第3讲 排队系统的基本概念
排队问题知识点总结
排队问题知识点总结排队论起源于20世纪初学者与工程师们在电报、电话交换、交通运输等实际工作中遇到的问题。
20世纪20年代，这些问题引起了数学家的注意。
1925年丹麦学者A.K.厄劳札( Agner Krarup Erlang )首先提出要建立一个数学模型对通信系统中的电报在传递和处理中的排队问题进行研究。
他用数学上的标准方法解决了问题，从此排队论这一学科便有了起步发展的积淀。
今天，排队论已在交通运输、电信通讯、工程及服务管理、医学卫生、经济学、统计学、计算机科学等系统分析领域中得以广泛应用。
排队问题所涉及的知识点包括排队论基本概念、排队模型、排队系统性能评价、排队过程中的成本分析、排队优化模型等。
下面就对排队问题的相关知识点进行总结阐述。
排队论基本概念排队论是研究由于服务台能力有限以及到达率和要求的总体量之差异所引起的待服务队列问题。
在排队论中，通常会涉及到以下几个基本概念：- 顾客到达模型：描述顾客到达的规律，常用的到达模型包括泊松过程、指数分布、正态分布等。
- 服务台模型：描述服务台的服务能力，包括单一服务台、多重服务台、无限服务台等。
- 排队规则：描述顾客在队列中等待和被服务的规则，包括先来先服务(FIFO)、最短排队等待(SJF)、最高优先权优先服务(HPF)等。
- 排队系统性质：包括平均队长、平均等待时间、系统繁忙度等系统性能指标。
排队模型排队模型是对排队系统进行描述和分析的数学模型。
在排队模型中，通常会考虑到以下几种基本排队模型：- M/M/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。
- M/M/c模型：描述多重服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。
- M/G/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合一般分布的排队系统。
- M/D/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间是固定的排队系统。
排队系统性能评价排队系统性能评价是对排队系统性能进行量化与分析的过程，主要包括以下几个方面：- 平均队长：描述系统队列中平均存在的顾客数量。
排队论基础
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
排队系统
2. 排队系统的概念
在实际应用中，有一大类系统被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中顾 客到来的时刻与服务时间的长短都是随机的，并且可能会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看 成是一种随机服务系统。对于不同的电信网络，可以使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。模拟这些系统的排队系统的状态变化实际上是一个生灭过 程。
到来的顾客流
队列
离开的顾客流 服务员
服务机构
图1.排队系统模型
•
要仔细描述一个排队系统，主要需要描述三个方面的内容：输入过程、服务 时间、排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型 和假设。
t1 t2 服务员 队列
服务机构
τ1
τ2
图2 排队系统的点移动模型 如果只有一个服务员，在轴上有一些点从左向右做同 速率的匀速直线运动，图中的t1,t2….表示顾客到达排队系 统的到达间隔，它们均为随机变量；在系统忙时，τ1， τ2…表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于 ti和τi满足下面3个假设： （1）ti独立同分布； （2）τi独立同分布； （3）ti和τi独立。
图4到达过程A(t)和离开过程B(t)
列德尔（Little）公式
•
如果N 表示系统中的平均顾客数，T 表示顾 客在系统中的平均时间（这个时间 有时也 被称为系统时间）,λ 表示单位时间到达系 统的顾客数，对于任意排队系统，有 N= T λ 上面结论可以证明对于 任意排队系统都是正确的，直观意义就是 一种平衡关系。
图3 排队系统模型
3. Little公式
Little 公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。 下 面考虑一个任意的排队系统，为了说明 Little 公式，首先定义：A（t）为在（0,t ） 内到达的顾客数；B(t)为在（0，t）内离开的顾客数；那么t时刻系统内的顾客数为 N（t）=A(t)-B(t)
排队系统_系统分析
自动排队系统设计需求分析由于银行业务往来繁多，顾客无法得到良好的服务，为了更好的解决银行办理业务排队难的问题软硬件功能划分➢软件方面实现系统与客户之间的交互，实现支配硬件➢硬件方面实现显示，语言提示，自动叫号，等功能；系统的体系结构➢软件体系结构整个系统将有三部分组成：人机交互界面以及按钮，内部即时消息处理，硬件支配➢硬件体系结构触摸显示屏，电子显示牌，小型打印机，语音设备（扩音器），数据线，数据存储器详细设计➢软件部分提供给用户交互的三个按钮：普通客户按钮，VIP客户按钮，公司客户按钮每个客户一次按钮系统将按照递增的顺序提供相应的标号比如PT001VIP客户或公司客户按下按钮时将产生标号如VIP0001和 QI0001VIP客户比普通客户的优先级高，比企业级客户优先级低保存正在处理的客户标号以及下一个客户的标号当长时间没有新的客户时，系统所有数据回归初始化状态，计数重新开始；➢硬件部分触摸显示屏接受客户消息将软件提供的标号打印出一张小票。
