2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(二十六)理科数学
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(五)理科数学
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，则复数5(2)zi i=+的虚部为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．2i -2．已知集合{|24}M x N x =∈-≤<，1{|0}3x N x x+=≥-，则集合M N 中元素的个数是（ ） A ． 1B ．2C ．3D ．43．已知向量,a b 满足1,228==，（+）（-）=-a b a b a b ⋅，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π4．已知(,)22ππα∈-，且cos22sin 21αα=-，则tan α=（ ） A ．12-B ． 2C ．2-D ．125．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．172πB ．9πC ．192πD ．10π6．已知F 1，F 2为椭圆E 的左、右焦点，点M 在E 上（不与顶点重合），△MF 1F 2为等腰直角三角形，则E 的离心率为（ ）A ．21+B ．21-C ．31- D ．31+ 7．已知数列{}n a 满足13a =，1110n n n a a a ++++=，则2019a =（ ）A ．43-B ．14-C ．3-D ．3 8．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4﹣2﹣1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（）A．5 B．16C．5或32D．4或5或329．已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若l⊥m，m∥α，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥α，则m∥α；③若m∥α，l⊥α，则l⊥m．其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．010．已知实数,x y满足1,210,0,yy xx y m≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数z x y=-的最小值为1-，则实数m等于（）A．3 B．4C．5D．711．已知双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线恰好是曲线222:20C x y x+--=在原点处的切线，且双曲线1C的顶点到渐近线的距离为3，则曲线1C的方程为（）A．221128x y-= B．221168x y-=C．2211612x y-= D．22184x y-=12．已知函数1()()()4xf x e a ax=-+，若()0()f x x R≥∈恒成立，则满足条件的实数a的个数为（）A．3B．2C．1D．0第II卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2(sin 3)x x dx ππ-+=⎰ ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，2()log f x x =，则5()(2)2f f -+= ．15．如右图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q 是DF 的中点，则在原三棱锥中BQ 与EF 所成角的余弦值为 ．16．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ．若|AF |＝4|BF |，则|CD |＝ ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出过程） 17. （本小题满分10分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证： //MN 平面ABCD（2）求二面角11D AC B --的正弦值. 18. （本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+--=. （1）求角C 的值；（2）若6a b +=，当边c 取最小值时，求△ABC 的面积．19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式； （2）在（1）的条件下，若数列{}n b 满足1(1)(1)nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线4:2x y C =与直线()0:>+=a a kx y l 交于N M ,两点.（1）当0=k时，分别求曲线C 在点M 和点N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时，总有OPN OPM ∠=∠？说明理由.21. （本小题满分12分）已知m R ∈，函数2()2xf x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 有两极值点,()a b a b <，（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：()2e f a -<<-．22. （本小题满分12分）已知直线1C :1cos sin ,，x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，（1)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．数学（理科）试题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A CB D B B AC B CD A13. 32 14. 1 15.3616. 517. 解：Ⅰ证明：如图,以A为坐标原点,以AC、AB、所在直线分别为x、y、z轴建系, 则0,,1,,0,,,0,,1,,0,,,又、N分别为C、的中点,,．由题可知：0,是平面ABCD的一个法向量,,,平面ABCD,平面ABCD；Ⅱ解：由可知：,0,,1,,设y,是平面的法向量,由,得, 取,得1,,设y,是平面的法向量,由,得, 取,得,,,,,二面角的正弦值为. …………（10分）18.解：18.解：19.解：………（12分）20. 解：Ⅰ由题设可得,,或,．又2xy '=,故在处的导数值为, C 在点处的切线方程为,即． 在处的导数值为,C 在点处的切线方程为,即． 故所求切线方程为和． Ⅱ存在符合题意的点,证明如下：设为符合题意的点,,,直线PM ,PN 的斜率分别为,． 将代入C 的方程得． 故,．从而．当时,有,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故OPM OPN ∠=∠. 所以点符合题意． --------12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x xf x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2xg x e '=-， ···················································································· 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ··········· 4分 （Ⅱ）若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220xf x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x=有两不等实根．··································· 6分 令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x-'= 当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增扣2分）． ····················· 8分 ∵2()2af a ma e =-，且()220af a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0xx e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······································································ 12分 解法二：()()22xh x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()xh x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ······················· 8分 ∵2()2af a ma e =-，且()220af a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈ 设()(2)(01)xx e x x ϕ=-<< ，则()(1)0xx e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······································································ 12分22.解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=。
2021年全国普通高等学校统一招生名师原创模拟试卷 数学(理)试题(试卷+答案+全解全析)
2021年全国普通高等学校统一招生模拟考试名师原创金卷数 学（理）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本共12小题，每5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的．1. 已知实数x ，y 和虚数单位i 满足231xi y x yi i +--=-，则x y +=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知集合{}1,2,3,4,5A =，()(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（ ）A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺4. 某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ）A. 7B. 85. 设函数()f x ，()g x 均是定义在241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦上的偶函数和奇函数，且满足()()2221x f x g x x +=++，则()f m 的值为（ ） A. 12 B. 32 C. 134D. 174 6. 二十世纪第三次科技革命的重要标志之一是计算机发明与应用，其核心是使用二进制，即用最基本的字符“0”和“1”可以进行无穷尽的各种复杂计算，而且用电子方式实现，即二进制是一个微小的开关用“开”来表示1，“关”来表示0．某编程员将一个二进制数字串进制数字串1x ，2x ，3x ，，()n x n *∈N ，进行编码，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，但在实际编程中偶尔会发生码元出错（即码元由0变成1，或者由1变为0），如果出现错误后还可以将码元1x ，2x ，3x ，，7x 进行校验修正，其校验修正规则为：456723671357¤¤¤0¤¤¤0¤¤¤0x x x x x x x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中运算¤定义为：000=¤，011=¤，101=¤，110=¤，即满足运算规则为正确，否则错．现程序员给出1101101一组码元，然后输入计算机中，结果仅发现第k 位码元错误，则k 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 7. 二项式()()34121x x +-的展开式中2x 的系数是（ ）A. 24-B. 12C. 6D. 6-8. 已知1F ，2F 是椭圆C ：2212x y +=的两个焦点，A 、B 是椭圆C 上且位于x 轴上方的任意两点，且满足12AF BF μ=，()0μ≠，2AF 与1BF 交于P ，则12PF PF +=（ ） A. 22 B. 32 C. 32 D. 52 9. cos80cos 20sin80sin 20︒-︒=︒+︒（ ） A. 3- B. 2- C. 33- D. 1310. 如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X ，则X 的均值为（ ）A. 126125B. 75C. 168125D. 65 11. 知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）满足()()f x f x -=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π．现给出了以下结论．①2ω=且2ϕπ=②在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递减且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ③在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递增且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④12. 下面各选项用类比推理，现给出了以下四个结论①已知三条直线a 、b 、c ，若//a b ，//b c ，则//a c ．类推出：已知向量a 、b 、c ，若//a b ，//b c ，则//a c ．②已知实数a 、b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则据判别式0∆≥，有24a b ≥．类推出：已知复数a 、b ，若方程20x ax b ++=有实数根，据判别式0∆≥，有24a b ≥．③以原点()0,0O 为圆心，r 为半径的圆方程222x y r +=，类推出：以空间原点()0,0O 为球心，以r 为半径的球方程为2222x y z r ++=．④若集合1A ，2A ，，n A ，满足123n A A A A A ⋃⋃⋃⋃=，则称1A ，2A ，，n A 为集合A 的一种离散．即{}12123,,A A a a a ⋃=时，有33种离散；{}1231234,,,A A A a a a a ⋃⋃=时，有47种离散；{}123412345,,,,A A A A a a a a a ⋃⋃⋃=时，有()41541521+=-种离散； ……，类推出：{}1231,,,,n A a a a a +=时，必有()121n n +-种离散． 则正确的结论编号为（ ）A. ①③B. ③④C. ②③D. ①②第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（分单空和多空）：本题共4小题，每5分，共20分．13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，n *∈N ，则7a =______．14. 若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()f x x =，则()57f =______．15. 将一骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别是b 、c ，则函数()2f x x bx c =++仅有一个零点的概率是______；有两个不相同零点概率是______．16. 已知()()()222sin sin sin f θθθαθβ=++++，其中α，β为参变数，且0αβπ≤<≤．若()f θ是一个与θ无关的定值，则α=______，β=______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知定义在已知定义在R 上的函数上的函数()f x 满足①1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，②18199f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，由此可归纳出一个结论“★”，使得数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则此结论★为_____．并求{}n a 的通项公式． 18. 如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是等边三角形,侧面11BCC B 是矩形,1,AB A B N =是1B C 的中点,M 是棱1AA 上的点,且1AA CM ⊥.（1）证明：//MN 平面ABC ；（2）若1AB A B ⊥,求二面角A CM N --的余弦值.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2()2,1P . （1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 是椭圆C 上的两个动点，且APB ∠的角平分线总垂直于x 轴，求证：直线AB 的斜率为定值. 20. 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为()01p p <<．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有k 位密切关联者与之接触（而这k 个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为()0X X k ≤≤． （1）求一天内被感染人数X 概率()p X 的表达式和X 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k 位密切关联者接触．从某一从名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第n 天新增患者的数学期望记为()2n E n ≥．①当10k =，12p =，求8E 的值； ②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p '满足关系式()2ln 13p p p '=+-．当p '取得最大值时，计算p '所对应的6E '和p 所对应的6E 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取10k =）．（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈，10.33≈，20.73≈，6646650=计算结果保留整数） 21. 已知函数()()2113ln ,ln 424f x x ag x x x x =+++-=． (1)求证：()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭； (2)用{}max ,p q 表示,p q 中的最大值，记()()(){}max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数． 请考生在第22，23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点()2,0P ，其斜率为43，直线l 与抛物线C ：22y x =相交A 、B 两点．（1）写出直线l 和抛物线C 的参数方程；（2）若点M 在抛物线弦AB 上，记AOM 面积为1s ，BOM 面积为2s ，且12s s =，试求点M 坐标． [选修4-5：不等式选讲]23. 设定义在[]1,3上的函数为()()2f x m x m R =--∈．（1）设()20f x +≥在定义域上恒成立，求m 最小值；（2）设m 为（1）的最小值，正实数a ，b ，c 满足等式11123m a b c ++=，试证明：239a b c ++≥．。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(十一)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={- 2, 0, 2, 4}, B= {x|log2x≤2},则A⋂B=A. { 2, 4}B. {- 2, 2}C. {0, 2, 4}D. {-2, 0, 2, 4}2.复平面内表示复数z= ( 1+i)(- 2+i )的点位于A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. sin25°cos20°-cosl55°sin20°=A.12B.2C.12- D.124.若某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手3 次射击中恰有1 次击中目标的概率为A. 1625B.48125C.12125D.4255.直线ax +y-1=0 与圆x2+y2-4x- 4y=0 交于A,B两点，若|AB | =4, 则a =，A.43-B.43C.34-D.346. 若等差数列{a n } 的前15 项和S 15=30, 则 2a 5- a 6- a 10+a 14= A. 2B. 3C . 4D. 57. 设α,β,γ 为三个不同的平面， m , n 是两条不同的直线， 则下列命题为假命题的是 A. 若m ⊥α ,n ⊥β, m ⊥n , 则α⊥β B. 若α⊥β,α⋂β=n ,m ⊂α, m ⊥n , 则 m ⊥β C. 若 m ⊥β,m ⊂α, 则α⊥β D. 若α⊥β,β⊥γ ,则α⊥γ8.如图1, 该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”，执行该程序框图．若输人的m , ,n 分别为28, 16, 则输出的m =A. 0B. 4C. 12D.16图 l9. 如图2, 某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形， 若该几何体的体积为43，则其外接球的表面积是 A. 4π B. 12π C. 36π D. 48π10. 已知双曲线 C: 22222221(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+ ，点A 为双曲线 C 上一点， 且在第一象限， 点O 为坐标原点， F 1,F 2分别是双曲线 C 的左、右焦点， 若|AO | =c , 且∠AOF 1=23π，则双曲线C 的离心率为 A ．312+ B.3 C.2 D. 3＋1 11 . 若0<b <a < 1，c >1, 则A.a c <b cB.ab c <ba cC. log a c > log b cD.a log a c >b log b c 12. 设函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，已知方程f (x )=a ( a 为常数)在7[0,]6π上恰有三个根， 分别21为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)， 下述四个结论： ①当 a =0 时，ω的取值范围是1723[,)77； ②当a =0 时，f (x ))在7[0,]6π上恰 有2 个极小值点和1 个极大值点； ③当a =0 时，f (x ))在[0,]12π上单调递增；④当ω=2 时，a 的取值范围为1[,1)2，且123523x x x π++= 其中正确的结论个数为 A. 1B. 2C. 3D.4二、填空题（本大题共 4 小题， 每小题5 分， 共20 分 将答案填在答题卡相应位置上） 13. 已知向量a = ( 2 , 一 l ) , b =(l, x )， 若|a +b |=|a -b | ，则x = . 14. ( a +b +c )7 的展开式中， ab 2 c 4 的系数是 （用数字填写答案） 15. △ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c . 若sin A=32,b 2+c 2=6+a 2, 则△ABC 的面积为 . 16. 已知f (x ) 是定义域为R 的奇函数， f ´( x )是f (x )的导函数，f ( - 1) = 0, 当 x >0 时，xf ´( x )-3f (x )<0, 则使得f (x )>0 成立的x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共 6 小题， 共70 分 解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤）17. ( 本小题满分12 分）在等比数列{a n }中， a 1 =6, a 2= 12-a 3. ( l ) 求{a n } 的通项公式；(2)记S n 为{a n } 的前 n 项和，若S m =66, 求 m .18. ( 本小题满分12 分）如图3, 长方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 的侧面A 1 ADD 1 是正方形. (1 ) 证明： A 1D ⊥ 平面ABD I ;(2)若AD = 2, AB =4, 求二面角B 1- AD 1- C 的余弦值图 319. ( 本小题满分12 分）产量相同的机床一和机床二生产同一种零件， 在一个小时内生产出的次品数分别记为X1 , X2, 它们的分布列分别如下：(1) 哪台机床更好？请说明理由；( 2) 记X表示2 台机床1 小时内共生产出的次品件数，求 X的分布列．20. (本小题满分 12分）如图4, 在平面直角坐标系中，已知点 F( - 2, 0), 直线 l : x =-4, 过动点 P 作 PH ⊥l 于点 H ,∠HPF 的平分线交x 轴于点 M , 且| PH | =2| MF |， 记动点P 的轨迹为曲线C .(1) 求曲线C 的方程；(2) 过点 N (O, 2) 作两条直线， 分别交曲线C 于A , B 两点（异于N 点）．当直线NA , NB 的斜率之和为2 时， 直线AB 是否恒过定点？若是， 求出定点的坐 标；若不是，请说明理由．21. (本小题满分12分） 已知函数()1ln f x x a x =-- ( １) 讨论f (x )的单调性； ( 2 ) 证明 :222111(1)(1)(1) e (*)11211n n +++<∈+++N . 注： e==2. 71828…为自然对数的底数． 选考题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答， 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则桉所做的第一题计分．22. (本小题满分10 分）［选修4:-:4: 坐标系与参数方程］已知曲线C ：2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩ ( α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 得到曲线C' , 以直角坐标中的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求曲线C ´的 极坐标方程；( 2) 若A , B 是曲线C'上的两个动点， 且OA ⊥OB , 求| OA |2+| OB |2 的最小值，23. (本小题满分l0 分）（选修4- 5: 不等式选讲］巳知函数()|2||2|f x x x =++- , M 为方程f (x )= 4 的解集． (l ) 求M;(2) 证明： 当a , b ∈M, | 2a +2b |≤| 4+ab |.(3)。
