水平宽-铅垂高

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三角形水平宽铅垂高面积公式

三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。

今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。

想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。

水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。

”咱们来看个具体的例子。

假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。

首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。

B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。

接下来找铅垂高。

咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。

A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。

这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。

也就是 2×2÷2 = 2。

再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。

同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。

再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。

那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。

同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。

有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。

在实际生活中，这个公式也有大用处。

水平宽铅垂高的公式

《水平宽×铅垂高的公式》是一个早已被广泛使用的数学公式，通常用于计算几何图形的面积。

该公式是：面积=水平宽×铅垂高。

水平宽是指平面上的某一物体的宽度，而铅垂高是指从水平宽上端到该物体下端的垂直距离。

这两个参数一般可以根据实际测量结果确定，也可以从图表中确定。

该公式用于计算多边形、梯形、椭圆形等几何图形的面积，也可用于计算曲线下的面积。

例如，在计算椭圆形面积时，需要将椭圆形分割成多边形，然后再利用该公式计算面积。

《水平宽×铅垂高的公式》在计算几何图形面积时显得非常有用，它也是许多学科研究、建筑设计和其他实际应用中常用的一种数学计算方法。

水平宽铅垂高求三角形面积完整版

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x，），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级）如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级）如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P相等，则可得PC ’三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂解.解析：过线，则OB 而PE 度）由AB 的解析式可以得OA ，OB ＝1，而P的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点，所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG g . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级）如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-；当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=，xyEDBA C OPxy EDBCOP即当P（－1，8）或P（4，3）时，S△PBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。

铅垂高水平宽面积公式

铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积的公式主要有以下三种：
一、公式1：面积= 泊松号 X 铅锤长度^²
①泊松号：指一个水体中水深和宽度的比值，根据泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。

②铅锤长度：指用铅锤测定水体深度的时候，把铅锤垂直向下投放的距离，也就是两支铅锤的总长度。

二、公式2：面积= 2 X 垂膨泊松号 X 铅锤长度 X 面积系数
①垂膨泊松号：指水体中水深（投放铅锤时，从投放点到水体底部的距离）和宽度的比值，根据垂膨泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。

②铅锤长度：与公式1中定义相同。

③面积系数：指水体宽度在铅锤投放时会发生变化而产生的影响，通过查阅相关资料可以确定面积系数的大小。

三、公式3：面积= 2 X 水柱体积 X 面积系数
①水柱体积：指用两支铅锤测量水体的时候，铅锤之间的柱体积，也就是一个整体的一个立方体的体积。

②面积系数：与公式2中定义相同。

铅垂高水平宽求三角形面积

铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。

过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。

铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。

把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。

三角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示，过△ ABC三个顶点分别作x轴的垂线，其中过A，C两条垂线与x轴交于点E，F，线段EF的长度称为△ ABC的水平宽，而过B点1的垂线与边AC交于点D，线段BD的长度称为铅垂高，则ABC=；EFgBD，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.公式推导如右图，过点A，C作铅垂高BD上的高AG，CH，则有S A ABC = S A ABD+S A BCD =；AGgBD ；CHgBD=；AG CH gBD = ；EFgBD .2 2公式应用1――上下垂线例1 （适合八年级）如图，已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则△ BFD的面积是（）.1 2 1 2 1 2 1 2A. aB. aC. aD. a8 16 32 64说明：本题可以连结CF，由厶BCD的面积减去△ BCF 与厶CDF的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得•解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点 C 坐标为（a , 0）,点D 坐标为（a , a ）.••• E 为AD 的中点, ・••占 .小、E 坐标为（••• P 为CE 的中点, ・••占 .小、P 坐标为（••• F 为BP 的中点, ・••占 .小、F 坐标为（过F 点作BC 的垂线交BD 于点G , 3坐标为3a ，又直线BD 的解析式为83G 的纵坐标为3a ,8 3 1 ・△ BDF 的铅垂高FG = 3a —」a =— a ,8 4 8・ S A BDF = — BCcFG — agi a — a .2 2 % 16公式应用2――左右垂线例2 （适合八年级）如图，直线y xx 轴，y 轴分别交于点A , B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC ,且1/ BAC=90°.如果在第二象限内有一点 P a,—2 A 且厶ABP 的面积与Rt A ABC 的面积相等，求a 的值•说明：本题常见解法有三，一是连结0P , △ ABPO A 的面积=△ AOB 面积+ △ BOP 面积—△ AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt A ABC 的面积相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C'位置，则△ ABC 面积与△ ABC 面积相等，若厶ABP 的面积与Rt A ABC 的面积C C'、.A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作 S A ABC = 1说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶相等，则可得PC ' AB ,因此，可以由点A , C 坐标先求C'坐标，再根据AB 的斜率与点C'坐标求直线PC '的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值. 三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从垂线），仿公式求解.现解析如下• 解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂线，则0B 可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个 90 度）由AB 的解析式可以得0A = .3，10B = 1,而P 的纵坐标为-，所以E 为AB 的中点,2所以 PE = -a+—3，2从而有22 2 * 1 a 于公式应用3――内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向 x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可•一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为: 1-EFgCG.简单推导：S A ABC = S A ACG — S A BCG =」CGgEH 丄CGgFH2 E2 2点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）（4）点Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 Q 使得BQ CQ 的值最大, 若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为y x 2 4x 3 , BD 解析式为 y x 3，由于问题中并未交待上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图, =3,铅垂高为PE = x 2 4x 3 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右, 但两者本质相同，如右下图，此时依然取 =3 为水平宽，P 点在BD 的水平宽为0D c 2 c x 3 x 3x ；则铅垂高 2 2 x 3 x 4x 3 x3x . 两种情况合起来就是x 2 2 x 3x 4 . 当x 2 3x 4时，方程无实数根, F 方时，不可能面积为6；OD 3x 即当x2 3x 4 时，解得x1 1,x2 4 ，即当P (- 1, 8)或P (4, 3)时，S"BD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长(绝对值)问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26 日记于温十七中。

