工程力学(第三章 扭转)PPT课件
工程力学 I-第3章 扭转

PP
Mc
u u u$ u G u
$ P
G
t
u u u u u u
PP
G PP
G
0H G H
$
*
0H
0H
H
* *3D
0H q
W
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%
材料力学 扭转3

T i L i j = å i (GI P )i
二、刚度条件 对于传动轴,有时即使满足了强度条件,还不一定能保证它 正常工作。例如:机器的传动轴如有过大的扭转角,将会使机器 在运转中产生较大的振动;精密机床上的轴若变形过大,则将影 响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。 一般地说:标志杆件扭转变形的物理量有两个: 绝对扭转角 相对扭转角
4
d 2 = 76 mm
5.选同一直径时
d = d . 4 mm 1 = 86
d1
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
C
M e 2
(- )
d 2 B
M e 3
A
M e 1
4580 N × m 7640 N × m
d1 C
受力合理
M e 2
A
M e 1
1.5kN∙m
j AC = j AB + j BC = 0. 0239 rad 0318 rad - 0 . 0079 rad = 0.
&
例题2
M 2
图示一空心传动轴,轮1为主动轮,力偶矩M1=9KN∙m,轮2、轮 3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2=4KN∙m,M3=3.5KN∙m,M4= 1.5KN∙m。已知空心轴内外径之比d/D=1/2,试设计此轴的外径D,并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G=80GPa,[τ]=60MPa。
t t¢
等直圆杆扭转时的应变能
x
dx
2 2
V e dAdx e = ò v e dV = ò ò v
V l A
1 = tg g 2
Tr = I P
=
圆轴扭转的计算(工程力学课件)

9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图(T图)
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图!
5
3
+
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
+
1200
T图(N.m)
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个,求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反, 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率: PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
(1)条件 (2)求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第九章扭转

P = Mω
2πn P ×10 = M × 60
3
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
例: P=5 kW, n=1450 r/min, 则 =
5 kW M=9549× (N⋅m) = 32.9 N⋅m 1450r/min
单辉祖:材料力学教程 8
扭矩与扭矩图
扭矩
扭矩定义-矢量方向垂直于横截面的内力偶矩, 扭矩定义-矢量方向垂直于横截面的内力偶矩, 并用 T 表示 符号规定-按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示, 符号规定-按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示, 矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正, 的扭矩为正,反之为负
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA=2πρdρ
Ip = ρ dA =
2
∫A
∫
D/ 2
d/2
ρ2 ⋅ 2πρ dρ
πD4 α= d Ip = 1−α4 D 32 Ip πD3 W= = 1−α4 p D 16 2
(
)
(
)
实心圆截面
πd4 Ip = 32
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πd 3 W= p 16
24
γ ≈tanγ =1.0×10−3rad
τ = Gγ
τ = (80×109 Pa)(1.0×10−3 rad) = 80 MPa
注意: 虽很小, 很大, 注意:γ 虽很小,但 G 很大,切应力 τ 不小
单辉祖:材料力学教程 18
例 3-2 一薄壁圆管,平均半径为 0,壁厚为δ,长度为 , 一薄壁圆管,平均半径为R 长度为l, 横截面上的扭矩为T,切变模量为G, 横截面上的扭矩为 ,切变模量为 ,试求扭转角ϕ。
解:1. 扭矩分析
圆轴的扭转工程力学

偶,其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同,常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定:将扭矩看做矢量,右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向,大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面,则扭矩为正(图7-3a、b); 反之,若扭矩矢量的方向指的截面,则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样,同一截面左右两侧的扭转,不但数值相等,而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
返回
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是:在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面,可取半径为ρ,宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6),dA=2πρdρ , 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力,必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中,作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的,通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
7-扭转变形PPT模板

