《弹塑性力学》第八章 柱体的自由扭转问题.ppt
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上式也可以表示为
A
zy
dA
0
A
zx dA
0
( A
zx
y
zy
x)dA
M
z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主
要边界上力边界条件满足时，
则 A zxdA 0和 A zydA 0 自然满足。见以下：
2020/10/9
11
§8-1 位移法求解 l( y) m( x) 0
A
zx
dA
KGA ( x
zy 0,
z
zx zy 0
x y
前两式自然满足，剩下一个控制方程
无体力相容方程为：
2 ij
1
1
,ij
0
由于设 x=y=z=0， = 0
2020/10/9
18
§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程
2zx =0 和
按应力法求解 基本方程为三个
2zy =0
zx (x, y) zy (x, y) 0
15
§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2 = 0,其边界条件
ly mx
n
( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力
法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
2020/10/9
16
x
y)dA
y
KG
(
x
y
x2 )dA
2 = 0
KG
x
x(
x
y)
y
x(
y
x)
dxdy
利用格 林公式
KG
s
x
(
x
y)l (
y
x)m
ds
0
2020/10/9
12
§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
小结：
x
y
法线的方向余弦
MT
(l,m,n)=(0,0,-1)
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣
维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求
合力为零 合力矩为
2020/10/9
AXdA 0 AY dA 0
A (Yx Xy)dA M z
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§8-1 位移法求解
2020/10/9
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。
两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
zx zy z 0
x y z
2 2
GK( x2 y2 ) 0
或 2 = 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0
MT
z
满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGK(
x
y) mGK(
y
பைடு நூலகம்
x)
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8
§8-1 位移法求解
上式也可以用
MT o
-dx
x
l( y) m( x) 0
dy n
x
y
y
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
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3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
2020/10/9
1
在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数
(x,y)和单位扭转角K。
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§8-1 位移法求解
2 = 0
在V上
由 l( y) m( x) 0在杆侧边上
x
y
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
求(x,y)
GK
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——求K
令
D GA (x2
y2
x
应力：x=y=z=xy=0 ，
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,
K为单位长扭转角。
K MT GI
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2
对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由
扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
x
u x
0,
y
v y
0,
z
w z
0,
xy
u y
v x
0
zx
u z
w x
K
x
Ky
K (
x
y)
zy
v z
w y
K
y
Kx
K (
y
x)
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4
§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx
GK(
x
y)
zy
GK (
y
x)
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
由于
l
cos(n, x)
dx
dy
dn ds
m
cos(n,
y)
dy
dx
dn ds
则 dx dy l m
n x dn y dn x y
代入侧面边界条件 dx dy ly mx
n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0):
o MT
§8-2 按应力函数求解
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
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17
§8-2 按应力函数求解
三个平衡方程：
zx 0,
z
扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需
要满足边界条件，
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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7
§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）
在侧边上方向余弦
(l,m,n)=(l,m,0)
o
MT
面力： X Y Z 0 y
x
X i n j ij
y
y )dA ——扭转刚度
x
当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、
应力均可求出。
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作业：
证 面明 杆扭x2曲 函y2 数 1的扭 bb转22 问aa22题xy，能其用中来a求和椭b圆为截
a2 b2
椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
GKa3b3
M z a2 b2
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A
zy
dA
0
A
zx dA
0
( A
zx
y
zy
x)dA
M
z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主
要边界上力边界条件满足时，
则 A zxdA 0和 A zydA 0 自然满足。见以下：
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11
§8-1 位移法求解 l( y) m( x) 0
A
zx
dA
KGA ( x
zy 0,
z
zx zy 0
x y
前两式自然满足，剩下一个控制方程
无体力相容方程为：
2 ij
1
1
,ij
0
由于设 x=y=z=0， = 0
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§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程
2zx =0 和
按应力法求解 基本方程为三个
2zy =0
zx (x, y) zy (x, y) 0
15
§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2 = 0,其边界条件
ly mx
n
( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力
法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
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x
y)dA
y
KG
(
x
y
x2 )dA
2 = 0
KG
x
x(
x
y)
y
x(
y
x)
dxdy
利用格 林公式
KG
s
x
(
x
y)l (
y
x)m
ds
0
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
小结：
x
y
法线的方向余弦
MT
(l,m,n)=(0,0,-1)
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣
维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求
合力为零 合力矩为
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AXdA 0 AY dA 0
A (Yx Xy)dA M z
10
§8-1 位移法求解
2020/10/9
5
§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。
两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
zx zy z 0
x y z
2 2
GK( x2 y2 ) 0
或 2 = 0
2020/10/9
6
§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0
MT
z
满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGK(
x
y) mGK(
y
பைடு நூலகம்
x)
2020/10/9
8
§8-1 位移法求解
上式也可以用
MT o
-dx
x
l( y) m( x) 0
dy n
x
y
y
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：
u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
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3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 位移法求解 §8-2 按应力函数求解 §8-3 薄膜比拟 §8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 §8-5 薄壁杆的自由扭转
2020/10/9
1
在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数
(x,y)和单位扭转角K。
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13
§8-1 位移法求解
2 = 0
在V上
由 l( y) m( x) 0在杆侧边上
x
y
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
求(x,y)
GK
(x2
A
y2
x
y
y
x
)dA
Mz
——求K
令
D GA (x2
y2
x
应力：x=y=z=xy=0 ，
zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,
K为单位长扭转角。
K MT GI
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2
对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由
扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
（工程）应变分量：
w= K(x,y)
x
u x
0,
y
v y
0,
z
w z
0,
xy
u y
v x
0
zx
u z
w x
K
x
Ky
K (
x
y)
zy
v z
w y
K
y
Kx
K (
y
x)
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§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx
GK(
x
y)
zy
GK (
y
x)
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
由于
l
cos(n, x)
dx
dy
dn ds
m
cos(n,
y)
dy
dx
dn ds
则 dx dy l m
n x dn y dn x y
代入侧面边界条件 dx dy ly mx
n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0):
o MT
§8-2 按应力函数求解
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
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§8-2 按应力函数求解
三个平衡方程：
zx 0,
z
扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需
要满足边界条件，
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）
在侧边上方向余弦
(l,m,n)=(l,m,0)
o
MT
面力： X Y Z 0 y
x
X i n j ij
y
y )dA ——扭转刚度
x
当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、
应力均可求出。
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14
作业：
证 面明 杆扭x2曲 函y2 数 1的扭 bb转22 问aa22题xy，能其用中来a求和椭b圆为截
a2 b2
椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
GKa3b3
M z a2 b2
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