将正在办理和下一个办理的客户通过数据线发送到电子显示牌在柜台显示正在办理业务客户的标号以及显示下一位客户的标号。
发声器呼叫客户标号➢软硬件协调部分驱动硬件打印相应的标号，驱动数据线将正在办理业务以及下一个办理的客户及时发送电子显示牌。
有软件发出语音命令由扩音器发声。
数据存储器及时存储已将产生的队列信息；功能模块图电子显示牌发声器服务器触屏显示屏系统测试首先在模拟环境中重复做简单的功能测试，以及模块测试。
各个模块之间的耦合性分析本系统占用内存的情况，以及速度更新的速度。
图形用户交互界面响应时间比；存储器数据的压缩与恢复最后在开发板上做一次整体的模拟测试；系统集成与实现将硬件进行裁剪将软件烧至硬件中作出相应的测试整个系统开发完成。
排 队 系 统
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顾客到达
队列
服务台1 服务台2 服务台3
（e）多队列、多服务台、单服务阶段
顾客离去
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2、排队结构类型的特点
队列数量对排队类型特点的影响
单队列：比较公平，先来者先服务，顾 客不必担心排错队 多队列：感觉比较短、比较快，离服务 员距离近；当发现自己选择对了队伍， 比先来者先获得服务，那么他会获得一 种幸运的感觉。
4
2、顾客源总量
有限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量比
较少，每一位顾客的到来和离去都会影响到队列的长度， 影响到下一次要求服务的概率。
例如：咨询公司、律师事务所、美容店的 顾客人数 无限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量非
常多，顾客人数的少量增减不会对顾客到达时间的概率 分布产生显著影响。
也就是说，随机变量“顾客到达率”或“顾 客到达人数”服从参数为λt（当t取1时，该参数 为λ，即平均顾客到达人数）的泊松分布。
11
二、排队规则
排队规则：也就是优先服务规则，它决定了顾
客队列中哪些顾客将优先获得服务。
排队规则的制定：它可能是由服务系统明确规定的，
也可能是出于行规或人们普遍接受的社会观念。
例如，高速公路收费服务
5
3、顾客群规模
含义：是指一起来消费的同一组顾 客的数量。到达的顾客群规模一般 服从一定的概率分布。 对顾客群规模的预测，将会关系到 服务系统服务能力的配置和调整。 例如，餐馆的餐桌配置应当依据顾 客群规模的预测。
6
4、耐心程度
耐心顾客:在接受服务前一直在等待的顾客。 不够耐心的顾客分为两类：
负指数分布具有连续型的概率密度函数 泊松分布是一种离散型的概率函数
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负指数分布
排队论
排队论道路上交通流排队现象随时可见，如高速公路收费站的车辆排队，加油站等候加油的车辆排队等等。
因此，有必要研究交通流中的排队理论及其应用。
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。
一、排队论的基本概念1．“排队”与“排队系统”“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在服务的车辆。
2．排队系统的三个组成部分（1）输入过程指各种类型的“顾客（车辆或行人）”按怎样的规律到来。
有各种类型的输入过程，例如：定长输入——顾客等时距到达。
泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。
这种输入过程最容易处理：因而应用最广泛。
爱尔朗分布——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
（2）排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
例如：损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来；等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。
服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先服务（如急救车、消防车）等多种规则；混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队伍；若队长大于等于L，顾客就离去，永不再来。
（3）服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。
每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。
服务时间的分布主要有如下几种：定长分布——每一顾客的服务时间都相等；负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布；爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
3．排队系统的主要数量指标（1）等待时间——从顾客到达时起到开始接受服务时的这段时间; （2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度；（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
