112弧制和弧制与角制的换算
弧度制和弧度制与角度值的换算
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360 ，k Z
它们构成一个集合： S | k 360 , k Z （2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
(2)角的弧度数的绝对值
l (l为弧长 r为半径 ) r
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
因为半径为r的圆周长为2 r，所以周角的弧度数是2 r 2
360 2rad
l 由公式： l r Fra bibliotekrnr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lr 2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径。 因为圆心角为1弧度的扇形的面积为：
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小为： rad r 2 l r 1
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
所以它的面积为：S
1 1 2 2 r r 2 2
lr r 2 2
随堂练习
1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来 的2倍，则 B A、扇形的面积不变 B、扇形的圆心角不变 C、扇形的面积增大到原来的2倍 D、扇形的圆心角增大到原来的2倍
高中数学 112弧制和弧制与角制的换算课件 新人教B版必修4
当 r＝5 时，S 最大，此时 l＝10，α＝rl＝2.
[点评] 当扇形周长一定时，扇形的面积有最大 值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr.
[例 1] (1)将 92°30′化成弧度；(2)将－178π 化成度． [分析] 利用 n°＝n·1π80rad 和 α＝18π0α°进行角度和 弧度的互化． [解析] (1)92°30′＝1825°＝1825×1π80＝3772π；
(2)－71π8＝－178π×18π0°＝－70°.
把α＝1690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式． [解析] 1690°＝18π0×1690＝8π＋2158π.
[例 2] 将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形 式，并指出角的终边所在的象限．
(1)274π；(2)396π.
[解析] (1)∵247π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴247π是第二象限角． (2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴369π与π2的终边相同． 又∵π2是象限界角，∴369π也是象限界角，它不属于任 何象限．
1．1.2弧度制和弧度制与角度制的 换算
1．弧度制的概念
我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，用符号rad表示，读作弧度．
用 弧度 作为单位来度量角的制度叫做弧度制．
用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．
2．角度与弧度的互化
360°＝ 2π rad,180°＝ π rad，
18 19 第1章 11 112 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标：1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)[自主预习·探新知]1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算l在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝. r3．角度与弧度的互化30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？[提示]这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，π?????＋＝2kπαZ，k∈α?或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．正确的表示方法应为??6?????5．扇形的弧长与面积公式页 1 第1可类比哪种图形的面积公式加以记lr在弧度制下的扇形面积公式S＝思考2：2 忆？此公式可类比三角形的面积公式来记忆．提示][][基础自测) 正确的打“√”，错误的打“×”．判断(1) ((1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．) ((2)1弧度是长度为半径的弧．)(弧度是1度的弧与1度的角之和．(3)1) ((4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．(4)正确．解析[]根据弧度制的定义知(4)√(3)×(2)](1)××[答案) 1 080°等于(2．π 1 080 ．BA．103π6πD．C．10 6π.]1 080°化为弧度是180°×6，所以＝D[1 080°π________．．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为33π1扇形的面积为][解析2 6π.×＝×632 6π][答案] 难重究作探·攻合[弧度制的概念)下列命题中，假命题是(A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位页 2 第11B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的2π360C．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．[答案]D[规律方法]弧度制与角度制的区别与联系[跟踪训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1弧度角的定义可知选项C正确，D错误；由半角和周角概念及角度与弧度换算可知A，B项正确．]