复数乘除法的几何意义的应用教学案例
复数代数形式的乘除法教案
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
【教学目标】
1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算.
难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.。
优秀教案设计模板
优秀教案设计模板一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第四章第四节“复数的乘除运算”。
具体内容包括复数的定义、复数的代数形式、复数的乘法法则、复数的除法法则以及复数的几何意义。
二、教学目标1. 理解并掌握复数的乘除运算，能够熟练进行相关计算。
2. 了解复数的几何意义，能够将复数与坐标系中的点对应起来。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点难点：复数的除法法则，复数的几何意义。
重点：复数的乘法法则，复数的乘除运算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入复数的概念，如电路中的电流、信号处理等。
2. 复数的定义及代数形式复习：回顾复数的定义，引导学生用代数形式表示复数。
3. 复数的乘法法则：讲解复数乘法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
4. 复数的除法法则：介绍复数除法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
5. 复数的几何意义：讲解复数与坐标系中的点对应关系，引导学生通过实际操作，将复数与坐标系中的点对应起来。
六、板书设计1. 复数的定义及代数形式2. 复数的乘法法则例题：计算(3+4i)(23i)3. 复数的除法法则例题：计算(3+4i)/(23i)4. 复数的几何意义图形展示：复数与坐标系中的点对应关系七、作业设计(1) (2+3i)(45i)(2) (6+7i)/(34i)(1) 3+4i(2) 23i答案：1. (1) 7+i(2) 8/5 + 11/5 i2. 见解析。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对复数的乘除运算掌握情况较好，但部分学生对复数的几何意义理解不够深入，需要在课后加强辅导。
2. 拓展延伸：引导学生了解复数的其他运算，如加减运算，以及复数的应用，如电路分析、信号处理等领域。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 教学内容的组织与逻辑顺序。
2. 教学目标的明确性与具体性。
复数乘法、除法的几何意义
教学目的：能将代数中复数在三角形式下的乘除 运算，变换观点看成是几何中的图形变换。
教学重点：认识复数的辐角相加，即在某 一个角的基础上旋转；能将几何问题代 数化，把绕某点旋转一个角所得到的复 数看成是在原来对应的复数的基础上乘 以绕了的角度为辐角的一个数。
教学难点：认识积与因数的相互关系，积 对应的向量就是某一因数的向量旋转后 再伸缩。
七.深化认识
已知A、B两点对应的复数为1+i、
4+5i,把向量 AB 按逆时针方向绕点
A旋转600，得到 AB
及B’点对应的复数
'，求与向量
AB
'
AB '
3 2 3 (2 3 3 )i
2
2
B’ 5 2 3 (3 3 3 )i
2
2
八.应用巩固
《掌握学习指导》第45页达标题 第1、2、3题
（1）-4+3i 逆转900 (2) -3-4i 逆转1800 (3)4-3i 顺转900 (4)8-6i 顺转900再
伸长2倍
43
(5) -
i 55
逆转900再缩为原来的1/5
六.学懂会做---课本例题
例1 如图， 向 量 与复数－1＋i对 应，把 按逆时 针方向旋转120°。 得到 ’ 。求与 向量 '对应的复 数（用代数形式 表）。
2.积模：积的模等于各 复数的模的积,即把z1对 应的向量绕原点旋转后,
再伸长(缩短) r2倍.
