreturn for this, the beggar stood on his head and sang songs. I gavehim a meal. He ate the food and drank the beer. Then he put a pieceof cheese in his pocket and went away. Later a neighbour told meabout him. Everybody knows him. His name is Percy Buttons. Hecalls at every house in the street once a month and always asks for ameal and a glass of beer.Part 1 New words and expressions 1 beggar n. 乞丐beggar=beg(乞讨)+gar(ar表示人)Let beggars match with beggars. 龙配龙，凤配凤。
Beggars can’t be choosers. 饥不择食。
I beg your pardon?2 ask sb. for sth. 向某人要某物He never asks his parents for money.他从来不向父母要钱。
Are you asking for trouble? 你在找麻烦吗？ask sb. to do sth. 请求/要求某人去做某事ask sb. not to do sth. 请求/要求某人不要去做某事I’m asking you to do me a favor. 我求你来帮帮我。
新高中数学变化规律教案
新高中数学变化规律教案主备教师：XXX教学目标：1. 了解数学变化规律的基本概念和方法；2. 能够通过观察、分析和推理得出数学变化规律；3. 能够应用数学变化规律解决问题。
教学重点：1. 熟悉数列、函数等数学概念；2. 掌握数学变化规律的推理方法；3. 能够灵活运用数学变化规律进行问题求解。
教学难点：1. 理解和掌握数学变化规律的抽象性和逻辑性；2. 能够将所学知识应用到实际问题中。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引入数学变化规律的概念，让学生思考日常生活中的变化规律，并引出本节课要学习的内容。
二、概念讲解（15分钟）1. 数列的概念和表示方法；2. 函数的概念和基本性质；3. 数学变化规律的推理方法和应用。
三、练习与讨论（20分钟）教师出示一些数学变化规律的问题，学生针对每个问题分组讨论并给出自己的解答，教师适时引导学生总结问题解决的方法和规律。
四、拓展应用（15分钟）教师引导学生自主思考，在实际问题中如何应用数学变化规律解决问题，学生进行小组讨论并分享自己的思路和解决方法。
五、总结归纳（5分钟）教师对本节课的内容进行总结归纳，强调数学变化规律的重要性和应用价值。
六、作业布置（5分钟）教师布置相关练习作业，鼓励学生巩固所学知识，并提出疑惑和问题在下节课时进行讨论。
板书设计：数学变化规律- 数列- 函数- 推理方法- 应用教学反思：本节课主要以数学变化规律为核心内容，通过讲解、练习和讨论，帮助学生理解和掌握数学变化规律的基本概念和方法。
在课堂上，教师要注重引导学生自主思考和合作探讨，激发学生的学习兴趣和主动性。
同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，帮助他们将所学知识应用到实际问题中，提高数学应用能力。
第06讲 代数式相关概念(8大考点)(原卷版)
第06讲代数式相关概念（8大考点）考点考向一．代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．二．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．三．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．四．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．五．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．六．整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．七．单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．八．多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式考点精讲一．代数式（共2小题）1．（2021秋•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（）A．x•5B ．﹣ab C．1x D．4m×n 2．（2021秋•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义．二．列代数式（共6小题）3．（2021秋•惠山区期末）某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（用含m的代数式表示）．4．（2021秋•溧水区期末）用代数式表示图中阴影部分的面积．5．（2021秋•宝应县期末）甲超市在中秋节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖，x（单位：kg）表示购买苹果的质量．（1）中秋节这天，小明购买3kg苹果需付款元；购买5kg苹果需付款元；（2）中秋节这天，小明需购买苹果xkg，则小明需付款元；（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，小明如果要购买多少kg苹果时，随便在哪家购买都一样？6．（2021秋•溧阳市期末）为“美丽乡村”建设，某市对市属国道两旁绿化区域进行绿化升级，“阳光”工程队承包了该路段绿化升级工程，原计划每天绿化升级0.5公里，施工开始时，工程队改变计划，实际施工绿化升级是原计划的1.6倍，已知该市需要绿化升级的总长为a公里，完成这项工程的实际时间比原计划时间少用天（用含a的代数式表示）．7．（2021秋•南京期末）小淇同学在元旦晚会上表演了一个节目：他准备了♥（红桃）和♠（黑桃）的扑克牌各10张，洗匀后将这些牌的牌面朝下，排成两列：一列m（m＞10）张，一列（20﹣m）张，他立刻报出长的一列中的♠（黑桃）比短的一列中的♥（红桃）多了张．（结果用含有m的代数式表示）8．（2021秋•如东县期末）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，列式表示这个两位数为．三．代数式求值（共7小题）9．（2021秋•广陵区期末）已知a﹣2b2＝3，则2022﹣2a+4b2的值是（）A．2016B．2028C．2019D．2025 10．（2021秋•江都区期末）已知﹣2x+y＝2，则（2x﹣y）2+2x﹣y﹣3＝．11．（2021秋•溧阳市期末）若2x﹣y＝﹣3，则6﹣4x+2y＝．12．（2021秋•仪征市期末）如图是一个数值运算的程序，若输入的x值为5，则输出的y值为．13．（2021秋•徐州期末）若a﹣2b+1＝0，则代数式3a﹣6b的值为．14．（2021秋•高新区期末）已知关于x的代数式2x2﹣bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，则a+b＝．15．（2021秋•宝应县期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为．四．规律型：数字的变化类（共6小题）16．（2021秋•徐州期末）下列一组数：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，…其中第2022个数是（）A．1B．2C．3D．417．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+...+3100的值时，令S＝1+3+32+ (3100)则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．18．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是．19．（2021秋•连云港期末）观察下列两行数：3，5，7，9，11，13，15，17，19，…．4，7，10，13，16，19，22，25，…．探究发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13，…，若第n个相同的数是1801，则n等于．20．（2021秋•高新区期末）王老师在教学过程中善于把数学知识与实际生活联系在一起．在课堂上，他把全班同学分成五组，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是10、6、7、9、8．游戏规则：当他数完1后，人数最少的那一组学生不动，其他各组各出一个人去人数最少的那组；当他数完2后，此时人数最少的那一组学生不动，其他各组再各出一个人去人数最少的那组；……如此进行下去，那么如果当王老师数完2022后，C 组中的人数是．21．（2021秋•海门市校级月考）如图，数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的式子表示：第n行的最后一个数是，第n行第一个数是，第n行共有数；（3）求第n行各数之和（只需要写出算式）五．规律型：图形的变化类（共6小题）22．（2021秋•建湖县期末）如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（）个图形．A．200B．201C．202D．30223．（2021秋•新吴区期末）由点组成的正方形，每条边上的点数n与总点数s的关系如图所示，则当n＝60时，计算s的值为（）A．220B．236C．240D．21624．（2021秋•宝应县期末）某地铺设矩形人行道，由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．现在街道上铺设一条这样的人行道，一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．25．（2021秋•淮安期末）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成正方形．第90个比第89个多个小正方形纸片．26．（2021秋•秦淮区期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积和周长分别为（）A．16a2和2n+3a B．16a2和2n+4aC．32a2和2n+3a D．32a2和4n a27．（2021秋•泰州期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为6个、11个、18个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是．六．整式（共2小题）28．（2021秋•邗江区校级期中）下列代数式，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2021秋•高港区期中）下列代数式：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个七．单项式（共4小题）30．（2021秋•新吴区期末）单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（）A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5 31．（2021秋•崇川区期末）关于单项式的说法，正确的是（）A．系数为2，次数是2B．系数为，次数是3C．系数为，次数是2D．系数为，次数是332．（2021秋•射阳县校级期末）单项式﹣2πa2bc的次数为．33．（2021秋•建湖县期末）单项式﹣23xy3的次数是．八．多项式（共4小题）34．（2021秋•鼓楼区校级期末）多项式x3﹣4x2y3+26的次数是．35．（2021秋•启东市期末）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝．36．（2021秋•宝应县期末）多项式﹣a2b3+a3b+1的次数是．37．（2021秋•苏州期末）若3x|m|﹣（2+m）x+5是关于x的二次三项式，那么m的值为．巩固提升一、单选题1．（2021·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“3”，按此规律摆下去，第n 个“3”需要火柴棒的根数为（ ）A ．2n +3B ．3n +2C ．3n +5D ．4n +1 2．（2021·江苏）如果整式x n ﹣5x +4是关于x 的三次三项式，那么n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．（2020·江苏七年级期中）用代数式表示“2a 与3的差”为（ ）A ．2a ﹣3B ．3﹣2aC ．2（a ﹣3）D ．2（3﹣a ）4．（2020·南通市新桥中学七年级期中）下列判断中正确的是（ ）A ．9x 2 - y + 5xy 2是四次三项式B ．a 是一次单项式C ．单项式232x y π的系数是12 D ．3322x y −是五次单项式 5．（2021·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则代数式－2(a +b )+3cd 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．－26．（2021·江苏）已知：x +y ＝1，则代数式2x +2y ﹣1的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（2021·江苏徐州·）单项式﹣2x 3y 的次数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2020·江苏七年级期中）下列说法正确的是（ ）①6−和2mn 都是单项式；②1x −的项是x 和1；③22a x +和33332a b a b +都是多项式． A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③ 9．（2021·江苏）若代数式2x 2+7kxy ﹣y 2中不含xy 项，则k 的值为（ ）A ．0B ．﹣17C ．17D ．110．（2021·盐城市初级中学）下列说法正确的是（ ）A ．单项式x 的系数是0B ．单项式-5的次数是1C ．多项式22x x +的次数是2D ．单项式22-3x y 的系数是-3，次数是5二、填空题11．（2019·盐城市大丰区三龙初级中学七年级期中）七（1）班共有n 名同学，每两人握一次手，他们一共握了____次手．12．（2020·江苏省江阴市第一中学七年级月考）﹣3的相反数是 ___；2325ab c −的系数是 ___．13．（2021·常州市同济中学）单项式9x 3y 2的次数为___．14．（2021·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）已知235a b −=，则代数式246a b +−的值为_____．15．（2021·常州市同济中学）已知x ﹣y ＝﹣1，则3x ﹣3y ＝___．16．（2021·江苏七年级期中）若221m m +=，则多项式2241m m +−的值为______．17．（2020·扬州市梅岭中学）单项式223a b −的系数是________． 18．（2021·江苏南京·七年级期末）﹣223ab 的系数是_____，2x+3xy 2﹣1的次数是_____． 19．（2021·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）一组“数值转换机”按照下面的程序计算，如果开始输入的x 为正整数，最后输出的结果为1339，则满足条件的x 的不同值最多有____________个．20．（2021·扬州市广陵区教师发展中心七年级期末）已知某商场一款服装的进价为a 元，商家将价格在进价的基础上提高40%后以7折出售，则该款服装现在的售价为____________元．21．（2020·扬州市梅岭中学）用代数式表示“x 的4倍与3的差”，结果为_______．22．（2021·江苏西安交大苏州附中七年级开学考试）写出一个次数是3，且含有,x y 的二项式：_______．23．（2018·江苏）一件衣服原来标价x 元，现在打九折销售，现在的价格为_____元．24．（2019·沭阳县修远中学七年级月考）如图，一串有黑有白，按一定规律排列的珠子，被盒子遮住了一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗。
第06讲非谓语动词之动词不定式(讲义)-2024年中考英语一轮复习讲练测(全国通用)(教师版)
►第06讲非谓语动词之动词不定式（讲义）【复习目标】1.掌握动词不定式的结构和句法功能，重点复习不定式作状语、宾语和补语2.动词不定式的时态和语态3. 不定式的特殊用法4.不定式符号to的省略5.跟动词不定式的情况总结归纳6.练透近年中考真题中关于非谓语动词的题目，感悟高考命题规律和特点，实现高效备考。
【考情分析】从近三年中考卷可以看出，对非谓语动词中不定式的考查是必考点，主要是考查非谓语动词作补语、定语和目的状语以及不定式作形式主语。
考查的都是不定式的基本用法，但是题目的设置更加注重语境以及情景化和结构复杂化，加大了考生对题干的理解难度。
因此，2024年中考备考要掌握不定式相关用法，熟悉动词不定式常用搭配。
名词题型命题规律【网络构建】非谓语动词指不能单独作谓语，但同时仍保留动词某些特征的动词形式。
非谓语动词主要包括不定式、动名词和分词（现在分词和过去分词）。
构成：（to ）+动词原形 动词不定 在句中的作用（主、宾、表、宾补、定、状） 非 谓 构成：V .-ing语 动名词动 用法（主、宾、表、定）词构成：现在分词 doing 过去分词 done 分词 用法（表、补、定、状）考向一动词不定式的结构和句法功能非谓语动词的动词不定式是历年中考必考知识点。
从考查形式看，一般有单项选择、完形填空、词语运用等。
所占分值通常为2～4分。
从命题意图看，侧重考查考生的具体语言环境中使用非谓语动词的能力。
动词不定式的结构动词不定时的构成：不定式的基本形式为：to+动词原形，有时可以不用to，这里的to 是不定式符号，本身无词义，动词不定式的否定形式是not+（to+）动词原形。
(1)肯定式：to + 动词原形It’s nice to meet you.(2)否定式：not to + 动词原形He told me not to leave this room(to是不定式符号，无意义，有时可以不带)动词不定式的句法功能1.不定式作主语动词不定式作主语时，常用it作形式主语，而将真正的主语放在句末其结构为：①It is +adj.+for/of sb.+(not)to do sth.意为＂做某事对某人来说是……＂。
第06讲 两宋的政治和军事及辽夏金元的统治(练习)(教师版) 25年高考历史一轮复习讲练测(新高考)
第06讲两宋的政治和军事及辽夏金元的统治目录模拟.基础演练 (1)重难.创新演练 (8)真题.实战演练 (13)1．【宋初专制集权的加强】宋初的“虚三级”体制——路、州、县三级中，路没有统一的行政机构和单一的行政长官，路一级由帅、漕、宪、仓四司共同构成，分掌军队、财政、刑狱、经济。
其次，在州之上，不存在单一的行政区划，比如这个州的帅司、漕司、宪司是属于某一路的，而它的仓司属于另一个路。
上述措施（）A．有利于国家政局的稳定B．旨在解决宰相专权问题C．铲除了分裂割据的根源D．造成了管理的复杂混乱【答案】A【解析】本题是多类型单项选择题。