,即
这样求得的 θ的单位为弧度 /米(rad /m)。在工程中, θ 的单
位习惯上用度 /米( ° /m)表示,所以把公式中的弧度换算为度,
得
工 程 力 学
它们的计算公式见表7-1。
表7-1 圆截面对截面形心的极惯性矩和扭转截面系数计算公式
2.2 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时,产生最大切应力的横截面称为扭转危险截面。考虑
轴横截面上切应力的分布情况,可知危险截面上的应力大小和该点到
圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点,即应力值最大的点
。为保证圆轴具有足够的扭转强度,轴的危险点的工作应力就不能超
截面上的扭矩 等于所求截面任一侧(左侧或右侧)所有外力偶的力
偶矩的代数和。
为了使从左、右两部分求得的同一截面上的扭矩正负号也相同,
对扭矩的正负号规定如下:按右手螺旋法则,使右手的拇指与其余四
指垂直,四指弯曲的方向与扭矩的转向一致,握住轴线,则大拇指的
指向背离所求截面的扭矩取正值,指向所求截面的扭矩取负值,简称
反映了圆轴抵抗扭转变形的能力,称为圆轴的抗扭刚度。
如果两截面之间的扭矩 值有变化,或轴的直径或材料不同,那
么应该分段计算各段的扭转角,然后叠加。
3.2 圆轴扭转时的刚度计算
轴类零件除应满足强度要求外,还应满足刚度要求,即不允许轴
有过大的扭转变形。工程中常采用单位长度的相对扭转角 θ来限制轴
的扭转变形的程度,从而使扭转变形量的表达式中消除长度l的影响
过材料的许用切应力[ τ ] ,故等直圆轴扭转的强度条件为
对于阶梯轴,由于 Wp各处不相等,所以最大的工作切应力 τmax
不一定发生在最大扭矩所在的截面上,因此需综合考虑扭矩T和 两个
工程力学—扭转变形

第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一,扭转变形的受力特点是:杆件受力偶系的作用,这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时,截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ,称为扭转角。
同时,杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线,γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时,应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min),则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时,截面上的内力矩称为扭矩,用T 表示。
扭矩的正负号,按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致,为正扭矩,反之为负;求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形,与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力,此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在且数值相等,两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线,这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体,其变形是相对两侧面发生的微小错动,以γ来度量错动变形程度,即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力τ和切应变γ成正比,即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量,常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时,横截面上的切应力垂直于半径,并沿半径线性分布,距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩,I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=, 163D W p π=(D 为直径) 空心圆截面)1(3244a D I p -=π, )1(1643απ-=D W p (D 为外径,d 为内径,D d /=α)(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ,称为圆杆抗扭截面系数(或抗抟截面模量)。
工程力学材料力学(3)

§3-1 工程实际中的扭转问题
在工程实际中,尤其是在机械传动中的许多构件,其主要变形是 扭转。例如丝锥攻丝和转动轴的工作情况。
受力特点: 受力特点 : 在垂直于扭转构件轴线的平面内作用有两个大小相等, 转向相反的力偶。 变形特点: 变形特点 : 在上述两力偶的作用下,各横截面绕轴线发生相对转 动。这时任意两横截面间将有相对的角位移,这种角位移称为扭转 扭转 角。图中的φAB就是截面B相对于截面A的转角
∑M
x
= 0, T = M A
取右段为研究对象,可得相同的结果 由此可见,杆扭转时,其横截面上的内力,是一个在截面平面内 的力偶,其力偶矩称为扭矩 扭矩。 扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力,它们的大小相等、转 向相反。为了使轴的同一截面上的扭矩的正负号相同,可采用右手螺 右手螺 旋法则规定其正负号。 旋法则
工程力学课件
2、静力学关系 、 圆轴扭转时,平衡外力偶矩的扭矩,是由横截面上无数的微剪力 组成的。如图所示,设距圆心ρ处的切应力为τp,如在此处取一微面 积dA,则此微面积上的微剪力为τρdA 。各微剪力对轴线之矩的总和, 即为该截面上的扭矩,即
T = ∫ ρτ ρ dA
dφ τ ρ = Gρ dx 因此 T = Gρ 2 dφ dA = G dφ ∫A dx dx
(a)
(b)
(c)
工程力学课件
由图可知:当切应力不超过材料的 剪切比例极限 (τp)时,切应力与切应变 之间成正比关系,这个关系称为剪切 剪切 胡克定律,可用下式表示: 胡克定律
τ = G ⋅γ
式中,G为材料的剪切弹性模量 剪切弹性模量,单位与弹性模量E相同,其 剪切弹性模量 数值可通过试验确定,钢材的G值约为80 GPa。 理论与试验表明:剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在如 下关系:
工程力学(扭转)课件

扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中,扭转力用 于传递扭矩,实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中,扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩,保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中,扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢,变形量较 小;动态扭转力作用迅速,变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量,具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算,还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料,可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构,需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步,工程力学 (扭转)的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合,探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现,扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL,其中M为力矩,F 为力,L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零,即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0,其中∑表示求和符号, M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系
工程力学教学课件:第三章 扭 转

1. 芯轴横截面上的最大切应力为:
max
Mx Wp1
T1
d3
16
根据对最大切应力切应力的限制,有
轴max
Mx Wp1
T1 πd3
60 106
16
18
图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合,二者在B、C处连成一体;在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm;轴套的外径D = 80mm, 壁厚δ= 6mm。若二者材料相同,所能承受的最大切应力不得超过 60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
2.轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截
面上扭矩的 百分比;
3.去掉r = 15mm以内部分,横截面上的最大切应力增加的百分
比
解: 2. 轴横截面上半径r = 15mm以内部分承 受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比:
Mr
dA
A1
r 0
Mx Ip
2πd
2πM x r4
Ip=
d
32
4
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip=
D
32
4
(
1-
4
)
D 3
Wp= 16 ( 1- 4 )
=d / D
6
§3–6圆轴扭转破坏与强度条件
一、扭转失效与扭转极限应力
低碳钢试件: 沿横截面断开。
铸铁试件: 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
7
在扭转实验中,塑性材料试件受扭时,首先屈服,在试 件表面出现横向与纵向的滑移线,继续增大扭转力偶, 试件沿横截面剪断;脆性试件没有变形很小,最后会在 与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。
三、刚度条件
T
工程力学课件 扭转