铅垂高与水平宽6种模型原理(一)

铅垂高与水平宽6种模型原理(一)铅垂高与水平宽6种模型模型定义铅垂高与水平宽6种模型是地图投影方式中比较常见的一种模型。

它将地球投影到一个长方形上，长方形的一条边为地球的赤道，另一条边则为某一子午线。

等角投影（兰伯特投影）等角投影是铅垂高与水平宽6种模型中最常见的一种投影方式。

它保持地球表面上的每一个角度都不变，因此被称为“等角投影”或“兰伯特投影”。

等积投影（面积投影）等积投影是铅垂高与水平宽6种模型中另一个常见的投影方式。

它可以保持地球表面上的任何一个区域面积不变，因此被称为“等积投影”或“面积投影”。

柱面投影柱面投影是将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开到平面上。

在这种投影方式下，保持线段的直线性，但是面积的失真比较严重。

锥面投影锥面投影是将地球表面投影到一个圆锥体上，然后再展开到平面上。

在这种投影方式下，保持面积的相对大小，但是形状会发生畸变。

圆盘投影（正交投影）圆盘投影是将地球表面投影到一个圆盘上。

在这种投影方式下，保持在投影面上看到的所有角度和长度的比例都与球面地理上的原始值相同。

多层投影（高斯－克吕格投影）多层投影是将地球投影到多个圆锥面或圆柱面上，不同区域采用不同的投影方式。

这种方法可以同时保持角度和面积的几何关系。

以上是铅垂高与水平宽6种模型的详细解释。

选择不同的投影方式，需要根据实际需要和应用场景来进行选择。

模型特点在六种投影模型中，每种模型的特点和优劣并不一样。

以下列出各种模型的特点：•等角投影：保持角度不变，适用于航海等需要准确角度的应用。

•等积投影：保持面积不变，适用于地图上展示不同区域的面积大小比例。

•柱面投影：保持直线性，适用于航线和等经度线的展示。

•锥面投影：保持面积比例，适用于矩形地图的展示。

•圆盘投影（正交投影）：保持角度和长度比例不变，适用于卫星地图和渐进地图。

•多层投影：综合各种模型的优点，适用于展示大区域的地图。

模型应用各种铅垂高与水平宽模型在不同的应用场景中有着不同的应用。

初中水平宽与铅垂高程专题

初中水平宽与铅垂高程专题初中水平宽与铅垂高程是数学中的一个重要专题。

本专题主要讲解水平宽和铅垂高程的概念、性质以及计算方法。

通过研究本专题，学生可以更好地理解和运用水平宽与铅垂高程的相关知识。

一、水平宽的概念与性质1. 水平宽是指两条平行线之间的最短距离，在平面几何中起到重要作用。

2. 水平宽的性质：- 两条平行线的水平宽相等。

- 在同一平面上，通过一点画一条直线与两条平行线分别交于A、B两点，那么AB线段就是两条平行线的水平宽。

- 两条平行线的水平宽与它们的夹角没有关系。

二、铅垂高程的概念与性质1. 铅垂高程是指点到直线的垂直距离，也叫作垂直高度。

2. 铅垂高程的性质：- 同一直线上的点到直线的铅垂高程相等。

- 两条相交直线的铅垂高程可以相互抵消，即如果A点到直线L1的铅垂高程为h1，B点到直线L2的铅垂高程为h2，且h1 = h2，则A点到直线L2的铅垂高程等于B点到直线L1的铅垂高程。

三、水平宽与铅垂高程的计算方法1. 计算水平宽的方法：- 两条平行线之间的水平宽可以通过垂直于两条平行线的任意一条直线与两条平行线分别交于A、B两点，然后计算AB线段的长度来求得。

2. 计算铅垂高程的方法：- 点到直线的铅垂高程可以通过垂直于直线的直线与直线相交得到的交点，然后计算交点到目标点的距离来求得。

当直线为水平直线时，铅垂高程即为点到水平直线的垂直距离。

本专题的学习可以通过理论知识的学习和练习题的做题来加深对水平宽与铅垂高程的理解和运用能力。

希望同学们能够在学习过程中多加练习，掌握好本专题的重点知识和计算方法。

铅垂高水平宽求三角形面积例题

铅垂高水平宽求三角形面积例题在阳光明媚的下午，咱们来聊聊三角形的面积吧。

说到三角形，大家肯定脑海里会浮现出那种简单的形状，有点像一块比萨饼对吧？三角形其实特别有趣，它的面积计算方法可不是随便来的哦。

咱们得提到一个重要的概念——铅垂高和水平宽。

听起来高大上，其实很简单。

