角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现

如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B

公式推导

如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝11

22

AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝1

2

EF BD g .

公式应用1——上下垂线

例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.

A .

281a B . 2161a C . 2

32

1a D .

说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.

解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），

∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（

1

2a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，1

2a ），

∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，1

4a ）.

过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横

坐标为3

8

a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点

G 的纵坐标为3

8

a ，

∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝1

8

a ，

∴S △BDF ＝21111

22816BC FG a a a ==g g .

公式应用2——左右垂线

例2（适合八年级） 如图，

直线13

y x =-

+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角

边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且

∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.

说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC

相等列方程求解；

二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P

相等，则可得PC ’三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂

解.解析：过线，则OB 而PE 度）由AB 的解析式可以得OA ，OB ＝1，而P

的纵坐标为1

2

，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭

， 解得42

a =-.

公式应用3——内外垂线

从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有1

2

EF CG g . 简单推导：

S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝

11

22

CG EH CG FH -g g ＝1

2

EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.

例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．

（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为

3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的

上方或下方，故要分类讨论：

当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝2

2

4333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3

为水平宽，则铅垂高

PE ＝

2

23433x x x x x -+-+-=-+.

两种情况合起来就是21

3362

x x ⨯⨯-=，即

234x x -=±.

当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；

当234x x -=时，解得121,4x x =-=，

x

y

E

D

B

A C O

P

x

y E

D

B

C

O

P