排队系统
排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长 ， 即稳态系统任一时刻的 平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客 在公路收费站排队的车辆 病人 到达机场上空的飞机 不能运转的机器 到达港口的货船 客户 进入我方阵地的敌机 汽车驾驶员 需加油车辆 服务内容 收费 看病 降落 修理 装货（卸货） 装货（卸货） 法律咨询 我方防空火力射 执照年码头或泊位 法律咨询人员 我方高炮或防空导弹 管理部门年审办事员 加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称； 顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机 构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统 。 顾客为了得到某种服务而到达系统， 顾客为了得到某种服务而到达系统 ， 若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍， 服务而又允许排队等待 ， 则加入等待队伍 ， 待获得服 务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束 的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票 员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。 售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然 后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相 关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状 态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的 基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是 排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰 到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验 顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务 时间的分布及有关参数等。
排队论之简单排队系统
5.2.4 无限源的简单排队系统所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。
本节我们讨论一些典型的简单排队系统。
1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。
相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。
两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。
为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。
图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-，()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。
值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。
于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53） 平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。
随机服务系统理论排队论
随机服务系统理论排队论
第三，排队系统是由顾客到达过程、服务过程和排队结构组成的。
排
队结构主要包括单通道排队系统、多通道排队系统和并行排队系统等。
单
通道排队系统是指只有一个服务设施，顾客依次等待服务；多通道排队系
统是指有多个并行的服务设施，顾客可以选择一个通道等待服务；而并行
排队系统是指有多个并行的服务设施，顾客可以同时接受多个设施的服务。
通过对排队系统的研究，可以分析系统的繁忙程度、排队长度和等待时间
等指标，为系统的设计和管理提供依据。
最后，排队系统的性能评估和优化是排队论研究的核心任务。
性能评
估主要包括系统的平均等待时间、平均服务时间、系统繁忙度等指标；而
优化问题主要包括如何设计系统的排队结构、如何分配资源和如何调整服
务策略等。
通过对性能评估和优化的研究，可以提高系统的服务能力和服
务质量，提高顾客满意度和系统的效益。
排队系统概述
顾客到达
……
服务台
服务完成后离开
图二 单服务台服务过程
服务台1
顾客到达
……
服务台2
………
服务台S
服务完成后离开
图三 多服务台并联单个队列服务过程
……
服务台1
服务完成后离开
顾客到达
…… 服务台2
服务完成后离开
……
………
服务台S
服务完成后离开
图四 多服务台并联多个队列服务过程
顾客到达
…… 服务台1
…… 服务台S
（4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后顾客的到来没 有影响。在港口，前面船舶的到达时间对后面船舶的到达时间没有影响。