四.结论 两个复数相乘可以先画出分别与z1、 z2 对逆时应针的方向向量O旋P1转，O一P2个然角后θ把2 ，向再量把O它P1 的按模 变为原来的倍r2 ，所得的向量 OP就表 示积z1 z2 （如果θ2<0就要把向量 OP1 按顺时针方向旋转一个角|θ2 | ）
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(教案)
第七章 复数7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义一、教学目标1.会进行复数三角形式的乘除运算；2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义;3.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养. 二、教学重难点1.复数三角形式的乘除运算;2.复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解． 课前准备：阅读课本思考并完成以下问题1.复数三角形式的乘、除运算如何进行？2.复数三角形式的乘、除运算的三角表示的几何意义是什么？ 三、教学过程： 1、创设情境：问题1：类比复数的乘法运算，试推导复数三角形式的乘法运算. 生答:复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i) ＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 所以设的三角形式分别是：简记为 ：模数相乘，幅角相加 问题2：类比复数的乘法运算的几何意义，试推导复数三角形式的乘法运算的几何意义. 生答:建立直角坐标系, 以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角,r 是复数的模；θ是复数z ＝a ＋bi 的辐角,引入向量,把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转z 的一个辐角，长度乘以z 的模，所得向量对应的复数就是z z ．2、建构数学复数三角形式的乘法运算:设21Z 、Z 的三角形式分别是：简记为 ：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转0z 的一个辐角，长度乘以z 的模，所得向量对应的复数就是z z ⋅．问题3：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，试推导复数三角形式的除法及其几何意义.复数三角形式的除法设21Z 、Z 的三角形式分别是：简记为 ：模数相除，幅角相减几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点顺时针旋转z 的一个辐角，长度除以z 的模，所得向量对应的复数就是．3、数学应用例1.已知i 为虚数单位，12(cos60isin60)z ︒︒=+，222(sin30icos30)z ︒︒=-，求12z z ⋅=,请把结果化为代数形式,并作出几何解释. 解:222(sin30cos30)22(cos300isin300)z i ︒︒︒︒=-=⋅+，122(cos60sin60)22(cos300isin300)4(cos360 isin360)z z i ︒︒︒︒︒︒∴⋅=+⋅⋅+=+.12z z ⋅=4首先作与12,z z 对应的向量1OZ ，2OZ ，然后把向量1OZ 绕点O 按逆时针方向旋转060，再将其长度伸长为原来的22倍，绕点O 按逆时针方向旋转0300这样得到一个长度为4，辐角为0360的向量OZ ,OZ 即为积12z z ⋅=4所对应的向量.变式训练1.计算下列各式，并作出几何解释： （1222cossin 22cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭； 【答案】（1）4-；（2）62解:（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.(2)原式()2cos 75sin 75222i i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 39022i i i ︒︒⎫=+==⎪⎪⎝⎭. 几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ即为积12z z ⋅=所对应的向量. 例2 计算下列各式：(1)()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦;(2)44554cossin 2cos sin 3366i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解:(1)()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦()()9cos 27090sin 27090 i ︒︒︒︒⎡⎤=+++⎣⎦()9cos360sin3609i ︒︒=+=，(2)44554cossin 2cos sin 3366i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦45452cos sin 2cos 2sin 2363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 变式训练1.计算下列各式 （1）)552cossin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+ ⎪⎦⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫⎤⎫÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭. 【答案】（1）；（2）-变式训练2.在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，则复数z 是_____________.（用代数形式表示）.【答案】i 22z =- 【解析】由题意得()()()cos 45isin 45i i 22z ⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22=-. 例3.把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM 重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值. 解:由复数乘法的几何意义得1255cossin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 四、小结：1.复数三角形式的乘法运算及其几何意义:简记为 ：模数相乘，幅角相加 2.复数三角形式的除法及其几何意义简记为 ：模数相除，幅角相减 五、作业：习题7.3。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
北师大版(2019)数学必修第二册：5.3.2 复数乘除运算的几何意义 教案
复数乘除运算的几何意义【教学目标】了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.【教学重难点】复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义.【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？二、基础知识复数三角形式的乘、除运算：若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则（1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．（2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．三、合作探究1．复数三角形式的乘、除运算【例1】计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； （2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.【规律方法】（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍． 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义【例2】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π 所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.【规律方法】两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2．四、课堂检测1．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π ＝－1＋32＋3－12i.。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】教学目标：1. 理解复数的乘法运算规则，并能够正确应用复数的乘法进行计算。