2021年卓越高中千校联盟高考数学终极押题试卷(理科)(附答案详解)
2021年卓越高中千校联盟高考数学终极押题试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·江苏省宿迁市·期末考试)已知复数z满足(1−i)z=i(i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −12B. 12C. −12i D. 12i2.(2021·辽宁省·单元测试)已知集合A={x|y=ln(x+3)}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是()A. A=BB. A∩B=⌀C. A⊆BD. B⊆A3.(2019·云南省楚雄彝族自治州·单元测试)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程是()A. 10B. 100C. 140D. 6004.(2021·湖北省·单元测试)围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为()A. 19B. 827C. 1627D. 17815.(2020·山东省潍坊市·期中考试)如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为ŷ=0.7x+0.35，则t等于()A. 4.5B. 3.5C. 3.15D. 36.(2018·黑龙江省齐齐哈尔市·模拟题)(1−1x2)(1+x)5的展开式中x2的系数为()A. 15B. −15C. 5D. −57.(2021·全国·模拟题)设正数x，y，z满足31x=41y=51z，则下列关系中正确的是()A. 4x<3y<2zB. 2z<4x<3yC. 3y<2z<4xD. 2z<3y<4x8.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=Asin(π4x+φ)(A>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，其中Q，R 是与函数的极大值P相邻的两个极小值点，且△PQR为正三角形，则函数y=f(x)在区间[−13,53]上的值域为()A. [√3,2√3]B. [12,1]C. [12,2√3]D. [−2√3,2√3]9.(2021·全国·模拟题)在正四面体A−BCD中，P是AB的中点，Q是直线BD的动点，则直线PQ与AC所成角可能为()A. π12B. π4C. 5π12D. π210.(2021·湖北省孝感市·月考试卷)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3,6)，圆C2：x2+y2−6x+8=0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q点和M，N点，则|PN|+3|QM|的最小值为()A. 12+4√3B. 16+4√3C. 16+6√3D. 20+6√311.(2021·全国·模拟题)某市在精准扶贫专项工作中，通过实施农村农田水利项目，以夯实农村农业的发展基础，助力脱贫攻坚.现计划对该村旧的灌溉水渠进行加固改造，已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧AOB⏜(如图所示)，顶点O在水渠的最底端，渠宽AB为3m，渠深为1m，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯形的新水渠，且新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，若要使所填充的混凝土量最小，则新水渠的底宽为()A. 23m B. 1m C. 43m D. 2m12.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e4,+∞) B. (e2,+∞) C. (e24,+∞) D. (e22,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知非零向量a⃗，b⃗ 两向量夹角为锐角，a⃗=(−1,4)，b⃗ =(m,2)，求m的取值范围______ ．14.(2021·湖南省·单元测试)中国光谷(武汉)某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(10000,102)，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立)，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台15.(2021·广东省广州市·模拟题)在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，P为△ABC外一点，满足PA=PB=PC=5√5，则三棱锥P−ABC的外接球的半径为______．16.(2021·全国·模拟题)已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，若c n=3na n，则c1+c2+⋅⋅⋅+c n=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2020·山东省东营市·单元测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=c2+√3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求√3a−b的取值范围．18.(2021·河北省衡水市·模拟题)如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P 为⊙M上异于点A，O的动点．(1)证明：平面SAP⊥平面SOP；(2)当三棱锥S−APO的体积最大时，求二面角A−SP−B的余弦值．19.(2021·云南省德宏傣族景颇族自治州·单元测试)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上90______ ______60岁以下______ ______ 140合计______ ______ 300(3)研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望X．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(2020·广东省佛山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2且椭圆C上的点P(1,√32)到F1、F2两点的距离之和为4．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点直线OM、0N的斜率之积等于−14，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=xln(x)．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于∀x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1，求实数a 的取值范围；(3)若f(x)=xln(x)的函数图象与y =m 交于不同的两点A(x 1,m)，B(x 2,m)，证明：x 1+x 2>2e ．22. (2021·安徽省蚌埠市·月考试卷)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数)，C 2：{x =t +1t ,y =t −1t(t 为参数)． (1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23.(2021·全国·模拟题)已知关于x的不等式|x−4|+|x−m|≥2m的解集为R．(1)求m的最大值；(2)若a，b，c都是正实数，且1a +12b+13c=1，求证：a+2b+3c≥9．答案和解析1.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：由(1−i)z=i，得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴z的虚部为12．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】解：由集合A中的函数y=ln(x+3)，得到x+3>0，即x>−3，∴A=(−3,+∞)，∵B={x|x≥2}=[2,+∞)，∴A≠B，A∩B=[2,+∞)，A⊇B，故选：D．求出A中函数的定义域确定出A，确定出A与B的交集，并集以及包含关系．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】C【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的求和【解析】【分析】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列前n项和公式能求出公差，进而求出第5日所走的路程．【解答】解：∵今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，∴S9=9a1+9×82d=9×100+36d=1260，解得d =10．所以第5日所走的路程是a 5=a 1+4d =100+40=140． 故选：C ．4.【答案】C【知识点】相互独立事件同时发生的概率【解析】解：甲以3：0获胜为事件A ，甲以3：1胜为事件B ，则A ，B 互斥，且P(A)=(23)3=827，P(B)=C 32(23)2⋅13×23=827， 所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： P(A +B)=827+827=1627，故选：C ．甲以3：0获胜为事件A ，甲以3：1胜为事件B ，则A ，B 互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【知识点】回归直线方程 【解析】 【分析】本题考查了线性回归方程过样本中心的性质，属于基础题． 计算代入回归方程求出y ，根据平均数公式列方程解出t ． 【解答】 解：x =3+4+5+64=4.5，∴y =0.7×4.5+0.35=3.5， ∴2.5+t+4+4.54=3.5，解得t =3． 故选：D ．6.【答案】C【知识点】二项式定理、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】解：(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C5r⋅x r．取r=2，得T3=C53x2，取r=4，得T5=C54x4．∴(1−1x2)(1+x)5的展开式中x2的系数为C53−C54=5．故选：C．写出二项式(1+x)5的通项，分别求出含x2的项与含x4的项，再由多项式乘多项式求解．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.【答案】D【知识点】不等式的概念与不等关系【解析】解：设设31x=41y=51z=t，所以x=log t3，y=log t4，z=log55，由已知得t>1，且4x=4log t3=log t81，3y=3log t4=log t64，2z=2log t5=log t25，所以2z<3y<4x．故选：D．设31x=41y=51z=t，转化为x=log t3，y=log t4，z=log55，可解决此题．本题主要考查指数函数与对数函数的综合应用，考查数学运算能力，属于中档题．8.【答案】A【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：由图可知点P为“五点法”作图中的第二点，所以π4×1+φ=π2，即φ=π4．又ω=π4，所以周期T=2πω=8，所以正三角形PQR的边长为8，所以2A=√32×8，所以A=2√3，所以f(x)=2√3sin(π4x+π4)；由x∈[−13,53]，得π4x+π4∈[π6,2π3]，所以当π4x+π4=π2，即x=1时，f(x)取得最大值2√3．当π4x+π4=π6，即x=−13时，f(x)取得最小值√3，所以函数y=f(x)在区间[−13,53]上的值域为[√3,2√3]．故选：A．直接由图象先求出函数的解析式，再利用正弦型三角函数的性质即可求解．本题考查的知识要点：三角函数的图象与性质，考查图象的识别能力、运算求解能力，属于中档题．9.【答案】C【知识点】异面直线所成角【解析】解：取BD的中点E，连接AE，CE，设正四面体A−BCD的棱长为2，则AE=CE=√3，cos∠CAE=4+3−32×2×√3=√33<√22，∴∠CAE>π4，正四面体的结构特征可知AC在平面ABD上的射影落在直线AE上，∴∠CAE为直线AC与平面ABD内所有直线所成角中最小的角，排除A，B，不妨设三角形ABD的外心为点O，则由正四面体的结构特征可知OC⊥平面ABD，∵AE⊂平面ABD，PQ⊂平面ABD，∴OC⊥AE，OC⊥PQ，若PQ⊥AC，则结合OC，AC⊂平面OAC，OC∩AC=C，可得PQ⊥平面AOC，∵AO⊂平面OAC，∴PQ⊥AO，而在平面ABD中，PQ不可能与AE垂直，∴直线PQ与AC所成角不可能为π2，排除D．故选：C．取BD的中点E，连接AE，设正四面体A−BCD的棱长为2，由余弦定理得∠CAE>π4，而∠CAE为直线AC与平面ABD内所有直线所成角中最小的角，排除A，B；在平面ABD中，PQ不可能与AE垂直，可得直线PQ与AC所成角不可能为π2，排除D，从而得答案．本题考查了异面直线所成角，正四面体的结构特征，线面的位置关系，属于较难题．10.【答案】C【知识点】抛物线的概念及标准方程、利用基本不等式求最值、圆锥曲线中的范围与最值问题、圆的标准方程、直线与抛物线的位置关系 【解析】 【分析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属于较难题．设出抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的定义，求得1|PF|+1|QF|=2p ，根据基本不等式，即可求得答案． 【解答】解：设抛物线的方程：y 2=2px(p >0)，焦点为F ， 则36=2p ×3，则2p =12，∴抛物线的标准方程：y 2=12x ，焦点坐标F(3,0)，准线方程为x =−3， 圆C 2：x 2+y 2−6x +8=0的圆心为(3,0)，半径为1， 由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：my =x −3，设P 、Q 坐标分别为，由{y 2=12x my =x −3，联立得 y 2−12my −36=0， ∵(3,0)在抛物线内，则Δ>0恒成立， ∴y 1+y 2=12m ，y 1·y 2=−36， ∴x 1+x 2=12m 2+6，x 1·x 2=9，∴1|PF|+1|QF|=1x 1+3+1x 2+3=12m 2+6+69+3(12m 2+6)+9=13， 则|PN|+3|QM|=|PF|+1+3(|QF|+1)=|PF|+3|QF|+4 =3(|PF|+3|QF|)(1|PF |+1|QF |)+4 =3(4+3|QF ||PF |+|PF ||QF |)+4 ≥3×(4+2√3)+4=16+6√3.当且仅当|PF |=√3|QF |时等号成立，故选C．11.【答案】B【知识点】函数模型的应用【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−32,1)．设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，由于点A在抛物线上，得p=98，所以抛物线的方程为y=49x2，要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形ABC的面积要最大，设点C(t,49t2)(0<t<32)，则此时梯形ABCD的面积S(t)=12(2t+3)(1−49t2)=−49t3−23t2+t+32，所以S′(t)=−43t2−43t+1=−13(2t+3)(2t−1)，又0<t<32，令S′(t)=0，解得t=12，当0<t<12时，S′(t)>0，S(t)在(0,12)上单调递增，当12<t<32时，S′(t)<0，S(t)在(12,32)上单调递减，所以当t=12时，S(t)取得最大值，此时新水渠的底宽CD为1m．故选：B．建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，由点A得出抛物线的方程，要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形ABCD的面积要最大，设点C(t,49t2)(0<t<32)，得出此时梯形ABCD的面积，利用导数研究最大值即可．本题考查了函数模型的应用、利用导数研究闭区间上函数的最值和抛物线的标准方程，属于较难题．12.【答案】C【知识点】函数的零点与方程根的关系、利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】解：当x=0，f(0)=1，当x≠0，f(x)=e x−ax2=0⇒a=e xx2，令g(x)=e xx2，g′(x)=(x−2)exx3，x∈(−∞,0)函数是增函数，x∈(0,2)函数是减函数，x∈(2,+∞)函数是增函数，可知x=2时，函数取得极小值e24，作出g(x)的图象如下：函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，“3个零点等价于3个交点”等价于要使直线y=a与曲线g(x)=e xx2有三个交点，则a>e24，故选：C．通过分离变量，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，画出草图，然后判断实数a的取值范围．本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数的判断，是综合题，难题．13.【答案】{m|m<8且m≠−12}【知识点】向量的夹角、向量的数量积【解析】解：∵a⃗，b⃗ 两向量夹角为锐角，∴a⃗⋅b⃗ >0，且a⃗，b⃗ 的夹角不为0，∴a⃗⋅b⃗ =(−1)⋅m+4×2>0，当m=−12，时，a⃗，b⃗ 两向量夹角为0，∴m<8且m≠−12，即m的取值范围为{m|m<8且m≠−12}．故答案为：{m|m<8且m≠−12}．由已知可得a⃗⋅b⃗ >0，且a⃗，b⃗ 的夹角不为0，利用向量数量积的坐标运算即可求解．本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】375【知识点】正态曲线及其性质【解析】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10000,102)， 得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P =12，设A ={超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B ={超过10000小时时，元件3正常}，C ={该部件的使用寿命超过10000小时}． 则P(A)=1−(1−12)2=34，P(B)=12，∵事件A ，B 为相互独立事件，事件C 为A 、B 同时发生的事件， ∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=34×12=38．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×38=375． 故答案为：375．先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为12，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时， 元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．15.【答案】52【知识点】线面垂直的判定、线面垂直的性质 【解析】 【分析】首先求出线面的垂直，进一步求出球心的位置，最后利用勾股定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球与锥体之间的关系，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 【解答】解：在△ABC 中，AB =8，BC =6，AC =10，所以AB 2+BC 2=AC 2，P 为△ABC 外一点，满足PA =PB =PC =5√5， 则PD ⊥平面ABC ，球心O 为PD 上一点，如图所示：所以：PD =√(PA)2−(PD)2=10， 设球的半径为R ，所以R 2=52+(10−R)2， 解得：R =52． 故答案为：5216.【答案】(2n+1)⋅3n −14【知识点】数列的递推关系 【解析】解：因为a 1=32，a n+1=3a na n +3，所以1a n+1=a n +33a n =13+1a n，即1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项1a 1=23，公差为13的等差数列，所以1a n=23+13(n −1)=n+13，则c n =3na n=(n +1)3n−1，则c 1+c 2+⋅⋅⋅+c n =2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+(n +1)×3n−1， 设T =2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+(n +1)×3n−1 ①， 则3T =2×3+3×32+⋯…+n ×3n−1+(n +1)×3n ②， ①−②可得：−2T =2+3+32+⋯…+3n−1−(n +1)×3n =1+3n −13−1，则T =(2n+1)⋅3n −14．