抛物线讲义之令狐文艳创作

第五讲 抛物线

令狐文艳

教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．

2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背

景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

3.理解数形结合的思想.

一、知识回顾 课前热身

知识点1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．

知识点2．抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率

e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2 y ＝－p 2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)

|PF |＝x 0＋p

2

|PF |＝－x 0＋p

2

|PF |＝y 0＋p

2

|PF |＝－y 0＋p

2

例题辨析 推陈出新

例1设P 是抛物线y 2

＝4x 上的一个动点．

(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．

[自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.

由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．

显然，连接AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.

(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.

则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.

变式练习1．(1)若点P 到直线y ＝－1的距离比它到

点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．

(2)过抛物线y 2

＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于________．

解析：(1)由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2

＝12y .

(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，则AB 中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB |＝8.

答案：(1)x 2

＝12y (2)8

例2(1)抛物线y 2

＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐

标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )

A ．y 2

＝8x B ．y 2

＝12x C ．y 2

＝16x D ．y 2

＝20x

(2)设抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

[自主解答](1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝1

3，则抛物线方

程为y 2

＝8x .

(2)抛物线的焦点F

的坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的

坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫

p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p

4

，

令狐文艳创作

解得p ＝2，故点

B 的坐标为⎝

⎛⎭

⎪

⎪⎫24，1，故点B 到该抛物

线准线的距离为24＋22＝32

4

.

[答案](1)A (2)32

4

变式练习2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C

的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )

A ．18

B ．24

C ．36

D ．48

解析：选C 设抛物线方程为y 2

＝2px ，则焦点坐标为

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫p 2，0，将x ＝p

2

代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝

12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为1

2

×6×12＝36.

例3已知过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点，斜率为

22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋

λOB ，求λ的值．