函数奇偶性——导学案(1)
函数奇偶性(1)
函数奇偶性（1）编制人：张玉平审核人：张玉平【学习目标】知识与技能：结合具体函数，了解奇偶性的含义，会用定义和图象判断函数的奇偶性；过程与方法：通过对具体图象和特殊的函数值的分析，探究得出奇偶函数的定义；情感、态度、价值观：通过对函数奇偶性的研究及图象的对称关系，感受数学中的对称美。
【学习重点】函数奇偶性定义及判断【学习难点】函数奇偶性定义的理解【学习过程】一、课前准备预习教材33—36页，回答下列问题，找出疑惑之处：1．什么叫奇函数，什么叫偶函数？2. 奇函数和偶函数的图象分别具有什么特征？3. 如何判断一个函数的奇偶性，你有几种方法？二、新课导学(一)学习探究：探究奇函数、偶函数的概念1.下图分别给出了两组函数的图象：(1)2()f x x=、()2||f x x=-；. (2)()f x x=、1()f xx=；2．观察上述各组图象各有什么共同特征？这个特征是如何通过函数值来体现的？3．分别计算各组函数中的()f x-并观察它与()f x的关系。
4．偶函数：一般地，对于函数()f x定义域内的任意一个x，都有，那么函数()f x叫；5．奇函数：一般地，对于函数()f x定义域内的任意一个x，都有，那么函数()f x叫；反思：①奇函数、偶函数的定义域关于对称；②奇函数图象关于对称，偶函数图象关于对称，③函数的奇偶性定义和单调性定义对函数自变量的取值范围的要求有何不同？(二)函数奇偶性的判断例1：判断下列函数的奇偶性（A级）(1) 4()f x x=(2) 5()f x x=(3)1()f x xx=+(4) 2(),[2,3]f x x x=∈-小结：定义法判断函数奇偶性的步骤：①②③（A 级）例2：(1)已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.(2) 已知函数3()f x x x =+在y 轴右侧的图象如图所示，你能根据函数奇偶性画出它在y 轴左侧的图象吗？（B 级）例3：已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 均为偶函数，试判断下列函数的奇偶性：(1)()()()h x f x g x =+ (2)()()()h x f x g x =思考：类比上述例题，你还能得出其他结论吗？三、基础过关：1．判别下列函数的奇偶性：(1) 42()23f x x x =+ (2) 21()x f x x +=21.函数奇偶性的定义（ ）2.奇函数、偶函数的图象特征（ ）3.函数奇偶性的判断方法（ ）4.根据函数奇偶性画函数图象（ ）你是否还有其他疑问？五、课后作业:1.判断下列函数的奇偶性（A 级）（1）()f x =(2)2()(1)f x x x =-(3)2()f x x = (4)421()1f x x x =+-2．（A 级）已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数、()g x 为偶函数（1）若(1)10,(1)4f g ==，求(1)(1)f g -+-的值（2）若(),()f a b g a c ==，求()()f a g a -+-的值3. （B 级）已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数、()g x 为偶函数，设()()()h x f x g x =，试判断函数()h x 的奇偶性。
函数的奇偶性(1)
，
题型二、利用函数奇偶性图象的对称性解题 例 2.(1)已知偶函数 f(x)的定义域为[t-4,t],则 t= （2） 已知函数 f(x)是偶函数， 其图象和 x 轴有 4 个交点， 则方程 f(x)=0 的四个根之和为（即 4 个交点的横坐标之和） （3）已知奇函数 y=f(x)的定义域为[-4,4],且在[0,4]上的图象如图所 示，则使函数值 y 0 的 x 的取值范围是
则 f(-1)= （2）已知函数 f(x)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)= x 2 ， 则 f(-1)=
2
(3)已知函数 f(x)= (m 1) x mx 3 是偶函数，则 m=
2
m ,满足 f(1)=3， x
（1）求 m 的值； （2）判断函数 f(x)的奇偶性.
学习小结: 1. 奇函数、偶函 数的定义及图象 特征； 2. 函 数 是 奇 函 数或是偶函数称 为函数的奇偶 性，函数的奇偶 性是函数的整体 性质. 3. 判 断 函 数 奇 偶性的方法：图 象法、定义法.