即c 1+c 2+⋅⋅⋅+c n =(2n+1)⋅3n −14．故答案为：(2n+1)⋅3n −14．根据条件得到1an+1−1a n=13，则数列{1a n}是首项1a 1=23，公差为13的等差数列，得到1a n，可得c n ，写出c 1+c 2+⋅⋅⋅+c n ，利用错位相减法可求解．本题考查数列的递推关系，错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵a 2+b 2=c 2+√3ab ，即a 2+b 2−c 2=√3ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=√32， ∵C 为三角形内角， ∴C =π6；(Ⅱ)由(Ⅰ)得A +B =5π6，即B =5π6−A ，又△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<5π6−A<π2， 解得：π3<A <π2， ∵c =1，sinC =12，∴由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC =112=2，即a =2sinA ，b =2sinB ，∴√3a −b =2√3sinA −2sinB =2√3sinA −2sin(π6+A)=2√3sinA −cosA −√3sinA =√3sinA −cosA =2sin(A −π6) ∵π3<A <π2，∴π6<A −π6<π3，∴12<sin(A −π6)<√32， 则√3a −b ∈(1,√3).【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(Ⅰ)利用余弦定理表示出cos C ，将已知等式变形后代入求出cos C 的值，即可确定出角C 的值；(Ⅱ)由C 的度数求出A +B 的度数，用A 表示出B ，根据三角形ABC 为锐角三角形，求出A 的范围，再由c 与sin C 的值，利用正弦定理表示出a 与b ，代入所求式子中化简，利用正弦函数的值域即可确定出范围．18.【答案】解：(1)证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，∴SO ⊥AP ， ∵AO 为⊙M 的直径，∴PO ⊥AP ，∴AP ⊥平面SOP ，∵AP ⊂平面SAP ，∴平面SAP ⊥平面SOP ．(2)解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，∴圆锥的侧面积S 侧=12×2πrl =πrl ，底面积S 底=πr 2，∴依题意2πr 2=πrl ，∴l =2r ，取r =2，l =4，则在△ABS 中，AB =AS =BS =4，∴SO =√AS 2−AO 2=2√3， 如图，在底面作⊙O 的半径OC ，使得OA ⊥OC ， ∵SO ⊥OA ，SO ⊥OC ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0，0)，B(−2,0，0)，S(0,0，2√3)，在三棱锥S −APO 中，∵SO =2√3，∴△AOP 面积最大时，三棱锥S −APO 的体积最大，此时MP ⊥OA ，∵⊙M 的半径为1，∴P(1,1，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，0)，取a =1，得SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2√3)， 设平面SBP 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0n ⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −2√3c =0，取a =1，得n⃗ =(1,1，√33)， 设平面SBP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −2√3z =0，取x =−1，得m⃗⃗⃗ =(−1,3，√33)， 设二面角A −SP −B 的平面角为θ，由图得θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−|−1+3+13|√73⋅√313=−√21731，∴二面角A−SP−B的余弦值−√21731．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】(1)推导出SO⊥AP，PO⊥AP，从而AP⊥平面SOP，由此能证明平面SAP⊥平面SOP．(2)设圆锥的母线长为l，底面半径为r，推导出l=2r，OA⊥OC，SO⊥OA，SO⊥OC，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−SP−B的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】70 160 60 80 150 150【知识点】离散型随机变量的期望与方差、独立性检验、离散型随机变量及其分布列【解析】解：(1)平均数x=(0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+ 0.03×11+0.01×13)×2=6，这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.18+0.03+0.03+0.01)×2=0.5，所以“长潜伏者”的人数为500×0.5=250人．(2)由题意补充后的列联表如下，则k2的观测值为k=300×(90×80−60×70)2150×150×160×140=7514≈5.357>5.024，经查表，得P(k2≥5.024)≈0.025，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关．(3)由题意知，所需要的试验费用X所有可能的取值为1000，1500，2000，P(X=1000)=A22A52=110，P(X=1500)=C21C3l A22+A33A53=310，P(X=2000)=C21A31A32C21A54=35(或P(X=2000)=C21C31A32A53=3660=35)，所以X的分布列为数学期望E(X)=1000×110+1500×310+2000×35=1750(元)．(1)由频率分布直方图中的数据可求出平均数和频率，用频率乘以500即可得到频数； (2)根据2×2列联表中的已知数据和列联表本身的性质，补充完整表格，再由K 2的公式计算出观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；(3)所需要的试验费用X 所有可能的取值为1000，1500，2000，然后结合排列组合与概率逐一计算出每个X 的取值所对应的概率即可得到分布列，进而求得数学期望． 本题考查频率分布直方图、独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和灵活运用知识的能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由已知2a =4，∴a =2，又点P(1,√32)在椭圆上，∴14+(√32)2b 2=1，b 2=1，故椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 2=1得：(1+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−1)=0=0 △=64m 2k 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0⇒1+4k 2−m 2>0且x 1+x 2=−8mk1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2∵直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=km(x 1+x 2)+k 2x 1x 2+m 2x 1x 2=−14，∴km(−8mk)+4k 2(m 2−1)+m 2(1+4k 2)4(m 2−1)=m 2−4k 24(m 2−1)=−14，即：2m 2=4k 2+1．又O 到直线MN 的距离为 d =√1+k 2，|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√16k 2+8m 2−8，所以S △OMN =12|MN|d=12√16k 2+8−8m 2 =12√16k 2+8−4(4k 2+1) =1(定值)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义、椭圆的概念及标准方程、圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，属中档题．(Ⅰ)由椭圆定义得2a =4，a =2，将点P 的坐标代入椭圆解得b =1，从而可得椭圆C 的方程；(Ⅱ)联立直线与椭圆，利用韦达定理，斜率之积，点到直线距离、弦长公式可得面积为定值．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=lnx +x ⋅1x =lnx +1，f′(1)=ln1+1=1， 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(2)当1e ≤x ≤e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x ”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]，g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，x ∈[1e ,e]， 当x ∈[1e ,1)时，g′(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减． 当x ∈(1,e]时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增， 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g(e)=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e )=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1． (3)证明：函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(1)可知，f′(x)=lnx +1，令f′(x)=0，解得x =1e ，f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(1e ,+∞)，减区间为(0,1e )，又f(1)=0，∴x ∈(1e ,1)时，f(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f(x)>0， ∵y =m 与f(x)的图像交于A ，B 两点，即f(x 1)=f(x 2)=m ， ∴0<x 1<1e <x 2<1．设g(x)=f(2e −x)，当x ∈(1e ,2e )时，g(x)=(2e −x)⋅ln(2e −x)， ∴设ℎ(x)=g(x)−f(x)，则ℎ(x)=(2e −x)⋅ln(2e −x)−x ⋅lnx ，∴ℎ′(x)=(2e −x)′⋅ln(2e −x)+(2e −x)⋅[ln(2e −x)]′−lnx −1=−ln(2e −x)+(2e −x)⋅12e−x ⋅(−1)−lnx −1=−2−ln(−x 2+2ex)，∵x ∈(1e ,2e)，∴−x 2+2e x ∈(0,1e 2)，∴ln(−x 2+2e x)<−2，∴ℎ′(x)>0即当x ∈(1e ,2e )时，为增函数，∴ℎ(x)>0即当x ∈(1e ,2e )时，g(x)=(2e −x)⋅ln(2e −x)>f(x)=xlnx ， ∵f(x 1)=f(x 2)， 此时0<x 1<1e <x 2<1， ∵f(x 1)=g(2e −x 1)=f(x 2)， 当0<x 1<1e 时，可得1e <2e −x 1<2e ， 记2e −x 1=t ，即1e <t <2e ，由当x ∈(1e ,2e )时，g(x)=(2e −x)⋅ln(2e −x)>f(x)=xlnx ，g(t)>f(t)即f(2e −x 1)<g(2e −x 1)=f(x 1)=f(x 2)，∴f(2e −x 1)<f(x 2)，此时1e <2e −x 1，1e <x 2 又当x ∈(1e ,+∞)时，为增函数， ∴f(2e −x 1)<f(x 2)可得2e −x 1<x 2， ∴x 1+x 2>2e．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)对函数f(x)求导，求得f′(1)，f(1)，再利用点斜式即可得切线方程； (2)问题等价于a ≥lnx +1x 恒成立，令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]，求出g(x)的最大值即可；(3)先分析出0<x 1<1e <x 2<1，设g(x)=f(2e −x)，再采用极值点偏移的解题思路求证即可．本题考查导函数的基本分析方法，第一问求解经过函数图像上某点的切线方程；第二问则是求解参数范围的常见参变分离形式；第三问则考查使用构造函数分析极值点偏移的问题，属于较难题目．22.【答案】解：(1)曲线C 1，参数方程为：{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为：x +y −4=0，所以C 1的普通方程为x +y =4(0≤x ≤4)． 曲线C 2的参数方程：{x =t +1t ,①y =t −1t ,②(t 为参数)． 所以①2−②2整理得直角坐标方程为x24−y 24=1，所以C 2的普通方程为x 2−y 2=4． (2)由{x +y =4x 24−y 24=1，整理得{x +y =4x −y =1，解得：{x =52y =32，即P(52,32).设圆的方程(x −a)2+y 2=r 2， 由于圆经过点P 和原点， 所以{a 2=r 2(52−a)2+(32)2=r 2，解得{a =1710r 2=289100，故圆的方程为：(x −1710)2+y 2=289100，即x 2+y 2−175x =0，转换为极坐标方程为ρ=175cosθ．【知识点】曲线的参数方程、简单曲线的极坐标方程【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用极径的应用和圆的方程的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】(1)解：当m <0时，不等式|x −4|+|x −m|≥2m 恒成立，解集为R ，满足题意； 当m ≥0时，①0≤m <4时，|x −4|+|x −m|≥|(x −4)−(x −m)|=4−m ， 由不等式|x −4|+|x −m|≥2m 的解集为R ，可得4−m ≥2m ， 解得：0≤m ≤43；②m =4时，不等式|x −4|+|x −m|≥2m ，即为2|x −4|≥8，解得x ≤0或x ≥8，不满足题意；③m >4时，|x −4|+|x −m|≥m −4，由不等式|x −4|+|x −m|≥2m 的解集为R ，可得m −4≥2m ， 解得：m ≤−4，与m >4矛盾； 综上所述，m ≤43，∴m 的最大值为43． (2)证明：∵1a +12b +13c =1(a,b ，c >0)， ∴由柯西不等式得： 3=√a √a+√2b √2b+√3c √3c≤√a +2b +3c ⋅√1a +12b +13c ，整理得a+2b+3c≥9，当且仅当a=2b=3c，即a=3，b=3，c=1时取等号．2【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(1)对m分类讨论，求出不等式恒成立的m的取值范围，即可求得m的最大值；(2)利用柯西不等式证明即可．本题考查含有参数的绝对值不等式的求解方法，柯西不等式的应用，考查分类讨论思想与转化思想，属于中档题．。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(二十六)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（二十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则AB =（ ）A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ,即可求出AB .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥， ∴[]1,3B =-，∴[1,2)AB =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题. 2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. []2,3C. ()2,3D. []1,0-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩,所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3. 故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.15B. 5C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=，解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.15B. 15-C. 75D. 75-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件,求出sin ,cos θθ,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果. 【详解】∵sin 4tan cos 3θθθ==-，()0,θπ∈，sin 0θ>， cos 0θ<，又∵22sin cos 1θθ+=，∴4sin 5θ=，3cos 5θ=-， 37sin cos cos sin 225ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.5.曲线()2ln f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10x ay --=平行，则a =（ ）A.13B.12C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出()1f '，即为切线的斜率，可求出a . 【详解】因为()2ln f x x x x =+，所以()'2ln 1f x x x =++，因此， 曲线()2ln f x x x x =+在()()1,1f 处的切线斜率为()'1213k f ==+=， 又该切线与直线10x ay --=平行，所以13a=，∴13a =.故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若1232a a a ++=，639S S =，则9S =（ ） A. 50 B. 100 C. 146 D. 128【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出6S ，再应用等比数列前n 项和为n S 的性质，即可求出结果. 【详解】由题意得∵31232S a a a =++=，63918S S ==， ∴6318216S S -=-=，根据等比数列的性质可 知，3S ，63S S -，96S S -构成等比数列， 故()()263396S S S S S -=-，∴96128S S -=， 故96128146S S =+=. 故选C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.7.已知函数())ln f x x =，设()3log 0.1a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】先判断()f x 的奇偶性，再证明单调性，判断出,,a b c 对应自变量的大小关系，利用()f x 单调性比，即可得出答案. 【详解】∵())lnf x x =，∴())lnx f x =-，∴()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数，∴当0x ≥时，易得())lnf x x =为增函数，故()f x 在R 上单调递增，∵3log 0.10<，0.2031-<<， 1.133>， ∴()()()1.10.2333log0.1f f f ->>，∴c b a >>.故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.8.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 是周期函数C. ()f x 有零点D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，故C 正确；由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞ 上单调递增，故D 正确. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ） A. ()3,+∞B. ()1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10.已知实数x ，y 满足不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，目标函数13y z x +=+的最大值是（ ）A.23B.49C.59D.13【答案】D 【解析】 【分析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.【详解】不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域如图所示：13y z x +=+表示过可行域内的点(),x y 与 点()3,1M --的直线的斜率的最大值，由2010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭， 这时()()11123332MA k --==--， 故目标函数13y z x +=+的最大值是13.故选D.【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若3b =ABC ∆的面积为)222=+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 22ac B ac B=-，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ，1sin cos 2∴=ac B B，因此tan B =23B π=.所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c ，即223()(23)4a c + 2()16a c ∴+，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.已知函数()27ln ,02,0x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩，令函数()()32g x f x x a =--，若函数()g x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9,16e ⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()9,0,16e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()9,0,16e ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】 【分析】构造新函数()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨--≤⎪⎩，问题转化为()y F x =与y a =有两个交点，作出()F x ，利用数学结合思想，即可求得结果.