数学：1.1.2《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案(新人教A版)

合集下载

课件5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

例 3.已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l＝20－2r， ∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)． ∴当半径 r＝5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 α＝rl＝20－52×5＝2(rad)． ∴当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，最大值为 25 cm2.
π 12
π 6
π 4
π5 π 3 12π 2
2 3 5π 3π 4π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7 6π
5π 4
4π 3
3 2π
5π 3
7 4π
11π 6
2π
知识点3：弧度制下的扇形的弧长及面积公式
(1)弧度数公式：α＝
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：1π80＝弧角度度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆． 4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
知识点2：角度制与弧度制的换算问题导思角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？利用 1 弧度角的定义进行换算．
总结 (1)角度制与弧度制的换算
2π
2π
π
π
(2)特殊角的弧度数

《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案新人教A版

数学：1.1.2《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案（新人教A版）第一章基本初等函数（II）1.1.2弧度制和弧度制与角度制之间的换算教学目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算.2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学过程一、复习引入：1．角的概念2．角度制的定义3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，二、讲解新课：1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用"弧度"做单位来度量角的制度叫做弧度制．⑴平角=? rad、周角=2? rad⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶圆心角?的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360?=2? rad ∴180?=? rad∴ 1?=3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合实数集R4．（1）弧长公式：比公式简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径这比扇形面积公式要简单三、例子：例1把化成弧度，把化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π例2用弧度制表示：1 终边在轴上的角的集合2 终边在轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合例3．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）图中长度单位为：m？例4已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．课堂练习：第12页练习A、B课后作业：第13页习题1-1A：3、4、5，习题1-1B:3。

2021年高中数学1.1.弧度制和弧度制与角度制的换算1教案新人教A版必修4

2021年高中数学1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1教案新人教A
版必修4
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。

3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。

从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。

通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

附录（表格和图）：。

高中数学 1.1.2弧度制教案1 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案

〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。

〕（四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课堂练习约15分钟课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。

引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。

引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。

〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。

rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。

原创1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

新课引入
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度等于周角的1/360。这种用度作为单位来度量角的单位叫做角度制，为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单位——弧度制
思考：什么是弧度制呢？
新课引入
r
A
B
1rad r
O
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
2
6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2）把 —3 π 弧度化成度。 5
解： (1)把112º30′化成弧度（用π表示）。
(2)把 8 化为角度。
5
课堂练习
与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
第一章三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
新课引入
角度长度是可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制. 不同的单位制能给解决问题带来方便，那么，角的度量是否能用不同的单制呢？不同单位制之间可以进行换算，那么，角的单位制之间是怎样进行互化的呢？下面我们一起来看看.
绝对值如何计算？
α=l r
特别注意，α的正负是由角α的终边的旋转方向决定的
探究点2
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 1 所对的圆心角的大小；