想象一下，你在草地上用手指画出一个三角形，底边是宽宽的，顶尖儿高高的。

这个时候，铅垂高就像是从三角形的顶点垂下来的一条线，正好碰到底边的中间。

就好像是你在给三角形“量身高”，是不是很有意思？再说说那水平宽，它就是底边的长度，宽宽的，能让你坐下去的那种。

这两个东西的关系可重要了，正是它们让我们能算出这个三角形的面积。

哎，你知道吗？算三角形的面积其实也不难。

只要你把底边的长度和铅垂高的长度相乘，然后再除以二，简单吧？就像你在切蛋糕，先量好每块蛋糕的宽度，然后把它们的高度也量好，再除个二，嘿！这就搞定了。

公式看起来是这样的：面积=（底边×铅垂高）÷2。

就这么简单，人人都能学会！不过话说回来，面积这个概念其实在生活中到处都有。

你有没有想过，为什么房子要有面积？因为咱们得知道房子能住多少人，对吧？当你在厨房里忙活的时候，想想你做饭的那片地方，面积也在告诉你能放多少锅碗瓢盆，真是无处不在的数字。

回过头来，三角形的面积也能让我们理解更多事物，比如一些艺术作品的设计，或者是风景中的山丘，甚至是纸飞机的造型，都少不了这个简单的计算。

说到这里，不禁让我想起小时候学数学的那些日子。

记得那时候，数学老师会拿着黑板，兴致勃勃地给我们讲解这些概念，有时还会用一些生动的例子。

她说，三角形就像是站在高处的守护者，脚下稳稳的，顶上又高又尖。

而我们就是要学会利用这些知识，去探索更大的世界。

三角形的形状让人感到一种力量，那种尖锐的感觉让人觉得无所不能。

哎，别以为我光在说三角形，其实这也是个哲理的寓言。

人生不就是一个个三角形吗？有高有低，有宽有窄。

我们在这个世界上拼搏，就像在量三角形的高和宽，最终才能找到自己的位置，算出自己生活的“面积”。

三角形面积公式——之水平宽铅垂高

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付款前记得用红包三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离.公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +＝()12AG CH BD +＝12EF BD .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级）如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF2利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级）如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；3二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC 面积与△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 坐标先求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线PC ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过线，则OB 而PE 度）由AB OB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点，所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -＝12EF CG .4说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级）如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-；当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；5当234x x -=时，解得121,4x x =-=，即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。

