2017考研数学二真题及解析

2017年考研数学二真题及解析

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定的位置上. (1)

若函数10(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在x =0连续，则 (A)12ab =

(B)12

ab =- (C)0ab = (D)2ab =

【答】应选（A ）

【解】由连续的定义可知：0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0

(0)lim ()x f f x b -

→==

，2

0001

112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===

，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。

(2) 设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且()0f x ''>,则 (A) 1

1()d 0

f x x ->⎰

(B)

1

2

()d 0f x x -<⎰

(C)

1

1

()d ()d f x x f x x ->⎰

⎰ (D)111

()d ()d f x x f x x -<⎰⎰

【答】应选（B ）

【解】由于()0f x ''<，可知其中()f x 的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即

()(0)[(1)(0)]21f x f f f x x ≤+-=-，(0,1)x ∈，因此11

()(21)0f x dx x dx <-=⎰⎰。同

理()(0)[(0)(1)]21f x f f f x x ≤+--=--，(1,0)x ∈-。因此

01

1

()(21)0f x dx x dx --<--=⎰

⎰，从而1

1

()0f x dx -<⎰，故选（B ）。

(3) 设数列{}n x 收敛，则

(A)当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=

(B)

当lim (0n n n x x →∞

+

= 时，则lim 0n n x →∞

=

(C)当2

lim()0n n n x x →∞

+=时, lim 0n →∞

=

(D)当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0

n n x →∞

=

【答】应选（D ）

【解】设lim n n x a →∞

=，则limsin sin n n x a →∞

=，可知当sin 0a =，也即a k π=,

()0,1,2,k =±±时，都有limsin 0n n x →∞

=，故（A ）错误。

lim(n n x a →∞

+

=+

，可知当0a =，也即0a =或者1a =-时，都有

lim(0n n x →∞

+

=，故（B ）错误。

22lim()n n n x x a a →∞

+=+，可知当20a a +=，也即0a =或者1a =-时，都有

2lim()0n n n x x →∞

+=，故（C ）错误。

lim(sin )sin n n n x x a a →∞

+=+，而要使sin 0a a +=只有0a =，故（D ）正确。

(4) 微分方程248(1cos 2)x y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k

y =

(A)22(cos 2sin 2)x

x Ae

e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x

x Axe e B x C x ++

(C)22(cos 2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x

x Axe

xe B x C x ++

【答】应选（A ）

【解】齐次方程的特征方程为2480λλ-+=，特征根为22i λ=±，将非齐次方程拆分为：

248(1)x y y y e '''-+=与248cos 2(2)x y y y e x

'''-+=。

方程(1)的特解可以设为21x

y Ae *=，方程(2)的特解可以设为

22(cos 2sin 2)x y xe B x C x *=+，由解的叠加原理可知：方程(1)饿任意解和方程(2)的

任意解之和即为原方程的解，则原方程的特解可以设为

222(cos 2sin 2)x x y Ae xe B x C x *=++，故选（A ）。

(5) 设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有

(,)(,)

0,f x y f x y x y

∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f < 【答】应选(D).

【解】由于

()

,0f x y x

∂>∂，可知(),f x y 关于单调x 递增，故()()0,11,1f f <。又由于

()

,0f x y y

∂<∂，可知(),f x y 关于单调y 递减，故()()1,11,0f f <，从而()()0,11,0f f <，故选（D ）

。 (6) 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中,实线表示甲的速度曲线

()1v v t =（单位:m/s ）,虚线表示乙的速度曲线()2v v t =,三块阴影部分面积的数值依次

为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则

(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >

【答】应选(C).

【解】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为

10

()t V t dt ⎰

与0

20

()t V t dt ⎰要使乙追上甲，则有

210

[()()]t V t V t dt -⎰

，由定积分的几何意义可知，25210

[()()]201010V t V t dt -=-=⎰，可知

025t =，故选（C ）。

(7) 设A 为3阶矩阵，123,,)P =(ααα为可逆矩阵，使得1

000010002-⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

P AP ，则

123)++=A(ααα( )

(A)12+αα (B)232+αα (C)23+αα (D)12

2+αα

【答案】（B ）

【解析】

1231231()(,,)11A A αααααα⎛⎫ ⎪

++= ⎪ ⎪⎝⎭