三角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形的面积公式计算较多,一般会采用割补形来求解,垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现

如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作ｘ线，其中过A ,C 两条垂线与ｘ轴交于点E ，F ，段EF 的长度称为△ＡBC 的水平宽,而过B 垂线与边ＡC 交于点D ,线段BD 角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF 垂高取经过夹在中间的顶点（Ｂ）与边(ＡC ）之间的距离.

公式推导

如右图,过点A ,C 作铅垂高BD 上的高A Ｇ,CH 有

S △

Ａ

B

Ｃ

＝Ｓ

△ABD

＋Ｓ

△

Ｂ

CD

11

22AG BD CH BD +=

()1

2

AG CH BD +1

2EF BD ．

公式应用1——上下垂线

例1(适合八年级) 如图，已知边长为a E ABCD ,为AD 的中点,P 为CE 的中点，F 为点,则△BFD 的面积是( )．

A .

281a B . 2161a C ． 2321a ﻩ D . 说明：本题可以连结CF ,由△B ＣD Ｆ与△CDF 的面积求解,利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.

解析:不妨以B 为原点,BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为(a ,０),点D 坐标为（a ,ａ），

∵Ｅ为AD 的中点，∴点E 坐标为(1

2a ，a ）,

∵P 为CE 的中点,∴点P 坐标为(34a ,1

2a ),

∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为(38a ,1

4a ）.

过F 点作B Ｃ的垂线交B Ｄ于点Ｇ,则点G 的横坐

标为3

8

a ,又直线BD 的解析式为y x =,∴点G 的

纵坐标为3

8

a ,

∴△BDF 的铅垂高ＦG ＝38a －14a ＝1

8

a ，

∴S △B ＤF =21111

22816BC FG a a a ==.

公式应用２——左右垂线

例２(适合八年级) 如图，直线13

y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点Ａ,B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠ＢAC =9

０°．如果在第二象限内有一点Ｐ1,2a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，且

△ABP 的面积与R ｔ△A ＢC 的面积相等，求a 的值.

说明:本题常见解法有三,一是连结ＯP ，△ＡB Ｐ的面积=△AOB 面积+△BOP 面积－△AO Ｐ面积,然后用a 的代数式表示,与Rt △AB Ｃ

列方程求解;

二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置,则△ＡBC P

△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与R ｔ△ABC 的面积相等,则可得PC ’//A Ｂ,因此,可以由点Ａ,Ｃ坐标先求C ’坐标，再根据A Ｂ的斜率与点C ’坐标求直线PC ’的解析式,将点Ｐ纵坐标代入,即可求ａ的值.

三是考虑水平宽铅垂高公式来计算,但如果从Ａ，B ,P 三点向x 轴作垂线,较为复杂，不妨换个角度应用公式,即从A ,B ，P 向ｙ轴作垂线（即左右方向作垂线),仿公式求解.

解析：过A 则OB PE 由A Ｂ的,OB

=1，而P 的纵坐标为

1

2

，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝－a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝

⎭ , 解得42

a =-.

公式应用３——内外垂线

从例2可以看到，三条垂线不一定作向ｘ轴，也可以作向y 轴,仿公式用即可.一般地,水平宽取的是最外的两条直线的距离,但这个做法不是绝对的，有时根据

需要也可以取任意两条直线的宽度,简单推导：

S △ABC =S △ACG －Ｓ△BCG ＝11

22

CG EH CG FH

-＝1

2EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边(AB )的延长线相交,此时顶点

(C ）到交点（G ）的距离为铅垂高(CG ).

例3(适合九年级） 如图所示,直线l :y =3ｘ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点Ｂ．把△A ＯB 沿ｙ轴翻折，点Ａ落到点C ，抛物线过点Ｂ，C 和D （3，０）. （1)求直线BD 和抛物线的解析式．

(2)若BD 与抛物线的对称轴交于点Ｍ,点N 在坐标轴上，以点Ｎ,B ，D 为顶点的三角形与△M ＣD 相似,求所有满足条件的点N 的坐标.

（3)在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在，说明理由．

（4）点Q

使得CQ BQ 的值最大存在,请直接写出点Q 解析:本题只解（3）,由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为

3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在ＢD 的

上方或下方,故要分类讨论：

当P 在BD 下方时,如右上图,水平宽为OD ＝3,铅垂高为PE =2

2

4333x x x x x -++-=-； 当P 在ＢＤ上方时，P 可能在左,也可以在右，但两者本质相同，如右下图,此时依然取OD ＝３为水平宽，则铅垂高

PE ＝

2

2

3433x x x x x -+-+-=-+.

两种情况合起来就是21

3362

x x ⨯⨯-=,即

234x x -=±.

当234x x -=-时,方程无实数根,即P 在ＢD 下方时，不可能面积为６；