【详解】令()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨--≤⎪⎩，当0x >时，函数()()'2ln 11ln F x x x =-+=-， 由()'0F x >得1ln 0x ->得ln 1x <，得0x e <<， 由()F'0x <得1ln 0x -<得ln 1x >，得x e >， 当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大， 即当x e =时，函数()F x 取得极大值，极大值为()2ln 2F e e e e e e e =-=-=，当0x ≤时，()223392416x x x x F ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数 ()F x 的图象如图：要使()F x a =（a 为常数）有两个不相等的实根， 则0a <或916a e <<，即若函数()g x 有两个不同零点，实数a 的取值范围是()9,0,16e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 故选C.【点睛】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31xf x =-，则31log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】 【分析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.15.设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】 【分析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得:1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16.下列命题中：①已知函数()21y f x =+的定义域为[]0,1，则函数()y f x =的定义域为[]1,3；②若集合{}2|40A x x kx =++=中只有一个元素，则4k =±； ③函数112y x=-在(),0-∞上是增函数； ④方程()22log 21xx =++的实根的个数是1.所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①根据复合函数()21y f x =+与函数()y f x =自变量的关系，即可判断为正确； 对于②等价于方程有等根，故0∆=，求出k 的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出2xy =，()2log 21y x =++的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确.【详解】对于①，因为函数()21y f x =+的定义域 为[]0,1，即01,1213x x ≤≤∴≤+≤， 故()y f x =的定义域应该是[]1,3，故①正确； 对于②，2160k ∆=-=，故4k =±，故②正确；对于③，1121122y x x -==--的图象由反比例函数 12y x-=向右平移12个单位，故其单调性与函数12y x-=单调性相同，故可判定112y x=- 在(),0-∞上是增函数，③正确； 对于④，在同一坐标系中作出2xy =，()2log 21y x =++的图象，由图可知有两个交点.故方程的实根的个数为2，故④错误.故答案为①②③.【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y xx 的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max141x a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，由函数单调性，求出1y x x =-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果.【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x<-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可，易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x的最小值为1-， 因此1a <-.(2)若q 为真命题，则2max141x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -，故12-a 或12a ，因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) 最小值为， 3x π=. 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果； （2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果.【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭3cos 222223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z ，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z .(2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.已知二次函数()f x 满足()()1f x f x =-，()20f =，且0为函数()()2g x f x =-的零点.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,1x ∈时，不等式()f x x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()22f x x x =-++ （2）3m >【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得()f x 对称轴方程，结合()20f =，(0)2f =，即可求出()f x ;（2）从不等式中分离m ，不等式恒成立转为m 与函数的最值关系，即可求出结果. 【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意可知，()()1f x f x =-， 得到122b a -=，即得到=-a b ， 又因为0是函数()()2g x f x =-的零点， 即0是方程220ax bx c ++-=的根， 即满足20c -=，得2c =，又∵()20f =， ∴4204220a b c a b ++=⇒++=，∵4220a b a b =-⎧⎨++=⎩，∴11a b =-⎧⎨=⎩，∴()22f x x x =-++.（2）当[]0,1x ∈时，()f x x m <-+恒成立， 即222m x x >-++恒成立；令()()222213h x x x x =-++=--+，[]0,1x ∈，则()()max 13h x g ==， ∴3m >.【点睛】本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.20.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记21n n n n na c a ab ++=⋅⋅中，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2nn b = （2）()11222n n T n =-⋅+ 【解析】 【分析】对于{}n a 根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于{}n b 利用已知前n 项和n S 与通项关系，可求得通项n b ；（2）根据{}n c 的通项公式，用裂项相消法，可求出{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，1d =，所以1n a n =+， 当1n =时，1122b b -=，∴12b =112,22,22n n n n n b S b S --≥-=-=当时，两式相减得12n n b b -=,112,0,2nn n b b b b -=∴≠∴= {}n b ∴以2为首项公比为2的等比数列，2n n b ∴=.（2）由（1）知，所以()()3212n n n c n n +=⋅+⋅+()()1112122n n n c n n -⇒=-⋅+⋅+()()0112231111111112223232424252122n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()11222n n T n =-⋅+. 【点睛】本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前n 项和求通项，以及求数列的前n 项和，属于中档题. 21.已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的最大值.【答案】（1）()min 1f x = （2）答案不唯一，见解析 （3）9ln 410+ 【解析】 【分析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；（2）求导，对a 分类讨论，可求出函数()f x 的单调区间；（3）求出()'g x ，通过分析()''g x ，可得到()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭增函数，从而有()()()22,()22g m k m g n k n =+-=+-，转化为()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥⎪⎝⎭，()22g x k x +=+，转化为()22g x y x +=+与y a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至少有两个交点，即可求出实数k 的最大值.【详解】（1）当0a =时，()()ln 0f x x x x =->， 这时的导数()1'1f x x=-， 令()'0f x =，即110x-=，解得1x =， 令()'0f x >得到1x >， 令()'0f x <得到01x <<，故函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增； 故函数()f x 在1x =时取到最小值， 故()()min 11f x f ==； （2）当0a >时，函数()()211ln 2ax x f x x a -++-=导数为()()()1111'x ax ax a x f x x--=-++-=-， 若1a =时，()'0f x ≤，()f x 单调递减， 若1a >时，11a<， 当1x >或10x a<<时，()'0f x <， 当11x a<<时，()'0f x >， 即函数()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递减， 区间1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 若01a <<时，11a>， 当1x a>或01x <<时，()'0f x <， 当11x a<<时，()'0f x >， 函数()f x 在区间()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 在区间11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上，若1a =时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间， 若1a >时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，增区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭， 若01a <<时，函数()f x 的减区间为()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）当0a =时，设函数()()2ln g x xf x x x x ==-. 令()'2ln 1g x x x =--，()()121''20x g x x x x-=-=>，当12x ≥时，()''0g x ≥，()'g x 为增函数， ()1''ln 202g x g ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，()g x 为增函数，()g x 在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，∵()g x 在[],m n 上的值域是()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦， 所以()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥⎪⎝⎭，()22g x k x +=+， 令()2ln 22x x x x F x =-++，求导得，()()2232ln 2'4x x x x F x +--=+， 令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭， 则()()()21'221232x x x x x x G x -+⎛⎫=+-=≥ ⎪⎝⎭， 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，102G ⎛⎫<⎪⎝⎭，()10G =， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0G x <，∴()F'0x <， 当[)1,x ∈+∞，()0G x >，∴()'0F x >， 所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[)1,+∞上递增，∴()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，∴9ln 41,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ∴k 的最大值为9ln 410+. 【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R . (1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN .【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】【分析】（1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=，转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t --=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +124t t ⋅=-， 所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.23.已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -或0a ≥恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -，所以32x - 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，即2ax ≤-或0ax ≥. 当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x-或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(二十五)文科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（二十五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合2{|40},{2,1,0,1,2}A x x B =-<=--，则A B =（ ）A. {2,1,0,1,2}--B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合A ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：由240x -<，得22x -<<，{}|22A x x ∴=-<<，又{2,1,0,1,2}B =--，由集合的交集运算，得{1,0,1}.=-A B 故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.设21ix yi i=++（,,x y R i ∈为虚数单位），则||x yi -=（ ） A. 1 B.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件求得x ，y 值，最后代入复数模的公式求得答案．【详解】解：∵22(1)11(1)(1)i i i i x yi i i i -==+=+++-， ∴ 1x y ==，∴ 1x yi i -=-.故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A. y =B. 33y x =-C. 1y x x=-D. y x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在定义域上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【详解】解：因为函数y =A 不合题意； 函数33y x =-在定义域上为减函数，所以选项B 不合题意； 函数1y x x=-在定义域内不单调，所以选项C 不合题意； 函数y x x =为奇函数，且22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，因为2yx 在[0,)+∞上单调递增，2y x =-在(,0)-∞上单调递增，且2yx 与2y x =-在0x =处函数值都为0，所以y x x=在定义域内是增函数. 故选：D .【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．属于基础题．4.若等比数列{}n a 满足19nn n a a +=+，则其公比为（ ）A. 9B. 9±C.92D. 92±【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 公比q ，由已知条件可得121n n n n a a q a a ++++=+，即可计算得解；【详解】解：设等比数列{}n a 公比q ，又等比数列{}n a 满足19nn n a a +=+，1129n n n a a +++∴+=1219n n n n a a q a a ++++∴==+.故选：A .【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及整体代换求值，属于基础题．5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出2只，则恰有1只测量过该指标的概率为（ ） A.23B.35C.25D.15【答案】B 【解析】 分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出2只的所有情况数为25C ，恰有1只测量过该指标是从3只测过的里面选1，从未测的选1，组合数为3211C C ．即可得出概率． 【详解】解：由题意，可知：从这5只兔子中随机取出2只的所有情况数为25C ，恰有1只测量过该指标的所有情况数为3211C C．12235135C CpC∴==．故选：B【点睛】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，属于基础题．6.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A. 该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B. 该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2018年其它费用是2017年工资金额的1 4D. 该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍【答案】B【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t. 对于选项A，该企业2018年原材料费用为0.3×2t＝0.6t，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t＝0.3t，故A错误；对于选项B，该企业2018年研发费用为0.25×2t＝0.5t，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t＝0.5t，故B正确；对于选项C，该企业2018年其它费用是0.05×2t＝0.1t，2017年工资金额是0.2t，故C错误；对于选项D，该企业2018年设备费用是0.2×2t＝0.4t，2017年原材料的费用是0.15t，故D错误. 故选：B .【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题． 7.若tan 2α=，则cos(2)2πα-=（ ）A.25或25- B.25C.45或45- D.45【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入求值即可； 【详解】解：因为tan 2α= 所以2222sin cos 2tan 4cos(2)sin 22sin cos tan 15παααααααα-====++. 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题.8.设12,F F 为椭圆22:+195x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限，若12MF F ∆为等腰三角形，则12MF F ∆的面积为（ ）A.2B. C. 3【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得212MF F F =，即可求出2MF 、1MF 的值，再根据面积公式计算可得；【详解】解：设1F 为左焦点，分析可知2124MF F F ====，124MF a ∴=-2342=⨯-=，12122MF F S ∆∴=⨯=.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的方程和简单几何性质，属于基础题.9.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =-的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】解：由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．10.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A. 324B.2332 D. 22【答案】A【解析】【分析】求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由2=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a故选：A.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．11.在三棱柱111ABC A B C -中，已知12AB BC CA AA ===，1AA ⊥平面ABC ，D 为AC 的中点，则异面直线1AB 与BD 所成角的大小为（ ）. A. 30 B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】B 【解析】 【分析】取11A C 中点E ，根据平行关系可将问题转化为1AB E ∠的求解，根据垂直关系可求得1AB E ∆的三边长，进而得到所求角的大小. 【详解】取11A C 中点E ，连接1,AE B E ，,D E 分别为11,AC A C 中点，1//BD B E ∴，1AB E ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成角.