（二）排队规则。排队规则主要描述服务机构是否允许顾客排队、顾客 对排队长度、时间的容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。常见 的排队规则有如下几种情况：
（1）损失制排队系统。这种排队系统的排队空间为零，即不允许排队，顾客到 达系统时，若所有服务台均被占用，则自动离去，并假定不再回来。 （2）等待制排队系统。当顾客到达时，如所有服务台均被占用且允许排队，则 该顾客将进入队列等待。对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用以下规 则： ① 先到先服务（FCFS）。按照到达先后次序排成队依次接受服务，是最常见的 服务规则； ② 后到先服务（LCFS）。后到达的顾客先先接受服务。如仓库中后到的零件、 材料由于堆放在最上面而先被领走就属于这种情况； ③ 优先权服务（PR）。按照重要性对到达的顾客进行分类，服务设施优先对重 要性级别高的顾客服务，级别相同的顾客则按照先到先服务原则。如银行服务 系统对VIP客户实施优先服务，普通顾客则按照先到先服务原则进行服务； ④ 随机服务（SIRO）。到达服务系统的顾客不成队伍，当服务设施有空时，随 机选取一名顾客进行服务，对每名等待的顾客来说，被选取的概率相等。如， 仓库中并排放置的零件，当有领单下达时，库管员是随机选取的。
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
分析-排队系统
0, t a S 0 t 1, t a
§2 到达时间间隔和服务时间分布 2001.9.10
几种常用的概率分布
• 泊松分布：如果动态实体到达的分布满足下列四个条件：
– 平稳性 在区间内[a，a+t [有k个顾客到来的概率与a无关，而只与t， k有关，记此概率为Vk(t )；
§3-1 排队论的基本概念
2001.9.10
队列度量的观察量
对于队列的度量，通常考察两个量： 队列的长度和排队的时间 这两个量都是变量，不同时间的队列长度是不同的，不同动 态实体的排队时间也是不同的。在仿真实验中，对这两个量 的变化进行统计，计算出其均值、方差、最大值、最小值等。 这些值反映了一个服务系统的重要特征。
2001910排队系统排队系统第三章排队系统31排队论的基本概念32到达时间间隔和服务时间的分布33排队系统的分析34排队系统的仿真35仿真程序设计2001910排排当某个时刻要求服务的动态实体数量超过服务机构的容量时就会出现排队现象排队系统中顾客到达的时刻与接受服务的时间都是不确定的随着不同时机与条件而变化因此排队系统在某一时刻的状态也是随机的当某个时刻要求服务的动态实体数量超过服务机构的容量时就会出现排队现象排队系统中顾客到达的时刻与接受服务的时间都是不确定的随着不同时机与条件而变化因此排队系统在某一时刻的状态也是随机的增加服务台的个数即
• 服务设备利用率ρ定义为得到服务的动态实体的到达速率 与服务速率之比： • 在多服务设备系统中
n
式中，n为服务设备数目，μ为每个服务设备的平均服务速率，这里假设 每个服务设备的服务速率相同。显然在多服务设备系统中，服务员人 数越少，服务设备利用率就越高。
3通信网2
例1：若某事件流是泊松流 ，求两个事件和两个 事件以上同时发生的概率。 解：根据泊松分布 ： P{ I = k }= λk e-λ/ k! 两个事件和两个事件I ≥ 2， P（ I ≥ 2）= P（ 2）+ P（ 3）+ P（ 4）+… = 1- P（ 0）- P（ 1） =1- e-λ- λe-λ
Poisson过程与负指数分布 设 K为时间 0, t 内到达系统的顾客数则 K 为参数为 的Poisson过程的充要条件是 相继到达的时间间隔T服从相互独立的参数为 的负指数分布。 t
E 1 / , T
e , t 0 aT (t ) 0 , t 0
服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
排队系统类型：
顾客到达
服务台1
服务台s
离开
多服务台串联排队系统
（2）排队系统的一般表示
顾客到达，排队等待，服务机构给予适当的服 务以满足顾客的需求，顾客离开服务机构，这四 个环节便组成一个排队模型。
3.2.1
排队论基本概念
2．排队系统的基本参数
(1) 顾客到达率 顾客到达率 是单位时间内平均到达排队系统的 顾客数量。 任意相邻两顾客到达的时间间隔 T 是一个随机 变量。 T 的统计平均值 T 就是顾客到达的平均时间 间隔，其倒数即为顾客到达率
顾客到达间隔时间的概率密度函数为
dFT (t ) f T (t ) e t dt
典型分布 —— 泊松分布 (平稳状态） 如果顾客到达的人数是符合泊松分布， > 0 为 单位时间平均到达的顾客数: P{ I = k }= k e - / k! (k=0,1,2,…) 在时间T内到达有k个顾客到达的概率为： P{ I = k }= （λT）k e-λT/ k! ， 在时间T内顾客到达的平均顾客数= λT， 平均到达速度（顾客数/秒）= λ
排队系统分析(全)
服从负指数分布的情形：
高度耐磨损的电子元器件
假若 T 表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0 时
间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用 时间的概率一样，即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要
讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，即
