三角测量

三角測量
三角測量概說
三角測量分為二種：
三角測量
係應用三角學原理，所作大區域之控制測量。其原理為於實地上精密測定一基線之長，再由此基線擴展到一系列之三角形，並於三角形之每頂點上測定各邊所夾之水平角，由基線之長及水平角計算即可算得各頂點之平面座標。三角形之各頂點稱為三角點（Triangulation station），亦為控制點之一種。
三邊測量
若於所佈設之三角形，不直接測量各點之水平角而改為測量各三角形之邊長，再換算得各點之水平角，據以計算各點之水平座標者，則稱為三邊測量。三邊測量之量距工作都應用電子測距儀。
三角測量及三邊測量之實施，宜用於展望良好之區域，倘地形過於隱蔽或障礙太多，四週通視困難之處，則宜以導線測量方法施測控制點。

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三角測量之分類
依形狀的不同
三角測量按三角網形狀的不同分為如上圖示。
按測區的大小
三角測量按三角點分佈區域的大小分為：
大地三角測量(Geodetic triangulation)
須顧及地球之曲率問題，各點所連成之三角形，為弧面上之球面三角形(Spherical triangle)，其三內角之和非僅1800，隨面積之增大而增加，各點之座標以經緯度表示或需經地圖投影之原理換算為平面座標。
平面三角測量(Plane triangulation)
控制區域較小，各點間之距離較近，可以不必顧及地球之曲率，各點所連成之三角測量為一般性控制之控制網測量，聯繫於基本控制網之各點間，是測繪地形圖、地籍圖的骨幹及工程建設上定向定位的依據，亦為導線測量起終位置及方位的控制。本章以平面三角測量為主。
按精度的高低
三角測量依精度之高低分為四等：其中一、二等三角測量邊長較長，自數公里至十公里，屬於大地三角測量之範圍。三、四等三角測量則邊長較短，自數百公尺至數公里，屬於平面三角測量之範圍。
三角測量之程序
三角測量之作業程序，說明如下：
作業計畫及準備
按三角測量之目的用途、工作期限、精度要求、區域大小、地形情況，並至實地踏勘，以決定新增三角點佈設位置與密度，擬定作業計畫及經費預算；著手準備工作，編定人員組織，添購儀器材料。
選點
三角測量於施測前，應先依三角測量等級之需要，考慮三角網之形狀、圖形強度及通視問題等因素，於適當地點選定三角點及基線點之位置，繪製點位略圖。
造標埋石
於選定之三角點及基線點之位置，埋設標石，以為點位之永久標誌；且於點位之上建造覘標或高架標，以電子測距儀或銦鋼基線尺，精確測量其基線長度，並將量得之距離做適當之改正，

以消除測量時之各種誤差。
基線測量
於選定之基線點間，以電子測距或銦鋼基線尺，精確測量其基線長度，並將量得之距離做適當之改正，以消除測量時之各種誤差。
五、觀測
在基線點及各三角點上觀測相鄰各點間之水平角或各測線之方向角或方位角；如需以三角高程測量方法測定各點之高程，則應同時觀測各測線之垂直角或天頂距；倘為一、二等三角測量，需觀測緯度及真方位角，則應增加天文觀測。
六、計算
依據測得之基線長及各三角點之角度觀測值施行平差，使其符合應有之幾何條件，並計算各點間之長度、方向，進而計算各三角點之座標。
七、調整成果圖表
三角點座標計算完竣後，應調製成果表及繪製三角測量網圖。前者係記載各三角點之等級、名稱、號數、所在之土地座落、觀測方向及其高程、縱橫座標與觀測量方向間之邊長，一、二等三角點尚需記載大地位置；而後者除記載點名號數外，應將觀測方向間連以直線。

三角點之選點
選定三角點應注意下列事項：
三角點間須能互相通視，以便於觀測。
應考慮圖形強度。
交通方便。

歸心計算
三角點之水平角觀測，若因環境之影響，無法使經緯儀中心或覘標中心與標石中心一致時，則需由觀測所得之水奀角化算為相當於原測站之水平角，稱為歸心計算(Redyction to center)。
歸心計算可分為：1.測站歸心計算；2.視準點歸心計算。分述如下：
(一)、測站歸心計算
三角測量有時利用明顯之建築物，如高塔尖、煙囪及避雷針等作為三角點，但此三角點不能設站整置經緯儀以施行觀測時，而在該點附近近距離內，另覓一點，設置經緯站(Eccentric station)。於是由偏心站觀測所得之水平角，歸化為原測站之水平角，即為測站歸心計算，亦稱為觀測點歸心計算。
於偏心站觀測時，除同樣觀測四周三角點方向外，尚需觀測原測站方向，加測如下圖所示之γ角及偏心距(Eccentric distance) e，一般稱γ及e為歸心元素(Element of reducing to center)。
如圖所示，設A為標石中心點(即原測站)，E為儀器中心(即偏心站)，B、C為觀測之兩三角點。則由E觀測B、C兩點所得之水平角為＜BEC=β，但在A點觀測所得之水平角應為＜BAC=α，故需將β化算為α。由圖知：
EMBED Equation.3
由正弦定理知
在 EMBED Equation.3
在 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3
邊長AB(s1)與AC(s2)近似於EB與EC，可用EC與EC替代之。β、γ、e為實地量得。
測站歸心計算步驟：
1.用 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 計算出 EMBED Equation.3 。
2.用

EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 計算出 EMBED Equation.3 。
3.用 EMBED Equation.3 計算出 EMBED Equation.3 。

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(二)、視準點歸心計算
觀測水平角時，視準點應在標石中心同一垂直線上。惟若覘標中心柱未處於該三角點標石中心之垂直線上時，則發生視準點之偏心，必需經過歸心計算，改正各站對該點之觀測方向，方能作為計算三角點座標之用。
視準點偏心之原因一般因覘板為木製，受太陽曝曬、雨淋、風吹、空氣濕度及溫之變化因而漲縮或扭轉及基柱下陷等原因致使覘儀中心柱未能保持在標石中心之垂直線上。欲求其偏心距可於覘標附近置經緯儀，觀測覘標中心柱而垂直仰俯望遠鏡，在地面上得一直線段，然後在此直線近似垂直方向適當位置設置經緯儀，又以同法求得另一直線段，此二線之交點，即為覘標中心在地面之投影位置。
如下圖所示，測點C之覘標有偏心產生，而其覘標中心在地面之投影為D，其C、D之距離即為偏心距e，在測站A觀測之水平角為θ’，因偏心距產生之角度誤差為x，由圖知
EMBED Equation.3
在正弦定理知在△ACD中
EMBED Equation.3
故 EMBED Equation.3
式中
e為偏心距；s=AD邊長，近似AC邊長，可用AC邊長代之； EMBED Equation.3 =以CD為起始方向觀測之角度。
視準點歸心計算步驟：
1.用 EMBED Equation.3 計算出x。
2.用 EMBED Equation.3 計算出 EMBED Equation.3

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三角測量之計算程序
平面三角測量之計算，係按平面三角測量原理，由觀測值經平差計算後，計算各三角點之平面位置。其計算之程序為
野外觀測成果之整理。
基線長度之計算成果改正。
三角形邊長概算。
歸心計算、觀測成果之再整理。
三角形平差計算。
三角形各內角經平差後，作三角系各邊長之精算。
方位角之推算。
三角點座標計算。
上述程序中，三角邊長概算之目的，在於計算三角形邊長之概略值，以供歸心計算應用；由歸心計算所得之計算再併入觀測成果，以便實施三角系之平差計算。有關三角測量計算之作業程序說明除前數節已有述及者外，其餘將分列於以下各節。

三角測量之平差原理
三角測量水平角之觀測，無論如何精密，亦無可避免誤差之產生，常不能滿足圖形中之幾何條件，而有閉合差出現；故須於完成水平角觀測後，計算邊長之前，施行平差，以改正各觀測值，使符合圖形中之幾何條件。
三角測量之平差計算可分為測站平差及圖形平差兩項，分述如下：

測量平差(Station adjustment)
係指在一測站觀測周圍各方向諸角值之總和，應等於某一已知之定值。例如一測站周圍各角之和，應等於3600；或如＜AOB已經由先成立之結果確定其角度值為T，而不能再行更改，則分成三部份觀測而得之＜1、＜2、＜3三角之和，必須符合＜AOB之角度值。否則觀測值總和與已知定值之差即為測站角度閉合差。此閉合差若在容許誤差界限內者，可依奀差方法改正各角觀測值。

圖形平差
係使滿足圖形之幾何條件。分成二種：
(1) 角條件：例如多邊形之內角和，應等於(n-2)×1800，n為多邊形之邊數，此乃為角條件。
邊條件：從一已知邊開始，依正弦定理順次計算諸邊長以閉合於另一已知邊或原已知邊時，長度應相等，是為邊條件。
圖形平差之做法隨其三角系圖形之不同，而有差異，將分別討論之。
三角測量平差計算，係將各角之觀測值，施以適切之調整改正，使能符合上述各種條件，從而獲得各角之最或是值，以便計算邊長，進而計算三角點之座標。在一、二、三等三角測量，為求較高精度，需採嚴密平差，應將圖形中所有角、邊及測站條件，列出方程式同時解答之，故較為繁雜費時；因此在四等三角測量中，其測量範圍較小，且其成果係供地形、地籍及工程測量之控制應用，故採用較簡易之近似平差，將測站角及邊條件分三次單獨平差計算，雖其精度較低，但仍符合經濟實用之原則。