2
C. f(-1)=f(-2) D.不确
3 2
3.若 f(x)= ax bx c ， a≠0 是偶函数， 则 g(x)= ax bx cx 是 A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
9.已知 f ( x) 是偶函数， g ( x) 是奇函数，且 f(x)+g(x)= g(x)的解析式.
1 ,求 f(x)， x 1
课 后 作 业
1、函数 f ( x) x 2
x 的奇偶性是
（
）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2. 若函数 y f ( x), x R 是奇函数，且 f (1) f (2) ，则必有( ) A．f(-1)<f(-2) B. f(-1)>f(-2)
函数的奇偶性导学案一
函数的奇偶性导学案（一）编者：高一数学组【使用说明与学法指导】1、请同学认真阅读课本47-49页，划出重要知识，规范完成预习案内容并记熟基础知识，用红笔做好疑难标记。
2、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、及时整理展示、点评结果，规范完成训练案内容，改正完善并落实好学案所有内容。
4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上，多复习记忆。
【学习目标】1、知识与技能：了解函数奇偶性的含义；掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2、过程与方法：师生共同探讨、研究，从代数的角度来严格推证并总结规律。
3、情感态度与价值观：在函数奇偶性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．【重点难点】函数奇偶性的概念；函数奇偶性的判断。
【预习案】阅读课本，完成下列问题? ：1．偶函数的定义：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做偶函数。
2．奇函数的定义：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做奇函数。
3．函数图像与对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是关于对称，则这个函数是偶函数。
【探究案】例1：判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)，(4)(5)例2：已知函数是偶函数，求实数的值．【训练案】1. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是个2. 如果二次函数是偶函数，则．3. 判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）【回顾总结·感悟提升】。
《函数的奇偶性》导学案
学习目标：1,初步理解奇函数、偶函数、函数的奇偶性的概念；2,掌握判断一些简单函数奇偶性的方法.《函数的奇偶性》导学案（一）一、课前预习1.画出函数()()xx f x x f 12==与，从对称的角度观察其图像特点.2.分析函数()2x x f =的图像，比较()()x f x f -与的关系.x……-3-2-10123……2x y =类比：()xx f 1=呢？3.给出奇函数、偶函数的概念：（1）偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做偶函数．偶函数的图像关于对称（2）奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做奇函数．奇函数的图像关于对称判断：①奇、偶函数的定义域都关于原点对称.（）②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()11f f -=-，则函数()f x 一定是奇函数.（）由此，判断函数的奇偶性：图象法（形），定义法（数）二、项目一会判断函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性：⑴()1f x x x =+⑵()11f x x x =+--()1,0x x -+<⎪⎩方法总结：用定义法判断函数的奇偶性：①先验证是否关于对称，②验证与的关系，③根据定义下结论.练习：判断下列函数的奇偶性：⑴()4223f x x x =+⑵()32f x x x =-⑶()21x f x x +=⑷()23f x x x =-+三、当堂检测1.对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（）.A．()()0f x f x --=B．()()0f x f x +-=C．()()0f x f x -= D．(0)0f ≠2.下列说法错误的是（）.A.1()f x x x =+是奇函数B.()|2|f x x =-是偶函数C.()0,[6,6]f x x =∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x x f x x -=-既不是奇函数，又不是偶函数3.函数()|2||2|f x x x =-++的奇偶性是.项目总结：用定义法判断函数奇偶性的一般步骤：课后反思：。
