概率论与数理统计期末复习20题及解答

概率论与数理统计期末复习20题及解答

【第一章】 随机事件与概率

1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.

2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．

3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为

)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.

4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．

【第二章】 随机变量及其分布

5、设连续随机变量X 的分布函数为

+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．

（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．

6、设随机变量X 的概率密度为

⎩

⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，

求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<

7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

⎩⎨

⎧<<+=.,

0;

1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2

X Y P ≤．

8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧<<<<=.,0;

20,10,1),(其它x y x y x f

求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,2

1

(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否

相互独立.

9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为

⎩

⎨⎧≤>=-.0,0,

0,5)(5y y e y f y Y

（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．

【第三章】数字特征

10、设随机变量X 的概率密度为

⎪⎩⎪

⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0

,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，

已知2

1

)(=

X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．

11、设随机变量X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧≤>=-.0,0,

0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．

12、设),(Y X 的联合概率分布如下：

X

Y

1

104/14

/12

/10

（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．

【第四章】正态分布

13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]

14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2

N X ，)4.0,52(~2

N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴

衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]

【第五章】 数理统计基本知识

15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使

)3(~)2(25

24

23

21t X

X X X X k T +++=

．

16、设总体)5 ,40(~2

N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．

【第六章】参数估计

17、设总体X 的概率密度为

⎩

⎨⎧≥=--,,0,

2,);()2(其它x e x f x λλλ

其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.

（1）求参数λ的矩估计量．

（2）求参数λ的最大似然估计量．

18、设总体X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,

0,

0;0,e 1);(2x x x x f x λλ

λ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.

（1）求参数λ的最大似然估计量.

（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.

【第七章】假设检验

19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？

20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.

解答部分

【第一章】 随机事件与概率

1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.

【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则

AB C =， 又2

1

63)(,74)(===

A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为