2. 理解复数的除法运算规则，并能够正确应用复数的除法进行计算。
3. 掌握复数的乘除运算在平面直角坐标系中的几何意义。
教学重点：1. 复数的乘法运算规则的理解和应用。
2. 复数的除法运算规则的理解和应用。
3. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则的掌握和运用。
2. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、彩色笔。
2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1 热身导入（5分钟）通过回顾上节课所学的复数基本概念和运算规则，复习复数的基础知识。
Step 2 学习复数的乘法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的乘法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数乘法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的乘法运算规则。
Step 3 学习复数的除法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的除法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数除法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的除法运算规则。
Step 4 复数乘除运算的几何意义（15分钟）1. 教师引导学生思考复数乘法和除法运算在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 教师演示并讲解复数乘法运算和除法运算的几何意义，并通过实例进行说明。
3. 学生完成几个与几何意义相关的练习题，巩固对复数乘除运算几何意义的理解。
Step 5 拓展应用（10分钟）1. 学生进行一些综合性的习题练习，巩固复数的乘除运算。
2. 学生通过解决实际问题，应用复数的乘除运算进行计算。
Step 6 总结反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾乘除运算的关键知识点。
《复数乘除运算的几何意义》 导学案
《复数乘除运算的几何意义》导学案一、学习目标1、理解复数乘法、除法运算的法则。
2、掌握复数乘法、除法运算的几何意义。
3、能够运用复数乘除运算的几何意义解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）复数乘法、除法运算的法则。
（2）复数乘法、除法运算的几何意义。
2、难点运用复数乘除运算的几何意义解决实际问题。
三、知识回顾1、复数的概念：形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））的数叫做复数，其中\（a\）叫做实部，＼（b\）叫做虚部。
2、复数的几何表示：在复平面内，复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应点的坐标为\（（a,b)＼）。
四、新课导入我们已经学习了复数的概念和基本运算，那么复数的乘法和除法运算又有怎样的几何意义呢？这就是我们今天要探究的内容。
五、复数乘法运算的几何意义1、复数乘法的法则设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\）（＼（a,b,c,d\in R\）），则\（z_1 ＼cdot z_2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）2、复数乘法运算的几何解释设复数\（z_1\），＼（z_2\）在复平面内对应的向量分别为\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼），其坐标分别为\（（a,b)＼），＼（（c,d)＼）。
＼＼begin{align}＼overrightarrow{OZ_1}＼cdot\overrightarrow{OZ_2}＆＝（a,b)＼cdot(c,d)＼＼＆＝ac ＋ bd＼end{align}＼＼＼begin{align}＼vert z_1 ＼cdot z_2\vert&＝＼sqrt{（ac bd)＾2 ＋（ad ＋ bc)＾2}＼＼＆＝＼sqrt{（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2)｝＼end{align}＼这表明\（＼vert z_1 ＼cdot z_2\vert ＝＼vert z_1\vert ＼cdot ＼vert z_2\vert\），即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积。
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在深入探讨复数的乘法与除法运算之前，让我们先回顾一下复数的基本概念。
复数通常可以表示为＄z ＝ a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 被称为实部，＄b$ 被称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄z ＝ a ＋ 0i ＝ a$ 就是一个实数；当＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为虚数；当＄a ＝ 0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数就被称为纯虚数。
二、复数的乘法1、乘法法则设两个复数＄z_1 ＝ a ＋ bi$ ，＄z_2 ＝ c ＋ di$ ，它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci bd\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼2、乘法运算的几何意义复数的乘法运算在几何上可以理解为复数对应的向量的伸缩和旋转。
假设复数＄z_1$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_1}＄，复数＄z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ_2}＄，那么它们的乘积＄z_1 ＼cdot z_2$ 对应的向量为＄＼overrightarrow{OZ}＄，其中向量＄＼overrightarrow{OZ}＄的长度是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄长度的乘积，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄与实轴正方向的夹角是向量＄＼overrightarrow{OZ_1}＄和＄＼overrightarrow{OZ_2}＄与实轴正方向夹角之和。