铅垂高水平宽求三角形面积的原理

铅垂高水平宽求三角形面积的原理以铅垂高水平宽求三角形面积的原理为题，我们将从三角形的定义、铅垂线的概念以及如何利用这些概念来求解三角形面积等方面进行讨论。

让我们回顾一下三角形的定义。

三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，而三个顶点则是这些边的交点。

根据三角形的性质，我们可以将三角形分为不同的类型，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

接下来，我们来介绍一下铅垂线的概念。

铅垂线是从一个点向一个平面垂直下落的线段。

在三角形中，我们可以通过顶点向对边引一条垂直线，这条垂直线即为铅垂线。

铅垂线与对边的交点称为垂足。

利用铅垂线，我们可以将三角形分割为两个直角三角形，从而简化问题的求解。

那么，如何利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积呢？我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。

在这里，底边长即为水平宽，高即为铅垂高。

为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点，D为AB 的中点，AD为铅垂高，CD为水平宽。

我们最终的目标是求解三角形ABC的面积。

我们可以通过测量或已知条件得到底边AB的长度和铅垂高AD的长度。

接下来，我们可以利用铅垂线的性质，将三角形ABC分割为两个直角三角形ACD和BCD。

对于直角三角形ACD，我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。

在这里，底边长即为水平宽CD的长度，高即为铅垂高AD的长度。

将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形ACD的面积。

同样地，对于直角三角形BCD，我们也可以利用三角形面积公式求解。

底边长为水平宽CD的长度，高为铅垂高AD的长度。

将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形BCD的面积。

我们将直角三角形ACD和BCD的面积相加，即可得到三角形ABC 的面积。

通过以上步骤，我们可以利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积。

这种方法可以简化计算过程，减少复杂度，提高求解效率。

铅锤高定理公式

铅锤高定理公式
解析
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。

物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。

多用于建筑测量。

用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。

铅垂线地球重力场中的重力方向线。

它与水准面正交，是野外观测的基准线。

悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。

判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。

此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。

三角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形面积公式——之水平宽铅垂高三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三个边和三个角组成。

理解三角形面积的公式对于解决各类几何问题至关重要。

有几种不同的方法可以计算三角形的面积，其中一种基本方法是使用三角形的底和高的长度。

在本文中，我将详细介绍水平宽和垂直高的概念，并展示如何使用这些概念来计算三角形的面积。

水平宽是指从一个顶点到另一个顶点的水平距离，也就是三角形的底边。

垂直高是指从三角形的一个顶点到底边上的垂直距离。

水平宽和垂直高之间的关系可以用来计算三角形的面积。

首先，我们需要明确水平宽和垂直高对于三角形面积的重要性。

在一个三角形中，两个相邻边形成一个角，而这个角的大小取决于它们之间的夹角。

为了计算这两个边之间的角度，我们需要引入正弦和余弦等三角函数。

在一个直角三角形中，正弦函数定义为垂直高与斜边之间的比例，即sin(θ) = h/c，其中θ是角度，h是垂直高，c是斜边的长度。

正弦函数在大多数三角函数表中都有详细的值，可以通过查表或计算器来获得。

现在，让我们考虑如何使用水平宽和垂直高来计算三角形的面积。

首先，我们需要将水平宽和垂直高表示为变量。

假设水平宽为b，垂直高为h。

根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边的长度乘以垂直高的长度的一半，即A=(1/2)*b*h。

这个公式的推导可以用几何方法或三角函数来解释。

从几何的角度来看，可以将三角形划分为两个直角三角形，每个直角三角形的面积等于底边长度乘以垂直高的长度再除以2、因此，整个三角形的面积等于这两个直角三角形的面积之和。