据本题次题干的提示词，可知这是目的题、影响题。
据本题时间信息可知准确时空是：宋朝（中国）。
根据材料可知，路作为州的上级机构却没有统一的行政机构和单一的行政长官，而是由四个平行机构组成，并且州之上没有单一的行政区划，而是由不同路的职能机构管辖同一个州，这样设置的目的是防止出现汉唐时期地方权力过大威胁中央的情况，这些措施有利于加强中央集权，维护国家政局的稳定，A项正确；“虚三级”体制的设置是为了削弱地方权力，并不是解决中央宰相专权问题，排除B项；中国分裂割据的根源是自给自足的小农经济，宋朝的“虚三级”体制无法铲除小农经济，排除C项；“虚三级”体制一定程度上会使地方管理复杂化，降低行政效率，但是不会使管理混乱，排除D 项。
故选A项。
2．【宋初专制集权的加强】宋朝在西南少数民族地区任用当地土酋为地方长官，但不许土酋自置职名，凡土酋自置的名号，宋朝一律不予承认，须中央任命方可，如“夔州路降蛮首领皆自置职名，请因而命之，上不许”。
这一措施（）A．体现了因俗而治的政策特征B．有利于加强对边疆的社会治理C．基本稳定了宋代的政权环境D．推动了宋朝疆域的巩固与拓展【答案】B【解析】本题是多类型单项选择题。
据本题次题干的提示词，可知这是本质题、影响题。
据本题时间信息可知准确时空是：宋朝（中国）。
第06讲非谓语动词(讲)高考英语二轮复习(全国通用)(教师版)
第06讲非谓语动词（讲）【考纲考情】非谓语动词考点，是英语高考必考点之一。
在高考中主要考查：非谓语动词作主语、状语、定语、宾语、宾语补足语以及独立成分等。
在高考中主要考查点分别有：1.动词不定式的正确运用，尤其是被动式、进行式和完成式的正确运用；2.分词的正确运用，尤其是现在分词被动式和完成式的正确运用、现在分词与过去分词作表语、定语、宾语补足语和状语的区别以及分词在with复合结构及独立主格结构中的运用；3.动名词的正确运用：介词后接的动名词的用法、常见接动名词作宾语的动词、含动名词的常见固定句型，尤其是被动式和完成式的正确运用以及复合结构的正确识别。
非谓语动词的考查常出现在高考试题中的语法填空，改错，书面表达中。
【考点梳理】非谓语动词概述非谓语动词是指在句中不是谓语的动词，包括不定式、动名词和分词(现在分词和过去分词)，它除了不能独立作谓语外，是可以承担句子其他成分的。
非谓语动词的形式、意义及句法功能注意：(1)having been done与done作状语时没有明显区别，可以互换，但having been done不能作定语和宾补，强调时间先后，而done有时只强调被动关系。
(2)不及物动词的过去分词，只表示完成，不表示被动，如：fallen leaves落叶。
(3)有时过去分词只表示被动而不强调时间性。
The boy was running along the street, followed by a dog.这个男孩正沿着街道上跑，后面跟着一只狗。
Having eaten at the Cafeteria before, Tina didn't want to eat there again.蒂娜以前在这个自助餐厅吃过以后，再也不想去那儿吃了。
一、非谓语动词作定语1．不定式作定语不定式作定语，通常置于所修饰的名词或代词之后，与所修饰的词之间构成逻辑上的主谓、动宾或同位关系。
高中数学思维变化规律教案
高中数学思维变化规律教案
一、教学目标：
1.认识数学思维的重要性，了解数学思维的变化规律；
2.培养学生灵活的数学思维，提高解题能力；
3.引导学生探索数学问题，培养学生的创新意识。
二、教学重点：
1.认识数学思维的不同类型；
2.掌握数学思维的变化规律；
3.应用数学思维解决实际问题。
三、教学难点：
1.理解数学思维的抽象概念；
2.运用数学思维解决复杂问题。
四、教学内容：
1.数学思维的基本类型：直观型思维、逻辑型思维、几何型思维等；
2.数学思维的变化规律：随着题目的变化，所需的思维类型也会有所变化；
3.应用数学思维解决实际问题：例如应用数学思维解决生活中的实际问题。
五、教学方法：
1.激发学生的兴趣，引导学生思考；
2.让学生跟随老师一起解题，引导学生掌握解题思路；
3.鼓励学生提出自己的解题方法，培养学生的探索精神。
六、教学过程：
1.导入：通过一个生活中的实际问题引入，引发学生对数学思维的思考。
2.展示：让学生展示自己的解题思路，引导学生进行讨论。
3.解题练习：让学生跟随老师一起解决一组题目，练习应用数学思维解决问题。
4.总结：对本次课程所学的数学思维变化规律进行总结，并鼓励学生提出自己的见解。
七、教学反馈：
1.课后布置练习题，让学生巩固所学知识；
2.鼓励学生提出问题和建议，促进课程的改进。
八、教学评价：
通过学生的练习和课堂表现，评价学生对数学思维变化规律的理解和运用能力。
同时，评价学生的思维能力和解题能力的提高情况。
变化规律中班教案数学
变化规律中班教案数学教案标题：探索变化规律——中班数学教案教学目标：1. 学生能够观察和描述不同对象之间的变化规律。
2. 学生能够通过观察和实践，发现并描述简单的数学变化规律。
3. 学生能够运用所学的变化规律，解决简单的数学问题。
教学重点：1. 观察和描述不同对象之间的变化规律。
2. 发现并描述简单的数学变化规律。
教学准备：1. 图片、卡片或实物，用于展示不同对象之间的变化规律。
2. 数学游戏或活动，用于帮助学生发现数学变化规律。
3. 白板或黑板、彩色粉笔或白板笔。
教学过程：引入活动：1. 引入活动前，教师可以准备一些图片或实物，如植物的生长过程、动物的变化等，用于激发学生的兴趣和好奇心。
2. 展示一张图片或一个实物，让学生观察并描述其中的变化规律。
3. 引导学生思考，询问他们是否能发现其他类似的变化规律。
探索活动：1. 将学生分成小组，给每个小组分发一组卡片或实物。
2. 要求学生观察并描述卡片或实物之间的变化规律。
3. 鼓励学生在小组内讨论和分享观察结果，并记录下来。
总结活动：1. 邀请几个小组分享他们观察到的变化规律。
2. 教师引导学生总结，并将学生的观察结果整理在黑板或白板上。
3. 教师与学生一起讨论这些变化规律是否与数学有关，如果有，如何用数学语言来描述这些规律。
拓展活动：1. 教师可以设计一些数学游戏或活动，让学生通过操作和实践来发现更多的数学变化规律。
2. 学生可以尝试用数学语言来描述他们观察到的变化规律，并互相交流和分享。
评估活动：1. 教师可以设计一些简单的问题，让学生运用所学的变化规律进行解答。
2. 教师观察学生的表现，并给予及时的反馈和指导。
教学延伸：1. 学生可以在日常生活中继续观察和发现不同对象之间的变化规律，并记录下来。
2. 学生可以尝试设计自己的数学游戏或活动，与同学分享并一起探索变化规律。
教学反思：1. 教师可以根据学生的反馈和表现，对教学过程进行评估和反思，以进一步改进教学方法和策略。
高中数学图像变化规律教案
高中数学图像变化规律教案一、教学目标1. 理解函数图像变化的基本概念，包括平移、伸缩、对称等。
2. 掌握常见函数图像的特点及其变化规律。
3. 能够根据函数表达式判断图像的变化类型。
4. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容与过程1. 引入新课- 通过展示几个典型的函数图像，让学生观察它们的特点。
- 提问：这些图像有哪些共同点和不同点？它们是如何变化的？- 引出本节课的主题：函数图像的变化规律。
2. 讲授新知- 平移规律：解释水平平移和垂直平移的概念，举例说明平移对函数图像的影响。
- 伸缩规律：讲解横向伸缩和纵向伸缩的区别，以及它们对图像的具体影响。
- 对称规律：介绍轴对称和中心对称的概念，并通过实例加深理解。
3. 案例分析- 选取几个具有代表性的例子，如线性函数、二次函数等，分析它们的图像变化规律。
- 引导学生通过观察和比较，总结出图像变化的一般规律。
4. 互动探究- 分组讨论：给出几个函数表达式，让学生尝试预测它们的图像变化。
- 实际操作：使用数学软件或图纸，让学生绘制出这些函数的图像，验证自己的预测。
5. 总结归纳- 回顾本节课所学的内容，强调每种变化规律的特点。
- 提示学生如何在实际问题中应用这些规律。
6. 布置作业- 提供几个练习题，要求学生独立完成，以巩固所学知识。
- 鼓励学生在生活中寻找相关现象，加深对函数图像变化规律的理解。
三、教学方法与手段- 采用启发式教学，激发学生的思考兴趣。
- 结合多媒体教学工具，直观展示图像变化过程。
- 通过实际操作和讨论，增强学生的参与感和实践能力。
四、评价方式- 课堂提问，检验学生对知识点的掌握情况。
- 作业批改，了解学生的学习效果和存在的问题。
- 定期测试，全面评估学生的学习成果。
【精品】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(2) (教师版)
五、等比数列型1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．【答案】(22018－1)2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.【答案】【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求的值．【答案】4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图1 1图2 1+3图3 1+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数f n(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为f n+1，求f n+1-f n【答案】（1）40；（2）f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1；（3）∵f n+1=3n+3n-1+…+32+3+1，f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1∴f n+1−f n=3n．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．六、正整数平方型1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．【答案】201622．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数为（）A．1016个B．11025个C．11236个D．22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C．七、正整数求和型1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171 B．190 C．210 D．380【答案】B2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x=m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+…+的长.【答案】（1）O=n;S n=.（2）OA10=.（3）4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值．【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得，即．故选D．2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A．B．C．D．【答案】C3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9）B．（9，0）C．（0，8）D．（8，0）【答案】C∵当n=8时，n2+n=82+8=72，∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，∴此时质点的横坐标为8-8=0，∴此时质点的坐标为（0，8），∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．【答案】（21010﹣2，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），故答案为：（21010﹣2，21009）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．【答案】0、-1即当时，，，，，，，，，，，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、．故答案为：；0、．九、其它型1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．【答案】n（n+2）2．观察下列方程的特征及其解的特点．①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．【答案】x＋＝－9 x1＝－4，x2＝－5 x＋＝－(2n＋1) x1＝－n，x2＝－n－1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数13、12、23，有112323<<，所以12为13和23的一个中间分数，在表中还可以找到13和23的中间分数25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到13和23更多的中间分数．（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的35和23的中间分数是；（2）写出分数ab和cd（a、b、c、d均为正整数，a cb d<，c d<）的一个．．中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若sm与tn（m、n、s、t均为正整数）都是917和815的中间分数，则mn的最小值为．【答案】（1）①27；②58（2）证明见解析（3）1504（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a c b d++． ∵a 、b 、c 、d 均为正整数，a cb d <，cd <， ∴()()()201c a b a c a b d a c a bc ad d b b b d b b b d b bd d-+-++--===>++++， ()()()201a c d a c c b d a c c ad bc b d d b d d d b d bd d b-+-++--===<++++． ∴a a c c b b d d+<<+． （3）根据排列可知917和815的中间分数有1732， 3566， 2649， 2547等，由此可得mn 的最小值为1504， 故答案为：1504.。
第06讲 反应速率与限度-化学必修第二册发芽讲义(高一下基础)(教师版)
第06讲反应速率与限度【考点01】化学反应速率1、化学反应速率的概念：化学反应速率是用来衡量化学反应快慢的物理量。
2、化学反应速率的表示方法：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表示。
符号为v，单位为mol/(L·min)、mol/(L·s)或mol/(L·h)。
3、化学反应速率的表达式：例1 . 下列有关化学反应速率的说法中正确的是（D ）A．对任何化学反应来说，反应速率越大，反应现象就越明显B．化学反应速率通常用单位时间内任何一种反应物浓度的减少或任何一种生成物浓度的增加来表示C．若某化学反应在一定时间段内的反应速率为0.5 mol/(L·s)，则在该时间段内反应物和生成物的浓度变化都为0.5 mol/LD．化学反应速率是用来衡量化学反应进行快慢的尺度4、化学反应速率的计算规律：同一化学反应中，用不同物质的浓度变化表示的化学反应速率之比等于化学反应方程式中相应物质的化学计量数之比。
这是有关化学反应速率的计算或换算的依据。
如对于化学反应aA(g)+bB(g)＝＝cC(g)+dD(g)，有下列恒等式：v(A)∶v(B)∶v(C)∶v(D)＝a∶b∶c∶d5、有关化学反应速率的注意事项：①化学反应速率均为正值。
②化学反应速率通常指的是某物质在某一时间内化学反应的平均速率，而不是在某一时刻的瞬时速率。
③由于在反应中纯固体和纯液体的浓度是恒定不变的，因此对于有纯液体或纯固体参加的反应一般不用纯液体或纯固体来表示化学反应速率。
化学反应速率与表面积大小有关，而与物质的量的多少无关。
通常是通过增大物质的表面积（如粉碎成细小颗粒、充分搅拌、振荡等）来加快化学反应速率。
④对于同一个化学反应，在相同的反应时间内，用不同的物质来表示其反应速率，其数值可能不同，但这些不同的数值表示的都是同一个反应的反应速率。
因此，表示化学反应速率时，必须指明是用反应体系中的哪种物质作为标准。
2020春北师大版本数学中考一轮-第06讲-平面直角坐标系与一次函数(培优)-讲义(教师版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-平面直角坐标系及一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①会画平面直角坐标系，掌握坐标平面内点的坐标特征；②理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式；③体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理(一)、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴（或横轴）_，竖直的数轴叫y轴（或纵轴）__，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标特征点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；体系搭建点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.(二)、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___相同_____， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___互为相反数_____． 4．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． (三)、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P (x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |，点P (x ，y )到坐标原点的距离为x 2＋y 2. 2．坐标轴上两点间的距离(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝12x x -. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝12y y -.(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 12＋y 12. (四)、函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有__唯一_确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)___列表法_____；(3)图象法． 4．函数图象的画法(1) 列表_：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2) 描点_：以x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3) _连线_：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．