角度制与弧度制的转换37π，βπ. ＝－＝750°＝，βα＝－设角α570°，212135(1)将α，α用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；21(2)将β，β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所21有角．页 3 第[思路探究]由题目可获取以下主要信息：37π，－π；，用弧度制给出的两个角750°用角度制给出的两个角－570°，①35②终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β、β用角度制表示，再将其写成β＋k×360°(k ∈Z)的21形式．[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α<2π)α0≤k∈Z,(00的形式，由α所在象限即可判定出α所在的象限．0195απ＝－4π＋π，＝－＝－570°166π25απ＝4π＋.＝＝750°266∴α在第二象限，α在第一象限．213π(2)β＝＝108°，设θ＝β＋k·360°(k∈Z)，115由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°. 1同理β＝－420°22页 4 第跟踪训练][.θ的集合不包括边界)的角．用弧度表示终边落在如图1-1-6所示阴影部分内(2 】【导学号：7940201961-图1-7ππ＝30°]因为[解，＝rad rad,210°66π，Z k∈＝kπ＋，上的角为这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线ABα6π，从而终边落在阴影部分内的角的集合Z k∈kπ＋，轴上的角为而终边在yβ＝2ππ?????Z k∈＋＋<θ<kπ，πkθ?. 为??26?????弧长公式与扇形面积公式的应用][探究问题l |＝求圆心角时，应注意什么问题？1．用公式|αr应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，][提示又要注意其正负．为单位，度”2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“需注意什么问题？为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则”若已知的角是以“度[提示]结果出错．2，则扇形的圆心角的弧度数是4 cm设扇形的周长为(1)8 cm，面积为) (2 B．A．1D．．C3才能使扇形的，当它的半径和圆心角各取什么值时，20 cm(2)已知扇形的周长为面积最大？最大面积是多少？可通过通过解方程组求得；可由扇形周长和面积建立方程组，]思路探究[(1)(2)页 5 第建立扇形面积的目标函数来求解．[解析](1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得?，＝82r＋l?，4l＝???解得1?，2r＝·l4r＝，??2l则圆心角α＝＝2 rad. r[答案] B(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.1122＋25(0＜r＜10)＝－(r－5)．－＝lr＝(202r)·r＝－r ＋10r∴则l＝20－2r，S 222. 时，扇形的面积最大，为25 cmr＝5 cm∴当半径20－2×5l此时α＝＝＝2 rad.页 6 第]双基达标·固[当堂) ′化为弧度是(1．把56°155π5π B.A.485π5πD. C. 1665ππ225.] ＝56.25°＝×[56°15′＝D 1618042) (π终边相同的角是．与角23211) Zk∈kπ－π(πB．2A.33210)Zk∈π(k∈Z) ＋1)π＋π(D．(2k－2kπC．3311π255，当∈Z－π，k π终边相同，故A项错；2kπ，与角π＋2πA[选项中＝C33331044，Z∈π，kB项错；2kπ－，π故与π有相同的终边，之间的角为[0,2π)＝k1时，得333221)π＋项对；(2kπ，与π有相同的终边，故C之间的角为当k ＝2时，得[0,2π)3352] 项错．，故D0时，得[0,2π)之间的角为πkπ，∈Z，当k＝＋33) (10的圆中，240°的圆心角所对弧长为3．在半径为2040 B.ππA.33400200 π D.πC.33π4044A.] ，选＝πr|·＝π×10，πrad∴弧长l＝|α＝rad240＝×A[240°331803 ________．Z)的形式为，＋α(0≤α<2πk∈k．将－41 485°化成2π，＋315°1 485°由－＝－5×360°][解析7 π.＋所以－1 485°可以表示为－10π47＋10π－答案[]π 4 4，求该扇形圆心角的弧度数．，周长为．一个扇形的面积为51页 7 第[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4.①11由扇形的面积公式S＝lr，得lr＝1.②22l由①②得r＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad. r∴扇形的圆心角为2 rad.页 8 第。
112弧度制1
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
高效课堂
问题：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值
与半径本身大小有关吗?
提示：初中所学的弧长公式
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
高效课堂
所以它的面积是 S 1 lR 2
高效课堂
例3. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3 （2）根据S=
1
lR=
1αR2，且S=2R2.
3
22
所以 α=4.
完成P9练习5，6
高效课堂
高效课堂
高效课堂
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lபைடு நூலகம் 2
高效课堂
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
则角的弧度数的绝对值是 l
r
的正负由旋转方向确定
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
1
l r
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
弧度制及弧度制和角度制的换算
弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算.ppt
可以看出，等式右端不包含半径，表示弧长与半径的
比值与半径无关，只与α 的大小有关.