3、乘法运算的性质（1）交换律：＄z_1 ＼cdot z_2 ＝ z_2 ＼cdot z_1$（2）结合律：＄（z_1 ＼cdot z_2) ＼cdot z_3 ＝ z_1 ＼cdot （z_2＼cdot z_3)＄（3）分配律：＄z_1 ＼cdot （z_2 ＋ z_3) ＝ z_1 ＼cdot z_2 ＋ z_1＼cdot z_3$三、复数的除法1、除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案教学目标：1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
课型:新知课教具准备：多媒体教学过程：复习提问：已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：一．复数的乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究:复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?二.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3 -b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3 )i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.练习课后第2题三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
《复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.3.2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案【教材分析】复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.数学学科素养1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.【教学重点和难点】重点：复数三角形式的乘除运算．难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.【教学过程】一、情景导入复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本86-89页，思考并完成以下问题1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1∙z 2=r 1∙r 2[cos (θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)].简记为 ：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．2、复数三角形式的除法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1÷z 2=r 1r 2[cos (θ1−θ2)+isin (θ1−θ2)].简记为 ：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz 0．四、典例分析、举一反三题型一 复数的三角形式乘法运算 例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.【答案】;详见解析 【解析】.首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向21Z 、Zz OZ 0z 0z 0z z ⋅21Z 、Zz OZ 0z 0z 13cos sin 266z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12z z 3i 123cos sin 2cos sin 26633z z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32cos sin 26363i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos sin 22i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3i =12,z z 1OZ 2OZ 1OZ 3π2π量（如图）.即为积所对应的向量.解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。
北师大版高中数学必修第二册《复数乘除运算的几何意义》说课稿
北师大版高中数学必修第二册《复数乘除运算的几何意义》说课稿一、课堂背景本节课是北师大版高中数学必修第二册中的一节，主要介绍了复数的乘法和除法运算的几何意义。
在学习复数的加法和减法后，通过本节课的学习，学生能够更深入地理解并掌握复数乘法和除法的几何意义。
二、教学目标知识目标：1.了解复数的乘法运算规则；2.掌握复数的除法运算规则；3.理解并运用复数乘除运算的几何意义。
能力目标：1.能够进行复数乘法和除法运算；2.能够利用复数的乘除运算解决实际问题；3.能够运用几何意义解释复数乘除运算的结果。
情感目标：1.培养学生对数学的兴趣；2.培养学生的数学思维能力；3.提高学生的合作学习和团队合作能力。
三、教学重点和难点教学重点：1.复习复数的加法和减法；2.掌握复数的乘法运算规则；3.理解并运用复数乘除运算的几何意义。
教学难点：1.掌握复数的除法运算规则；2.运用几何意义解释复数乘除运算的结果。
四、教学过程1. 复习复数的加法与减法（10分钟）复习复数的加法和减法运算，通过几个简单的示例，温习复数的概念和运算规则。
2. 复习复数的乘法运算规则（15分钟）复习复数的乘法运算规则，包括实部相乘、虚部相加等。
通过计算几个实例，巩固乘法的概念和运算规则。
3. 复数乘法的几何意义（20分钟）介绍复数乘法的几何意义，引导学生理解复数乘法的本质是平面上两个向量的相乘。
让学生通过计算几个具体的实例，将乘法的运算规则与几何意义联系起来。
4. 复习复数的除法运算规则（15分钟）复习复数的除法运算规则，包括有理化、分子有理化等。
通过计算几个实例，巩固除法的概念和运算规则。
5. 复数除法的几何意义（20分钟）介绍复数除法的几何意义，通过将除法转化为乘法，让学生理解复数除法的本质是平面上两个向量的相除。
通过计算几个具体的实例，将除法的运算规则与几何意义联系起来。
6. 综合练习（20分钟）组织学生进行综合练习，包括计算复数的乘法和除法，以及应用题的解答。
复数的乘法和除法教案
复数的乘法和除法教案教案：复数的乘法和除法教学内容：本节课将讲解复数的乘法和除法。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。
教学目标：1.能够理解复数的乘法和除法的定义；2.能够使用复数的乘法和除法进行运算；3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题；4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔；3.复数乘法和除法的练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟）1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。
2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。
4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。
Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数乘法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.解释如何计算乘积的实部和虚部。
示例：计算(2+3i)(4+5i)解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=-7+22i4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。
Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数除法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /(c²+d²)。
3.解释如何计算商的实部和虚部。