(五)、函数自变量取值范围的确定1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母____不为零______的实数． 2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_____非负数_____． 3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．(六)、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝_0_时，一次函数y ＝kx ＋b 就为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． (七)、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可． 2．一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y＝kx(k≠0)k＞0 _一_、三_ y随x增大而增大k＜0 __二、四_ y随x增大而减小y＝kx＋b (k≠0)k＞0，b＞0 一、_二、三y随x增大而增大k＞0，b＜0 一、三、四k＜0，b＞0 一、二、四y随x增大而减小k＜0，b＜0 二、三、四一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．(八)、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__待定系数法_ ．(九)、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．考点一：平面直角坐标系内点的坐标特征例1、 若点P(a ，a －2)在第四象限，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0【解析】故选B ．例2、在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n|)一定在( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限【解析】故选A.考点二：图形的变换与坐标例1、 在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题： (1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC 通过哪些变换方式得到的？ (2)若以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C 的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF 各顶点的坐标，并求出△DEF 的面积．【解析】(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)． S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.例2、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′；(3)写出点B′的坐标． 【解析】(1)(2)如图所示．(3)B′(2,1)．考点三：函数图象的应用例1、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O 点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )【解析】 C 本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．例2、在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】 C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.考点四：函数自变量取值范围的确定例1、已知函数关系式y＝x－1，则自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥1 ，由题意得x－1≥0，所以x≥1.例2、函数y＝13－x中自变量x的取值范围是( )A．x≤3 B．x＜3C．x≠3 D．x＞3【解析】B，因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.考点五：一次函数的图象与性质例1、已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( ) A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2【解析】 D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.例2、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【解析】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．考点六：确定一次函数的解析式例1、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的解析式；(2)试求△DOC的面积．【解析】(1)把A ，B 点代入得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝53.，∴y＝43x ＋53.(2)由(1)得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53.∴△DOC 的面积＝12×54×53＝2524.例2、如图，已知直线y=x +3的图象与x ，y 的轴交于B ，A 两点，直线l 经过A 点，与线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分． （1）求线段OA ，OB 的长； （2）求直线l 的解析式．【解析】（1）∵令x=0，则y=3；令y=0，则x=﹣3，∴A （0，3），B （﹣3，0）；（2）∵△ABC 与△AOC 的高相等，B （﹣3，0），线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分， ∴C （﹣1，0）或（﹣2，0）． 设直线l 的解析式为y=kx +b （k ≠0），当C （﹣1，0）时，，解得；当C （﹣2，0）．时，，解得．故直线l 的解析式为y=3x +3或y=x +3．考点七、一次函数与方程(组)、不等式的关系例1、如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx 的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.例2、如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A(0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P(1，m)，则不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集是__________．【解析】 1＜x ＜2，由图象可知，当x ＞1时，mx ＞kx ＋b ，把(1，m)和(0,2)代入y 1＝kx ＋b ，得b ＝2，m ＝k ＋2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx －2，得x ＝2，因为y 3＝mx －2平行于y 2＝mx ，所以当x ＜2时，kx ＋b ＞mx －2，故原不等式组的解集为1＜x ＜2.考点八：一次函数的应用例1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O —A —B —C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【解析】(1)15，415；(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数． 设所求函数的解析式为s ＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k ，解得k ＝445.∴s 与t 的函数关系式为s ＝445t(0≤t≤45)． (3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n(m≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s＝－415t＋12(30≤t≤45)．令－415t＋12＝445t，解得t＝1354.当t＝1354时，s＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．例2、一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点坐标．（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．【解析】（1）对于y=﹣2x+4，令y=0，得﹣2x+4=0，∴x=2；∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；令x=0，得y=4．∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；（2）S△AOB=•OA•OB=×2×4=4．∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1．在平面直角坐标系中，点(－3,3)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 B2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )A．y＝1x－3B．y＝1x－3实战演练②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选B．6、已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A． B． C． D．【解析】∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小∴k＜0，又∵kb＜0，∴b＞0，∴此一次函数图象过第一，二，四象限．故选A．7．函数y＝x－4的自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥4由x－4≥0，得x≥4.8．如果一次函数y＝mx＋3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是__________．【解析】m＜09．一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．【解析】四∵k＝1＞0，b＝2＞0，∴图象经过第一、二、三象限．10．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．【解析】将点(0,2)代入解析式y＝kx＋b(k≠0)中，得b＝2.则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与x 轴的交点横坐标为－b k ＝－2k.由题意可得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k ×2＝2，则k ＝±1. 所以一次函数的解析式为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2.11. 如图，一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ． （1）求出这个一次函数的解析式；（2）求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．【解析】（1）∵一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6）， ∴，解得，∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x +4；（2）∵当x=0时，y=4，∴y 轴交于点A （0，4）， ∵当y=0时，x=2，∴与x 轴交于点B （2，0）， ∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积：×2×4=4．➢ 课后反击1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标为( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(2，－3) 【解析】 D2．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝1－1xC ．y ＝1－xD ．y ＝11－x ＋1－x【解析】 D3．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，所以图象不经过四象限，故选D4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【解析】A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，所以b＞a＞0，－a＜0.5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是( )A．(1,0) B．(5,4)C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)【解析】 C6．函数y=|2x|的图象是（）A．B．C．D．【解析】函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，故图象C符合，故选C7、若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】故选：D．8．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )A． 3 B．± 3 C． 2 D．± 2【解析】 B9．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( ) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2【解析】A10．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )A．摩托车比汽车晚到1 h B．A，B两地的路程为20 kmC．摩托车的速度为45 km/h D．汽车的速度为60 km/h【解析】C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，∴C错误．11．如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．【解析】（1）令y=x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴点B（0，﹣2）；令y=x﹣2中y=0，则x﹣2=0，解得：x=3，∴点A（3，0）．S△AOB=OA•OB=×2×3=3．（2）作出线段AO的中点C，连接BC，如图所示．∵点A（3，0），∴点C（，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将点B（0，﹣2）、C（，0）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣2．12．为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：普通消费：35元/次；白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．【解析】（1）35×6=210（元），210＜280＜560，∴李叔叔选择普通消费方式更合算．（2）根据题意得：y普通=35x．当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．∴y白金卡=．（3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；令y白金卡=560，即35x﹣140=560，解得：x=20．当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算．1．在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．33B ．﹣33C ．﹣7D ．7【解析】选：D ．2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．3D ．7【解析】选：D ．3．深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A 、B 两馆，其中运往A 馆18台、运往B 馆14台；运往A 、B 两馆的运费如表1：出发地目的地甲地乙地A 馆 800元/台 700元/台B 馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台，请填写表2，并求出总运费元y （元）与x （台） 的函数关系式； （2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？【解析】（1）根据题意得：甲运往A 馆有x 台，乙运往A 馆的有（18﹣x ）台，甲地运往B 馆的设备有（17﹣x ）台，乙地运往B 馆的设备有14﹣（17﹣x ）=（x ﹣3）台， ∴y=800x+700（18﹣x ）+500（17﹣x ）+600（x ﹣3），=200x+19300（3≤x ≤17）；出发地目的地甲地乙地A 馆x 台（台）B 馆（台） （台） 直击中考（1）、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]．（2）、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．重点回顾(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可（3）、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．名师点拨1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．2、一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
变化规律探究教案
变化规律探究教案一、教案背景数学是一门让人神往的学科，它有着无穷无尽的奇妙与乐趣。
而在数学中，变化规律是一个重要的概念，对于其深刻的理解与掌握，不仅能够增强学生的数学思维能力，还能培养学生的逻辑推理能力，提高学生成绩。
本教案就是基于此，旨在通过把变化规律教学紧密结合实际生活，让学生充分掌握变化规律，从而进一步提升他们的数学素养以及生活能力。
二、教案目标通过本次教案学习，学生应当掌握如下内容：1.掌握变化规律的概念，并能够将其应用到实际生活中；2.学习掌握变化规律的一些常用方法，如找规律、归纳法等；3.培养学生的数学思维能力以及逻辑推理能力；4.激发学生的数学兴趣，提高学生成绩。