1.3.2奇偶性(1)
滨城区第一中学 高一 、数学科目 人教A 版 导学案编号NO ：10 编写人：过乃钟 审核人： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：课题： 1.3.2奇偶性（1）【学习目标】1. 掌握函数的奇偶性的定义和判断方法，理解奇函数和偶函数的图象的特点．2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.【使用说明及学法指导】1、先精读一遍教材P33-P36，用红色笔进行勾画；在针对导学案预习部分问题二次阅读并回答；时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，选做题BC 层可以不做；3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论；4、必须记住的内容：奇偶性的概念，奇函数和偶函数的图象的特点 。
预 习 案【教材助读】1．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． 2．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 3．奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称 理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x 必然在定义域中，因此，函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(3)既奇又偶函数的表达式是f (x )＝0，x ∈A ，定义域A 是关于原点对称的非空数集． (4)若奇函数在原点处有定义，则有f (0)＝0.【预习自测】 1.判断下列函数的奇偶性（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21xx f =2. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
高三数学 《函数的奇偶性》导学案
高三数学 编号:SX--3--004《函数的奇偶性》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、了解奇、偶函数的定义，能运用奇偶函数的图象理解和研究函数的性质。
2、函数的奇偶性的判断或证明的问题。
【重点难点】▲重点：函数的奇偶性的概念、图象和性质。
▲难点：判断函数的奇偶性。
【知识链接】函数的奇偶性的概念【学习过程】知识点一：偶函数的定义和图象性质问题1：你能作出x y x y =+-=与12的函数图象吗？采用什么方法作出图象？问题2：观察你所列出的两个函数值对应表及x y x y =+-=与12图象，它们有什么共同特征？问题3：你能在x y x y =+-=与12中分别找出3组函数值相等的点吗？这3组点在图象中有什么特征？只能找出3组吗？问题4：当自变量取一队相反数时，函数值有什么特征？问题5：根据以上两个函数，给出偶函数定义及其图象特征，能否指出定义中的关键字眼？并思考：函数图象关于y 轴对称，能说此函数为偶函数吗？问题6：结合偶函数定义，思考：对于函数()x f y =，定义域内存在()()x f x f =-，那么能否就叫做()x f y =为偶函数？判断()901002≤≤-=x x y 是否为偶函数。
问题7：由问题6思考函数为偶函数时有什么前提条件吗？知识点二：奇函数的定义和图象性质问题1：你能作出()()x x f x x f 1==与的图象吗？请列表作图。
问题2：观察你所列出的两个函数值对应表及()()x x f x x f 1==与的图象，它们有什么共同特征？问题3：当自变量取一对相反数时，函数值有什么特征？问题4：根据以上两个函数，给出奇函数定义及其图象特征，能否指出定义中的关键字眼？并思考：函数图象关于原点对称，能说此函数为奇函数吗？问题6：结合奇函数定义，思考：对于函数()x f y =，定义域内存在()()x f x f -=-，那么()x f y =能否就叫做奇函数？判断()65≤≤-=x x y 是否为奇函数。
高中数学必修一《函数的奇偶性》教学导学案
（3）这种关系是否对任意 都成立(从解析式入手)？
…
-3
-2
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0
1
2
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…
探究一：偶函数概念
1、定义：一般地，如果对于函数 的内一个 ，都有，那么函数 就叫做偶函数
2、性质：（定义域、几何意义、解析式）
【小试牛刀】
2、性质：（定义域、几何意义、解析式）
合
作
学
习
例1判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
变式训练：判断函数 的奇偶性
【规律总结】
例2函数 是奇函数，则 ________.