示例：计算(3+4i)/(1+2i)解：(3+4i)/(1+2i)=[(3×1+4×2)+(4×1-3×2)i]/(1²+2²)=(3+8+4i-6i)/5=(11-2i)/5=11/5-(2/5)i4.更多示例：让学生计算更多的复数除法示例，以加深对计算方法的理解。
7-3-2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(教学设计)-2023-2024学年高一数学同步备
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教学设计一、教学目标了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义二、教学重难点1.教学重点:复数乘、除运算的三角表示及其几何意义2.教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义三、教学过程前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义．1．知识回顾我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式的加、减、乘、除是什么?复数的除法法则复数的加法法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数的减法法则(a+b i)−(c+d i)=(a−c)+(b−d)i.复数的乘法法则(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i.复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义思考1：如果把复数z1,z2分别写成三角形式z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],即r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].注：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．探究1：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？两个复数z 1,z 2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角∣θ2∣），再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是积z 1z 2．这是复数乘法的几何意义．思考2：你能解释i 2=−1和(−1)2=1的几何意义吗？i 2=−1可以写成i (cosπ2+i sinπ2)=−1，其几何意义是：将i 对应的向量绕点O 按逆时针方向旋转π2，得到−1对应的向量.(−1)2=1可以写成（-1）(cosπ2+i sinπ2)=1，其几何意义是：将−1对应的向量绕点O 按逆时针方向旋转π，得到1对应的向量.例3已知z 1=32(cosπ6+isin π6),z 2=2(cosπ3+isin π3),求z 1z 2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．解：z 1z 2=32(cosπ6+isinπ6)×2(cosπ3+isinπ3)=32×2[cos(π6+π3)+isin(π6+π3)]=3(cosπ2+isinπ2)=3i首先作与z 1,z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π3，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为π2的向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为积z 1z 2=3i 所对应的向量．练习1：计算(1)8(cosπ6+isinπ6)×2(cosπ4+isinπ4);(2)2(cos4π3+isin4π3)×4(cos5π6+isin5π6);(3)√2(cos240∘+isin240∘)×√32(cos60∘+isin60∘); (4)3(cos18∘+isin18∘)×2(cos54∘+isin54∘)×5(cos108∘+isin108∘).解：1）16(cos512π+isin512π)(或(4√6−4√2)+(4√6+4√2)i)2）8(cosπ6+isin π6)(或4√3+4i)3）√62(cos300∘+isin300°)(√64−3√24i)4）−30例4如图，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i ，把OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转120°，得到OZ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．求向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数（用代数形式表示）．分析：根据复数乘法的几何意义，向量OZ ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是复数1+i 与z 0的积，其中复数z 0的模是1，辐角的主值是120°．解：向量OZ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(1+i)(cos120∘+isin120∘)=(1+i)(−12+√32i)=−1−√32+√3−12i.练习2：在复平面内，把与复数3−√3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60∘，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．解：所求的复数就是3−√3i除以一个复数z0的商，这个复数z0的模是1,辐角的主值是60∘,所以所求的复数是(3一√3i)÷(cos60∘+isin60∘)=(3−√3i)÷(12+√32i)=(3−√3i)(-12−√32i)=−2√3i.设计意图：让学生利用复数乘法运算三角表示及其几何意义，进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论.3．复数除法运算的三角表示及其几何意义探究2：数的除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),且z2≠0，因为r2(cosθ2+isinθ2)⋅r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]=r1(cosθ1+isinθ1),所以根据复数除法的定义，有r1(cosθ1+isinθ1) r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)].注：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．探究3：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？两个复数z 1,z 2相除时，可以像图那样，先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角∣θ2∣），再把它的模变为原来的1r 2倍，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是商z 1z2．这是复数除法的几何意义．例5计算4(cos4π3+isin 4π3)÷[2(cos5π6+isin 5π6)]，并把结果化为代数形式．解：原式=2[cos(4π3−5π6)+isin(4π3−5π6)]=2(cosπ2+isinπ2)=2(0+i)=2i. 练习3：计算(1)12(cos7π4+isin7π4)÷[6(cos2π3+isin2π3)];(2)√3(cos150∘+isin150∘)÷[√2(cos225∘+isin225∘)];(3)2÷(cosπ4+isinπ4);(4)−i ÷[2(cos120∘+isin120∘)].解：(1)2(cos 1312π+isin 1312π)(或−√6−√22+√2−√62i); (2)√62(cos 285∘+isin285°)(或3−√34−3+√34i); (3)2(cos 74π+isin 74π)(或√2−√2i);(4)12(cos150∘+isin150°)(或−√34+14i ). 设计意图：让学生利用复数除法运算三角表示及其几何意义，进一步理解熟悉的除法运算的基本结论. 4．课堂小结复数乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．r 1(cosθ1+isinθ1)⋅r 2(cosθ2+isinθ2)=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].。