学案5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂导学三点剖析一、弧度制的定义例1 如图所示，圆心角∠AOC所对的弧AC的长l分别为r，2r，2πr，4πr，如果圆心角表示正角，它的弧度数分别是多少？如果圆心角表示负角，它的弧度数又分别是多少？温馨提示（1）角的大小与圆的半径长短无关，仅与弧长与半径的比值有关；（2）一般地，正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.各个击破类题演练1下列诸命题中，真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位变式提升1下列四个命题中，不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度二、角度与弧度之间的互化 (1)将角度化成弧度： 360°=2π rad ；180°=π rad ； 1°=π180rad≈0.017 45 rad. (2)将弧度化成角度：2π rad=360°；π rad=180°； 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′. (3)弧度制和角度制的互化是本节的重点，也是难点.互化的实质是一种比例关系：π180°=这个角的角度数这个角的弧度数，将要求的部分解出，再添上相应的单位即可.需记住特殊角的弧度数.(见教材，本书略) 例2 -300°化为弧度是（） A.4π3-B.5π3-C.7π4-D.67-π 类题演练 2（1）将112°30′ 化为弧度；（2）将5π12- rad 化为度. 温馨提示弧度与角度互化，要牢记π rad=180°.时钟经过一小时，时针转过了( )A.π6rad B.π6-radC.π12-rad D.π12rad例3 设角α1=-570°，α2=750°，β1=3π5，β2=7π3-.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出它们有相同终边的所有角.类题演练3用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.（如图所示）温馨提示（1）回答问题要弄清角的大小，防止出现矛盾不等式而造成混乱.（2）在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度).若集合A ={α|α=π2k -π5，k ∈Z }，B ={α|-π<α<π}，求A ∩B .三、弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =α·r ；S =21l ·r =21α·r 2. 在角度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =π180n r ；S =2π360n r .例4 解答下列各题： (1)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度. (2)在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积. (3)如图(1)，在半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮ADE 上，截去一个半径为4的小扇形ABC ，求留下部分环形的面积.类题演练 4已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积.温馨提示弧长公式l =|α| ·r 以及扇形面积公式S =21lr 都是弧度制下的公式.因此，运用时必须把角度化成弧度. 变式提升 4已知一扇形的中心角是α，其所在圆的半径是R .（1）若α=60°，R =10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？温馨提示用弧度制表示的弧长和扇形面积公式l =|α|·r 和S =21l ·r ，比角度制的求弧长和面积公式l =π180n r 和S =2π360n r 更简单，在实际中的应用也更广泛.参考答案课堂导学例1 解：从圆心角与弧度的关系出发，结合正角、负角的概念，分别求出各角的弧度数.当圆心角∠AOC 表示正角时，弧长l 为r ，2r ，2πr ，4πr 的圆心角∠AOC 的弧度数分别是1，2，2π，4π.当圆心角∠AOC表示负角时，弧长l为r，2r，2πr，4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是-1，-2，-2π，-4π.各个击破类题演练1【答案】D【解析】本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D为真命题.变式提升1【答案】D【解析】本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.例2 【答案】B【解析】∵1°=π180rad，∴-300°=5π3-rad.∴应选B.类题演练2解：（1）∵1°=π180rad，∴112°30′=π180×112.5 rad=5π8rad.（2）∵1 rad=(180π)°，∴5π12-rad=-(5π12rad×180π)°=-75°.变式提升2【答案】B【解析】由于时钟经过12小时转了-2π rad，所以时钟经过1小时转了π6-rad.例3 思路分析：运用弧度与角度的互化公式，用待定系数法去找一个k，α1，α2化为2kπ+α的形式，而β1，β2化为k·360°+α的形式(k∈Z).解：(1)∵180°=π rad，∴-570°=-570×π180=19π6-.∴α1=19π6-=-2×2π+5π6.同理，α2=2×2π+π6 .∴α1在第二象限，α2在第一象限.(2)∵β1=3π5=(3π5×180π°)=108°，设θ=k·360°+β1(k∈Z).由-720°≤θ<0°，∴-720°≤k·360°+108°<0°.∴k=-2或k=-1.∴在-720°—0°间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理，β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.类题演练3解：先找准两个边界所对应的在0°—360°范围内的角.边界在第二象限对应的角为120°，边界在第三象限对应的角是225°.如上图所示，以OB为终边的角225°可看成-135°，化为弧度3π4-，而120°=2π3.∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ3π4-<θ<2kπ+2π3，k∈Z}.变式提升3解：由交集定义，知-π<π2k-π5<π，即-1<2k-51<1，∴51258<<-k . 由k ∈Z ，知k =-1，0，1，2. 当k =-1，0，1，2时，α=7ππ3π4π105105,,,--，故A ∩B ={7ππ3π4π105105,,,--}. 例4 解：(1)∵半径R =2，圆心角α=5π3， ∴弧长l =α·R =10π3. (2)如图(2)所示. ∵AB =6，OA =OB =6，∴∠AOB =π3. ∴扇形AOB 的面积S △AOB =21l ·R =21α·R 2=21×π3×62=6π. 又∵△AOB 是等边三角形， ∴S △AOB =43×62=39. ∴弓形面积S =6π-39.(3)∵圆心角α=60°=π3， ∴S 扇形ADE =21α·AD 2=50π3，S 扇形ABC =21α·AB 2=8π3.∴环形BCED 的面积为S =50π3-8π3=42π3=14π.类题演练 4 解：∵120°=120×π180=2π3，r =6，∴l =|α|r =2π3×6=4π.又∵S 扇形=21lr =21×4π×6=12π， S △AOB =21r 2sin 2π3=39，∴S 弓形=S 扇形-S △AOB =12π-39. 变式提升 4解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓形. ∵α=60°=π3，R =10 cm ， ∴l =|α|R =10π3cm. ∴S 弓形=S 扇形-S △=21lR -21R 2sin α=21×10π3×10-21×102sin60°=50(π3-23) cm 2.（2）∵扇形周长C =2R +l =2R +|α|R ，∴R =α+2C. ∴S 扇=21αR 2=21α·(α+2C )2 =16424124412441222222C C C C =•+•≤++•=++•ααααααα，当且仅当α=α4，即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积最大，最大面积是162C .。