变式训练：若 是偶函数，定义域为 ，则 等于()
A. B. C. D．2
【规律总结】
应
用
学
习
【当堂检测】
1．若函数 为偶函数，则 ()
情感、态度与价值观:在探究偶、奇函数的概念及性质的过程中，增强合作意识，体验成败，感受喜悦，磨练意志。培养自主探究、小组合作，培养团队合作的良好习惯．
学习重点
函数的奇偶性及性质；
学习难点
判断函数奇偶性的方法及格式．
自
主
学
习
【预习新知】阅读教材 ，自主完成
观察下图思考并讨论以下问题：
（1）这两个函数图像有什么共同特征？
主备审核授课人授课时间班级姓名
导入学习
学习目标
知识与技能:1、理解函数的奇偶性概念及其性质；2、能判断一些简单函数的奇偶性。
高中数学《函数的奇偶性》导学案
1．3.2 奇偶性1．奇偶函数的定义(1)偶函数的定义：□1如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数的定义：□2如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．函数奇偶性的几何特征(1)□3奇函数的图象关于原点对称；(2)□4偶函数的图象关于y 轴对称．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )(2)函数f (x )＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，f (2)＝4，则f (－2)＝________.(2)(教材改编P 36T 1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 4＋2x 2；②f (x )＝x 3＋1x ； ③f (x )＝x 3＋x 2.(3)(教材改编P 36T 2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的递增区间．答案(1)4(2)①是偶函数②是奇函数③是非奇非偶函数(3)完整图如下函数的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)『释疑解难』理解函数奇偶性的注意点(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在[－3,5]上却不具有奇偶性．(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则根据定义可得，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0，即奇函数的图象过原点．(3)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．这样的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空数集．探究1 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ；(3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.解 (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．拓展提升 函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．【跟踪训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x －x 2，x >0；(2)f (x )＝0； (3)f (x )＝2x ＋1；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(3)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．探究2 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)[结论探究]本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．解由例题图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．拓展提升巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．【跟踪训练2】(1)奇函数y＝f(x)的局部图象如图(1)所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________；(2)已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图(2)所示，那么f(x)的值域是________．答案(1)f(2)>f(4)(2)[－3，－2)∪(2,3]解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f (－2)<f (－4)，所以－f (－2)>－f (－4)，即f (2)>f (4)．(2)利用奇函数图象的性质可以得到函数f (x )在[－2,0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．探究3 利用函数奇偶性求解析式例3 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋2)，x >0，0，x ＝0，x (2－x )，x <0.拓展提升求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性解出f (x )．注意：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，则未必有f (0)＝0.【跟踪训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 设x <0，∴－x >0.∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.探究4 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)，因为f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 拓展提升奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．【跟踪训练4】 (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.2.奇偶函数的主要性质(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f (|x |)＝f (x )，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.(3)函数的单调性与奇偶性的关系①若f (x )是奇函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f (x )是偶函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性相反.②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.3.分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8答案 C解析 A ，D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数．2．若函数f (x )满足f (－x )f (x )＝1，则f (x )图象的对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加，解得g (1)＝3.4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)若g (x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．