三、教学内容1.变化规律的概念变化规律，指的是各种事物或现象随着时间或其他因素的推移而发生的规律性变化。
例如，一件商品的售价在促销期间随着时间推移而下降，学生的成绩也随着时间的推移，被改进的技术与产品也会随时间的推移得到不断的完善和提高。
这些都是实际生活中变化规律的体现。
2.变化规律的常用方法（1）找规律法找规律法是最常见的一种方法，它是指在大量的数据中寻找特定的规律，并应用到实际生活中。
例如，在研究某商品的售价变化规律时，我们可以通过收集、整理、分析大量的数据，找出其售价下降的时间节点以及下降数量的规律，从而得出具有可预测性的变化规律。
（2）归纳法归纳法是另一种常用的变化规律寻找方法，它是通过观察总结、归纳低阶次数的规律，推导出高阶次数的规律。
例如，探究互联网发展趋势时，我们可以通过查阅前几年的数据资料，发现互联网用户的增长速度开始逐渐放缓，越来越多的用户开始深度使用互联网，从而推测出未来的互联网发展趋势。
3.变化规律和实际生活的联系变化规律在实际生活中的应用是无处不在的。
我们可以在商品的促销、股票的投资分析、自然资源的开发利用等众多方面找到变化规律的应用。
例如，在商品促销时，往往选择在节假日等特定时间段进行，这就是利用商品售价的变化规律来增加商品销量。
【精选】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(1) (教师版)
※知识精要探索规律是根据已知的几个数据或几个图形中发现数据的变化规律，用代数式表示出来，它是数学中常见的类型之一，．探索规律体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．※要点突破1、探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体问题出发，观察各个数量的特点及变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，得出结论，并取特殊值验证结论的正确性．2、需要掌握几种常见的规律题的解题方法和技巧：（1）等差规律（2）循环规律（3）平方规律（4）等比规律等。
※典例精讲例．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案．可以看作是第1个图案经过平移而得，那么(1)第4个图案中柯白色六边形地面砖____块，第n个图案中有白色地面砖____块【答案】18 4n+2故答案为：18，4n+2．※课堂精练一、数与式型1．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是()A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110【答案】B2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．38 B．52 C．66 D．74【答案】D【解析】根据前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，据此解答.观察每个正方形里的数字，发现前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，所以第四个正方形中左下角是8，右上角是10，则m为74.故选D．3．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（）A．a n B．﹣a n C．（﹣1）n+1a n D．（﹣1）n a n【答案】C【解析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．解：观察可知次数序号是一样的，奇数位置时系数为1，偶数位置时系数为-1，则有a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，（﹣1）n+1•a n．故选C．4．观察下列算式: , , , ,, , , …,则…的未位数字是( )A．8 B．6 C．4 D．0【答案】B5．计算下列各式：（x﹣1）（x+1）=；（x﹣1）（x2+x+1）=；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；…（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（其中n为正整数）；（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．【答案】x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（1）x7﹣1；（2）x n﹣1；（3）236﹣1．【解析】（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（3）1+2+22+23+24+…+235=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）=236﹣1．6．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.【答案】1097．阅读下列材料，并解答问题：①；②；③；④；……(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．【答案】（1）；（2）=；（3）.【解析】（1）根据前4个式子的规律即可写第⑤个等式；（2）观察可知第n个等式左边是，右边是，据此即可得；（3）根据上面的规律进行计算即可得.解：（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是，故答案为：；（2）观察可知等式左边是，右边是，所以用含n的等式表示为：=；（3）＋＋＋…＋=+++…+==.二、循环型1．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】A2.若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为=，现已知x1=，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2018= ．【答案】=3. 如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份(每一份称为一段弧长)，把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5．若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为的点？（2）2018次“移位”后，他到达编号为的点？【答案】（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为3号的的点。
(完整)奥数-一年级-教案-第06讲-植树问题初步-教师版
第六讲 植树问题初步从5 数到10有几个数？可能有些同学不假思索地说10-5=5个啊。
从5到10是5个数么？我们可以扳着指头来数一数——5，6，7，8，9，10，怎么是6个呢？为了表示清楚，我们画10个圆圈来表示10个数字，将第5个和第10个涂黑，见下图：我们看到10-5意味着从10个圆圈中去掉5个圆圈，恰好把最小数5去掉，而从5到10一共有6个数，所以两个结果差1，差了一个最小数5，看下图就更清楚了：可以确信，我们总结出的从小数到大数的个数=大数-小数+1是正确的。
15个小朋友在一起做捉迷藏游戏，天天已经捉到了7个小朋友，他还有几个没有捉到？解：实际上躲多起来的小朋友是14个（一个人当“瞎子”来抓人），所以，从14个人中去掉7个人，还有14－7=7（人）没有被捉到。
马路的一边挂了16盏红灯笼，每隔一盏红灯笼就有一盏菠萝灯笼，请问一共多少菠萝灯笼？……解：16个灯笼之间有15个间隔，每个间隔中放有一个菠萝灯笼，那么一共有15个菠萝灯笼。
如图所示，在一条马路的一边植树（两头都植），共用了11棵树，每棵树之间的距离间隔都是3米，请问：这条马路有多长？12 3 ······ 9 1011挑战例题5 这个方框是10-5 这个方框是从5到10 例1 例2 例3解： 101棵树中间的间隔只有10个（恰好少1），因此，正确算法是10个3相加。
所以路长为：共10个33＋3＋3＋3＋…＋3＝30(米)如图所示，在一个圆形小花园内的四周植树8棵，每两棵树之间的间隔是3米，请问：这个小花园的周长一共有多长？解：有的同学想，这道题不是和上面一道题一样吗？如果这样想的话，就又错了。
如图标上数，数一下就知道：分成8段，有8个间隔，所以，花园的周长为共8个33+3+3+……+3+3+3＝24(米)有一根圆形的木料，长为15米，要锯成15根1米长的短木料，每锯一段要用1分钟，请问：完成这项工作需要多少时间？解： 这道题的关键是计算要锯的次数，共应锯14次，因此用时14分钟。
第06讲 同底数幂的乘法 幂的乘方(七大题型)(教师版) 24-25学年七年级数学上册同步(沪教版)
第06讲同底数幂的乘法幂的乘方（七大题型）学习目标1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方；2、学会同底数幂相乘、幂的乘方的逆用；3、掌握同底数幂相乘、幂的乘方的逆用的应用。
一、知识引入我们知道 a·a·a 可以写成 a³ (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”).(读作 “a 的n次方).其中a表示底数，正整数n表示指数，a的n次乘方的结果叫做a 的n次幂.二、同底数幂的乘法性质+×=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++××=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n aa a +=×（,m n 都是正整数）.三、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【方法规律】（1）公式的推广：(())=m n pmnp a a (0¹a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【即学即练1】计算：（1）5b b ×；（2）23111222æöæöæö-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø；（3）26a a ×；（4）21n n y y +×．21n n y ++=31n y +=【点睛】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．【即学即练2】计算：(1)()52x -；(2)31()a x y +éù+ëû；(3)()2434()()x x x x --×-×-．【答案】(1)10x -(2)33()a x y ++(3)82x 【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算；（3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项．【解析】（1）原式10x =-；（2）原式()3133()()a a x y x y ++=+=+；（3）原式834888()2x x x x x x x =-×-×=+=．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【即学即练3】计算：(1)()()()323232a a a ×-×-；(2)()()32235y y y y +-×；(3)()()322324a a a a -+--×；(4)()()3422a b a b éùéù+×+ëûëû．【答案】(1)18a -(2)6y (3)6a -(4)()14a b +【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；（2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；（3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；（4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；【解析】（1）原式()66618a a a a =××-=-；（2）原式6666y y y y =+-=；（3）原式6666a a a a =-+-=-；（4）原式()()()6814a b a b a b =+×+=+．【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．【即学即练4】计算：()()2023202422-+-= ．【答案】20232【分析】根据同底数幂的乘法将2024(2)-变成2023(2)(2)-´-，根据提公因式将原式变形为()2023(12)2´--，由此即可求解．【解析】解：()()2023202422-+-()()202320231()222=+´´---()2023(12)2´-=-2023(1)2´-=-20232=，故答案为：20232．【点睛】本题主要考查整式乘法，含有乘方的有理数的运算，掌握其运算法则是解题的关键．【即学即练5】已知23m n a a ==，，求23m n a +的值．【答案】108【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆应用代入求解即可得到答案．【解析】23m na +23m na a =×()()23m n a a =×2323=´108=．【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘是解题关键．题型1：同底数幂相乘【典例1】．计算：(1)25x x ×；(2)6a a ×；(3)43(2)(2)(2)-´-´-；(4)31m n x x +×．【答案】(1)7x (2)7a (3)256(4)41m x +【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可．（1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；（2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；（3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；（4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可．【解析】（1）解： 25257x x x x +×==（2）解：6167a a a a +×==（3）解：431438(2)(2)(2)(2)(2)256++-´-´-=-=-=（4）解：313141m m m m m x x x x ++++×==【典例2】．计算：(1)821010´；(2)23()()x x -×-；(3)21n n n a a a a ++×××；(4)()2(1)1y y -×-；(5)()35(2)(2)2b b b +×+×+．【答案】(1)1010(2)5x -(3)34n a +(4)3(1)y -(5)9(2)b +【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；（5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．【解析】（1）821010´8210+=1010=．（2）23()()x x -×-23()x +=-5()x =-5x =-．（3）21n n n a a a a++×××211n n n a +++++=34n a +=．（4）()2(1)1y y -×-21(1)y +=-3(1)y =-（5）()35(2)(2)2b b b +×+×+351(2)b ++=+9(2)b =+．【典例3】．计算：(1)9a a ×；(2)322n n x x -×；(3)24x x x -××；(4)23()()x y x y -×-．【答案】(1)10a (2)52n x -(3)7x -(4)5()x y -【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可；（2）由同底数幂的乘法法则计算即可；（3）由同底数幂的乘法法则计算即可；（4）参照同底数幂的乘法法则计算即可．【解析】（1）解：91910a a a a +×==；（2）解：32232252n n n n n x x x x -+--×==；（3）解：241247x x x x x ++-××=-=-；（4）解：23523()(())()x y x x y y y x +-×-=-=-．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键．题型2：同底数幂乘法的逆用【典例4】．已知34m =，36n =，则3m n +=（ ）A ．10B ．-2C ．24D ．23【答案】C【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用．根据同底数幂乘法的逆用可得333m n m n +=´，即可进行解答．【解析】解：∵34m =，36n =，∴3334624m n m n +´==´=．故选：C ．【典例5】．（1）已知2m a =，3n a =，求m n a +的值．（2）已知31216x +=，求x ．【答案】（1）6；（2）1x =【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；（2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可．【解析】（1）因为2m a =，3n a =，236n m n m a a a +=×=´=．（2）因为31216x +=，所以31422x +=，所以314x +=，解得1x =．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【典例6】．已知23x =，26y =，则2x y +的值是（ ）A ．12B ．18C ．36D ．54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．【解析】解：由8232261x y x y +=´=´=，故选：B ．题型3：幂的乘方【典例7】．计算：(1)()52x -；(2)31()a x y +éù+ëû；(3)()2434()()x x x x --×-×-．【答案】(1)10x -(2)33()a x y ++(3)82x 【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算；（3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项．【解析】（1）原式10x =-；（2）原式()3133()()a a x y x y ++=+=+；（3）原式834888()2x x x x x x x =-×-×=+=．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【典例8】．计算：(1)()()()323232a a a ×-×-；(2)()()32235y y y y +-×；(3)()()322324a a a a -+--×；(4)()()3422a b a b éùéù+×+ëûëû．