泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

【摘要】泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。

1 预备知识

1. 1 带有Peano 型余项的泰勒公式

函数

在[ a , b ] 上具有n 阶导数, 则

x ∈[ a , b ] 有

+

其中

即

1. 2 带有Lagrange 型余项的泰勒公式