解 (1)g (x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g (－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3，∵g (x )＝g (－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34 D ．1答案 A解析 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2解析因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案C解析解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案D解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析 ∵x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (－x 2)<f (－x 1)．二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.答案 13 解析 由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0，所以a ＋b ＝13.8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；(2)f (x )＝x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <－1，0，|x |≤1，－x ＋2，x >1.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)对于函数f (x )＝x ，其定义域为[0，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )＝x 既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x <－1时，－x >1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x >1时，－x <－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．B 级：能力提升练10．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．解(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1，则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0.又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)<0.所以f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.。
1.3.2奇偶性(1)导学案
1.3.2《函数的奇偶性》（一）导学案【学习目标】1、借助函数图象理解函数的奇偶性概念；2、会利用定义判断函数的奇偶性；【课前导学】预习教材第33-36页，找出疑惑之处，完成新知学习1、试在下面作出以下函数的图像：（1）2)(x x f =； （2）x x f =)(； （3）x x f =)(； （4）x f 1)(=。
2、奇偶性的定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为A ，如果对于 ，都有 ，那么称函数)(x f y =是偶函数； 如果对于 ，都有 ，那么称函数)(x f y =是奇函数。
3、结合开始两个具体例子，你能归纳奇函数与偶函数的图像特征吗？【精讲点拨】例：判断下列函数的奇偶性.(1)1)(2-=x x f ； (2) xx x f 23)(+= ； （3） 2)1()(-=x x f ；（4）2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ ； （5） 1122-+-=x x y ．1. 你能小结用定义判断函数奇偶性的方法步骤吗？2. 奇（偶）函数的性质：①f(x)为奇函数，定义域为D ，若0∈D ，则必有 ；② 在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数+奇函数= ； 偶函数+偶函数= ；奇函数×奇函数= ； 偶函数×偶函数= 。
③对于分段函数的奇偶性的判断，须特别注意与-x 的对应关系。
【巩固练习】1、若函数()f x 为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -＝________；若函数()f x 为偶函数，且(1)3f -=，则(1)f ＝________。
2、已知定义在[-5，5]上的奇函数)(x f 的部分图像如右图所示，试画出函数在y 轴左侧的大致图像，且满足0)(>x f 的x 的集合为____ _____；满足不等式()0xf x <的集合为____ ____；满足不等式(2)0f x +<的集合为____ _____；3、对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A ．()()0f x f x --=B ．()()0f x f x +-=C ．()()0f x f x -=D ．(0)0f ≠4、 已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. (5)(5)f f >-B.(4)(3)f f >C. (2)(2)f f ->D.(8)(8)f f -=5、下列说法错误的是（ ）. A. 1()f x x x=+是奇函数 B. ()|2|f x x =-是偶函数 C. ()0,[6,6]f x x =∈-既是奇函数，又是偶函数 D.32()1x x f x x -=-既不是奇函数，又不是偶函数 6、判断下面函数的奇偶性：(1)221)(x x x f +=； (2) x x x f 5)(3+=； (3) ⎩⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(x x x x x x x f ；。
新人教版高中数学《函数的奇偶性》导学案
函数的奇偶性1.理解函数的奇偶性及其几何意义,掌握奇函数、偶函数的定义,并会利用定义判断函数的奇偶性.2.了解奇、偶函数图象的对称性,能够根据函数的奇偶性和一半函数的图象画出另一半函数的图象.3.能够运用函数的奇偶性解答函数解析式,进一步运用函数的性质解答问题.美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数.(2)偶函数的图象关于对称,奇函数的图象关于对称.问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于对称).若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)= ,即函数图象必过.问题4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性. 判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1);(2)f(x)=+-;(3)f(x)=--;(4)f(x)=-利用奇偶性求值或求范围若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)利用奇偶性求解析式已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的解析式.