>
t0
)
=
P (T > t0 + t ) P (T > t0 )
=
e−λ(t0 +t) e−λt0
=
e−λt
=
P (T
> t)
¾进一步：负指数分布的密度函数为:
fT
(t
)
=
⎧λe −λt
⎨ ⎩0,
,t t
≥ <
0 0
1
参数 λ 即其均值的倒数。因此，λ 的含义是平均间隔时间，
这与 λ 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
fv (t)
=
⎧μe −μt , t ≥
⎨ ⎩ 0,
t<
0 0
平均对每位顾客的服务时间为 1 μ
参数 μ 的含义——服务率
注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描
述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
第五章 排队系统分析
（Queuing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节
献血排队
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
λ
λ
λ
λ
0
1
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
排队论简要知识
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
第三章 排队系统(3.4)
M/G/1排队系统
0
顾客所需的服务时间序列 i , i 1相互独立，服从同一分布G (t),t>=0,记平均
服务时间为 0< 1 = t dG t
P vn =k =
t
k!
k
0
e-t d G t , k 0
k Vn z =E z = P v = k z n v k =0 k
M/G/1排队系统
• 对于M/G/1排队系统，由于服务时间是一般分布，对任选 的一个时刻t，正在接受服务的顾客可能没有服务完。从 时刻t起的剩余服务时间的分布不再具有无记忆性质，于 是队长过程{N(t)，t>=0}不再具有马尔可夫性质。
令 N n+ 表示第n个顾客服务完毕离开时留在系统中的顾客数，
则 N n+ ,n 1 是马尔可夫链，被称为队长过程{N(t)，t>=0}的 嵌入马尔可夫链。
+ + + + Nn N , N • 当已知 N n 时， 只与到达过程有关，而与 +1 1 2 ,
+ ,N n -1 无关。
+ + • 定义 Pij 为其一步转移概率，即 Pij =P N n +1 =j N n =i
• 则有
k = lim P vn =k
n
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M/G/1排队系统
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M/G/1排队系统
i-1 i-Ni 服务员
第i个用户到达
S 第l个用户正在接受服务 Ni个用户正在等待服务
• 第i个用户的等待时间Wi为
Wi Ri N i 个用户的服务时间 Ri
排队理论模型课件
表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务 n
时间所构成的序列
{ }n 服从相互独立的且与某一随机
变量
有相同分布，其中
的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等) (3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，消失制和混合制。所谓等待制(系统容量
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设 计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为
排队等待的顾客数，其期望记为 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
煤矿
火车
煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验有关分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负指数分布， 则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程，而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随机过程的生灭过程。
t n(t)
n
' n(t)
排队系统的基本概念
K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
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排队系统
四． 排队系统的符号表示
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模 型进行描述或分类，可以给出很多的排队模型。为了 方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目 前在排队论中被广泛采用的“Kendall 记号”，一般形 式为：
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生灭过程
p
，
n
n
0,1,2,...