复数 复数的乘法及其几何意义 教案
复数·复数的乘法及其几何意义·教案教学目标1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．2．掌握复数乘法的几何意义．3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．（利用投影仪出示）1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；（5分钟后）师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的请同学们再考虑下面一个问题：如果把复数z1，z2分别写成z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）．z1·z2这乘法运算怎样进行呢？想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．师：利用这个结论，请同学们计算：大家把计算过程写在笔记本上．（教师请一位同学在黑板上板演）教师提示：由于复数定义是形如a＋bi（a，b∈R）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］计算，简便得多．这就是复数的三角形式乘法运算公式．三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．图形演示（如图8－7）：= 1·2．师：现在我们研究问题．如图8－8，向量与复数-1+i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到′．求与向量′对应的复数．请同学们想一想．生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量逆时针方向旋转120°，得到′，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·（cos120°＋isin120°）．师：解此题复数是否一定化成三角形式？生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．师：说得好，请同学们写一下解题过程．（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习．（使用投影仪，映出练习题）2．已知复数z0所对应的向量0，通过作图，画出下列复数z所对应的向量．（教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演．）师：这三位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算．哪位同学改正一下：师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代数形式才得以进行．接下来看第2题的第（1）小题．生丙：第（1）题画错了，应当把向量0按逆时针方向旋转60°，可板演图只转30°．师：为什么？生丙：乘数sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos 60°＋isin 60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．现在看第2题的第（2）小题，将0逆时针旋转120°正确吗？为什么？其模是1，说明模没有变化，只是把向量0绕原点O按逆时针旋转120°．师：向量画的正确吗？若不正确，应当怎么画？生戊：不正确，旋转120°后，取其反方向的向量，模不变，得到．也可以先取0的反方向的向量，再逆时针旋转120°．师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为1+2i，3-5i，求与另外两个顶点对应的复数．为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1＋2i，点B对应复数是3-5i，求点C、D对应的复数．如图8－11．同学们开始讨论解法．生M：这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为（1，2），点B坐标是（3，-5）．本题应当有两解．设边AB右侧的顶点是C和D，左侧的顶点是C′和D′．线段AB的长度是可求的．而|AD|=|AB|，|BD|=次方程组，解这个方程组可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可以写出．师：点C怎么求呢？生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C的坐标．师：很好．还有什么解法？就求出D点对应的复数．师：点C怎么求呢？对应的复数．师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗？复数．师：生H的方法最简单．请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算．（教师找一名同学到黑板板演）解：向量对应的复数：（3-5i）-（1+2i）=2-7i．向量对应的复数：（2-7i）（cos 90°＋isin 90°）=（2-7i）·i=7＋2i．向量对应的复数：（1+2i）+（7+2i）=8+4i．=10-3i．如图，设点D′对应复数为a＋b i（a，b∈R），又设点C′对应复数为c＋d i（c，d∈R），因此另外两点对应的复数为：10-3i和8+4i；或-4-7i和6．注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正．经常发生的错误有：（1）=（3-5i）-（1+2i）．这里不能用等号，应写作“向量对应的复数是：（3-5i）-（1+2i）；（2）把向量对应的复数7＋2i，错认为是点D对应的复数；（要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数）（3）只得出10-3i和8+4i一组解．（建议学生自己动手画图，容易发现两组解）师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用．为了更好地领悟这一思想，请看：如图8－12，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算∠1+∠2+∠3的值．同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i．师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．师：你分析得很好，请你计算一下：生寅：我想谈另外一种计算方法．因为r1（cos θ1+isin θ1）·r2（cos θ2+isin θ2）·r3（cos θ3+isin θ3）=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］·r3（cos θ3+isin θ3）=r1·r2·r3［cos（θ1+θ2+θ3）+isin （θ1+θ2+θ3）］，因此（1＋i）·（2＋i）·（3＋i）可以直接求出积的辐角．即（1+i）（2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i，师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现．这里，应提醒大家，注意一个问题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值．请同学们完成此题的演算．