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数考题变式(我来改编):函数的奇偶性知识体系梳理问题2:(1)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)(2)y轴原点问题3:原点0原点问题4:(1)相同(2)相反重点难点探究探究一:【解析】(1)由≥0,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.⇒x2=1⇒x=±1,∴f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由-≥得定义域为[-1,0)∪(0,1],(3)由--≠=-,∴f(x)=---∵f(-x)=-=-=f(x),-∴f(x)为偶函数.(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,对任意的x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.【小结】准确地理解掌握函数的奇偶性的定义是解决问题的前提.判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.探究二:【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)<0的x 的取值范围为{x|-2<x<2},故选D.【答案】D【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.探究三:【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.(2)转化为已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).全新视角拓展【解析】利用函数奇偶性的定义求解.A:令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A错.B:令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错.C:令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是奇函数,C正确.D:令h(x)=|f(x)·g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x),∴h(x)是偶函数,D 错.【答案】C思维导图构建f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴。
函数的奇偶性导学案
§1.3.2函数的奇偶性导学案教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．※合作探究：1.对于函数f(x)的定义域内任意一个x（1）f(-x)=f(x)〔或f(-x)-f(x)=0〕则f(x)为偶函数（2）f(-x)=-f(x)〔或f(-x)+f(x)=0〕则f(x)为奇函数注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，要与单调性区别开来.（2）奇，偶函数的定义域关于原点对称－－－必要条件（3）判断函数奇偶性的方法：①定义法 ②图象法（4）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式()1()f x f x =±-. 2. 奇偶函数图象的性质（1）奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.（2）偶函数的图象关于y 轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 说明：奇偶函数图象的性质可用于： a 、简化函数图象的画法. b 、判断函数的奇偶性. 3.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质. 4. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.5.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．※典型例题：例1判断下列函数的奇偶性：小结：用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.例 2.研究函数21x y =的性质并作出它的图像.小结例3. 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，求()f x 的解析式 .小结2541)( )4( 1)( )3()( )2()( )1(x x f x x x f x x f x x f =+===]3,1[,)()10( 1)()9(0)()8( 5)()7(1)()6( 1)()5(22-∈=+===+-=-=x x x f x x f x f x f x x f xx x f※ 当堂训练1、函数x x x f +=2)(的奇偶性是 （ ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（ ） A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C.))(,(a f a -- D.))(1,(a f a3、)(x f 为R 上的偶函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(+∞∈x 时，=)(x f ___________.4、如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是 .A 增函数且最小值为5- .B 增函数且最大值为5- .C 减函数且最小值为5-.D 减函数且最大值为5-5.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=___________.小结※ 归纳总结1. 用定义判断函数奇偶性的步骤2. 奇偶函数图象的性质※课后拓展1. 函数)(x f 为偶函数，那么|)(|)(x f x f 与的大小关系为 __.2.设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇.3.已知函数)f是定义在R上的不恒(x为0的函数，且对于任意的Ra∈,，都b有)afabf+=bfb((a)()（1）、求)1(f的值；0(f),（2）、判断函数)f的奇偶性，并加(x以证明。
《函数的奇偶性》导学案
《函数的奇偶性》导学案一、学习目标1、理解函数奇偶性的概念，能够根据函数的解析式和图象判断函数的奇偶性。
2、掌握函数奇偶性的判定方法，会利用奇偶性的定义证明函数的奇偶性。
3、了解函数奇偶性的性质，能运用函数的奇偶性解决一些简单的问题。
二、学习重点1、函数奇偶性的概念和判定方法。
2、利用函数奇偶性的性质解决问题。
三、学习难点1、对函数奇偶性概念的理解。
2、函数奇偶性的判定和性质的综合应用。
四、知识回顾1、函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的图象：对于一个函数 y ＝ f(x)，如果把定义域内每一个自变量 x 的值和对应的函数值 y 组成的有序数对(x, y)，都作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，就得到函数 y ＝ f(x) 的图象。
五、新课导入观察以下函数的图象：1、函数 f(x) ＝ x²的图象关于 y 轴对称。
2、函数 f(x) ＝ x³的图象关于原点对称。
思考：函数的图象具有这样的对称性，那么函数的解析式又有怎样的特点呢？六、概念讲解1、偶函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
例如，函数 f(x) ＝ x²，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−（−x)²＝ x²＝ f(x)，所以 f(x) ＝ x²是偶函数。
2、奇函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝−f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