设11AA =，则AB BC CA ===1B E BD ∴==，1AA ⊥平面ABC ，1AB ∴==，AE ==， 22211B E AE AB ∴+=，1B E AE ∴⊥，又1B E AE =，145AB E ∴∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角的大小为45. 故选：B .【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行移动，将异面直线所成角转化为相交直线所成角的问题.12.已知()sin f x x x =+，且直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴，则()12f x x -的值为（ ） A. 2 B. 2±C. ±1D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先转化两个函数()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，()sin =-=y f x x x ，由直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴，根据对称轴方程可得111222,,,6x k k Z x k k Z πππ=+∈=∈，再将12x x -代入()f x 求解.【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()sin =-=y f x x x因为直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴， 所以111222,,,6x k k Z x k k Z πππ=+∈=∈，所以()()12122si 2n 2ππ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭f x x k k . 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13.已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在0x =的切线方程为（ ）.A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y -+=D.210x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程. 【详解】()()()()2221132x x x f x x e x x e x x e '=++++=++，()02f ∴'=，又()01f =，∴切点坐标为()0,1，()f x ∴在0x =处的切线方程为：()120y x -=-，即210x y -+=.故选：C .【点睛】本题考查求解在曲线某一点处的切线方程的问题，关键是熟练掌握导数的几何意义，利用导数求得切线斜率.14.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若,AC AM AB λμ=+则λμ+=（ ）A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】由M 为BC 的中点，得1()2AM AC AB =+即可得到； 【详解】解：由M 为BC 的中点，得1()2AM AC AB =+（三角形中线结论）；故2AC AM AB =-，所以2,1λμ==-，即1λμ+=.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.15.在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）A. 810B. 840C. 870D. 900 【答案】B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 16.在ABC ∆中，8,4AB AC BC +==，D 为BC 的中点，当AD 长度最小时，ABC ∆的面积为（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】D【解析】【分析】在ABC ∆中，设,,,AB x AC y AD m ADB θ===∠=，则ADC πθ∠=-，在ABD ∆中，由余弦定理得：2244cos θ+-=m m x （1），在ACD ∆中，由余弦定理得：2244cos θ++=m m y （2），联立可得22228+=+m x y ，再又由8x y +=，即可得到22828m y y =-+，根据二次函数的性质求出m 的最值，即可得到三角形面积的最值；【详解】解：在ABC ∆中，设,,,AB x AC y AD m ADB θ===∠=，则ADC πθ∠=-，ABD ∆中，由余弦定理得：2244cos θ+-=m m x （1）， 在ACD ∆中，由余弦定理得：2244cos()πθ+--=m m y ，即2244cos θ++=m m y （2），由（1）（2）得：22228+=+m x y ，又8x y +=，所以222228(8)21664m y y y y +=-+=-+，所以22828m y y =-+，所以当4y =时，m 的最小值为即AD 长度的最小值为4AB AC BC ===，ABC ∆是等边三角形，易得其面积为故选：D.【点睛】本题考查余弦定理以及二次函数的性质，属于中档题.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(十五)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（十五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}20,1,2,3,|30=M N x x x M N ==-<⋂，则A ．0B ．{}|0x x <C ．{}|03x x <<D ．{}1,22．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是A ．2iB ．34i +C ．12-+ D ．1122i + 3．命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是A ．2000(2,0),20x x x ∃∉-+B ．2000(2,0),20x x x ∀∈-+C ．2000(2,0),20x x x ∀∉-+< D ．2000(2,0),20x x x ∃∈-+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n = A ．10B ．11C ．12D ．135．猜商品的价格游戏， 观众甲：2000! 主持人：高了! 观众甲：1000! 主持人：低了! 观众甲：1500! 主持人：高了! 观众甲：1250! 主持人：低了! 观众甲：1375!主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是A ．()1000,1250B ．()1250,1375C ．()1375,1500D ．()1500,2000 6．“直线(2)310m x my +++=与(2)(2)0m x m y -++=互相垂直”是“12m =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是 A ．c c a b >B ．log log a a b c >C ．a b c c >D ．log log b a c c <8．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是A ．若a m ⊥，a n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则a α⊥B ．若//a b ，b α⊂，则//a αC ．若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b D ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥9．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有123456789A ．108种B ．60种C ．48种D ．36种11．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形12．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20fx af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是A ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．13ln 6,ln 234⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．13ln 6,ln 234⎛⎤-- ⎥⎝⎦第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(三)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+≤，{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（ ）A. {}|12x x ≤<B. {}2|1x x <≤C. {}2|0x x <≤D.{}2|0x x ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,A B ，然后取并集即可.【详解】由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，所以AB ={}2|0x x <≤.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知1z 、2z 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 11||||z z ==B. 若2||2z =，则2z 的取值集合为{2,2,2,2}i i --（i 是虚数单位）C. 若22120z z +=，则10z =或20z = D. 1212z z z z +一定是实数 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，取1z i =，即可判断出正误；对B ，由2||2z =，则22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π；对C ，取1z i =，2z i =-，即可否定；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A ，例如取1z i =无意义，故A 错误；对B ，2||2z =，取22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π，故B 错误； 对C ，例如取1z i =，2z i =-，满足条件，故C 错误；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，则1212()()z z z z a bi c di +=+-()()()()2a bi c di ac bd bc ad i ac bd ad bc i ac +-+=++-+-+-=，所以1212z z z z +是实数，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.已知正实数,a b 满足21()log 2aa =，21()log 3bb =，则（ ） A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a <<D.1a b <<【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象， 结合图象可得：1b a <<，故选B ．【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4.2019年5月22日具有“国家战略”意义“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率．【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况； 所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==； 故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题． 5.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点()0,3A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A. 直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 的图象可由2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象过点(3A ， 可得()03f =2sin 3ϕ=3sin ϕ=，因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，即()2sin()3f x x πω=+，又由点,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，即()2sin()0333f πππω=⨯+=，可得33ππωπ⨯+=，解得2ω=，所以函数的解析式为()2sin(2)3f x x π=+，令12x π=，可得2121()2sin(2)si 222n 3f ππππ=⨯+==，所以12x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A 是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222T πππω===，所以B 是正确的； 当(,)312x ππ∈-，则2(,)332x πππ+∈-， 根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间(,)312ππ-单调递增，所以C 是正确的；由函数2sin 2g xx 向左平移3π个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33y xx， 所以选项D 不正确. 故选：D .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若(3,1),(1,3)a b =--=，则||a b ⨯（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据(3,1),(1,3)a b =--=，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅求解. 【详解】(3,1),(1,3)a b =--=||2,||2a b ∴==23cos ||||a b a b θ⋅-∴===⋅则1sin 2θ=||||||sin 2a b a b θ∴⨯=⋅⋅=，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知621(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为256，则该展形式中3x 的系数为（ ） A. 26 B. 32C. 38D. 44【答案】C 【解析】 【分析】令1x =，由系数和求得a ，然后求得6(1)x +展开式中3x 和5x 的系数，由多项式乘法法则得结论．【详解】令1x =则6(1)2256,3a a +⋅=∴=，∴6231(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为26335536338C x C x x x +⋅=，所以3x 的系数为38. 故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法则． 8.执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（ ） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，构造新数列{}1n a n --为等比数列，求出数列{}n a 通项，再并项求和，将13S 用1a 表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由123n n a a n ++=+得()()1111n n a n a n +-+-=---， ∴{}1n a n --为等比数列，∴()()11112n n a n a ---=--，∴()()11121n n a a n -=--++，()()11121m m a a m -=--++，∴()()131231213S a a a a a =+++++()112241236102a a =+⨯++++⨯=+，①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =.②m 为偶数时，()1121102a m a --++=+，1299m a =+， ∵1a Z ∈，1299m a =+只能为奇数， ∴m 为偶数时，无解. 综上所述，103m =. 故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线交双曲线右支于,P Q 两点,且1PQ PF ⊥,若134PQ PF =,则该双曲线离心率e =( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由1PQ PF ⊥,134PQ PF =,可得1QF 与1PF 的关系,由双曲线的定义可得12122a PF PF QF QF =-=-,解得|1PF ,然后利用12Rt PF F ∆,推出,a c 的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设,P Q 为双曲线右支上一点, 由1PQ PF ⊥,134PQ PF =, 在直角三角形1PF Q 中1154QF PF ==由双曲线的定义可得:12122a PF PF QF QF =-=-134PQ PF =∴ 22134PF QF PF +=可得:111532244PF a PF a PF -+-=1351444PF a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得183a PF =21223a PF PF a =-=在12Rt PF F ∆中根据勾股定理:122c F F ==解得:2c =∴ 17c e a ==故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,则球O 的表面积为( )A.53π B. 2πC. 5πD.203π【答案】A 【解析】 【分析】由ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直,画出图像,求出此时的三棱锥P ABC -外接球的半径,即可求得答案.【详解】当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直 画出立体图像:设PBC ∆外接圆圆心为M ,ABC ∆外接圆圆心为N ,P ABC -外接球的半径为R , 取BC 中点为Q PBC ∆等边三角形∴ PQ BC ⊥又面ABC ⊥面PBC 垂直∴ PQ ⊥面ABCAQ ⊂面ABC∴ PQ ⊥AQABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形∴ 可得ABC ∆与PBC ∆外接圆半径为:3即3AN PM == 则3NQ MQ == 又OM ⊥面PBC ,ON ⊥面ABC∴ 四边形OMNQ 是正方形,3NQ MQ OM ON ∴====在Rt PMO △中有:222PO OM PM =+解得: 2223353612PO ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故P ABC -外接球的半径为2512R =球的表面积公式为:25544123S R πππ==⨯= 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.12.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（ ）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,4【答案】A 【解析】 【分析】对图中实线部分曲线为函数()y f x =或其导函数()y f x '=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()y f x =的图象，则虚线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，由导函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2， 但函数()y f x =在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =在区间()0,4上的减区间为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为4,43⎛⎫⎪⎝⎭，合乎题意. 由图象可知，不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 【答案】243256【解析】 【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算()80P X ≥-. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()443144k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝2224312744128C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝33431274464C ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝4044318144256C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 14.已知()sin(2019)cos(2019)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为____________ 【答案】22019π【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f （x ）=2sin （2019x+6π），依题意可知A=2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，从而可得答案． 【详解】∵f （x ）=sin （2019x+6π）+cos （2019x ﹣3π），=2sin2019x+12cos2019x+12cos2019x+2sin2019x ，=2sin （2019x+6π）， ∴A=f （x ）max =2，周期T=22019π， 又存在实数x 1，x 2，对任意实数x 总有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立， ∴f （x 2）=f （x ）max =2，f （x 1）=f （x ）min =﹣2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，又A=2， ∴A|x 1﹣x 2|的最小值为22019π．故答案为22019π． 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．15.设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],21e -∞- 【解析】 【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．16.