泰勒公式及其应用

f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
fFra Baidu bibliotek
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
Rn
(x)
其中
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
在 x, x0 之间
➢ 仍记 P(x) 为前述的多项式,结论为
f (x) P(x) (x x0 )n1
(n 1)!
( (0,1)) 或 o(xn )
➢ f (x) ex
ex 1 x x2 xn ex xn1
2!
n! (n 1)!
➢ f (x) sin x
sin x x x3 x5 (1)k1
x 2k 1
sin(
x
2k 1 2
)
x 2k 1
3! 5!
(2k 1)! (2k 1)!
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((x
x0
)n
)
➢ 分析 若记
P(x)
f
(x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
结论即
f (x) P(x)
lim
0
xx0 ( x x0 )n
➢ 怎么证明这个结论？ 很自然的想法是多次用L’Hospital法则 （问题出在最后一步）
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=9, 用9次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=11, 用11次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=13, 用13次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
回到n-1次
f (n1) (x) P(n1) (x)
lim
xx0
n!(x x0 )
lim f (n1) (x) [ f (n1) (x0 ) f (n) (x0 )(x x0 )]
xx0
n!(x x0 )
➢ 注意条件相当弱,只要在 x0一点有n 阶导数
■ 区间(a,b)上的 Taylor 公式 f (x)在( a,b ) 有n+1 阶导数,x0(a,b),则在 ( a,b ) 成立
1
1 .5
2
4
6
➢ n=17, 用17次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
■ 应用例子
例 试计算e 的近似值,误差小于10-6
例
求极限
lim
x0
x
sin x3
x
(n=9) e 2.718281
例 求极限 lim n2 (n a n1 a ) n (往年高数竞赛题)
➢ 试写出cosx 的Maclaurin 公式
➢ f (x) (1 x)
(1 x) 1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn o(xn )
2!
n!
➢ f (x) ln(1 x)
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n1 xn (1)n
x n1
23
n
(n 1)(1 x)
■ 用多项式逼近 sin x 的图像
➢ n=1, 用直线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=3, 用三次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=5, 用5次曲线近似正弦曲线
1 .5 1
0 .5
6
4
2
0 .5
1
1 .5
2
4
6
➢ n=7, 用7次曲线近似正弦曲线
f (n1) ( )
(n 1)!
➢ 可用Cauchy定理证明(用n次)
例 写出 f(x)=x2 lnx 在x＝1处的二阶Taylor 公式
■ 一些常用公式（Maclaurin公式）
f (x)
f (0)
f (0) x
f (0) x2 2!
f
(n) (0) n!
xn
Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( x) xn1
x, h R (h 0) f (x h) f (x h) 2 f (x)
H.W 习题4 26 (2)(3)(5) 28 31
本节要点 ➢ Taylor公式仍然是对函数的逼近(近似)
它比线性近似更加精确 ➢ 应用Taylor公式主要在两类习题 1）求极限，可用Peano余项形式
2）证明题，一般需要应用Lagrange余项形式
例 求下列函数的Maclaurin 公式 (1) f (x) xex
(2) f (x) ln(2 3x x2 )
例 设 f(x)在x =0的邻域二阶可导，且
sin x x f (x)
lim
x0
x3
0
试求 f (0), f (0)和 f (0)的值
（往届期中试题）
例 f (x) 在R 有二阶导数，f (x) 0, 试证：
多项式的形式：在x0 应等于 f(x0)
f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) a2 (x x0 )2
■ 一点附近的 Taylor公式
f (x)在x0 附近定义，且在x0 有n 阶导数,则
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
Chap 4 .3
Taylor定理
■ 回顾增量公式 (微分) f f (x)x o(x)
即 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) o(x x0 )
微分
得到用线性函数来近似函数的公式，但是缺点是 (1)不够精确; (2)误差是定性的，难确切估计
Taylor 公式将考虑用多项式逼近函数