例如，函数 f(x) ＝ x³，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−x)³ ＝−x³ ＝−f(x)，所以 f(x) ＝ x³是奇函数。
函数奇偶性导学案
“导学案”高效课堂建设——数学学科导学案专题名 函数的基本性质课题名 1.3.2函数的奇偶性班级：________小组：________姓名：__________学号：______一、明确目标二、创设情境，引入定义（一）创设情景，揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=观察一对关于y 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定________．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三、师生合作，建构数学例1． 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）()35f x x x x =++； （2）()21f x x =+； （3）()1f x x =+； （4）()[]2,1,3f x x x =∈- 练习．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材35P 思考题：规律：偶函数的图象关于_______对称；奇函数的图象关于_______对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例4．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．四、巩固深化，反馈矫正判断下列函数是否具有奇偶性：（1（2（3（4）()()()()22100010x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩．五、达标检测，及时巩固（由易到难分为A 、B 、C 组）A 组1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+2． 已知函数2()2||f x x x =-． （Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断函数()f x 在(1,0)-上的单调性并加以证明．3．函数()f x 和()g x 均为奇函数，()()()2h x af x bg x =++在区间()0,+∞上有最大值5，那么()h x 在(),0-∞的最小值为（ ）A ．5-B ．1-C ．3-D ．以上都不对4．已知()538f x x ax bx =++-，()210f -=，则()2f 等于（ ） A ．26- B ．18- C ．10- D ．10B 组5． 已知函数()f x 是偶函数，0x 时，()224f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式。
高一数学《函数的奇偶性》导学案
高一数学 编号：SX-01-009《函数的奇偶性》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1、了解奇、偶函数的定义，能运用奇、偶函数的图象理解和研究函数的性质2、会利用定义判断具体函数的奇偶性 【重点难点】▲重点：函数的奇偶性的定义、图象和性质 ▲难点：判断函数的奇偶性 【知识链接】轴对称和中心对称图形 【学习过程】请阅读教材第33页至第34页观察2前的内容，尝试回答下列问题： 知识点一：偶函数的定义和图象性质问题1：观察函数2()f x x =和()g x x =的图象，它们有什么共同特征？问题2：计算：(1)f -= ，(1)f = ； (2)f -= ，(2)f = 。
(1)g -= ，(1)g = ；(2)g -= ，(2)g = 。
通过计算，你有什么发现？问题3：通过对问题1和问题2 的研究，回答什么样的函数叫做偶函数？其图象有何特征？ xyo 12-1-21234f(x)=x 2xyo 12-1-21234x=f(x)AB问题4：观察图像并回答，下列哪些函数是偶函数？问题5：由问题4观察思考：函数为偶函数时定义域有何特征？请阅读教材第34页至第35页例5前面的内容，回答下列问题： 知识点二：奇函数的定义和图象性质问题1：观察函数()()1f x x x x==与g 的图象，它们有什么共同特征？问题2：当自变量任取一对相反数时，函数值有什么特征？问题3：通过对问题1和问题2 的研究，回答什么样的函数叫做奇函数？其图象有何特征？xyo 12-1-21234x =f(x)x [1,+ )x yo 12-1-21234x =f(x)x [-1,1 ] xyo 12-1-212342x =f(x)x [-1,2]x yo 12-1-21234f(x)=x 2x [-2,2]ABC D Bxy o 12-1-21234x =f(x)-1x y o 234=f(x)x 112-1-21-1Ax y o 234=f(x)x 112-1-21-1x (- , -1]),[ 1+x y o 12-1-21234x =f(x)-1x [1, )+x y o 12-1-21234x =f(x)-1x [-1, 1] x yo 234=f(x)x 112-1-21-1x (- , 0) ),[1+A B C D问题4：观察图像并回答，下列哪些函数是奇函数？问题5：由问题4思考：函数为奇函数时，定义域有何特征？请阅读教材第35页例5，回答下列问题： 知识点三：定义法判断函数的奇偶性问题1：①若()3,f x x x =+其定义域为 ，且()f x -= ，则()f x -= ，该函数为 函数。
苏教版数学高一《函数的奇偶性》同步导学案
*变式：已知函数 若 ，求 的值。
【课堂检测】
1.给定四个函数 ； ； ； ；其中是奇函数的个数是．
１个 ２个 ３个 ４个
2.如果二次函数 是偶函数，则 ．
3.判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3）
【教学反思】
§2.1.3函数的奇偶性（1）
【教学目标】
1．了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；
3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
【课前导学】
1．偶函数的定义：
如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有，那么称函数 是偶函数．
注意：(1)“任意”、“都有”等关键词；
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；
2．奇函数的定义：
如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有，那么称函数 是奇函数．
3．函数图像与奇偶性：
奇函数的图像关于对称；
偶函数的图像关于对称．
【例题பைடு நூலகம்解】
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3) ，
(4) (5)
例2．已知函数 是偶函数，求实数 的值．
函数的奇偶性导学案1
第7课时函数的奇偶性(1)教学过程一、问题情境用多媒体展示日常生活中常见的对称现象,如美丽的蝴蝶、建筑(如图1)……并让学生自己列举生活中对称的实例,从而揭示本节课的课题.[2](图1)二、数学建构(一)生成概念问题1作出函数f(x)=|x|和g(x)=错误！未找到引用源。