【答案】(1)18a -(2)6y (3)6a -(4)()14a b +【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；（2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；（3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；（4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；【解析】（1）原式()66618a a a a =××-=-；（2）原式6666y y y y =+-=；（3）原式6666a a a a =-+-=-；（4）原式()()()6814a b a b a b =+×+=+．【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．【典例9】．计算：(1)()32a b éù-ëû；(2)()()234224a a a --+；(3)()3mx y éù+ëû；(4)()2324a a a +×．【答案】(1)()6a b -；(2)463a a +；(3)()3m x y +；(4)62a ．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解；（2）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解；（3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解；（4）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解．【解析】（1）解：()32a b éù-ëû()6a b =-；（2）解：()()234224a a a --+4464a a a =-+46=3a a +；（3）解：()3mx y éù+ëû()3=mx y +；（4）解：()2324a a a +×66=+a a 62a =．【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．题型4：幂的乘方的逆用【典例10】．已知436x y -=，求864x y g 的值．【答案】16【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出364x y +=，再得出()()36368642222x yx y x y ==g g g 即可得出答案．【解析】解：∵436x y -=，∴364x y +=，∴()()363636486422222216x y x y x y x y =====g g g +．【典例11】．已知 24b a =，求()()24322b b a a -的值．【答案】128-【分析】本题主要考查了幂的乘方．熟练掌握积的乘方的法则，是解决问题的关键．根据幂的乘方的性质将原式化成已知条件的形式，代入计算即得．【解析】解：()()()()2234342222b b b b a a a a -=-，将24b a =代入上式得，原式34244128-=-=´．【典例12】．已知 2m a =，5n a =，求下列各式的值．(1)m na +(2)32m na +【答案】(1)10(2)200【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解；（2）逆用同底数幂的乘法及逆用幂的乘方即可完成计算．【解析】（1）解：2m a =Q ，5n a =，2510m n m n a a a +\==´=g ；（2）2m a =Q ，5n a =，3232m n m na a a +\=g ()()32m n a a =g 3225=´200=．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方法则，正确运用相关法则是解题的关键．【典例13】．若124x y -=，1273y x +=，则x y -等于（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．1【答案】B【分析】根据幂的运算进行计算，即可得出答案．【解析】解：∵124x y -=，1273y x +=，∴()1222222--==y x y ，3133+=y x ，∴2231x y y x =-ìí=+î， ∴41x y =-ìí=-î， ∴()413-=---=-x y ，故选：B ．【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算是解题的关键．【典例14】．若(0m n a a a =>且a l ¹，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果582x =，求x 的值；(2)如果212224x x +++=，求x 的值；(3)若53m x =-，425m y =-，用含x 的代数式表示y ．24(5)m =-24(3)x =-+，265y x x \=---．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．题型5：利用幂的乘方比较大小【典例15】．把554433222356、、、这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A ．552244332635<<<B ．554433222356<<<C ．335522445263<<<D ．223344556532<<<【答案】A【解析】先根据幂的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可．()11555112232==Q ，()11444113381==，()111133355125==，()11222116636==，且11111111323681125<<<，552244332635\<<<．【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂．【典例16】．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a>>【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．【解析】解：∵()314131248133a ===；()413141232733b ===；()61261122339c ===．则a b c >>．故选：A ．【典例17】．探究题：(1)计算下列算式的结果：()322=______，62=______；发现()32622=，小浦猜想会有如下规律：()nm a =______（用a ，m ，n 表示）；(2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？①若23n a =，求()23n a 的值；②比较5553，4444，3335的大小，并用“<”号连接．【答案】(1)64；64；mna (2)①27；②333555444534<<【分析】（1）根据乘方运算法则求解()32324=64=，6264=，从而得到猜想()nm mn a a =；（2）由（1）中猜想()nm mn a a =，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案．【解析】（1）解：Q ()32324=64=，6264=，\()32622=，\小浦猜想会有如下规律：()n m mn a a =（用a ，m ，n 表示）；故答案为：64；64；mn a ；（2）解：①∵23n a =，∴()()233623327n n n a a a ====；②∵()111555511132433==，()111444411144256==，()111333311151255==，Q 125243256<<，111111111125243256\<<，∴333555444534<<．【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键．题型6：其他应用【典例18】．1011001·88æö=ç÷èø（ ）A ．14B ．18C ．4D ．8【典例19】．计算202420234.25)0(´-的结果是 ．【答案】4-【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【解析】解：202420234.25)0(´-()20232023440.25=´´-()2023440.25=´-´()41=´-4=-故答案为：4-．(注：可看成2003组4×(-0.25)，先定符号，再×一个4)【典例20】．计算，结果用幂的形式表示：3249327´´．【答案】203【分析】先把每个因式都化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．【解析】解：3249327´´()()34223333=´´6212333=´´ 203=．【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握幂的运算法则是解本题的关键．【典例21】．已知()2633a =，5553333b ++=，则a b +的值是（ ）A ．19B ．18C ．9D ．7【答案】C【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘方，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，求出,a b 的值，进而求出a b +的值即可．【解析】解：∵ ()622333a a ==，∴26a =，∴3a =，∵556553333333b ´++===，∴6b =，∴9a b +=，故答案为：C ．【典例22】．若340x y +-=，则82x y ×的结果是．【答案】16【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据题意得3328222x x y x y y +==××是解题关键．【解析】解：∵3328222x x y x y y +==××，又∵340x y +-=，∴34x y +=，421682x y ==×，故答案为：16．【典例23】．中国天宫空间站以37.6810´米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需3510´秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）．【典例24】．已知：3240m n +-=，求()()3222nm ×的值．【答案】16【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．【解析】解：∵3240m n +-=，∴324m n +=，∴()()3222n m ×3222nm =×322m n+=42=，16=．【典例25】．甲、乙两名同学在解方程组134ax y x by -=ìí-=î时，甲同学因看错了a ，从而求得解为21x y =ìí=î，乙同学因看错了b ，从而求得解为31x y =ìí=-î，计算63a b ×，并用幂的形式表示结果．【答案】152-【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的解，求出a ，b 的值．根据题意，甲同学看错了a ，可将甲的解代入4x by -=得24b -=，乙同学看错了b ，将乙的解代入13ax y -=得3113a +=，求解即可得出a ，b 的值，再代入式子63a b ×计算即可．【解析】解：由题意得24x by b -=-= ，解得2b =-，3(1)13ax y a -=--=，解得4a =，\6326312315634(2)(2)(2)2(2)2a b =×-=-=--×=．【典例26】．已知23a =，26b =，212c =，现给出3个数a ，b ，c 之间的三个关系式：①2a c b +=；②2b a =+；③23a b c +=-．其中正确的关系式是 （填序号）．【答案】①③【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【解析】解：2221234222c a a +==´=´=Q ，121262222c b b +==´=´=，2c a \=+，1c b =+，222a c a b \+=+=，1b a =+，23a b c +=-，故其中正确的关系式是①③，故答案为：①③．【典例27】．已知a ，b ，c 均为正整数，且满足2343456a b c ´´=，则a b c ++的取值不可能是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】D【分析】将原方程化为2732323a c b +×=´，得到27a c +=，3b =，再根据a ，b ，c 均为正整数，求出a ，c 的值，进而求出答案．【解析】解：2343456a b c ´´=Q ，2732323a c b +\×=´，27a c \+=，3b =，a Q ，b ，c 均为正整数，\当1c =时，5a =，此时5319a b c ++=++=，当2c =时，3a =，此时3328a b c ++=++=，当3c =时，1a =，此时1337a b c ++=++=，a b c \++不可能为10．故选：D ．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，根据a ，b ，c 均为正整数求出a ，c 的值是解题的关键．题型7：新定义题【典例28】．如果a b c Å=，则c a b =，例如283Å=，则328=．根据上述规定，若464x Å=，则x = ；【答案】3【分析】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算， 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键．【解析】解：Q 如果a b c Å=，则c a b =，464x Å=，34644x \==，3x \=，故答案为：3.【典例29】．类比同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +×=（其中0,,a m n ¹为正整数），我们规定一种新运算：()()()h m n h m h n +=×，其中,m n 为任意正整数．若(1)(0)h p p =¹，那么()(2024)h n h ×= （用含n 和P 的代数式表示，其中n 为正整数）．【答案】2024n p +【分析】本题考查同底数幂乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值，根据题中的新定义化简，计算即可求出值．【解析】解：由(1)(0)h p p =¹Q ，()()()h m n h m h n +=×，20242024()(2024)n n h n h p p p +\×=×=．故答案为：2024n p +．．【典例30】．新定义：()()*m n b a a b a b =+（,,,a b m n 均为正整数），例如：233*2(3)(2)m n =+．若1*48=，2*210=，则24m n +的值为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．63【答案】D【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出43,47m n ==，再把24m n +变形为()244m n ´，再代入计算即可【解析】解：∵*()()b m n a a b a b =+（a b m n 、、、均为正整数），∴41,1*4(1)(4)148n m n =+==+224410,2*2(2)(2)n n m m ===++∴47,43,n m ==∴()222344437976mn m n +=´=´=´=，故选：D 【典例31】．如果n x y =，那么我们规定(],x y n =．例如：因为2416=，所以(]4,162=．(1)(]2,16-=______ ；若(]2,6y =，则y =______ ；(2)已知(]4,12a =，(]4,5b =，(]4,y c =，若a b c +=，求y 的值；(3)若(]5,10a =，(]2,10b =，令2ab t a b=+．①求2516a b 的值；②求t 的值．【答案】(1)4，64(2)60y =一、单选题1．33×b b 的值是（ ）A ．9b B ．32b C ．6b D ．62b 【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可．【解析】解：33336b b b b +×==．故选择C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．2．35()()-×-c c 的值是（ ）A ．8-c B ．15()-c C ．15c D ．8c 【答案】D【分析】同底数幂相乘底数不变，把指数3、5相加进行计算.【解析】3588()()()c c c =c =-×--，故选：D.【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则即可.3．下列运算正确的是（ ）．A ．3412a a a ×=B ．()235a a =C ．()32639a a -=-D ．()326a a -=-【答案】D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则计算逐一判断即可．【解析】解：A 34712a a a a ×=¹，该选项不符合题意；B 、()2365a a a =¹，该选项不符合题意；C 、()32663279a a a -=-¹-，该选项不符合题意；D 、()326a a -=-，正确，，该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．4．若2n +2n +2n +2n ＝26，则n ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据题意运用同底数幂的乘法对2n +2n +2n +2n 进行变形得到22+n ，进而即可求出n 的值．【解析】解：∵2n +2n +2n +2n＝4×2n＝22×2n＝22+n＝26，∴2+n ＝6，解得n ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答此题的关键．5．10x a =，10y b =，则210x y ++等于（ ）A ．2a bB ．a +bC ．2a b ++D ．100ab 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，可得结果．【解析】解：2210101010100x y x y ab ++=´´=，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键．6．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a ×10n ，则a ，n 的值分别为( )A ．a ＝7，n ＝11B ．a ＝5，n ＝12C ．a ＝7，n ＝13D ．a ＝2，n ＝13【答案】C【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解．【解析】解：(7×106)(5×105)(2×10)＝(7×5×2)×(106×105×10)＝7×1013所以，a ＝7，n ＝13．故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键．7．当m 为偶数时，()()m n a b b a -×-与()m n a b +-的关系是( )A ．相等B ．互为相反数C ．不相等D ．