求解状态n的概率
为求平稳分布，考虑系统可能处的任 一状态n。假设记录了一段时间内进入状 态n和离开状态n的次数，则因为“进入” 和“离开”是交替发生的，所以这两个数 要么相等，要么相差为1。但就这两种事 件的平均发生概率是相等的。即当系统运 行相当时间到达平稳状态后，对任一状态 n来说，单位时间内进入该状态的平均次 数和单位时间内离开该状态的平均次数是 相等的，这就是系统在统计平衡下的“流
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排队系统的数据指标
忙期和闲期
B
I
忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲
期为和 ，s为系统中并行的服务台数。
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排队系统的基本问题
六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规律， 即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。
1. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数
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排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系 统的运行的状况，对系统进行调整和控 制，使系统处于最优的运行状态。因此， 首先需要弄清系统的运行状况。描述一 个排队系统的主要数量指标有：
第三章 排队系统(3.4)
M/G/1排队系统
• 对于M/G/1排队系统，由于服务时间是一般分布，对任选 的一个时刻t，正在接受服务的顾客可能没有服务完。从 时刻t起的剩余服务时间的分布不再具有无记忆性质，于 是队长过程{N(t)，t>=0}不再具有马尔可夫性质。
令 N n+ 表示第n个顾客服务完毕离开时留在系统中的顾客数，
则 N n+ ,n 1 是马尔可夫链，被称为队长过程{N(t)，t>=0}的 嵌入马尔可夫链。
• Moment- generating function of the discrete random variable Definition GN ( z ) E[ z N ] P( N n) z n ∣z∣≤1
Properties: ·
GN 1 P ( N n) 1
(4)
M t
1 M t i 1 Rt 2 t M t
2 X i
(5)
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M t 2 X i
1 M t i 1 Rt 2 t M t
平均离开率＝ 平均到达率
(6) Xi的二阶矩
t
1 R X2 2
• 寻找马尔可夫性成立的时间点序列 • 针对这些点序列建立马尔可夫平衡方程式，求解在这些特 殊时刻的状态概率 • 利用排队系统的基本定理求解任意时刻的状态概率 • 仅适合于顾客的到达或服务过程的其中之一具有马尔可夫 性（无记忆性）的排队系统
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3.4.1 一般服务的M/G/1排队系统
国家重点实验室
i
W R X NQ R
1
NQ R
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K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布，
能更广泛的适应于现实世界。
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排队系统
四． 排队系统的符号表示
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描 述或分类，可以给出很多的排队模型。为了方便对众多的模型的 描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall 记号”，一般形式为：
生灭过程
• 生灭过程简介
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭 过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程， 在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在 排队系统中，如果用N(t)表示时刻t系统中的顾客 数，则｛N(t)，t≥0｝就构成了一个随机过程。如 果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的 离去，则对许多排队过程来说，｛N(t)，t≥0｝就 是一类特殊的随机过程 － 生灭过程。
e t a (t ) 0
t0 t0
（2.1）
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排队系统
2. 排队及排队规则
a) 排队 ① 无限排队：系统中的顾客是无限的，队列可 以排到无限长，顾客到达系统后均可以进入 系统排队或接受服务。
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排队系统
二．排队系统的形式
1. 单服务台的排队系统
顾客到达
队列
...
完成服务后离去 服务台
正在接受服务的顾客 单服务台排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
2. S 个服务台，一个队列的排队系统
服务台 1 顾客到达 队列
...
完成服务后离去 服务台 2 服务台 3 S 个服务台，一个队列的排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
3. S 个服务台，S个队列的排队系统
队列 1 完成服务后离去 服务台 1 完成服务后离去 服务台 2 完成服务后离去 服务台 3
...
顾客到达 队列 2
...
队列 3
...
S 个服务台，S个队列的排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
4. 多个服务台的串联排队
顾客到达
队列
...
队列
服务台
...
完成服务后离去 服务台 多个服务台的串联排队
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排队系统
三．排队系统描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起 来都由三个基本部分组成：输入过程、 排队及排队规则和服务机制。
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排队系统
一．排队系统的特征
1.
