二元函数连续性的概念有界闭域上连续函数的性质

Pnk

P0 . 所 以P0
是D 的聚点, 再因
D 是 闭 集， 知 P0 D. 由于 f 在 D 上连续， 当然在点P0 也连续， 因此
有 lim k
f ( Pnk )
f (P0 ).
这与不等式 ⑶ 相矛盾， 所以 f 在 D 上有界.
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定理16.9（一致连续性定理）若函数 f 在有界闭域D R2上连续，则f 在 D 上
u ( x, y) 和 v ( x, y) 在 xy 平面上点
P0 ( x0 , y0 ) 的 某 邻 域 内 有 定 义, 并 在 P0 点 连 续; 函 数 f (u, v) 在 uv 平 面 上 点Q0 (u0 , v0 ) 的 邻 域 内 有 定 义, 并 在 Q0 点 连 续,其 中
u0 ( x0 , y0 ), v ( x0 , y0 ). 则 复 合 函 数 g( x, y) f [ ( x, y),( x, y)] 在 点 P0 也 连 续.
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二、有界闭域上连续函数的性质
定理16.8（有界性与最大、最小值定理） 若函数 f 在有界闭域D R2 上连续，则f 在 D 上有界， 且 能 取 得 最 大 值 与 最 小值.
其中 L 为常数，则此函数在 G 内连续。
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证 因 为 f ( x, y0 ) 对 变量 x 连 续， 所 以
0, 1 0, 使 得 当| x x0 | 1 时，
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
取

min{
L
, 1},
但 二 元 函 数 f 在 ( x0 , y0 ) 不 一 定 连 续.
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1, xy 0 设 f ( x, y) 0, xy 0
显然 f 在原点处不连续.
但 lim f ( x,0) lim0 0 f (0,0)
x0
x0
所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续.
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设P0 ( x0 , y0 )，P( x, y) D, x x x0 , y y y0 , 则 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为 函 数 f 在 点 P0 的 全 增 量.
一致连续.（即 0, 0，使得 P,Q D，只要(P,Q) ，就有 | f (P) - f (Q) | .)
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定理16.10（介值性定理）设函数 f 在区域
D R2上 连 续 ， 若P1，P2为 D 中 任 意 两点 ， 且 f (P1 ) f (P2 ),则对任何满足不等式
若 lim z 0, 则称 (x,y )(0,0)
f
关于 D 在点 P0
连 续.
( x, y )D
称 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) y f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim f (0, y) lim0 0 f (0,0)
y0
y0
f ( 0, y ) 在 y =0 连续.
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与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续， 那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理 运算的各个法则以及复合函数的连续性.
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定 理 16.7 (复 合 函 数 的 连 续 性) 设 函 数
当| x x0 | ,| y y0 | 时,
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
| f ( x, y) f ( x, y0 ) | | f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
L | y y0 | L 2

0,
则 f ( x0 , y) 在 y0 连续.
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若 f 在 ( x0 , y0 ) 连续, 则 f ( x, y0 ) 在 x0 连续，
f ( x0 , y) 在 y0 连续.
但 反 过 来 不 一 定 成 立， 若 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续， f ( x0 , y) 在 y0 连 续，
为 函 数 f 在 点 P0 的 偏 增 量.
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若
lim
x 0
x
f
( x0 ,
y0 )

0,
即 lim[ x 0
f ( x0
x,
y0 )
f
( x0 ,
y0 )]
0
这 说 明 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续.
同理若
lim
y0

y
f
(
x0
,
y0
)
若 f 在 P0 不连续，则称 P0 是 f 的不连续点,
或间断点.
若 lim P P0
f (P) 存 在, 但 lim P P0
f (P)
f (P0 )
PD
PD
则 称 P0 是 f 的 可 去 间 断 点.
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续，则称
f 为 D 上的连续函数.
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▪二元函数连续性的 概念
▪有界闭域上连续函 数的性质
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一、二元函数的连续性概念
定 义 设 f 为 定 义 在 点 集D R2 上 的 二 元 函 数 ， P0 D（ 或 者 是 D 的 聚 点， 或 者 是 D 的 孤 立 点）,
0， 0， 当P U（P0；） D时 ，
f (P1 ) u f (P2 ) 的实数u，必存在点P0 D，使得 f (P0 ) u.
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P.105 习题6
6. 若 f (x, y) 在某一区域 G 内对变量 x 为连续，对
变量 y 满足李普希兹条件，即对任何
(x, y) G, (x, y) G
有 | f (x, y) f (x, y) | L | y y |
有
| f (P) f (P0 ) |
则 称 f 关 于 集 合D 在 点 P0 连 续.
若 P0 是 D 的孤立点,则 P0 必定是 f 关于 D 的连续点.
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若 P0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
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证 先证 f 在 D 上有界. 假设 f 在 D 上无界,
则对每个正整数 n, 必存在互不相同的 Pn D, 使得
| f (Pn ) | n, n 1,2,
⑶
于是得一个有界无限点列 {Pn } D
由聚点定理的推论, {Pn } 存在收敛子列{Pnk },
设
lim
k