1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算

新课程有效课堂教学设计简案主题：§1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算___课时课型：发现生成课和问题解决课主备人：一、教学目标知识与技能：（1）掌握弧度制的定义。

（2）会进行弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。

（3）掌握在弧度制下的弧长和扇形面积公式，在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

过程与方法：让学生通过弧度制的学习，理解并认识到弧度制与角度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立割裂的关系。

情感、态度与价值观：通过对现实生活中一些量的不同单位制的度量，引发学生学习弧度制的兴趣。

教学重点：理解并掌握弧度制的定义；熟练进行弧度制与角度制互化；弧度制的应用。

教学难点：理解弧度制的定义；弧度制的应用。

二、教学过程第一课时1创设情境，导入新课。

2自主学习，走进文本。

教师：（1）发放《问题导读单》。

⑵走进学生指导读、划、写、记、练、思。

学生：⑴自主读文，抓住重点，掌握弧度制的定义，熟练进行弧度制与角度制互化。

⑵生成问题。

3交流收获，生成问题：教师：⑴走进学生倾听交流的收获。

⑵组织交流（围绕例题、习题）。

学生：小组长组织交流收获，发言人记录。

4学生总结反思：教师：⑴关注学生写反思，教师及时指导。

⑵组织交流反思并评价。

学生：⑴独立反思。

⑵倾听交流，共同提高。

板书设计：布置作业:第二课时1创设情境，回顾知识：回顾上节内容，导入下一环节。

2自主学习，解决问题：教师：⑴发放《问题生成单》。

⑵关注学生情况。

⑶指导解决问题。

学生：⑴浏览《问题生成单》。

⑵走进文本读、划、写、记、练、思。

⑶组织语言，准备交流。

3合作交流，解决问题：教师：⑴走进小组倾听交流。

⑵有效指导，解决问题。

⑶组织全班交流。

⑷科学引导，使问题条理化。

4展示疑难，合作交流：教师：指导学生分组交流并加以总结提炼，并提出新问题加以解决。

学生：⑴展示问题。

⑵讲解交流问题。

5问题训练，提升能力：教师：⑴发《问题训练单》。

高中数学 1.1.2弧度制教案新人教A版必修3

1.1.2弧度制教学目的：认识弧度制，并能解决实际问题。

教学重点：理解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的换算。

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。

教学方法：启发式。

教具：多媒体。

教学过程：一问题提出1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？-1-2探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？思考5：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？知识迁移例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.作业：P10 习题1.1 A组：6，7，8，9，10.板书设计弧度制1探究1：弧度的概念例12探究（二）：度与弧度的换算例2。

人教A版高中数学必修四教案弧度制和弧度制与角度制的换算新

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。

通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

角，同一个非零角
附录（表格和图）：。

高中数学 1.1.2 弧度制教案新人教A版必修4

1.1.2弧度制一、教学目标： 1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度: (1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。

【数学】1.1.2《弧度制》课件(新人教A版必修4)

（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
3. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
为此，我们引入角的另一种度量方法----弧度制。
弧度制：
1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。思考：1rad的角与半径和弧长有没有关系？
弧长比值半径
B O
B2
B1
2. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制；1弧度≠1º；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
360°=2 rad 180°= rad
1° =