（教师找一名同学到黑板板演）解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i，2＋i，3＋i的辐角的主值，这样∠1+∠2+∠3就是积的辐角，而（1＋i）（2＋i）（3＋i）=（1＋3i）（3＋i）=10i，师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：1．课本习题：P203 练习1（4），3．2．课本习题：P210 习题二十八5．3．补充题：（1）在复平面内有两个点Z1和Z2，它们所对应的复数分别为1和2＋i，以这两点为顶点作一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数．（2）z1，z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分角形）QR（字母顺序按逆时针方向），使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹．（椭课堂教学设计说明1．没有良好的基础知识是不可能有很好的数学能力的，深刻的理解、纯熟掌握也不是一次就能完成，因此课堂教学开始时，我安排了检查练习，起着承上启下的作用．2．重视学生参与知识的发生、发展和被运用的过程，为了培养适应21世纪要求的创新人才，课堂教学的着眼点应放在学生能力的形成和发展上，需要学生去亲自想一想，动手算一算，动口说一说，从而培养学生敢于创造，逐渐学会创造．因此设计教案时强调了学生主体参与，但不能忽视老师的主导作用．。
《复数乘法几何意义初探》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.3复数乘法几何意义初探1.理解复数与实数、复数与纯虚数乘法的几何意义，掌握将复数乘法转化为向量的处理方法；2.引导学生对复数乘法的几何意义的自主探究，培养学生积极参与合作交流，了解从特殊到一般的数学抽象过程；3.通过研究复数乘法的几何意义，揭示数与形之间的联系，帮助学生树立数形结合的思想方法，培养学生数学抽象与直观想象素养．教学重点：复数与实数、复数与纯虚数乘法的几何意义．教学难点：复数与纯虚数乘法的旋转意义．一、新课导入回顾：复数z=a+bi（a，b∈R）的几何意义是什么？答案：复数z=a+bi一一对应↔复平面内点Z(a，b)一一对应↔平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗追问1：复数加法、减法的几何意义是什么？答案：复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行．追问2：前面我们学习了向量的数乘运算，你能回忆起向量数乘的几何意义吗？◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程答案：实数λ与向量α乘积λα的几何意义是：当λ>0时，表示向量α的有向线段在原方向上伸长或缩短为原来的|λ|倍； 当λ<0时，表示向量α的有向线段在反方向上伸长或缩短为原来的|λ|倍．设计意图：通过复习复数及复数加法、减法的几何意义，引导学生把复数问题转化为向量问题来处理，通过复习向量的数乘的几何意义引入复数与实数乘法的几何意义．二、新知探究问题1：在复平面内，设复数z 1=a +bi （a ，b ∈R ），z 2=z 1·2，它们分别对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：利用复数的乘法运算法则，则z 2=(a +bi )·2=2a +2bi ．根据复数的几何意义，复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ，2b)，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．由向量数乘的几何意义，可知OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向伸长为原来的2倍得到的．追问：如果将z 2改为：z 2=z 1·12，其它条件不变，又该如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：利用复数的乘法运算法则，则z 2=(a +bi )·12=12a +12bi ．根据复数的几何意义，复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12a ，12b)，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．由向量数乘的几何意义，可知OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向缩短为原来的12倍得到的．思考：在复平面内，设复数z 1=a +bi ，z 2=z 1·c （a ，b ，c ∈R ），所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：设复数z 1=a +bi （a ，b ∈R ）所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．若z 2=(a +bi )·c (c >0)所对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与c 的数乘，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向伸长(c >1)或压缩(0<c <1) c 倍得到的．设计意图：当复数是实数时，研究复数与实数的乘积的几何意义，先从最特殊、最简单的问题入手，逐步向一般、复杂的问题过渡，培养学生学会从具体到抽象地分析问题的能力．问题2：设复数z 1=1，z 2=z 1·i ，所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：根据复数的几何意义，复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)．OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．追问：若复数z 1=i ，z 2=z 1·i 呢？答案：OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．即，实轴上的点和虚轴上的点乘复数i 的几何意义是把这个向量逆时针旋转π2．思考：这种关系（逆时针旋转π2）是否具有普遍性？探究：在复平面内，设复数z 1=1+i ，z 2=z 1·i ，它们分别对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：①直观感知：OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．②向量的坐标运算：根据复数的乘法运算法则，有z 2=z 1·i =(1+i )·i =−1+i ． 根据复数的几何意义，复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1)，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−1)+1×1=0．所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直．③根据复数的乘法运算法则，有z 2=z 1·i =(1+i )·i =−1+i ．在复平面内作出复数z 1，z 2分别对应的点Z 1，Z 2；然后分别过点Z 1，Z 2作垂直于x 轴的线段，交点分别为Z 1′，Z 2′，再分别过点Z 1，Z 2作垂直于y 轴的线段，交点分别为点Z 1′′，Z 2′′(Z 1′′)，如图，易知z 1=1+i 中的1对应的向量为OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，i 对应的向量为OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．z 2=−1+i 中的−1对应的向量为OZ 2′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是由i 对应的向量OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的，i 对应的向量为OZ 2′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是由1对应的向量为OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．