已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ； （4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】 【分析】（1）由A 、B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，从而有相等的角，由此可判断11A F B F ⊥；（2）取AB 的中点C ，利用中位线即抛物线的定义可得()1122CM AF BF AB =+=，从而可得AM BM ⊥；（3）由（2）知，AM 平分1A AF ∠，从而可得1A F AM ⊥，根据AM BM ⊥，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取1AA 与y 轴的交点D ，可得1A D OF =，可得出1A F 的中点在y 轴上，从而得出结论；（5）设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，证明出1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于A 、B 在抛物线上，且1A 、1B 分别为A 、B 在准线l 上的射影， 根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，则11AA F AFA ∠=∠，11BB F BFB ∠=∠，11//AA BB ，11180FAA FBB ∠+∠=，则1111180AA F AFA BB F BFB ∠+∠+∠+∠=，即()112180AFA BFB ∠+∠=，1190AFABFB ∴∠+∠=，则1190A FB ∠=，即11A F B F ⊥，（1）正确；（2）取AB 的中点C ，则()1122CM AF BF AB =+=，90AMB ∴∠=，即AM BM ⊥，（2）正确；（3）由（2）知，1//CM AA ，1A AM AMC ∠=∠，12CM AB AC ==，AMC CAM ∴∠=∠，1A AM CAM ∴∠=∠， AM ∴平分1A AF ∠，1AM A F ∴⊥，由于BM AM ⊥，11//A F B M ∴，（3）正确； （4）取1AA 与y 轴的交点D ，则12pA D OF ==，1//AA x 轴，可知1A DE FOE ∆≅∆，1A E EF ∴=，即点E 为1A F 的中点，由（3）知，AM 平分1A AF ∠，1A M ∴过点E ，所以，1A F 与AM 的交点的y 轴上，（4）正确；（5）设直线AB 的方程为2p x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则点11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得，2220y mpy p --=，由韦达定理得212y y p =-，122y y mp +=，直线1OA 的斜率为1221122222OAp y y y p k p p p y ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-=-=-， 直线OB 的斜率为22222222OB y y p k y x y p===，1OA OB k k ∴=， 则1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线， 所以，1AB 与1A B 交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==.(1)求n a ，n S 与n T ; (2)若n c =:()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)2n a n =，()1n S n n =+，112n n T =-;(2)见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，2214a a a =，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n 项和可求，再将12,a a 代入11221a b a b ==，利用等比数列通项公式求出1b ，q，进而可得nT；（2）由nc=，结合10112n⎛⎫<-<⎪⎝⎭恒成立，即可得到12nc n<<=+，结合等差数列的前n项和公式即可证明()1222nn nc c c+++⋅⋅⋅+<.【详解】(1)根据定义求解.由题易知()()211113512a d a a da dd⎧+=+⎪+=⎨⎪≠⎩解得122ad=⎧⎨=⎩，故()112na a n d n=+-=，()()112nna a nS n n+==+，1122111241a b a b b b q==⇒==解得112b=，12q=，则1112nn nb b q-==，()11112nn nb qTq-==--，n N+∈.(2)由题可知nc=10112n⎛⎫<-<⎪⎝⎭，12n<+，121(1)1(2)1232222nn n n nc c c n n n++∴++⋯+<+++++=+=，即()1222nn nc c c++++<成立.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =，试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数).【答案】（1）见解析（2）390次 【解析】 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-，11,1X k k=+，求出k 个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望()E X ，令2,3,4k =分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq - 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭所以当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时960人需要化验的总次 数为662次，3k =时，31()0.910.60433E X =-+=，此时960人需要化验的总次数为580次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时960人需要化验的次数总为570次即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少 而采用方案①则需化验960次，故在三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均 减少960570390-=次．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）22． 【解析】 【分析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDCD BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出a =，结合线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ， ∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EFDA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴12BDCS BC DF =⋅=△1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ， 由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即1133d =，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得2a =． 因AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥， 所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC 所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而2DA AF ==， 可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，则cos cos452EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为2．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析【解析】 【分析】（1）当P 是椭圆短轴顶点时，△12PF F 面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 若22||:||:AN BN AF BF =，则0NB NA k k += ，得12120y yx n x n+=--化简得1n = 【详解】（1）121212PF F P SF F y =，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大.由题得： 222121222c b c aa b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点，易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力. 21.已知函数()2xf x eax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()21f x ax >+，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数()f x '的符号变化，即可求出函数()y f x =的单调区间；（2）问题变形为2210x e ax ax --->，令()221xg x e ax ax =---，由题意得出()()00g x g >=，根据函数()y g x =的单调性确定a 的范围即可．【详解】（1）()2x f x e ax =-，定义域为R 且()22x f x e a '=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()y f x =在R 上单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=，得22x e a =，得1ln 22ax =. 当1ln 22ax <时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减； 当1ln 22ax >时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增.此时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞； 当0a >时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）()21f x ax >+变形为2210x e ax ax --->，令()221xg x e ax ax =---，定义域为()0,∞+，且()00g =，()()2222x g x e ax a f x a '=--=-.①当0a ≤时，对任意的0x >，()0g x '>，函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数， 此时，()()00g x g >=，合乎题意；②当0a >时，则函数()y g x '=在R 上的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （i ）当1ln 022a≤时，即当02a <≤时，则函数()y g x '=在区间()0,∞+上为增函数， 此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数. 此时，()()00g x g >=，合乎题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()y g x '=在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以，()min 1ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又()020g a '=-<，所以，函数()y g x =在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2cos sin 0m ρθρθ-+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）已知l 与C 相切，求m 的值.【答案】（1）C 的直角坐标方程为2212y x -=,直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=（2）m =【解析】 【分析】（1）将11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩化为121x t tt t ⎧=+⎪⎪=-，两式平方相减，消去参数t ，求得C 的普通方程；cos ,sin x y ρθρθ==代入极坐标方程，即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，l 与C 相切，0∆=，即可求解.【详解】解：（1）因为()222122x t t =++，22212t t =+-，两式相减，有22424x y -=， 所以C 的直角坐标方程为2212y x -=.直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=.（2）联立l 与C 的方程，有221220y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消y ， 得222420x mx m +++=，因为l 与C 相切，所以有()222164228160m m m ∆=-⨯+=-=，解得：m =.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++． 【答案】（1）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2 所以f （x ）>7⇔2227x x ≤-⎧⎨->⎩或2267x -⎧⎨>⎩＜＜或2227x x ≥⎧⎨+>⎩所以不等式的解集为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为a ＞0，b ＞0，c ＞0所以()()()f x x b x c a x b x c a b c a a b c =-+++≥--++=++=++ 因为f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2()()()41914192a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭21189()422a b c ≥==++ 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(五)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}|2A x x =-＞，{}|1B x x =≥，则A B ⋃=（ ）A.{}|2x x >-B.{}|21x x -<≤C.{}|2x x ≤-D.{}|1x x ≥2.已知(1i)(2i)z =+-,则2z =( ) A.2i +B.3i +C.5D.103.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用如图所示的条形统计图表示,根据条形统计图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h4.已知(0,π)α∈,2sin2cos21αα=-,则cos α=( )5 B.5 25D.255.若,x y 满足约束条件32602400x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A.43-B.207C.6D.86.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )355D.27.某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作.每天1人.每人位班1天.若甲、乙两人需安排在相邻两天值班.且那不排在周三. 则不同的安排方式有( ) A.192种B. 144种C. 96种D.72种8.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，该几何体的表面积为( )A. 23223+4 D. 69.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，则下列结论一定正确的是( ) A. ()()2f x f x +=B.函数()y f x =的图象关于点()2 ,0对称C.函数()1y f x =+是奇函数D. ()()21f x f x -=-10.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ，把()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后 ，得到函数的图象，则函数()()y f x g x =+ ()y g x =的最大值为( ) 2331+ 62+ 11.在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,已知点P 是正方形''AA D D 内部(不含边界)的一个动点,若直线AP 与平面''AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与'DC 所成角的余弦值相等,则线段DP 长度的最小值是( )6 226 D.4312.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()2()f x f x +=,且当[]0,1x ∈时，()f x x =,则函数3()log y f x x =-的零点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题13.若向量(2,),(4,2)m x n ==-,且()m m n ⊥-,则实数x =__________.14.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是___________.15.已知点(1,1)P -和抛物线21:4C y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若0PA PB ⋅=,则k =_______.16.已知ABC △的内角,,A B C 对的边分别为,,,sin 22sin ,3a b c A B C b ==,则cos C 的最小值等于___________. 三、解答题17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为*234(N ),2,,4n S n S S S ∈-成等差数列,且2341216a a a ++=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2(2)log n an b n =-+,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.在三棱锥S ABC -中,底面是边长为23!未找到引用源。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(二十七)文科数学
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不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{}2|6B x x =<，则A B =（ ）A. {}1B. {1,2}C. {1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】根据先求出B ，再用集合交集的定义列举出集合,A B 的全部元素组成集合，即可得答案. 【详解】{}2|6B x x =<，{B x x ∴=<<且{1,2,3,4}A =，因此AB ={1,2}.故选：B .【点睛】本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题. 2.复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则化简复数，得到对应点的坐标，从而确定象限.【详解】()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++- 对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，属于基础题. 3.设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若537,3a S ==，则6a =( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质得出11473(31)332a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解出1,a d ，即可求出6a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d11473(31)332a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩ 解得11,2a d =-=61259a ∴=-+⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.4.命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为（ ） A. 00x ∃>，020 x e x ≥ B. 0x ∀≤，2x e x < C. 00x ∃≤，020 x e x ≥D. 0x ∀>，2x e x ≥【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.【详解】命题“00x ∃>，020 x e x <”的否定为:0x ∀>，2x e x ≥.故选：D .【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题. 5.已知1tan()2πα-=-，则sin cos αα=（ ） A. 25-B. 25C. 45D. 25±【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将()tan πα-化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】1tan()tan 2παα-=-=-，得1tan 2α=，2221sin cos tan 22sin cos 1sin cos tan 1514αααααααα====+++. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是诱导公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题. 6.设0.302a =.，3log 0.2b =，0.23c =，则（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】利用中间值0、1比较大小，即先确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系.【详解】由0.300020.21a <=<=.，33log 0.2log 10b =<=， 0.20331c =>=，因此b a c <<. 故选：D .【点睛】本题考查对数值和指数值大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用， 是基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出结果为（ ）A. 9B. 11C. 13D. 36【答案】B 【解析】 【分析】执行程序，直到30S >时，求出输出的结果. 【详解】0,1S i ==011,3S i =+== 134,5S i =+== 459,7S i =+== 9716,9S i =+== 16925,11S i =+==251136S =+=，30S >所以输出结果为11 故选：B【点睛】本题主要考查了由程序框图求输出值，属于基础题.8.函数2cos ()xxx xf x e e -=-图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据102x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】2cos ()x x x x f x e e -=-，()()22cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102x <<时，cos 0,0x xx e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A .