导数大题经典练习及答案

导数大题专题训练
1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，
(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．
2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
4、已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的
取值范围.
5、已知函数
(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
6、已知函数．
(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，
即，所以.
(Ⅱ)当，，由得.
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于因此，
②当，，因此上单调递增，所以，
……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明
由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，
设，则，易知，当且仅当时取到，
但从而可知对一切，都有成立.
2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，
所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.
（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.
3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.
（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，
所以实数a的取值范围是.
解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.
设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，
由解得；由解得.
所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.
所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，
所以实数a的取值范围是.
（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；
②当a＞0时，
（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；
当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；
所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.
综上，当时，函数f (x)没有极值点；
当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.
4．解：. (Ⅰ)，解得.
(Ⅱ).
①当时，，，在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
②当时，，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
③当时，，故的单调递增区间是.
④当时，，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，
①当时，在上单调递增，故，
所以，，解得，故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.
由可知，，，所以，，，
综上所述，.
5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是
(Ⅱ)，由解得由解得
所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减
所以当时，函数f(x)取得最小值
因为对于任意成立，所以即可
则，由解得；所以a得取值范围是
(Ⅲ)依题意得，则
由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，
所以解得
所以b得取值范围是
6、解：(1)因为，，则，
当时，；当时，．
∴在上单调递增；在上单调递减，
∴函数在处取得极大值．………3分
∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．
(2)不等式，即为，
记∴，…9分
令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。