图象,回答下列问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征?(2)自变量为任意两个相反数时相应函数值是如何体现这些特征的?[3](图2)首先让学生分别计算x=±3,x=±2,x=±1,…时的函数值,通过特殊值让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性:f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况?借助课件演示(或参见图2),学生通过观察和运算发现两个函数具有上述不同特性,即两个函数各自对称性的实质是:自变量互为相反数时,函数值相等和互为相反数这两种关系.然后通过解析式给出简单证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.奇偶性的概念:如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.(二)理解概念问题2奇函数、偶函数的定义中有“任意”两字,这说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?(函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质,它不同于单调性)问题3-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?(函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件)(三)巩固概念问题4(1)对于任意一个奇函数f(x),图象上的点P(x,f(x))关于原点的对称点P'的坐标是什么?点P'是否也在函数f(x)的图象上?由此可得到怎样的结论?(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?(学生通过回答问题4可以把奇函数图象的性质总结出来,即函数f(x)是奇函数⇔图象关于原点对称;然后教师让学生自己研究一下偶函数图象的性质,即函数f(x)是偶函数⇔图象关于y轴对称.同时,教师用多媒体展示中心对称图形绕中心旋转及轴对称图形绕轴旋转的特性,形象直观.如此经过由形到数再由数到形的过程,可使学生加深对本小节内容的理解)三、数学运用【例1】(教材P42例6)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:(1)f(x)=x2-1;(2)f(x)=2x;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.(见学生用书课堂本P23) [处理建议]规范板书第(1)题,其余3小题由学生自己完成.要强调先求函数的定义域,再判断f(x)和f(-x)的关系,最后再根据函数奇偶性的定义得出结论.[规范板书]解(1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数.(2)函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=-2x=-f(x),所以函数f(x)=2x是奇函数.(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠-f(-1),f(1)≠f(-1).因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.[题后反思](1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断它是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.②如果函数的定义域关于原点对称,则进一步观察f(-x)与f(x)的关系.③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数;若f(-x),f(x)既不相等也不互为相反数,则f(x)既不奇函数,也不是偶函数.(2)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0;反之,f(x)=0的定义域关于原点对称时才能称f(x)=0既是奇函数又是偶函数.由于定义域可能有无数个(只要关于原点对称即可),所以,既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.变式判断函数y=错误！未找到引用源。
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3.2.2 奇偶性
【学习目标】
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法
2.了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系
3.会利用函数的奇偶性解决简单问题 【重点】函数的奇偶性的概念与判定 【难点】函数奇偶性的应用
【新知探究】 偶函数、奇函数的概念. 一 偶函数的概念
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f (x )=x 2的图象
观察函数2)(x x f =和x x f -=2)(的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？
思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
偶函数定义： . 1.判断下列函数是否是偶函数
2. 如何理解“I x I x I ∈-∈∀都有，定义域为,”？
总结：
二 奇函数的概念 画出函数x x f =)(和
1
(
)f x x
=的图象，思考并讨论以下问题： 1. 列表
2. 画图
观察两个函数的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？
思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 思考：奇函数的图象有什么特征？ 形： 数：
奇函数定义： .
形：
数：
【典型例题】
例1 判断下列函数的奇偶性
总结：定义法判断函数奇偶性的基本步骤：
跟踪训练： 判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
总结：根据奇偶性将函数分类 思考：
（1）判断函数3
()f x x x =+的奇偶性？
（2）已知函数3()f x x x =+图象的一部分，你能画出剩余部分吗？ （3）一般地，如果知道函数的奇偶性，那么我们可以怎样简化对它的研究？
跟踪训练：
1. 已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整。
2. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，求(3)f -的值.
【课堂小结】
(1)()(2)()(3)()0
(4)()
f x f x x
f x f x x ==
=1
(1)()(2)()(3)()0(4)()f x x f x x f x f x x ====4
5
2
(1)()(2)()1
1
(3)()(4)()f x x
f x x
f x x f x x
x
===+
=
【当堂演练】
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是（ ）
2.函数1
()f x x
=在区间
()0,1内（ ） A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数 ， 3.（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A. ()f x x =
B.2
()23f x x =-
C.()f x x =
D.2()f x x =
4.已知2
()f x ax bx =+是定义在[]
1,2a a -上的偶函数，则a = ，b = . 5.如图所示，已知偶函数()f x 的定义域为{}
0x x ≠，且
(3)0f =，则不等式()0f x <的解集为
若把偶函数改为奇函数，解集变为
【作业】
必做题 课本P86 习题3.2 T5 T11 T12 P100 复习参考题三 T9
选做题 判断下列函数的奇偶性
2(1)()()
(2)()(0,)
(3)()()
f x a a R a
f x x x a R x
f x x a x a a R =∈=+≠∈=+--∈。