因此，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 2′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．总结：设复数z 1=a +bi （a ，b ∈R ）所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．若z 2=(a +bi )·i 所对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．思考：在复平面内，复z 1=a +bi ，z 2=z 1·(−i )，z 3=z 1·(−i )2（a ，b ∈R ），它们对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？答案：根据复数的乘法运算法则，有z 2=z 1·(−i )=(a +bi )·(−i )=b −ai ． 根据复数的几何意义，复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b ，−a)，如图，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 顺时针旋转π2得到的．z 3=z 1·(−i )2=(a +bi )·(−i )2=−a −bi ．根据复数的几何意义，复数z 1，z 3所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，−b)，如图，则OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 旋转π得到的，即OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于原点对称．设计意图：引导学生能从几何直观、向量数量积计算，以及前面所学的铺垫知识三个方面解析OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系，培养学生能从特殊情形出发研究问题的能力，逐步深入地引导学生探究规律．三、应用举例例1 在复平面内，复数z 1=3−2i ，z 2=z 1·i ，它们分别对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如何直观地理解OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的位置关系呢？解：根据复数的乘法运算法则，有z 2=z 1·i =(3−2i )·i =2+3i ．在复平面内作出复数z 1，z 2分别对应的点Z 1，Z 2；然后分别过点Z 1，Z 2作垂直于x 轴的线段，交点分别为Z 1′，Z 2′，再分别过点Z 1，Z 2作垂直于y 轴的线段，交点分别为点Z 1′′，Z 2′′，如图，易知z 1=3−2i 中的3对应的向量为OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，−2i 对应的向量为OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．z 2=2+3i =3×i +(−2i )×i 中的2对应的向量为OZ 2′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是由−2i 对应的向量OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的，3i 对应的向量为OZ 2′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是由3对应的向量为OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．因此，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 2′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 1′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．四、课堂练习1.设复数z =2+i 对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是( )A ．−1+2iB ．6+3iC ．6+iD ．−6−3i2. 设复数z =−3+2i 对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 按逆时针旋转π2所得到的向量对应的复数是( )A ．−3+2iB ．2−3iC ．2+3iD ．−2−3i3. 设复数z 1=1+2i ，z 2=−2+i 对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 ． 参考答案：1.解：把OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(2+i )·3=6+3i ．故选B ．2.解：把OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 按逆时针旋转π2所得到的向量对应的复数是(−3+2i )·i =−2−3i ，故选D ． 3.解：因为z 2=z 1·i ，所以向量OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 按逆时针旋转π2得到的．即，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π2．五、课堂小结复数乘法的几何意义：设复数z 1=a +bi （a ，b ∈R ）所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．若z 2=(a +bi )·c (c >0)所对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与c 的数乘，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向伸长(c >1)或压缩(0<c <1) c 倍得到的．若z 3=(a +bi )·i 所对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的．六、布置作业教材第177页练习第1，2题．。
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Y
C
B
X
O
A
４、草原漫步 某人在宽广的大草原上自由漫步，突发如 下想法：向某一方向走１千米后向左转， 再向前走１千米再向左转，如此下去，能 回到出发点吗？
y
B A
o
1 km
x
小结：
1的求.求复。已数求知z用即向式是量子Zz Zz 1逆z z 0 0 时 针z z 1 1 方 向z z 0 0 旋c c 转角o o 所 i i得s s s s 向i i 量 对即n n 应可
A(2,1)、B(3,2)，求顶点C的坐标。
Y
C
B
A
X O
• ２、正方形ABCD中，作∠EAB=15°，
使AE=AC，连BE，求证：BE∥AC。
Y D
OA
C
E X
B
３、设B为半圆x2+y2=1( x∈[-1,1],y∈[-1,1] )上的
动点，A点坐标为（2,0）且△ABC是以BC为斜边
的等腰直角三角形（C在X轴上方）。 (1) 求C点的轨迹； (2) B点在何处时，O、C两点间的距离最远。
郭秀刚
问题１：已知复数Z1、Z在复平面上的 对应分别为A、B，O为原点， ∠AOB=π/ 6，若Z1=1+2i,求Z。
Y
B
A
X O
问题２：将问题１中向量OA平移，使 O移至Q(1,1),A移至P(2,3)，再绕Q点逆 时针方向旋转π/ 6得向量QB，求点B 对应的复数。
B
P Y
A
Q
O
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１、已知等边△ABC的两个顶点坐标为
2.复数乘除运算的几何意义是数形结合点之一。利 用复数的几何意义解题是数形结合思想的重要体 现。