180
rad

0.01745 rad
180 57 .30 1 rad= =57°18′
注：（1）关键抓住 180
o

（2）弧度制与角度数是不可以混合写
L A L1 A1
L2
r r1r2
A2
与半径大小无关
AB AB =定值， r r

课件7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

【解】 (1)∵180°＝π，∴－570°＝－570×1π80＝－196π. ∴α1＝－169π＝－2×2π＋56π. ∵750°＝750×1π80＝265π，∴α2＝265π＝2×2π＋π6. 所以 α1 在第二象限，α2 在第一象限．
(2)β1＝35π＝35π×18π0°＝108°.设 θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
4π
5π
7π
7π
A. 3
B. 3
C. 4
D. 6
解析：选 B.由 1°＝1π80rad 可得，300°＝300×1π80＝53π.
三、扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l＝1n8π0r ＝__|_α_|·_r __；扇形的面积：
答案：二
3. 如图所示，扇形AOB的面积是4 cm2，周长是10 cm，求扇形的圆心角α的弧度数．
解：设长为 l cm，扇形半径为 r cm，则由题意，得
l＋2r＝10， 21lr＝4，
解得 r＝4， l＝2，
或 r＝1 l＝8
(不合题意，舍去)，
所以 α＝rl＝24＝12.
课堂小结
1．在掌握弧度制定义、扇形面积公式、弧长公式的前提下，灵活运用，体会弧度制下公式比角度制下公式的优越性，如例3. 2．角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有惟一的一个实数(例如这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(例如弧度数或角度数等于这个实数的角)与它对应．
(3)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×1π80＝1π2，θ＝105°＝105×18π0＝71π2. 显然1π2<1π0<1<71π2.故 α<β<γ<θ＝φ.

高中数学第一章三角函数 1.1.2 弧度制教案新人教A版必修4(2)

1.1.2 弧度制
1.知识与技能
(1)理解弧度的意义.
(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.
(3)熟记特殊角的弧度数.
2.过程与方法
能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题.
3.情感、态度与价值观
(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神.
(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.
重点:弧度的概念,弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.
难点:“角度制”与“弧度制”的区别与联系.
1.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2 km,一列火车用每小时30 km的速度通过,求火车10 s转过的弧度数.
解:∵圆弧半径为R=2 km=2 000 m,速度v=30 km/h= m/s,∴10 s走过的弧长为
m,
∴火车10 s转过的弧度数|α|=.
2.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t s,
则t·+t·=2π,
所以t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
如图,设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置,
则x C=-=-2,
y C=-=-2,
所以点C的坐标为(-2,-2).
点P走过的弧长为×4=,点Q走过的弧长为×4=.。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

1. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为____
4 πR 3
，面积为2R2的扇形的中心角等
于
4
弧度.
4 4 π 解：（1）240º= ，根据l=αR，得 l πR 3 3
1 （2）根据S= lR = 2
所以 α=4.
1 2 αR ，且S=2R2. 2
2.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是
怎样用弧度制表示扇形面积公式：
1 S= lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径.
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
n 1 2 S=πR = R α 360 2 1 又 αR=l，所以 S= lR. 2
2
例1. (1)把112º30′化成弧度（精确到0.001）; (2)把112º30′化成弧度（用π 表示）.
3、情感目标:
通过对角的新的度量单位——弧度制的认识，培养学生接受新事物的能力，培养学生对数学的兴趣,体现数学美.
长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制
能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种
常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.也就是我们这一节要学习的：弧度制和弧度制与角度制的换算
8π 例2. 把化成度. 5
8π 8π 180 解： = ( ) 288 5 5 π
例3.使用科学型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到0.0001）；（1）67o ，168o ， - 86o ；（2）1.2， 5.2.
解：（1） 67 168 -86 SHIFT
1.1.2

高中数学_1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计学情分析教材分析课后反思

《弧度制和弧度制与角度制的换算》教学设计执教者：指导教师：一、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。

通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。

在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。

这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。

二、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。

通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。

三、教学过程是60º，半径是50米，求AB的长l（精确到0.1米）。

跟踪练习：1、在半径为R的圆中，0240的圆心角所对的弧长为，面积为22R的扇形的圆心角等于弧度。

解：2、已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.解：例3与学生共同读题分析，然后板书跟踪训练第1个学生投影展示，第2个学生板演（六）当堂检测及评估（约7分钟）1、(2分) 圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍2、（2分）（1）把0'6730化成弧度（2）把45π-化成弧度。

3、（2分）与角01825-的终边相同，且限制时间学生迅速同桌交换打分及时检验学习效果，便于学生和老师的总结反思绝对值最小的角的度数是_________，合_________弧度。

4、（4分）已知扇形的周长为10cm, 面积为24cm,求扇形的圆心角.（七）总结反思（约3分钟）(1）、“1弧度的角”的定义；(2)、总结角度制和弧度制的换算关系；(3)、与扇形有关的公式知识树总结先留给学生时间反思，并让学生阐述，而后老师补充总结学生对内容进行总结在教师的指导下，由学生对本节课所学内容进行归纳，再一次明确重点、难点，形成知识体系，加强对新知识的掌握。