【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.9.记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题. 10.已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB -=,则CA CB ⋅的取值范围是（ ）A. 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. (0,)+∞D. (0,12)【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出c ，再利用余弦定理以及三角形为锐角三角形的条件，得出b 的范围，然后利用向量数量积和余弦定理转化为b 的二次函数，即可得到CA CB ⋅的取值范围. 【详解】由题2BA c ==，由余弦定理2242a b b =-+，①又锐角ABC 中，224a b +>且224a b +>，联立①解得14b <<，2224cos 2a b CA CB ab C b b +-⋅===-，由14b <<可得2(01),2b b -=. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是余弦定理的应用，以及向量数量积的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力以及计算能力，是中档题.11.若函数(),01,(1),0.x e x f x af x x ⎧<≤=⎨+≤⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】 当()*(,1],x n n n N ∈--+∈时，()*(0,1],x n n N +∈∈，由2()(1)(2)()n f x af x a f x a f x n =+=+==+得出0x ≤时的解析式，根据函数()f x 的单调性即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题知，当()*(,1],x n n n N∈--+∈时，()*(0,1],x n n N +∈∈2()(1)(2)()e n n x n f x af x a f x a f x n a +∴=+=+==+=要使单调递增，只需0n a >且0(0)e e n n f a =≤，则0n a >且1e nna ≤即0a >且1e a ≤，故10ea <≤． 故选：B【点睛】本题主要考查了已知分段函数的单调性求参数的取值，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12.已知向量,a b 满足：()1,1,2,a b a b ==⊥，则2a b +=__________． 【答案】3 【解析】分析：首先根据题中让求的是向量的模，可以想到先平方，利用向量的平方和向量的模的平方是相等的，之后借助于向量垂直，得到其数量积等于零，而模的平方和向量的平方相等，再者就是向量的模与坐标的关系，最后求得结果. 详解：根据题意，有2222(2)44a b a b a a b b +=+=+⋅+3==.点睛：该题考查的是向量的模的求解问题，在解题的过程中，需要明确的就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，再者用到的解题思想就是见模就平方，最后借助于向量垂直，其数量积等于零，求得结果.13.曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________. 【答案】16【解析】 【分析】利用导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】()2ln 2f x x x =-，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，12f ，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =， ∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16.【点睛】本题主要考查的是利用导数求切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，是基础题.14.已知()2:log 12p a +<，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，若()p q ⌝∨为假命题，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】分别解出命题,p q 成立时的x 的取值范围，根据()p q ⌝∨为假命题即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2:log 12p a +<，014a ∴<+<，即13a -<<，因此:1p a ⌝≥-或3a ≥，0]1,2[q x ∃∈:，200210x ax --<，即0[1,2]x ∃∈，0012a x x >-，因此[]000min 12,1,2a x x x ⎛⎫>-∈ ⎪⎝⎭，易知[]00012,1,2y x x x =-∈上单调递增， 1a ∴>，()p q ⌝∨为假命题，p ∴⌝假，q 假，11a ∴-<≤.故答案为：(]1,1-.【点睛】本题主要考查的是复合命题的真假，本题解题的关键是正确求出命题,p q 成立时的x 的取值范围，考查学生的计算能力，是中档题.15.已知数列{}n a 的前n 项为n S ，若(1)n n S na n n =--，且21(1)n S n a >+，则1a 的取值范围是__________. 【答案】1102a <<. 【解析】 【分析】由1n n n S S a --=化简结合等差数列的定义得出数列{}n a 为等差数列，将21(1)n S n a >+化为221111a n a a n ->-+，求出函数函数21()a f n n n=-的最小值，解不等式2211111a a a ->-+，即可得出1a 的取值范围.【详解】由题知(1)n n S na n n =--，11(1) (1)(2)n n S n a n n --=----，两式相减得1(1) 2(1)n n n a na n a n -=----，即12n n a a -=+，故{}n a 为等差数列，1(1)n S na n n =+-，由21(1)n S n a >+得()22211110n a a n a +--->，即221111a n a a n->-+，显然21()a f n n n=-单调递增，故只需211(1)1f a a >-+，即2211111a a a ->-+，解得1102a <<. 故选：1102a <<【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，涉及等差数列的通项公式以及一元二次不等式的解法，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22．23为选考题，考生根据要求作答． （—）必考题：共60分．16.已知等比数列{}n a 单调递减，52a =，且35a a ，372a a ，481a a -成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求23123nS S S S n++++的最大值及取最大值时n 的值.【答案】（1）62nn a -=；（2）552，当10n =或11时取到最大值. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于1,a q 的关系式，解方程即可，再利用等比数列通项公式即可得； （2）求出n b ，再求出n S 并表示出nS n，然后利用等差数列前n 项和公式表示出23123nS S S S n++++，利用二次函数思想求其最大值及取最大值时n 的值. 【详解】（1）由题知35483714a a a a a a +-=，即22246514a a a +-=，即2222555214a a q a q+-=， 即224417q q +=，解得11(22q q ==-舍去）， 51432a a q ∴==， 故1612n nn a a q --==；（2）62log 26nn b n -==-，可知{}n b 为等差数列，∴(56)(11)22n n n n n S +--==，故112n S n n -=，可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 223211(1011)112121(21)232244216n SS S n n S n n n n +-⎛⎫∴++++=⋅=-=--+⎪⎝⎭ ∴当10n =或11时取到最大值552. 【点睛】本题主要考查的是等比数列的通项公式求法，求基本量法，等差数列的前n 项和公式，以及利用二次函数求最值，注意*n N ∈，是基础题. 17.已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞.【解析】 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间； (2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()21xf x x e x =--，()()2xf x x e '=-，()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->，故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln2x a =，0x =是极大值点，ln20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 18.已知函数()()(sin 0,0,()f x x ωϕωϕπ=+>∈满足：()()6f x f x π-=，()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调.（1）求()f x 的解析式； （2）若(,)612ππα∈-，1()3f α=，求sin 4α.【答案】（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）.【解析】 【分析】(1)根据题意知对称轴以及相邻的平衡位置得出周期即可得ω，再由对称轴得出ϕ，可得解析式.(2)由题意知1sin(2)33πα+=，利用二倍角得出2cos(4)3πα+，根据角的范围得出2sin(4)3πα∴+，再利用224433ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即可求得sin 4α. 【详解】（1）由()()6f x f x π-=知12x π=是对称轴，又()06f π-=，且()f x 在(,)612ππ-上单调，1()41264T πππ∴=--=，即2T ππω==， 2ω∴=，由12x π=是对称轴得，2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又(0,)ϕπ∈，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π∴=+；（2）1()sin(2)33f παα=+=，227cos(4)12sin (2)339ππαα∴+=-+= ， (,)612ππα∈-，24(0,)3παπ∴+∈242sin(4)39πα∴+=， 22224273sin 4sin 4cos cos 4sin 3333ππππααα+⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，余弦的二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系是的应用，两角差的正弦公式的应用，根据三角函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.19.如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【答案】（1）314；（2）334. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值. 【详解】（1）由题知4CAB π∠=，cos 2AC AB CAB ∴=∠=62cos2cos 2cos cos 2sin sin 12343434AP AB πππππππ+⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭， 131sin 26APCSAC AP π+∴=⋅⋅=；（2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOCPOB POCS S S Sr ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 11sin sin 226πθθθθ⎛⎛⎫=++=+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当3AOC πθ∠==时等号成立.【点睛】本题主要考查的是解三角形的应用，三角形面积公式的应用，以及两角差的正弦公式的应用，正弦函数图像和性质的应用，是中档题.20.已知函数()2ln 4f x x ax x =+-存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：当12a ≥时，对任意不相等的正实数m 、n ，有()()2f m f n m n ->--． 【答案】（1）(0,2)a ∈；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，函数()f x 有两个不同的极值点，则方程22410ax x -+=有两个正根，根据判别式大于0以及对称轴大于0，即可得出实数a 的取值范围；（2）将原不等式等价于()2()2f m m f n n +>+，构造函数()()2g x f x x =+，利用导数证明函数()g x 的单调性，利用单调性得出()()g m g n >，即可证明原不等式成立.【详解】（1）21241()24ax x f x ax x x-+'=+-=∴方程22410ax x -+=有两个正根，即1680(0,2)10a a a =->⎧⎪⇒∈⎨>⎪⎩（2）不妨设0m n >>，原不等式等价于()()22f m f n m n ->-+， 等价于()2()2f m m f n n +>+设2()()2ln 2g x f x x x ax x =+=+-，2221()ax x g x x-+'=由12a ≥知2221(1)()0x x x g x x x-+-'≥=≥()g x ∴在(0,)+∞上单调递增()()g m g n ∴>，即()2()2f m m f n n +>+，原不等式得证.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]21.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）1y =+， 2220x y x +-=；（2）(3,3. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）设()(),,,A B A B ραρα，则A ρ=2 B cos ρα=，由此能得出OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）直线l的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得，直线:1l y =+， 又曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，且222,cos x y x ρρθ=+=，∴曲线22:20C x y x +-=；（2）直线l 的极坐标方程为ρ=由题知A ρ=2 B cos ρα=，∴||||A B OA OB ρρ⋅===，∵03a π<<，||||OA OB ∴⋅∈. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，同角三角函数基本关系式的应用，正切函数图像和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.[选修4-5：不等式选讲]22.已知函数()221f x x x =-++. （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值. 【答案】（1）[3,3]-；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段去绝对值，即可求解不等式()9f x ≤的解集；（2）根据题意可知a x b +是偶函数且0x =时取最小值b ，可得b 的范围，再当2x ≥时得到a 的范围，可得出,a b 各自的最小值，再验证即可.【详解】（1）3,2()4,123,1x x f x x x x x ⎧⎪=+-⎨⎪--⎩，∴当2x ≥时，39x ≤解得23x ≤≤， 当–12x ≤≤时，49x +≤解得12x -≤≤， 当–1x ≤时，39x -≤解得31x -≤≤-， 综上，不等式解集为[3,3]-；（2）由题知，当0x =时()04f b =≤，当2x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立，则3a ≥，而当3a =，4b =时，()22122234f x x x x x x =-++≤+++≤+， 故+a b 的最小值为7.【点睛】本题主要考查的是绝对值不等式的解法以及恒成立的问题，分类讨论思想的应用，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力，是中档题.。
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(二十四)理科数学
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（二十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i+1iz=+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A.2232 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,则|z| 故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( )A. {}21x x -≤<-B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D.{}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14±B. 14C. 116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-，解得：2q=±，所以2111(2)84a a q=⋅=⋅±=±.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y满足111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】画出x，y满足约束条件111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11yy x=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A，由2z x y=+可知直线过()2,1A时，z最大，得2215z=⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B. 7π C.323πD. 13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ， 因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α， 反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y，则x ，y ，z 的大小关系是( )A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】 令23log log 2(0)zxyk k，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案. 【详解】令23log log 2(0)zx yk k，则2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z xk k ，所以z x ，综上所述：z x y <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x，且||AB =，点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+==所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==，所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x=+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______． 【答案】5- 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积. 【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-， 所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-. 故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩， 因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ++，αααα+=+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE .21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，2(1,0,3)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 法向量，因为(0,2,0)AD=，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（1cos c C -⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）-【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+， 所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t =224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m 在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M . (2)由(1)得2M =,再利用11aM b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤， ∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即21b 时取“=”； 当32b >时，112b ->，1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1bb，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(六)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜x2＞2 x }，B＝{x｜1≤x≤3}，则A∪B＝（）A、{x｜0≤x＜1}B、{x｜x<0或x≥1}C、{x｜2＜x≤3}D、{x｜x≤1或x>3}2．复数z满足(z＋2)(1＋i)＝3＋i，则｜z｜＝（）A、1B、2C、3D、23．(1-x)10的二项展开式中，x的系数与x4的系数之差为（）A、-220B、-90C、90D、04．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x＋6y的最大值为（）A、3B、4C、18D、405．