另一种推导方法是使用三角函数。

根据正弦函数的定义，sin(θ) =h / c，其中h是垂直高，c是斜边的长度。

我们可以通过将等式两边都乘以c来得到h = c * sin(θ)。

由于三角形的面积等于底边乘以高的一半，所以A = (1/2) * b * h = (1/2) * b * c * sin(θ)。

这个公式的意义在于，我们可以用底边长度、斜边长度和夹角的正弦值来计算三角形的面积。

铅垂高水平宽 ppt课件

M
13
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标
❖ 解：（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，C两点，所以BC所
在的直线方程为 yx5 ．
那么，PH与直线 BC的交点坐标为 E(a，a5．)
❖ PH与抛物线的交点坐标为 H(a,a24a．5)
E点坐标。
回顾
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算顶点的坐标
点的坐标—核心
再计算面积
直接利用面积公式割补法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
思考题
已知：m,n是方程 x26x50的两个实数根，
且 mn，抛物线的图像经过点 A(m， 0)， B(0， n)．
的方法来求吗？
如图：抛物线 yx2与2x轴的3另一x 交点为B点，与y
轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（5）连结CD，AD,AC.则S△ACD= 1 .
yD
C
Ao
x
△ACD
A(-1,0) C(O,3) D(1,4)
在直角坐标系中求面积常用方法：
1.寻找横向或纵向的边为底是计算面积的基本方法。 2.不能直接求出面积时，用割补法进行转化(构造横向或纵向的边为底是常用的方法)
(1）求这个抛物线 yx2axb 的解析式； yx24x5 （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的
顶点为D，试求出点C、D的坐标和 △BCD 的面积．
C（-5，0） D（-2，9）
S △ B C D S 梯形 M D B O S △ D M C S △ B O C 1 4 2 2 7 2 2 5 1 5

水平宽-铅垂高

1、阅读材料：如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的"水平宽〞〔a 〕,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的"铅垂高〞〔h 〕．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =21ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点C 〔1,4〕,交x 轴于点A 〔3,0〕,点P 是抛物线〔在第一象限内〕上的一个动点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕若点B 为抛物线与y 轴的交点,求直线AB 的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下,设抛物线的对称轴分别交AB 、x 轴于点D 、M,连接PA 、PB,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 与S △CAB ；〔4〕在〔2〕的条件下,设P 点的横坐标为x,△PAB 的铅垂高为h 、面积为S,请分别写出h 和S 关于x 的函数关系式．2、如图,直线31+-=x y ,与x 轴,y 轴分别交于点B 、C,经过B 、C 两点的抛物线与x 轴的另一个交点为点A,顶点是点P ,且对称轴是直线2=x〔1〕求抛物线的解析式〔2〕直线31+-=x y 向下平移个单位,使它与抛物线只有一个公共点,并求出此时直线的解析式. 〔3〕①当1y ＞2y 时,观察图像,自变量的取值X 围是.②自变量在上述X 围内,在2y 上是否存在点M,使得CBM S ∆有最大值,若存在,求出最大值,并求出此时点M 的坐标,若不存在,请说明理由.3、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A<-4,0>,B<0,-4>,C<2,0>三点.<1>求抛物线的解析式；<2>若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m,△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值；<3>若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=－x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.4、如图,在平面直角坐标系中,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B点的坐标为〔3,0〕,与y 轴交于C 〔0,-3〕点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕连结PO 、PC,并把△POC 沿CO 翻折,得到四边形POP ′C,那么是否存在点P ,使四边形POP ′C 为菱形？若存在,请求出此时点P 的坐标；若不存在,请说明理由．〔3〕当点P 运动到什么位置时,四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积. 5、如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．〔1〕求出抛物线的解析式；〔2〕P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在,请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由；〔3〕在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标．6．如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A 〔－4,0〕、B 〔2,0〕,E 〔1,2〕为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．〔1〕求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；〔2〕在直线EF 上求一点H,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长；〔3〕若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△EFK 的面积最大？并求出最大面积．。

铅垂高水平宽 ppt课件

3设p点的坐标为a0因为线段bc过bc两点所以bc所在的直线方程为3p是线段oc上的一点过点p作phx轴与抛物线交于h点若直线bc把pch分成面积之比为23的两部分请求出p点的坐标epehepeh抽象思维受损理解判断能力下降无法系统思考问题无法对一件事情做相应判断
抛物线中的三角形面积
交讨流论讨交论流
寻找横向或纵向的边为底，再利用面积公式
如图：抛物线 yx2与2x轴3的另x一交点为B点，与y轴交
于点C，点D是抛物线的顶点。
（4）连结CD，BD,BC.则S△BCD= 3 .
yD
C
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
o Bx
△BCD
此的时边，，割没那补有么法大△家BC期D待的的面横积向可或以纵用向别
．
2
3
14
拓展
（6）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
D（1，4）
C
P
P3
3
A
-1 O
P
B
3
x
3
P
（7）若 3S△PAB=4 S△CAB，
则符合条件的点P有几个?
3个
y
PD（1，4）
C
3
4
A
-1 O
P
B
3
x
4
P
E点坐标。
回顾
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算顶点的坐标
点的坐标—核心
再计算面积
直接利用面积公式割补法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.