以上说法都不对【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求解即可．【解析】解：当n 为偶数时，()()n n a b b a -=-，所以()()()()()m n m n m na b b a a b a b a b +-×-=-×-=-当n 为奇数时，()()n n b a a b -=--，所以()()()()()m n m n m na b b a a b a b a b +-×-=--×-=--故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握互为相反数的两数的偶数次方相等是解本题的关键．8．如果()3915n m a b b a b ××=，那么m 、n 的值等于（ ）A ．3m =，4n =B ．9m =，n =-4C ．4m =，3n =D ．9m =，2n =【答案】C 【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出333391335()3n m n m n m a b b a b b a b a b +××=××==，由此进行求解即可得到答案．【解析】解：∵()3333333915n m n m n m a b b a b b a b a b +××=××==∴3n =9，3m +3=15，解得：n =3，m =4，故选C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．9．计算2019202040.753æö´-ç÷èø的结果是（ ）A ．43B ．43-C ．0.75D ．-0.75A ．a b c>>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可．【解析】解：a=355=（35）11=24311，b=444=（44）11=25611，c=533=（53）11=12511，∵256＞243＞125，∴b ＞a ＞c ．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握a mn =（a n ）m ．二、填空题11．（1）23x x ×= ；（2）32y y y ××= ；（3）33()()()---=a a a；（4）35()()-×-=a b a b ；（5）4()()+×+=x y x y；（6）11-+×=n n x x ；（7）111001010+-´´=n n ；（8）53()××-=x x x；（9）25(2)(2)-×-=x y y x；（10）23()()+-×--=a b c c a b ．【答案】5x 6y 7a - 8()a b - 5()x y + 2n x2210n + 9x - 7(2)-y x 5()--c a b 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）根据同底数幂的乘法法则运算，再利用负数的乘方化底数为正计算即可；（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（7）根据同底数幂的乘法法则计算结果为2210n +也可2210n +即可；（8）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算即可；（9）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果()72x y --或()72y x -即可；（10）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果()5a b c -+-或()5c a b --即可．【解析】解：（1）23235x x x x +×==；（2）323216y y y y y ++××==；（3）()()()()()3333177a a a a a a ++---=-=-=-；（4）()()35835()()a b a b a b a b +-×-=-=-；（5）()()1454()()x y x y x y x y ++×+=+=+；（6）11112n n n n n x x x x -+-++×==；（7）112112************n n n n n +-+++-+´´==；（8）535139()x x x x x ++××-=-=-；（9）()()()()()25257725(2)(2)22222x y y x x y x y x y x y y x +-×-=---=--=--=-；（10）()()()()235523()()a b c c a b a b c a b c a b c c a b +-×--=-+-×+-=-+-=--．故答案为： 5x ；6y ；7a -；8()a b -；5()x y +；2n x ；2210n +；9x -；7(2)-y x ；5()--c a b ．【点睛】本题考查负数的乘方，同底数幂的乘法，掌握利用负数的乘方化同底数的方法，同底数幂的乘法法则是解题关键．12．(103)6＝；(－a 2)5＝ ；(－m n )4＝ ；(a 3)2·(a 2)4＝ ．【答案】 1018－a 10 m 4n a 14【分析】依次使用幂的乘方公式及同底数幂的乘法公式即可.【解析】(103)6＝103×6=1018；(－a 2)5＝－a 2×5=－a 10；(－m n )4＝(m n )4= m 4n ；(a 3)2·(a 2)4＝a 6·a 8= a 14．【点睛】此题主要考查幂的乘方公式，再结合同底数幂的乘法公式进行计算.13．计算（1）()42x y éù+=ëû；（2）()53m n éù--=ëû .【答案】 ()8x y + ()15m n --【分析】根据幂的乘方的定义()n m a =mn a ，将底数看作整体计算即可.【解析】（1）()42248()()x y x y x y ´éù+=+=+ëû；（2）()()()555331m n m n m n ´éù--=----ë=û.【点睛】本题考查幂的乘方的计算，计算时需注意幂的乘方的符号，偶次幂为正，奇次幂为负.14．若2n +2n +2n +2n =28，则n = ．【答案】6【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am •an =am +n （m ，n 是正整数）．【解析】解：∵2n +2n +2n +2n =4×2n =22×2n =28，∴2+n =8，解得n =6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．15．若4x =a ，4y =b ，则4x+y =．【答案】ab .【分析】根据同底数的幂的乘法法则，444x y x y +=×代入求值即可.【解析】由题意4x a =，4y b =，444x y x y ab +=×=.故答案为ab .【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加.16．已知21m x =+，132m y +=+，若用含x 的代数式表示y ，则y = ．【答案】2x +1/1+2x【分析】由21m x =+，132m y +=+，即可得12m x -=，322m y -=´，进而有3(1)2y x -=-´，则问题得解．【解析】∵21m x =+，132m y +=+，∴12m x -=，322m y -=´，∴3(1)2y x -=-´，即21y x =+，故答案为：21x +．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键．17．已知2x +3y -5=0，则9x •27y 的值为 ．【答案】243【分析】先将9x •27y 变形为32x+3y ，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【解析】∵2x+3y−5=0，∴2x+3y=5，∴9x ×27y =32x ×33y =32x+3y =35=243.故答案为243.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.18．已知x n =2，y n =3，则(x 2y)2n = . 若(9m+1)2=316，则正整数m 的值为 .【答案】 144 3【分析】（1）利用积的乘方公式与幂的乘方公式把(x 2y)2n 化成与已知条件相关联的式子，再进行计算；（2）利用幂的乘方逆运算把等式都化成底数为3，再进行计算.【解析】∵x n =2，y n =3，∴(x 2y)2n = x 4n y 2n =( x n )4·( y n )2=24×32=144；∵(9m+1)2=[()123m +]2=443m +=316∴4m+4=16解得m=3【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是灵活运用幂的乘方公式逆运算进行化简解答.三、解答题19．化简下列各题：（1）432111101010æöæöæö××ç÷ç÷ç÷èøèøèø ； （2）1n n a a a -××；（3）()()()223x x x -××-；（4）()()()314222x y x y x y -×-×-．（5）()()()2132n n a a a ++-´-´-（1）（a-b ）2（a-b ）3（b-a ）5 （2）（a-b+c ）3（b-a-c ）5（a-b+c ）6（3）（b-a ）m ·（b-a ）n-5·（a-b ）5 （4）x·x m-1+x 2·x m-2-3x 3·x m-3【答案】（1）10()a b -- ；（2）14()a b c --+ ；（3）()m n b a +--；（4）m x -.【分析】（1）、（2）与（3），首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进行解答即可；（4），首先利用同底数幂的乘法法则对其进行变形，接下来合并同类项即可.【解析】（1）（a-b ）2（a-b ）3（b-a ）5=235a b a b a b ----（）（）（）,=10a b --（）;（2）（a-b+c ）3（b-a-c ）5（a-b+c ）6356a b c a b c a b c （）（）（）=--+-+-+,14a b c （）=--+;（3）（b-a ）m ·（b-a ）n-5·（a-b ）555b a b a b a m n -=----（）（）（）,b a m n +=--（）;（4）x·x m-1+x 2·x m-2-3x 3·x m-31122333m m m x x x +-+-+-=+-,3m m m x x x =+-,m x =-.故答案为：（1）()10a b -- ；（2）()14a b c --+ ；（3）()m n b a +--；（4）m x -.【点睛】本题考查同底数幂的乘法. ，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则.21．计算：(1)()()()()32431313113x x x x ++×-×++-；(2)()2243·a a a +-；(3)()()2332·a a --；(4)()()()()()()2422342232··x x x x x x x x ×+---×--．【答案】(1)0(2)62a (3)12a -(4)0【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键：（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可；（3）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可；（4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可．【解析】（1）解：()()()()32431313113x x x x +×+++×--()()()543131[13]x x x =+++×-+()()553131x x =+-+0=；（2）解：()2243·a a a +-66a a =+62a =；（3）解：()()2332·a a --()66·a a =-12a =-；（4）解：()()()()()()2422342232··x x x x x x x x +---×-×-8888x x x x =+--0=．22．计算：（1）21n n n a a a ++××；（2）41122n n a a a a -+×+×；（3）25()()x y y x -×-．【答案】（1）33+n a ；（2）33+n a ；（3）7()x y --【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解析】（1）原式2133n n n n a a +++++==；（2）原式4112333223n n n n n a a a a a +-+++++=+=+=；（3）原式257()()()x y x y x y =--×-=--．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．23．计算：（1）()()()332222223x x x x -+-+×（2）()()423424()()2a a a a a -××--+-【答案】（1）634x -；（2）84a 【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．【解析】解：（1）()()()332222223x x x x -+-+×，=6642827x x x x --+g ，=666827x x x --+，=634x -；（2）()()423424()()2a a a a a -××--+-，8884a a a =-+，84a =．【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．24．已知105a =，10b =2，求：(1)210a +310b 的值；(2)23110a b ++的值．【答案】(1)33(2)2000【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题．（1）根据幂的乘方变形，代入计算即可；（2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得．【解析】（1）解：当105a =，102b =时，231010a b+()()231010a b =+2352=+33=；（2）解：23110a b ++ 23010110a b ´´=()()23101010a b =´´230521´´=2000=．25．若b 是正整数，且()2ba 9=，求321()33b a -()22a 的值．，求a 的值．（2）已知：23n x =，求()()4525n n n x x x +-的值．（3）已知354x y +=，求582x y ×的值．（4）已知2139273m m ´´=，求m 的值．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．27．若m n a a =（0a >且1a ¹，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果433x =，则x =___________；(2)如果982x =，求x 的值．(3)如果2155100x x ++-=，求x 的值．【答案】(1)4(2)3x =(3)1x =【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形．（1）根据m n a a =（0a >且1a ¹，m n 、是正整数），则m n =即可求解；（2）根据幂的乘方法则计算即可；（3）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可；【解析】（1）解：∵433x =，∴4x =，故答案为：4（2）∵982x =，∴()3922x=，∴3922x =，∴39x =，解得：3x =；（3）2155100x x ++-=∵2155100x x ++-=，∴11555100x x ++´-=，145100x +´=，∴125255x +==，∴12x +=，解得：1x =．28．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：①比较2a ，2b 的大小：当a b >时，22a b >，所以当同底数时，指数越大，值越大；②比较403和602的大小：因为()2040220339==，()2060320228==，98>所以406032>．可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．根据上述材料，解答下列问题：(1)比较大小：203__________159（填“>”或“<”）(2)已知443a =，334b =，225c =，试比较a ，b ，c 的大小．【答案】(1)<(2)c b a<<【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．【解析】（1）因为()1515230933==，2030<，所以201539<．故答案为：<；（2）因为()11444113381a ===，()11333114464b ===，()11222115525c ===，且256481<<，所以<<111111256481，所以c b a <<．29．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为：()n m mn a a = （m 、n 为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：()()n m mn m n a a a ==（m 、n 为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如()()32623x x x ==，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断9932的末尾数字，我们可以采用如下的方法：解析：9932的末尾数字等于992的末尾数字∵123422,24,28,216====，又16n （n 为正整数）的末尾数字均为6，∴()24994342422228168´44=´=´=´的末尾数字是68´的末尾数字，即为8．∴9932的末尾数字为8根据以上阅读材料，回答下列问题：(1)逆用幂的乘方，写出383的末尾数字(2)试判断199920002099+的末尾数字【答案】(1)9(2)1【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知81n （n 为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得3893819=´，于是得解；（2）根据阅读材料中提供的方法可得200099的末尾数字等于20009的末尾数字，又20001000981=，从而得出结论．【解析】（1）解∵123433,39,327,381====，又81n （n 为正整数）的末尾数字均为1，∴()9384924933339819´=´=´=´的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9．（2）∵12399,991,9729,===×××，则200099的末尾数字等于20009的末尾数字．∵1299,981==，又81n （n 为正整数）的末尾数字均为1，∴()10002000210002100099981´===的末尾数字为1．∵199920的末尾数字为0，∴199920002099+的末尾数字为011+=【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键．。