设函数()f x ＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x ，则下列结论错误的是（）A 、()f x 的最小正周期为πB 、y ＝()f x 的图像关于直线x ＝8π对称C 、()f x 的最大值为2＋1D 、()f x 的一个零点为x ＝78π 6．已知，则（） A 、a <b <c B 、a <c <b C 、c <a <b D 、b <a <c7．已知点A (3，－2)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则|BF |＝（）A 、6B 、8C 、10D 、128．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A 、35B 、79C 、715D 、31459．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：下列结论中不正确的是（）A 、2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B 、2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C 、2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D 、2019年3月份的居民消费价格全年最低10．已知P 为双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，上一点，O 为坐标原点，F 1，F 2为曲线C 左右焦点．若｜OP ｜＝｜OF 2｜，且满足tan ∠PF 2F 1＝3，则双曲线的离心率为（ ）A 、52B 、2C 、102D 、3 11．已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，∠AOB ＝∠AOC ＝60º，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为1，则球O 的表面积为（）A 、4πB 、9πC 、16πD 、20π12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1(-a ，0)，F 2(a ，0)距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线C ．已知点P (x 0，y 0)是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（）①双纽线C 关于原点O 中心对称；②；③双纽线C 上满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有两个；④|PO |的最大值为2a ．A 、①②B 、①②④C 、②③④D 、①③第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设命题，则⌝p 为 ． 14．已知函数，若f (a )＝-3，则f (-a )＝ ．15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝6π，则AB BC ＝________； 点P 是直线AD 上的动点，则的最小值为________．16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）．该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37º；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53ο．测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为 米．（精确到0.1）参考数据：三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0)，满足S1，S2，-S3成等差数列，且a1a2＝a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是矩形，PA＝PD＝3，PB＝PC＝6，∠APB＝∠CPD＝90ο，点M，N分别是棱BC，PD的中点．（1）求证：MN//平面PAB；（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为22，且过点(2，1)．（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于MN，两点，过点M作圆x2＋y2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM||＝PN|．20．(本小题满分12分)2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x (5≤≤x 20)（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据． x 5 7 9 11 y 200 298 431 609工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型①：；模型②：．其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量，分布列为：结合你对（1）的判断，当产量x 为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？21．(本小题满分12分)已知函数()-f x x a =-sin x (x ≥a )．（1）若()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）若a <－14，证明：()f x 在(0，2π)有唯一的极值点x 0， 且．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．22．(本小题满分10分)[选修44-：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4，0)，射线θ＝α（0<α<2π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，若∠AMB ＝4π，求tan α的值．23．(本小题满分10分)[选修45-：不等式选讲] 已知函数，a ∈R ．（1）若f (0)＞8，求实数a 的取值范围；（2）证明：对∀x ∈R ，恒成立．。
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2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（二十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
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一、选择题（共12题，每小题5分）1.集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a的值为（ ）．A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D 【解析】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=，所以4a =，选D. 2.设命题2:,3x p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ） A. 2,3x x R x ∀∈≤B. 2,3x x R x ∀∈=C. 2,3x x R x ∃∈≤D.2,3x x R x ∃∈>【答案】C【解析】 【分析】将“任意”改成“存在”，大于改成小于等于即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知2,3x x R x ∀∈>的否定为2,3x x R x ∃∈≤. 故选：C【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两方面的变化：1.量词的符号，2.命题的结论.本题是一道容易题.3.在ABC 中，若 3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B.2sin1C. 2sin1D. sin 2【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对弧长是22sin1R =，故选：B.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 5.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C. f(x+π)的一个零点为x=6π D. f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D. 6.已知53cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ） A. 725-B.725C.35D.35【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式可得3sin 5α=-，再利用公式2cos 212sin αα=-计算即可. 【详解】由已知，5cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即3sin 5α=-， 所以223cos212sin 12()5αα=-=-⨯-=725. 故选：B【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 7.函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】C 【解析】 【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间．【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f（3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．9.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A. 55-B. 25-C.25D.5 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+，其中tan 2ϕ=-()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=又22sin cos 1θθ+= 25cos 5θ∴=-【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果. 10.已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A. ,3πωπϕ==B. 2,3πωπϕ==C. ,6πωπϕ==D.2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ.故选：C【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.11.设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x >f 的解集是（ ）A. (3,1)(3,)-⋃+∞B. (3,1)(2,)-⋃+∞C. (1,1)(3,)-+∞D. (,3)(1,3)-∞-【答案】A 【解析】试题分析：由函数f （x ）＝246,0{6,0x x x x x -+≥+<得(1)3()3f f x =∴>不等式化为即20{463x x x ≥-+>或0{63x x <+>所以301-303-31x x x x x >≤<<∴<<或或或考点：分段函数和解不等式．12.已知()(1)|ln |xf x x x =≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2(2,)e e⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B. 11,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C. (1,)e e -D. 1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】C 【解析】 【分析】由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案.【详解】由22[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()|ln |ln x x f x x x ==，令()ln x g x x=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'()0g x >得x e >， 由'()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示要使原方程有4个根，则01m em e<<⎧⎨+>⎩，解得1e m e -<<.故选：C【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.二、填空题（共4题，每小题5分）13.()12xex dx +⎰= ______ ．【答案】e 【解析】 【分析】 利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e .【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ． 【答案】(1,)+∞ 【解析】试题分析：由22310x x -+>得，12x <或1x >，由复合函数单调性可知，函数()212log 231y x x =-+的单调递减区间为(1,)+∞.考点：对数函数性质、复合函数单调性. 15.已知幂函数22()()kk f x x k -++=∈N 满足(2)(3)f f <，则()f x 的解析式为_______．【答案】2()f x x =【解析】 【分析】(2)(3)f f <⇒12k -<<，结合N k ∈可得0k =或1k =，代入解析式即可得到答案.【详解】由(2)(3)f f <，得222k k -++<223k k -++，即222()13k k -++<，故220k k -++>，解得12k -<<，又N k ∈，所以0k =或1k =，当0k =或1k =时，()f x 的解析式均为2()f x x =.故答案为：2()f x x =【点睛】本题考查求幂函数的解析式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0>ω，使()f x x ω对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”. 现给出下列函数： ①()4f x x =； ②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12x x ，均有()()12124f x f x x x --.其中是“条件约束函数”的序号是__________（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】对于①，取4ω=即可；对于②，因为0x →时，()f x x→∞，所以不存在0>ω，使()f x x ω对一切实数x 均成立；对于③，因为()()2222125214x xf x x x x x ==-+-+，取12ω=即可； 对于④，由于()f x 为奇函数，故()00f =，令120x x x ==，得()4f x x ，故()4f x x --，即()4f x x -，所以()4f x x ，取4ω=即可.点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．三、简答题17.已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅，ABC ∆的内角,,A B C所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.【答案】（1）S 2）cos 2α= 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示得()213sin cos sin 2f x a b x x x =⋅=+-，再根据二倍角公式及配角公式得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据1,2B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭可解得2,33B C A ππ+==，由正弦定理可得,6B π=即得2C π=，最后根据直角三角形面积公式求面积（2）由()35f α=得3sin 2,65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭利用同角三角函数关系得4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后根据2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和余弦公式展开得cos2α的值.【详解】()2113sin cos sin cos2sin 22226f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以12S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0,]π上的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）最小正周期为π，对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈．（Ⅱ）20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由倍角公式及辅助角公式可得()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用2T πω=及2,6x k k Z ππ+=∈可得到周期与对称轴方程；（Ⅱ）注意左右平移及横坐标伸缩变换均针对自变量x ，由题意得到()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出()g x 所有减区间，再与[0,]π求交集即可. 【详解】（Ⅰ）()11sin 2cos 2cos 2sin 2sin 22222f x x x x x x =++-- ()12sin 222sin 22f x x x x x ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos sin 2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为π， 令2,6x k k Z ππ+=∈，得函数()f x 的对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈． （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令223k x k ππππ≤+≤+，所以22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 又[]0,x π∈，所以()y g x =在[]0,π上的的单调递减区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查余弦型函数的性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、图象平移求解析式等知识，是一道中档题.19.在ABC ∆中,,3B D π=为BC 上的点, E 为AD 上的点,且8,410,4AE AC CED π==∠=.（1）求CE 的长;（2）若5CD =,求DAB ∠的余弦值.【答案】(1) 42CE =433-. 【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用．（1）中，在AEC ∆中可得AEC ∠的大小，运用余弦定理得到关于CE 的一元二次方程，通过解方程可得CE 的值；（2）中先在CDE ∆中由正弦定理得4sin 5CDE ∠=，并根据题意判断出CDE ∠为钝角，根据3DAB CDE π∠=∠-求出cos DAB ∠．试题解析：（1）由题意可得344AEC πππ∠=-=， 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++， 整理得282960CE CE +-=， 解得：42CE = 故CE 的长为42（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，即25sin sin4CDE π=∠所以25sin 424244CDE sin π∠==⨯=， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而435<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭ 3143433525-=-⨯+⨯=． 20.设函数f （x ）=x+a 2x +blnx ，曲线y=f （x ）过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求a ，b 的值； （II ）证明：f(x)≤2x -2．【答案】（I ）a ＝－1，b ＝3. （II ）见解析 【解析】【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋bx. 由已知条件得(1)0{(1)2f f '==即10{122a ab +=++=解得a ＝－1，b ＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则 g′(x)＝－1－2x ＋3x＝－.当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明． 点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性．定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解．21.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0+∞） （2）a ≤－2 【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x'+++=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x 当x ∈(0时，()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 22.在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=，点23,6P π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值． 【答案】（1）332132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），229x y -=；（2）.【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线OP 的参数方程，把曲线C 的方程为2cos 29ρθ=化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果. 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得3)P ，=6πα， ∴直线OP 的参数方程为：33,2{13.2x y t =+=∵2222cos sin 9ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程：229x y -=，得：24360t t +-=， ∴1243t t +=-1260t t =-<， ∴121212||11112||||||||||t t PA PB t t t t -+=+==．考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．。