水平宽铅垂高求三角形面积

利用三角形铅垂高、水平宽 求三角形面积 （专题）

1． 三角形面积公式的推广：

过△ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在 △ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出

一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =

2

1

ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

例1.（全品探究题）如图，直线343+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线c x ax y ++=4

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经过B 、C 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

例2．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由.

解：

例3．如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A，PB，当P点运动到顶点C时，求

△CAB的铅垂高CD及

CAB

S

；(3)是否存在一点P，使S△P AB=

8

9

S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：

图1

图-2

x

C

O

y

A

B

D

1

1

例4．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解： 练习：

1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长

OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－

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x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若

存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线3

2+

+

=bx

ax

y（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

图①图②

3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误！未找到引用源。的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，

点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误！未找到引用源。C，那么是否存在点P，使四边形POP错误！未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解：

错误！未找

到引用源。

图11