当 为定值时，这个比值也是定值.
结论：可以用圆的半径作单位去度量弧.
探究点2：弧度制的定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度记作rad.这种以弧度为单位来度量 角的制度叫做弧度制.
导出关系
基本关系
记住一些常见的角度与弧度制的换算：
度 弧度
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
注: 1.以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二 字或“rad”通常省略不写，但用“度”（°）为单 位时不能省. 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π ”的 形式,如无特别要求，不用将π 化成小数. 3.度化弧度除以180乘以 π，弧度化度 π 换180
2 扇形面积是 (π-1)R .
本节课我们主要学习了：
（1）弧度制的定义.
（2）角度与弧度的换算公式，利用 rad 殊角的弧度数.
（4）弧长与扇形面积公式.
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，
二十次中有十九次都会失望.
——大仲马
2 120 解：圆心角 等于 ，又半径为10米， 3 2 20 故所对应的弧长为10× = . 3 3
4. 已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆
的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面 积是多少？
解：周长为2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
常用角度制和弧度制之间转化公式
常用角度制和弧度制之间转化公式常用的角度制和弧度制之间的转换公式是：
1. 角度制转弧度制，弧度 = 角度× π / 180。
这个公式是将角度乘以π（圆周率）再除以 180，就可以得到对应的弧度值。
2. 弧度制转角度制，角度 = 弧度× 180 / π。
这个公式是将弧度乘以 180 再除以π，就可以得到对应的角度值。
这两个公式是常用的角度制和弧度制之间的转换公式，可以方便地在两种单位之间进行转换。
角度制通常用于日常生活和初等数学中，而弧度制则在高等数学、物理学和工程学中更常见。
转换公式可以帮助我们在不同单位之间进行换算，方便理解和应用角度概念。
希望这个回答能够满足你的需求。
112弧度制和弧度制与角度制的转化
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的转化一、教学目标：（一）、知识目标1.1.理解理解1弧度的角、弧度制的定义弧度的角、弧度制的定义..2.2.掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式3.3.熟记特殊角的弧度数熟记特殊角的弧度数 （二）能力目标：1.熟练进行角度与弧度的换算熟练进行角度与弧度的换算2.2.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
（三）、情感目标1．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力2．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．统一的，而不是孤立、割裂的关系．二、教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算．使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算． 三、教学难点：运用弧度制解决具体的问题．运用弧度制解决具体的问题． 四、教 具：多媒体、实物投影仪 五、教学过程 教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图设计意图复习引入复习在上节课中所讲过的角的概念推广，并回顾初中时表示角的大小的度量制是怎样定义。
的度量制是怎样定义。
教师提出问题：教师提出问题：1、正角、负角和0角又是怎样定义的？的？ 2、初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，那么1°的角是如何定义的？角是如何定义的？学生回答：1、我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没做任何旋转时我们也认为形成一个角，叫0角 2、 定周角的3601作为1°的角°的角教师点评：我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制角的制度叫做角度制这种概念的优点是形象、直观，容易理解，弊端是角度与我们研究数学问题时所使用的数的集合“实数”不能吻合。
吻合。
弧度制和弧度制与角度制的换算
2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 2k , k Z ；
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z；
终边落在y轴的正半轴的角的集合
2
2k
,
k
Z
；
y轴的负半轴的角的集合
2
2k
,k
Z
；
终边落在x轴上的角的集合 k , k Z ；
2
一个特殊的映射
角的弧度数是一个量，表示弧长与半径的比， 是一个实数，这样在角集合与实数集之间就建立 了一个一一对应关系.
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
做一做：
1.把下列各角化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式，并判
定为第几象限角.
① 19
3
6 第一象限角
3
② 27
复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角的？角度制 的单位有哪些，是多少进制的？
答：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度； 角度制的单位有度、分、秒三种，规定60分等于1度， 60秒等于1分，是60进制.
