2020陕西中考数学24题真、副题

（2012•陕西）如果一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）； （2）若抛物线 y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线 y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存 在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由．
（2015·陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．已知 A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点 B、C 的坐标； （3）假设将线段 BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在 x 轴上，若将点 B、C 平移后的对应点分别记为点 D、E，求以 B、C、D、E 为顶点的四 边形面积的最大值．
（2017·陕西）在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y＝ax2﹣2x﹣3 与抛物线 C2：y＝x2+mx+n 关于 y 轴对称，C2 与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧． （1）求抛物线 C1，C2 的函数表达式； （2）求 A、B 两点的坐标； （3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边， 且以 A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标； 若不存在，请说明理由．
（2011•陕西）如图，二次函数
的图象经过△AOB 的三个顶点，其中 A（﹣1，
m），B（n，n） （1）求 A、B 的坐标； （2）在坐标平面上找点 C，使以 A、O、B、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点 C 有几个？
②能否将抛物线
平移后经过 A、C 两点？若能，求出平移后经过A、C 两点
二次函数——陕西中考 24 题
（2020·陕西）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交 点分别为 A、B、C，它的对称轴为直线 l. （1）求该抛物线的表达式； （2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D 点，E 是 l 上的点，要使以 P、 D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P、点 E 的坐标.
（2016·陕西）如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且△AOB 是等腰直角三 角形，∠AOB＝90°，点 A（2，1）． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的函数表达式； （3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 P，使四边形 ABOP 的面积最大？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2019·陕西）在平面直角坐标系中，抛物线 L 经过点 A（﹣1，0），B（3，0），C（1， ﹣2）． （1）求抛物线 L 的表达式； （2）连接 AC、BC．以点 D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC 位似， 且相似比为 2，A′、B′、C′分别是点 A、B、C 的对应点．试判定是否存在满足条件 的点 A′、B′在抛物线 L 上？若存在，求点 A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
（2015•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+5x+4 的顶点为 M，与 x 轴交于 A，B 两 点，与 y 轴交于 C 点． （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）求抛物线 y＝x2+5x+4 关于坐标原点 O 对称的抛物线的函数表达式； （3）设（2）中所求抛物线的顶点为 M′，与 x 轴交于 A′，B′两点，与 y 轴交于 C′ 点，在以 A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形 中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．
（2018·陕西）已知抛物线 L：y＝x2+x﹣6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 并与 y 轴相交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标，并求△ABC 的面积； （2）将抛物线 L 向左或向右平移，得到抛物线 L′，且 L′与 x 轴相交于 A'、B′两点（点 A′在点 B′的左侧），并与 y 轴相交于点 C′，要使△A'B′C′和△ABC 的面积相等， 求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
（2018·陕西）已知抛物线 L：y＝mx2﹣8x+3m 与 x 轴相交于 A 和 B（﹣1，0）两点，并与 y 轴相交于点 C．抛物线L′与 L 关于坐标原点对称，点A、B在 L′上的对应点分别为 A′、 B′ （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）在抛物线 L′上是否存在点P，使得△PA'A 的面积等于△CB'B 的面积？若存在，求 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2016•陕西）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y＝ax2+bx+5 经过点 M（1， 3）和 N（3，5） （1）试判断该抛物线与 x 轴交点的情况； （2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴交于点 B，同 时满足以 A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
（2014·陕西）已知抛物线 L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（3，0），B（﹣1，0），C （0，3）三点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求该抛物线顶点 M 的坐标； （3）将抛物线 L 平移得到抛物 L′，如果抛物线 L′经过点 C 时，那么在抛物线 L′上 是否存在点 D，使得以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将抛 物线 L 怎样平移；若不存在，请说明理由．
的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
二次函数——陕西中考 24 题（副题）
（2020·陕西）已知抛物线 L：y＝﹣x2+bx+c 过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与 x 轴的交点 为 A，B（点 A 在点 B 的左侧）． （1）求抛物线 L 的表达式； （2）若点 P 在抛物线 L 上，点 E、F 在抛物线 L 的对称轴上，D 是抛物线 L 的顶点，要 使△PEF∽△DAB（P 的对应点是 D），且 PE：DA＝1：4，求满足条件的点 P 的坐标．
（2014·陕西）已知抛物线 C：y＝﹣x2+bx+c 经过 A（﹣3，0）和 B（0，3）两点，将这条 抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N． （1）求抛物线 C 的表达式； （2）求点 M 的坐标； （3）将抛物线 C 平移到抛物线 C′，抛物线 C′的顶点记为 M′，它的对称轴与 x 轴的 交点记为 N′．如果以点 M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形， 那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？
（2019·陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：y＝ax2+（c﹣a）x+c 经过点 A（﹣3， 0）和点 B（0，﹣6），L 关于原点 O 对称的抛物线为 L′． （1）求抛物线 L 的表达式； （2）点 P 在抛物线 L′上，且位于第一象限，过点 P 作 PD⊥y 轴，垂足为 D．若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点 P 的坐标．
（2013•陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点 A（1，0）、B（3，0）两 点． （1）写出这个二次函数图象的对称轴； （2）设这个二次函数图象的顶点为 D，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 E， 连接 AC、DE 和 DB，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式． [提示：如果一个二次函数的图象与 x 轴的交点为 A（x1，0）、B（x2，0），那么它的表 达式可表示为 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）]．
（2017·陕西）如图，已知抛物线 L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点．与 y 轴 交于 C 点．且 A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA． （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）在抛物线 L 的对称轴上是否存在一点 M，使△ACM 周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）连接 AC、BC，在抛物线 L 上是否存在一点 N，使 S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
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