2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
(3)计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意:Ti 应是代数值,有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
#刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
#设计截面 #计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力? 其应力公式如何分析与推导?
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩,称为微力矩 在整个横截面上,所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
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M3 2 M1 B2 C
3M4
n 3D
T2 M2 M3 0 , T2 M2 M3 (4.784.78)9.56kNm
M4T3 0, T3 M4 6.37kNm
11
③绘制扭矩图 T 9.56kN mBC段为危险截面。 maxT14.7k 来自N mT29.5k6N m
M2
M3
M1
T36.3k 7N m
1
§3–1 工程实际中的扭转概述
2
扭转:外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直,杆发生的变形为扭转变形。
轴:工程中以扭转为主要变形的构件。如:机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
A
B O
A
O B
Me
Me
扭转角():任意两截面绕轴线转动而发生的角位移
3
工 程 实 例
4
§3–2 扭矩时的内力
A
B
M1
M4
n
C
D
M 2 M 3 9
5 P 2 5 90 5 155 4 0 .7 0(8 k m N)
n
300
M 4 95P n 45 905 3 2 50 0 0 6 .0 0 3(7km N)
10
②求扭矩(扭矩按正方向设)
M2 1
Mx 0 ,
T1 M2 0 T1 M2 4.78kNm A 1
6
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩:构件受扭时,横截面上的内力偶矩,记作“T”。 2 截面法求扭矩
Mx 0
M
M
TM0 TM
3 扭矩的正负号规定:
x
M
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正,
反之为负。
7
4 扭矩图:表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 ①扭矩变化规律;
的 ②|T|max值及其截面位置
dA
T A dA
A
G
2
d dx
dA
O
4.
G
d dx
A 2dA
令 I A2dA
I p 称为横截面对形心的极惯性矩。
T
GI
d
dx
d
dx
T GIp
代入物理关系式 Gddx
得:
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
26
T
Ip
4. 公式讨论:
① 仅适用于各向同性、线弹性材料,在小变形时的等截面
2 2 2 d 0
O
D
D4 32
28
对于空心圆截面:
I A 2dA
D
2 d
2 2
d
2
(D 4 d 4) 32
D 4 (1 4 ) 32
d
(
d D
)
d
D O
29
④ 应力分布
(实心圆截面)
(空心圆截面)
工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料,重量轻, 结构轻便,应用广泛。
①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系
23
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力:
1. 变形几何关系:
tanG d1G xdd x
d
dx
距圆心为 任一点处的切应变与该点到圆心的
距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿轴线的变化率。
24
2. 物理关系:
胡克定律: 代入上式得:
G
G
Gd
dx
G
d
dx
25
3. 静力学关系:
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
15
微小矩形单元体如图所示: ①无正应力
´
a
b
②横截面上各点处,只产 dy
´
生垂直于半径的均匀分布的切
c
d
应力 ,沿周向大小不变,方
dx
向与该截面的扭矩方向一致。
④ 与 的关系:
(tan)
LR
R
L
16
二、薄壁圆筒切应力 大小:
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0:平均半径所作圆的面积。
17
三、切应力互等定理:
´
a
b
mz 0
dy
( tdy)dx(tdx)dy
´
c
故
z
dx
d t
上式称为切应力互等定理。
该定理表明:在相互垂直的两个平面上,切应力必然 成对出现,且数值相等,两者都垂直于两平面的交线,其 方向则共同指向或共同背离该交线。
30
⑤ 确定最大剪应力:
由
T
Ip
知:当
Rd ,
2
max
ma xTId 2ITd 2W Tt (令 W t I
A
T (kN.m)
B
C
–
4.78
–
9.56
M4
n D
6.37
x
12
§3–3 薄壁圆筒的扭转
13
薄壁圆筒:壁厚
t
1 10
r0
(r0:为平均半径)
一、实验:
加载前: 绘纵向线,圆周线。 施加一对外力偶 M。
14
施加一对外力偶 M后: ①圆周线不变; ②纵向线变成斜直线。 (小变形)
3.结论:①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变,只是绕轴线作了相对转动。
18
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用,这 种情况称为纯剪切。 四、剪切胡克定律:
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T=M
T (2A0t) (LR)
剪切胡克定律:当切应力不超过材料的剪切比例极限
时(τ ≤τp),切应力与切应变成正比。
20
G (剪切胡克定律)
式中:G是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量,因 无量纲,故G的量纲与 相同,不同材料的G值可通过实验确定,
强度计算(危险截
面)。例前轴的扭矩图如下:
T
x
8
[例1]已知:一传动轴, n =300r/min,主动轮输入 P1=500kW, 从动轮输出 P2=P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图。
M2
M3
M1
M4
n
A
B
C
D
9
解:①计算外力偶矩
M2
M3
M1
9550P1 n
9550500 300
15.9(kNm)
圆轴。
② 式中:T—横截面上的扭矩,由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩,纯几何量,无物理意义。
27
I A 2dA 单位:[长度]4
③ 尽管由等直实心圆轴推出,但同样适用于等直空心圆轴, 也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。
对于实心圆截面:
I A 2dA
d
D
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系:
G
E 2(1
)
可见,在三个弹性常数中,只要知道任意两个,第三个量 就可以推算出来。
21
§3–4
圆轴在扭转时的应力 强度条件
22
等直圆轴横截面应力
一、等直圆轴扭转实验观察: 1. 横截面变形后仍为平面; 2. 轴向无伸缩; 3. 纵向线变形后仍为平行。
5
一、传动轴的外力偶矩 已知某传动轴的传递功率为P(kW),转速为n(rpm),
求该轴上作用的外力偶矩M。作用在轴上的外力偶矩M在每 秒钟内完成的功应等于给轴输入的功:
1kW 1000 m /N s
(M 2 n)/6 P 1 000 m 0/(sN ) M 955nP 0 r/kmw in (N m)