第06讲 极值点偏移：三极值点型(教师版)
第06讲三极值点问题参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•襄城区校级月考）已知函数2()()x a f x lnx-=（其中a 为常数）．（1）当1a =时，对于任意大于1的实数x ，恒有()f x k 成立，求实数k 的取值范围；（2）当01a <<时，设函数()f x 的3个极值点为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，求证：13x x +>．【解答】解：（1）1x >时，()f x k ，即2(1)0x klnx -- 成立，令2()(1)g x x klnx =--，则222()x x k g x x--'=，1x > ，2222(1)0x x x x ∴-=->①0k，()0g x '>，()g x ∴在(1,)+∞上是增函数，1x ∴>时，()g x g >（1）0=，满足题意；②0k >时，令()0g x '=，解得111202x -=<，211212x =>，2(1,)x x ∴∈，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 上是减函数，2(1,)x x ∴∈，()g x g <（1）0=，不合题意，舍去，综上可得，0k；（2）由题，2()(21)()a x a lnx x f x ln x-+-'=，对于函数()21a h x lnx x =+-，有22()x ah x x -'=，∴函数()h x 在(0,2a 上单调递减，在(2a，)+∞上单调递增函数()f x 有3个极值点123x x x <<，从而()()21022min a ah x h ln ==+<，所以a <当01a <<时，h （a ）20lna =<，h （1）10a =-<，∴函数()f x 的递增区间有1(x ，)a 和3(x ，)+∞，递减区间有1(0,)x ，(,1)a ，3(1,)x ，此时，函数()f x 有3个极值点，且2x a =；∴当01a <<时，1x ，3x 是函数()21ah x lnx x=+-的两个零点；即有1133210210a lnx x a lnx x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，消去a 有11133322x lnx x x lnx x -=-令()2g x xlnx x =-，()21g x lnx '=+有零点x =，且13x x <<∴函数()2g x xlnx x =-在上递减，在，)+∞上递增证明133131())x x x x g x g x +>⇔>⇔>13()()g x g x = ，∴即证11())g x g x >-构造函数()())F x g x g x =>-，则0F =只需要证明(0x ∈单调递减即可．而()22)2F x lnx ln x '=++，()0F x ''>，()F x '∴在(0上单调递增，()0F x F ∴'<=∴当01a <<时，13x x +>2．（2021•市中区校级模拟）已知函数()f x alnx x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值．（1）求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()(01)()x m g x m f x x-=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3123()x x x x <<，证明：131()22x x ln +>-．【解答】解：（1）()f x alnx x =-，()1af x x'=-， 函数()f x 在1x =处取到极值，f ∴'（1）10a =-=，即1a =．则()f x lnx x =-，f （1）1=-，∴曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程为1y =-；（2）222()()()()(01)()x m x m x m g x m f x x lnx x x lnx---===<<++-，函数的定义域为(0,)+∞且1x ≠，22212()()()(21)()mx m lnx x m x m lnx x x g x ln x ln x----+-∴'==，令()21mh x lnx x=+-，22()x m h x x -∴'=，()h x 在(0,)2m 上单调递减，在(2m，)+∞上单调递增；h （1）10m =-<，h （2）4221022m mln ln e =+-=+>，()h x ∴在(1,2)内存在零点，设0()0h x =，0x m ∴>，当()0g x '>时，即0x m <<，或0x x >，函数单调递增，当()0g x '<时，即0m x x <<，函数单调递减，∴当x m =时，函数有极大值，∴当01m <<时，x m =是()f x 极大值点；()2mh 是()h x 的最小值；()g x 有三个极值点123x x x <<，()21022m mh ln ∴=+<，得m <m ∴的取值范围为，当0m <<时，()20h m lnm =<，h （1）10m =-<，2x m ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点．∴1122210210m lnx x m lnx x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，消去m 得11133322x lnx x x lnx x -=-；令()2x xlnx x ϕ=-，()21x lnx ϕ'=+，()x ϕ'的零点为x =，且13x x <<．()x ϕ∴在上递减，在，)+∞上递增．要证明131()22x x ln +>-，即证13x x +>，等价于证明31x x >-，即31())x x ϕϕ>．13()()x x ϕϕ= ，∴即证11())x xϕϕ>．构造函数()())F x x xϕϕ=-，则0F =；∴只要证明在(0上()F x 单调递减，函数()x ϕ在(0，单调递减；x 增大时，x减小，)x ϕ-增大，)x ϕ-减小，)xϕ∴--在(0上是减函数．())x xϕϕ∴-在(0上是减函数．∴当0a<<13x x +>．即131()22x x ln +>-．3．（2021•台州一模）已知函数2()1x e ax f x x-=+．（1）若0a =，讨论()f x 的单调性．（2）若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ．①求a 的取值范围；②求证：1232x x x ++>-．【解答】解：（1）当0a =时，()1xe f x x=+，1x ≠-，∴2()(1)xxe f x x '=+，当()0f x '<时，x 在(,1)-∞-和(1,0)-上，()f x 单调递减，当()0f x '>时，x 在(0,)+∞上，()f x 单调递增，（2）①2()1x e ax f x x-=+ ，2[(2)]()(1)x x e a x f x x -+∴'=+首先(0)0f '=，令()(2)x g x e a x =-+，则()0g x =应有两个既不等于0也不等于1-的根，求导可得，()x g x e a '=-，此时，()0x g x e a '=-=有唯一的根0x lna =，并且0x 是()g x 的极小值点，要使()0g x =有两根，只要0()0g x <即可，（因为当x →+∞和x →-∞时，()(2))x g x e a x =-+→+∞由0()(2)(1)0lna x g e a lna a lna =-+=-+<，得1a e>，又由(0)0g ≠，得12a ≠，反过来，若112a a e >≠且时，则1(1)0g a e-=-<，()0g x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-，于是在定义域中，连同0x =，()0f x '=共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，()f x '的正负变号，它们就是()f x 的三个极值点，综上，a 的取值范围是111(,)(,)22e +∞ ；②证明由①可知()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x 中，两个是()0g x =的两根（不妨设为1x ，2x ，其中121)x x <-<，另一个为30x =，要证：1232x x x ++>-．只要证：122x x +>-，即只要证明122x x >--，因为()g x 在(,)lna -∞上单调递减，其中1lna >-，故只要证12()(2)g x g x <--，其中12()()0g x g x ==，只要证22()(2)g x g x <--，而22222(2)[(22]x x e a x e a x ---+<---+只要证22222(1)0x x e e a x ----+<，由222()(2)0x g x e a x =-+=，得222x e a x =+，由此代入上述不等式，只要证明2222222(1)02x x x e e ex x ----+<+，只要证22222(2)0x x x e x e --++>，令2()(2)x x h x xe x e --=++，当1x >-时，22()(1)(1)(1)()0x x x x h x x e x e x e e ----'=+-+=+->，()h x 单调递增，而(1)0h -=，所以当1x >-时，()0h x >，于是证22222(2)0x x x e x e --++>，即：1232x x x ++>-．4．（2021•辽阳二模）已知函数32()(2)(32xx x f x x e a =-+-．（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有3个极值点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，证明：2132x x x <．【解答】（1）解：2()(1)()(1)()x x f x x e a x x x e ax '=-+-=-+，令()x e g x x =，2(1)()x x e g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，且当0x <时，()0g x <．当0a >时，()f x 有2个极值点，当0e a -时，()f x 只有1个极值点，当a e <-时，()f x 有3个极值点．（2）证明：因为()f x 有3个极值点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，所以11x e ax =-，33x e ax =-且21x =，即得3113x x e e x x =，要证2132x x x <，即131x x <，由3113x x e e x x =，得331131x x x x x e e x e-==，设31x k x =，1k >，31x x e k -=，所以31x x lnk -=，联立3131,,x x lnk x k x -=⎧⎪⎨=⎪⎩得13,1,1lnkx k klnk x k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以2132()(1)k lnk x x k =-，所以要证131x x <，只需22()1(1)k lnk k <-，1k >，则有22(1)()k lnk k -<，即lnk <=，则需证明0lnk <．t =，1t >，即需证明21()0h t lnt t t=-+<．因为222222121(1)()10t t t h t t t t t -+---'=--==<恒成立，所以()h t 在(1,)t ∈+∞上是单调递减函数，则有1()(1)1101h t h ln <=-+=，即21()0h t lnt t t=-+<成立，所以131x x <，即2132x x x <得以证明．5．（2021春•兴义市校级月考）已知函数2()x f x lnx=．()I 求函数()f x 在区间14[e ，]e 上的最值；()II 若244()()m mx g x f x lnx -=+（其中m 为常数），且当102m <<时，设函数()g x 的3个极值点为a ，b ，c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<，并讨论函数()g x 的单调区间（用a ，b ，c 表示单调区间）【解答】解：（Ⅰ）2(21)()x lnx f x ln x-'=，令()0f x '=，解得x =所以函数()f x在14[e 上单调递减，在]e 上单调递增．f = ，f （e ）2e =>，∴函数()f x 的最大值为2e ，最小值为2e ；（Ⅱ）由题意：2244()x mx m g x lnx-+=，22(2)(21)()m x m lnx x g x ln x-+-'=，令2()21m h x lnx x =+-，222()x mh x x -'=，可以得到函数()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增；因为函数()g x 的3个极值点，又()()210h x min h m lnm ==+<，(2)220h m ln m =<，h （1）210m =-<，从而函数()g x 的三个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1，因为3个极值点为a ，b ，c ，且a b c <<，所以21a m m b c <<=<<，所以22a m b <=，故021a b c <<<<，函数()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a b 上单调递增，在(,1)b 上单调递减，在(1,)c 上单调递减，在(,)c +∞上单调递增．6．（2021•潍坊一模）函数2()()()(,)x f x x a x b e a b R =-+∈．（1）当0a =，3b =-时．求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的极大值点．()i 当0a =时，求b 的取值范围；()ii 当a 为定值时．设1x ，2x ，3x （其中123))x x x <<是()f x 的3个极值点，问：是否存在实数b ，可找到实数4x ，使得4x ，1x ，2x ，3x 成等差数列？若存在求出b 的值及相应的4x ，若不存在．说明理由．【解答】解：（1）0a =，3b =-时：2()(3)x f x x x e =-，2()(6)x f x e x x '=-，令()0f x '<，解得：x <或0x <<令()0f x '>，解得：0x <<或x >，()f x ∴在(,-∞，递减，在(0)，)+∞递增；（2）()i 解：0a =时，2()()x f x x x b e =+，222()[()]()()[(3)2]x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '∴=+'++'=+++，令2()(3)2g x x b x b =+++， △22(3)8(1)80b b b =+-=-+>，∴设12x x <是()0g x =的两个根，①当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意；②当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x <<．(0)0g ∴<，即20b <，0b ∴<．()ii 解：2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--，令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则△22(3)4(2)(1)80a b b ab a a b =-+---=+-+>，于是，假设1x ，2x 是()0g x =的两个实根，且12x x <．由()i 可知，必有12x a x <<，且1x 、a 、2x 是()f x 的三个极值点，则1x =2x =，假设存在b 及4x 满足题意，①当1x ，a ，2x 等差时，即21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，于是1223a x x a b =+=--，即3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=---=+或4123x x a a b a a =-=---=-，②当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=-若212()x a a x -=-，则242a x x +=，于是3212a x x =+=，3(3)a b =-++．两边平方得2(1)9(1)170a b a b +-++-+=，30a b ++< ，于是91312a b --+-=此时b a =--，此时22(3)3(3)143242a x a ab a b x b a ++---+++===--=+．②若12()2()a x x a -=-，则142a x x +=，于是3221a x x =+=，3(3)a b =++两边平方得2(1)9(1)170a b a b +-++-+=，30a b ++> ，于是91312a b -++-=，此时b a =--，此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++==--=+综上所述，存在b 满足题意，当3b a =--时，4x a =±，b a =--时，4x a =+72b a =--时，412x a -=+．7．（2021春•扬州校级月考）已知函数2()f x x ax b =++，()g x lnx =．（1）记()()()F x f x g x =-，求()F x 在[1，2]的最大值；（2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当102m <<时，若函数()G x 的3个极值点为1x ，2x ，3123()x x x x <<，（ⅰ）求证：123021x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用1x ，2x ，3x 表示单调区间）．【解答】解：（1）2()(0)F x x ax b lnx x =++->，2121()2x ax F X x a x x+-'=+-=，令()0F x '=，得104a x -=<，204a x -+=>，122()()()x x x x F X x--'=，列表如下：x2(0,)x 2x 2(x ，)+∞()F x '-0+()F x '递减极小值递增易知(){max F x max F =（1），F （2）}而F （1）F -（2）(1)(242)23a b a b ln a ln =++-++-=-+-，所以当23a ln -时，()max F x F =（1）1a b =++，当23a ln >-时，()max F x F =（2）242a b ln =++-；（2）（ⅰ）2244()x mx mG x lnx-+=，22(2)(21)()mx m lnx xG x ln x-+-'=令2()21m h x lnx x =+-，222()x mh x x -'=，又()h x 在(0,)m 上单调减，在(,)m +∞上单调增，所以()()21min h x h m lnm ==+，因为函数()G x 有3个极值点，所以210lnm +<所以0m <<，所以当102m <<时，1()21121402h m lnm ln ln =+<+=-<，h （1）210m =-<，从而函数()G x 的3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1，又123x x x <<，所以10x m <<，22x m =，31x >，即2102x x <<，2321x m x =<<，故123021x x x <<<<；（ⅱ）当1(0,)x x ∈时，2()210mh x lnx x=+->，20x m -<，则()0G x '<，故函数()G x 单调减；当1(x x ∈，2)x 时，2()210mh x lnx x=+-<，20x m -<，则()0G x '>，故函数()G x 单调增；当2(x x ∈，1)时，2()210mh x lnx x=+-<，20x m ->，则()0G x '<，故函数()G x 单调减；当3(1,)x x ∈时，2()210mh x lnx x=+-<，20x m ->，则()0G x '<，故函数()G x 单调减；当3(x x ∈，)+∞时，2()210mh x lnx x=+->，20x m ->，则()0G x '>，故函数()G x 单调增；综上，函数()G x 的单调递增区间是1(x ，23)(x x ，)+∞，单调递减区间是(0，12)(x x ，1)(1，3)x ．