水平宽-铅垂高

1、阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =

2

1

ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），点P 是抛物线（在第一象限）上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点B 为抛物线与y 轴的交点，求直线AB 的解析式；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB 、x 轴于点D 、M ，连接PA 、PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（4）在（2）的条件下，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h 、面积为S ，请分别写出h 和S 关于x 的函数关系式．

2、如图，直线31+-=x y ，与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点是点P ，且对称轴是直线2=x （1）求抛物线的解析式

（2）直线31+-=x y 向下平移 个单位，使它与抛物线只有一个公共点，并求出此时直线的解析式。

（3）①当1y ＞2y 时，观察图像，自变量的取值围是 。

②自变量在上述围，在2y 上是否存在点M ，使得CBM S ∆有最大值，若存在，求出最大值，并求出此时点M 的坐标，若不存在，请说明理由。

3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；

(2)若点M 为第三象限抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.

4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，

，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

6．如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．