新概念 为使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角 的单位制-----弧度制. 规定：
4
5 8 第三象限角
4
29
③ 6
5 4 第二象限角
6
2.集合 M
x
x
k
2
4
,k
Z
,
N
x
x
k
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
心角所对的弧长为 2.半径为10的圆中,
4
s in 1
的圆心2角所对的弧长( A
)
3
A. 40
3
B. 20
3
C . 200
3
D. 400
3
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的
边长, 则其圆心角的弧度数为( C )
A.
3
B. 2
3
C. 3
D.2
4.圆的半径是6, 则15的圆心角与圆弧围成的扇
有关？为什么？
l = 2pr ?n 360
r
A
B
1rad r
O
思考4：如果半径为r的圆的圆心角α所 对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝 对值如何计算？
l
r
l • r (弧长计算公式)
思考5：约定：正角的弧度数为正数，负角
的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r的圆的一条
半径OA，绕圆心顺时针旋转到
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积公式解 决有关问题.
复习回顾
1、角的分类:
正角--- 逆时针方向旋转所成角
角 零角--- 不作任何旋转所成角
负角--- 顺时针方向旋转所成角
2、角的表示:
注意：⑴k∈ Z ⑵α任意
1)终边相同的角的集合
270o
360o
弧 3 度4
5
6
3 2
2
思考6：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可
以建立一个一一对应关系，这个对应关系 是如何理解的？
正角
对应角的
正实数 弧度数
零角 负角
零 负实数
角的弧度数
实数集R
角度制与弧度制的比较
①、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
典例解析
例3：已知扇形的周长为8cm，圆心角为2 弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有
C
L=2r
2r l l 2r
,
8,
解得rl
2 4
故扇形的面积为S 1 rl 4(cm2 ). 2
2rad
A O
课堂检测
1、在已知圆内，1rad的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆
n0 __1_80__ rad
巩固练习
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字 或“rad”通常略去不写，而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
课本P11 A 2
角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360 180
1rad (180) 57.30 5718'
②、1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小1， 而 是圆1的 所对的圆心角的大小；
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
弧度与角度不能混用．
弧长及扇形面积公式:
(1)弧长公式： l • r
看课本例4,做 A 5
(2)扇形面积公式: 看课本例5
S 1l•r 1 •r2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
典例解析
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S= 1 lR= 1αR2，且S=2R2
22
4
终边在坐标轴上的角:
S
| k 90 ,
kZ
3).象限角的集合
3).象限角的表示:
1).第一象限角 0 90
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360
S | k 360 270 k 360 360 , k Z
提出问题： 思考1：在平面几何中，1°的角是怎样 定义的？
形面积是________________.
使用弧度制，写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:
{ | 2k
2k
,k Z}
第二象限角的集合: 2
弧M
1
N1和M
2
N
的
2
长
分别为l1和l2
因为：l n • 2r nr
360 180
所以：l1 l2 n
r1 r2 180
这就启示我们： 可以用圆的半径作单位去度量弧
思考3：如图，我们规定：把长度等于半
径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆 心角的大小与所在圆的半径的大小是否
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB
的大小为多少弧度？
2r A
－2rad.
r
B
O
角度制与弧度制互换:
(1)将角度化为弧度：
因为半径为 r的圆周长为 2r,所以周角的 弧度数是 2r 2
rห้องสมุดไป่ตู้
360 2 rad 180 rad
1 rad 0.01745
180
n
⑶终边相同的角有无数个
S | k 360 , k Z
2).坐标轴上的角的集合
角
终边在x轴上的角: S 终边在y轴上的角: S
| k 180 , k Z | k 180 90 , k Z
将圆周分成360等份，每一段圆弧所 对的圆心角就是1°的角.
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所
对的圆弧长如何计算？ l 2r n
360
用度作单位来度量角的制度叫做角度 制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
设 n0，OM1 r1，OM 2 r2
180n
n _____ 0
巩固练习
课本P11 A 3
典例解析
例1 填空:
(1) 100 0
(2) 600 0
(3) 17
12
(4) 5
8
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
2
323
角 度
135o
150o
180o