8．（2021•德阳模拟）已知函数2()()x a f x lnx-=（其中a 为常数）．（1）当0a =时，求函数()f x 的单调减区间和极值点；（2）当0a >时，设函数()f x 的3个极值点为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，①求a 的取值范围；②证明：当01a <<时，13x x +>．【解答】解：（1）0a =时，2()x f x lnx=，2(21)()()x lnx f x lnx -'=；(0,1)x ∴∈时，()0f x '<；x ∈时，()0f x '<；)x ∈+∞时，()0f x '>；∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，(1，极值点为x =（2）①2()(21)()ax a lnx x f x ln x-+-'=；令()21a h x lnx x =+-，22()x ah x x -'=；()h x ∴在(0,)2a 上单调递减，在(,)2a+∞上单调递增；∴()2ah 是()h x 的最小值；()f x 有三个极值点123x x x <<；∴()21022a ah ln =+<；∴a <；a ∴的取值范围为；②证明：当01a <<时，h （a ）20lna =<，h （1）10a =-<；2x a ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点；∴1133210210a lnx x a lnx x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩；消去a 得11133322x lnx x x lnx x -=-；令()2g x xlnx x =-，()21g x lnx '=+，()g x '的零点为x =，且13x x <<；()g x ∴在上递减，在)+∞上递增；要证明13x x+>⇔31x x >-⇔31())g x g x >；13()()g x g x = ，∴即证11())0g x g x->；构造函数()())F x g x g x=-，则0F =；∴只要证明x∈上()F x 单调递减；()g x 在单调递减；x ∴增大时，x减小，)g x -增大，)g x -减小；∴)g x--在(0上是减函数；∴())g x g x-在(0上是减函数；∴当01a <<时，13x x+>．9．设函数21()(1)()22x f x ax lnx ax a a R =+--++∈．（1）当2a =时，证明：()0f x ；（2）已知()f x 恰好有3个极值点1x ，2x ，3123()x x x x <<．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：231223147x x x a a x x x ++>-+．【解答】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得1()f x alnx x x'=-+，令()()g x f x ='，得221()x ax g x x-+'=-，注意到f （1）f ='（1）0=，（1）证明：当2a =时，222221(1)()0x x x g x x x -+-'=-=- ，当且仅当1x =时，等号成立，所以()f x '在(0,)+∞上单调递减，所以在(0,1)上()f x f '>（1）0=，在(1,)+∞上，()f x f '<（1）0=，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，于是()f x f （1）0=，（2）（ⅰ）①若0a，则()f x '在(0,)+∞上单调递减，由（1）知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()f x 有且只有1个极值点，不合题意，②若02a <<，因为二次函数21y x ax =-+的判别式△240a =-<，所以()0g x '<恒成立，()f x '在(0,)+∞上单调递减，由（1）知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()f x 有且仅有1个极值点，不合题意，③若2a =，由（1）知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()f x 有且仅有1个极值点，不合题意，④若2a >，令()0g x '=，得x =，记2A a x =，2B a x +=，结合二次函数21y x ax =-+的图象知：在(0,)A x 上，()0g x '<，()g x 单调递减，在(A x ，)B x 上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(B x ，)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()A f x f '<'（1）0=，()B f x f '>'（1）0=，当(0,1)x ∈时，因为1lnx x x -<，所以2lnx =->-，取0291642x a <<，则0014x x <34x <，则000000113()()(044f x x x x x x '>-+=-+>，由零点的存在性定理，∃唯一1(0,)A x x ∈，1()0f x '=，所以()f x '在(0,1)上有且仅有一个变号零点1x ，当(1,)x ∈+∞时，因为11111111111()()0f aln x alnx x x x x x '=-+=--+=，且()f x '在(B x ，)+∞上单调递减，所以()f x '在(1,)+∞上有且仅有一个变号零点11x ，此时1x ，21x =，311x x =是()f x 的极值点，综上所述，实数a 的取值范围是(2,)+∞．（ⅱ）证明：由（ⅰ）知()f x 恰有3个极值点当且仅当2a >，此时有2312323132x x x x x x x x ++=+，设22()h x x x=+，则只需证明23()47h x a a >-+，求导得22()2h x x x'=-，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，注意得到311B x x a >>->，所以232()(1)1h x a a >-+-，所以只需证明222(1)471a a a a -+>-+-，实际上，上式等价于2(2)0a ->，成立，所以原不等式得证．10．已知函数()f x axlnx k =+在(,)e e 处的切线方程为20x y e --=．()I 求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当102m <<时，若函数2(2)()()x x m G x f x -=的3个极值点分别为1x ，2x ，3123()x x x x <<，求证：123021x x x <<<<．【解答】解：（Ⅰ）由20x y e --=，可得2k =切，1()f x ax alnx a alnx x'=⨯+=+，所以k f ='切（e ）2a alne a =+=，所以22a =，解得1a =，又因为(,)e e 在曲线上，所以e elne k =+，解得0k =，所以函数()f x 的解析式为：()f x xlnx =．（Ⅱ）222(2)(2)(2)()()x x m x x m x m G x f x xlnx lnx---===，222112(2)(2)(2)(2(2))()()()x m lnx x m x m lnx x m x x G x lnx lnx ------'==，令12()2(2)21mh x lnx x m lnx x x=--=+-，222()x mh x x -'=，所以()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，所以()()21min h x h m lnm ==+，因为函数()G x 有3个极值点，所以210lnm +<，所以0m <<，所以当102m <<时，1()21121402h m lnm ln ln =+<+=-<，h （1）210m =-<，从而函数()G x 的3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1，又123x x x <<，所以10x m <<，2x m =，31x >，即2102x x <<，2321x m x =<<，故123021x x x <<<<．。
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第06讲 变化规律①学习了解和、差、积、商的变化规律； ①利用这些规律来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
和、差的变化规律如下表所示()0m ≠一个加数()a另一个加数()b和()cm ±不变m ±不变m ± m ±m ±m不变被减数()a减数()b 差()cm ±不变m ±不变m ±mm ±m ±不变乘、除变化规律见下表()0m ≠被乘数()a 乘数()b 积()c ×÷m 不变 ×÷m 不变 ×÷m ×÷m ×÷m÷×m不变被除数()a 除数()b 商()c ×÷m不变×÷m教学目标知识梳理我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
典例分析考点一：和、差的变化规律例1、两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【解析】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
例2、两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？【解析】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。
现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
例3、两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？【解析】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
例4、两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？【解析】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。
例5、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？【解析】如果一个加数增加8，另一个加数不变，和就增加8；现在要使和减少15，那么另一个加数应减小15+8=23。
考点二：乘、除的变化规律例1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？【解析】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
例2、两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？【解析】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商是8，余数是20×10=200。
例3、两数相乘，积是48。
如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？【解析】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
例4、两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？【解析】被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数扩大10倍，商是6，余数是300。
例5、小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少？【解析】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。
这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。
所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。
例6、王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。
正确的差是多少？【解析】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。
这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。
因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。
正确的差是：189＋58=247。
实战演练➢课堂狙击1、两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？【解析】和不变。
2、两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？【解析】差减少10+10=20。
3、两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？【解析】减数应减少15-6=9。
4、两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？【解析】被减数应增加16-9=7。
5、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？⨯=倍。
【解析】积扩大36186、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？÷=倍。
【解析】商缩小12267、两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？⨯=倍。
【解析】被除数应扩大36188、两个数相除，商是8，余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？【解析】商不变是8，余数缩小100倍是6。
9、两数相乘，积是20。
如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？【解析】假设一个因数扩大3倍，另一个不变，则积扩大3倍是60；现在另一个因数缩小4倍，那么积也缩小4倍变为15。
10、两数相除，商是19。
如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？⨯=；现在除数又缩【解析】如果被除数扩大20倍，除数不变，则商扩大20倍是1920380⨯=。
小4倍，那么商又扩大4倍是3804152011、小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。
正确的和是多少？【解析】把一个加数十位上的0写成了8，则加数增加了80，另一个加数个位上的6写成了9 ，则这个加数增加了3，所以整个结果就增加了80+3=83，那么原来的正确的和是532-83=449。
12、小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。
正确的和是多少？【解析】把一个加数十位上的7写成了1，那么和就减少了60，把个位上的8写成了0，那么和就减少8，所以整个的和就减少了60+8=68；现在的和是285，那么正确的和是285+68=353。
➢课后反击1、根据768÷24=32，你能直接写出下面算式的结果吗？768÷12= 384÷24= 384÷96=768÷48= 384÷12= 384÷48=【解析】64，16，4，16，32，8．2、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？-=。
【解析】应增加15873、两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？【解析】差增加121224+=。
4、如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积就______；如果一个因数缩小10倍，另一个因数缩小10倍，积就______；如果一个因数扩大100倍，另一个因数不变，积就______。
【解析】扩大1000倍；缩小100倍；扩大100倍。
5、已知两个数的积是3.56，如果把其中一个因数缩小100倍，要使积是35.6，另一个数的小数点应该向______移动______位。
【解析】35.6÷3.56=10，100×10=1000，另一个数的小数点应该向右移动三位，故答案为：右，三6、两个数相除，商是81，余数是9。
若被除数和除数同时缩小到原数的19，商是多少，余数是多少？【解析】商不变，仍为81，余数缩小9倍，为1。
7、小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。
正确的差是多少？【解析】把被减数的个位上3写成8，那么被减数就增加了5，把十位上的0写成了6，则又增加了60，即被减数一共增加了65，那么现在所得的差也就增加了65，所以正确的差是198-65=133。
1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是224，减数比差少16.如果被减数不变，减数增加35，差变为多少？（小学希望杯全国数学邀请赛 ） 【解析】假设被减数、减数、差的值分别为,,a b c,a b c -= 则b c a += ，224a b c ++= ，则224c b a a +==- ，可得112,a = 则有，112,16c b c b +=-= ，得64,48c b == 。
若被减数a 不变，减数b 增加35，那么c 就会减少35，差就变为643529-= 。
（1）了解和、差、积、商的变化规律；直击赛场重点回顾（2）理解掌握变化规律表；（3）掌握重点题型。
重点和难点突破：（1）理解记忆变化规律，弄清楚每一个数的变化，对最终结果的影响；（2）掌握数字看错导致的结果变化的题型，学会逆向思考➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是名师点拨学霸经验。