凸函数

一、凹凸函数的代数定义

容易理解，若函数 f（x）为凸函数，那么 -f（x）为凹函数。所以，讨论清楚了凸函数，等价于讨论清楚了凹函数。

现在我们来讨论凸函数，现设一函数 f（x）。在该函数定义域的凸区内任取两点x1、x2（x10 ，且q1+q2=1)那么易得，该点必包含于x1，x2之间。

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)≤

(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" ,反过来,就是凸函数; 由于一

阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0,凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高.