三角測量之平差
一、四邊形鎖
如圖所示，ABCD為一四邊形，＜1、＜2、＜3、＜4、＜5、＜6、＜7、＜8分別為各角之觀測值，則其平差程序如下。
角條件平差
即四邊形各內角觀測值之總和應等於3600，否則其差值即為四邊形角度閉合差，以w1表示，即
EMBED Equation.3
設各角度為同精度之觀測，故其改正值均設為相等，現以v1表各角之改正值，則得
EMBED Equation.3
將各角加上此改正值v1，是為第一次改正。其改正後之各角為1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’表之
對頂角角條件平差
如圖所示，四邊形二對角線所成四個三角形中，其相對二角之和應相等，若不相等，其差值分以w2、w2’表之，得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
設各角之改正值相等，現以v2、v2’表各角之改正值，則得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
上二式中，即以1’、2’角值各加上v2，5’、6’角值各減去v2，以3’、4’角值各加上v2’，7’、8’角值各減去v2’，分別以1”、2”、3”、4”、5”、6”、7”、8”表之。
邊條件平差
如圖所示，設AB為已知邊長，按正弦定理得知
ΔABC中 EMBED Equation.3
ΔBCD中 EMBED Equation.3

ΔCDA中 EMBED Equation.3
ΔDAB中 EMBED Equation.3
上列四式以連乘計算得邊條件方程式：
EMBED Equation.3
倘不等於1，有邊長誤差w3存在，即
EMBED Equation.3
令單數角應施之改正值為v3，偶數角應施之改正值為-v3，則
EMBED Equation.3
上式中 i=1,2,3,4,5,6,7,8； EMBED Equation.3 此項改正為第三次改正。

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二、多邊形網
角條件平差
即三角形各內角觀測值之總和應等於1800，否則其差值即為三角形角度閉合差，以w1表示，即
EMBED Equation.3
設各角度為同精度之觀測，故其改正值均設為相等，現以v1表各角之改正值，則得
EMBED Equation.3
將各角加上此改正值v1，是為第一次改正。其改正後之各角為1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’表之
中心站條件平差
如圖所示，中心站之角度和應等於3600，若不相等，其差值分以w2表之，得
EMBED Equation.3
設各角之改正值相等，現以v2表各角之改正值，則得
EMBED Equation.3
為維持三角形各內角觀測值之總和應等於1800，每一A，B角改正
EMBED Equation.3 是為第二次改正。
邊條件平差
如圖所示，按正弦定理得知
EMBED Equation.3
倘不等於1，有邊長誤差w3存在，即
EMBED Equation.3
令角A應施之改正值為v3，角B應施之改正值為-v3，則
EMBED Equation.3
上式中 EMBED Equation.3 此項改正為第三次改正。




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PAGE


PAGE 1



(1)四邊形鎖

(2)多邊形網

(3)三角鎖

E

6

5

4

3

1

2

3

F

B

7

B

A

C

F

D

E

A

1

5

6

4

3

2

B

A

E

C

S1

S’2

X1

S2

S’1

β2

X1

β1

α

e

β1

γ

例：上圖所示，偏心距e實地量得為0.786m，s1、s2分別近似求得為966m、855m，而觀測水平角 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，試求 EMBED Equation.3 角。
答： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

B

A

D

C

C

2

A

B

S

θ’α

D

Xα

例：上圖所示，已知視準偏心距e=0.45m，s=1203.45m， EMBED Equation.3 ，儀器設於C站，測得 EMBED Equation.3 ，試求正確之 EMBED Equation.3 角。
答：將e=0.45m，s=1203.45m， EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 代入 EMBED Equation.3
=> EMBED Equation.3 再代入 EMBED Equation.3 得
=> EMBED Equation.3

e

6

θα

3

7

5

8

1

4

例：如上圖所示，

四邊形之各內角觀測值如下所列，試以近似平差法改正之。
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
答： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3



EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


C

F

D

E

B

A

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例：如上圖所示，多邊形ABEFD之各內角觀測值如下所列，試以近似平差法改正之。
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

答：
三角形角條件平差
(1)△ABC之 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
△BEC之 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
△EDC之 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
△DFC之 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
△FAC之 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


(2)中心站條件平差
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 故＜A要+2”，＜B要+1”，＜C要-3”
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

(3)邊條件平差
EMBED Equation.3
角A應施之改正值

為v3，角B應施之改正值為-v3，則
EMBED Equation.3
因每個角改正值不足1”，故要五個角一起考量：
＜A共要改正（0.52”）（5）=2.6”，取3”，五個角中前三個各+1”
＜B共要改正（-0.52”）（5）=-2.6”，取-3”，五個角中前三個各-1”
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3








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