• •
排队除了有形的队列外，还可以是无形的队 列。
电话预定租车服务； 网络传输；
2. • • • •
排队的可以是人，也可以是物。 生产线上的原材料、半成品； 故障待修的机器； 要进站的火车由于展台被占而等待； 网络打印
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– 忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期为 B 和 I ，s为系统中并行的服务台数。
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排队系统的基本问题
六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规 律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。 1. 2. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数 字特征，了解系统运行的基本特征。 统计推断问题，建立适当的排队模型。在建立模型的过程中经 常会碰到如下问题：检验系统是否已经到达平衡状态；检验顾 客的相继达到时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及 其参数等。
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排队系统的数据指标
• 平衡状态下的指标
– 当系统达到平衡时处于状态n的概率，记为 ，又记： pn
• N：系统处于平衡状态时的队长，其均值为L，称为平均队长； • N q ：系统处于平衡状态时的排队长，其均值为，称为平均排队长； • T ：系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，其均值为W，称为平均逗 留时间； • T ：系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值为，称为平均等待 q 时间； • •
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生灭过程
• 求解状态n的概率 pn， n 0,1,2,... 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态n。 假设记录了一段时间内进入状态n和离开状态n的 次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的， 所以这两个数要么相等，要么相差为1。但就这两 种事件的平均发生概率是相等的。即当系统运行 相当时间到达平稳状态后，对任一状态n来说，单 位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离 开该状态的平均次数是相等的，这就是系统在统 计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理， 可得到任一状态下的平衡方程如下：
n ：当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内新来
到系统的平均顾客数）；
服务完的顾客数）；
n ：当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以
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排队系统的数据指标
• 系统的服务强度
当 为常数时，记为 ；当每个服务台的平
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生灭过程
•
定义 1： 设｛N(t)，t≥0｝为一个随机过程。 若N(t)的概率分布有如下性质：
1. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客到达 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 2. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客离去 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或者离去。
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1. 输入过程
说明顾客是按什么样的规律到达系统，需 要从三个方面来描述：
顾客总数。可以是有限的，也可以是无限的； 到达方式。单个到达还是成批到达。库存问题中的进 货为成批到达； 顾客相继到达时间间隔的分布。
定长分布（D）。 最简流（Poission流）（M）：顾客相继到达的时间间隔 为独立的，且同负指数分布，其密度函数为：
I. II. III. 队长有限，即系统的等待空间是有限的（即队长容量为K） 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间超过给定的 等待时间长度T后，即离去并不再回来。 逗留时间有限（等待时间和服务时间之和）
损失制和等待制都可以看成混合制的特殊情形。 如记s为系统中服务台的个数，则当K＝s时，混合 制即成为损失制；当K＝∞时，即为等待制。
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第三讲 排队系统的基本概念
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排队系统
•
知识回顾
1. 离散事件系统（DEDS或DES)基本概念、基 本要素 2. DES系统举例 3. 离散事件系统仿真步骤 4. 离散事件系统策略 5. 手工仿真 排队系统
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k 1 k (k t ) k t b(t ) e ( k 1)!
（2.3）
爱尔朗分布比负指数分布更具有广泛的适应性。当k=1时，爱 尔朗分布为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。
事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时，
由方差
1 k 2
为可知，方差将趋近于零，即为完全非随机的。所以，
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排队系统的数据指标
• 上述指标的常用记号
– N (t ) ：时刻t 系统中的顾客数（又称为系统的状 态），即队长。
– N q (t ) ：时刻t 系统中排队的顾客数，即排队长。
– T (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的逗留时 间。
– Tq (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的等待时 间。
X/Y/Z/A/B/C
X 表示顾客相继达到时间间隔的分布；
Y Z A B C 表示服务时间的分布 表示服务台的个数 表示系统容量，即可容纳的最多顾客数 表示顾客源的数目 表示服务规则
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（FIFS/LIFS）
四．排队系统的符号表示
1. 2. 3. M/M/1/∞/∞/FCFS M/M/1 M/M/s/K
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•
队长和排队长
1. 队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客 数与正在接受服务的顾客数之和）， 2. 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客 数。 3. 队长和排队长一般都是随机变量。
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•
•
定长分布（D）：即每个顾客接受服务的时间是一个确定的 常数。 负指数分布（M）：即每个顾客接受服务的时间相互独立， 具有相同的负指数分布：