2020秋高中数学第一章导数及其应用1.5.2定积分的概念学案含解析人教A版选修2_2.doc
高中数学第一章导数及其应用定积分的概念学案新人教A版选修
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程【学习目标】1. 了解曲边梯形面积的求法和变速运动行驶的路程的求法.2. 体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【重点难点】重点：以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 难点： “以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【学法指导】注意体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法 【学习过程】 一.课前预习预习教材1.5.1节思考下列问题: ①面积的分割求和, 以直代曲的原则 ②路程的分割求和, 以不变代变的原则 二．课堂学习与研讨1：探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 得到n 个曲边梯形, 每部份的宽都是____,2. 近似代替: 在第i 个部份取f(x i )作为这部份的"高", 从而分成了n 个小矩形,这样n 个小矩形的面积之和就近似地等于曲边梯形的面积S3. 求和: 第i 个小矩形的面积= 1)ni f(x , 则n 个小矩形的面积之和 S n =11()ni i f x n =∑, x i 取右端点时S n = 11()ni i f n n =∑ 。
4. 取极限: 我们可以想象, 随着n 的不断增大, 小矩形的面积之和与相应的曲边梯形的面积的误差会越来越小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是曲边梯形的面积S, 即 S=∞→n LimS n =11lim()ni n i f x n→∞=∑（二）. 汽车行驶的位移: 汽车以速度v 作匀速直线运动时, 经过时间t 所行驶的位移S=vt. 如果汽车作变速运动, 在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+2（t 的单位：h ，v 的单位：km/h ）， 那么在[a, b]这段时间内汽车行驶的位移怎样求呢? 为了直观, 我们求时间[0, 1]这段时间内的路程s （单位：km ）.1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 每个时间段的长度都是____2. 近似代替:在第i 个区间取v(x i )作为这段时间内汽车的平均速度, 则第i 个时间段行驶的路程 = __________3. 求和: 这n 段时间内汽车行驶的路程S n =________________4. 取极限: 当n 不断增大时, S n 与汽车实际行驶的路程S 的误差不断缩小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是汽车行驶的路程S, 即S=∞→n LimS n =11lim()nin i v x n →∞=∑课堂学习与研讨21. 用定义求曲边梯形: x=0, x=1, y=0, y=-x 2+1的面积. (提示: 12+22+32+…+n 2=)1n 2)(1n (n 61++, x i 取右端点ni)【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；（3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； （4）取极限： S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).【课后作业】1.求曲边梯形: x=0, x=2, y=0, y=x 2的面积的近似值, 其中平均分成10个小区间, x i 取区间的中点. 2.在区间内插入9个等分点后,每个小区间的长度等于 ,第4个小区间是 .3. 由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x 2+2x 围成的图形的面积为 .将区间n等分,每个区间长度为,区间右端点函数值y=+2·.作和i2+i=n(n+1)(2n+1)+,故所求面积S=.4. 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?(1)分割.在时间区间上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=,每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1,2,…,n),则显然有s=Δs i.(2)近似代替.取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δs i≈v·Δt=(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=(12+22+…+n2)+4=+4=81+1++4.(4)取极限.s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
(全国通用版)新2020-2020版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2
t 的速度为
v(
t
)
＝
t
2
＋
2(
单位：
km/h)
，那么它在
1≤ t ≤2( 单位： h) 这段时间
行驶的路程是多少？
考点 变速运动的路程问题
题点 变速运动的路程问题
解 将区间 [1,2] 等分成 n 个小区间，
i －1
i
第 i 个小区间为 1＋ n ， 1＋ n .
i －1 1
所以 Δ si ＝ v 1＋ n
B．只能是右端点的函数值 f ( xi ＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值 f ( ξi )( ξi ∈［xi ， xi ＋1])
D．以上答案均正确
考点 求曲边梯形的面积问题
题点 求曲边梯形的面积问题
答案 C
3．一物体沿直线运动， 其速度 v( t ) ＝ t ，这个物体在 t ＝0 到 t ＝ 1 这段时间内所走的路程为 ( )
n
n
4i 2 2 10
(3) 求和： sn＝ Δ si ＝
i＝1
i＝1
－ n2 · n＋ n
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11
1
＝－ 8· 3 1＋n 1＋ 2n ＋ 10.
(4) 取极限： s＝ lim sn n→∞
11
1
22
＝
lim
n→∞
－ 8· 3
1＋ n
1＋ 2n
＋10
＝
. 3
1．把区间 [1,3] n 等分，所得 n 个小区间的长度均为 (
i ＝1
A．( x1＋ 1) ＋ ( x5＋ 1) B．x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ 1
人教版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概
1．5 定积分的概念1．5．1 曲边梯形的面积 1．5．2 汽车行驶的路程 1．5．3 定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图151①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151②所示)．图① 图②图151③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． (2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .2．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n→∞∑n i ＝1 b －anξ.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考：⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a b f (x )d x 与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .3．定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：① ② ③图152①在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图152①所示，即⎠⎛a b f (x )d x＝S .②在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图152②所示，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S .③若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x ，如图152③所示，即⎠⎛ab＝SA －SB(S A ，S B 表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． [基础自测]1．思考辨析(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012xd x <⎠⎛022xd x ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确C [作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是[x i ，x i ＋1]上任一值f (ξi )．]3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为( )图153A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x －1)d x C.⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .]4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.【导学号：31062080】[解析] ∵⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛021d x＝13＋73＋2 ＝83＋2＝143. [答案]143[合 作 探 究·攻 重 难]图154[解] (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi(i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf(ξi)Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n3·16n (n －1)(2n －1)＋1n2·－2＝－－n2＋16n2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1. (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞， 此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1趋向于S .从而有 S ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.[规律方法] 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，12＋22＋32＋…＋n 2＝＋＋6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋22. [跟踪训练]1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积.【导学号：31062081】[解] ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(3)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ 83⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.(单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ， 在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 km.[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.[跟踪训练]2．一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g ＝9.8 m/s 2)【导学号：31062082】[解] 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑n i ＝1v ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n3n＝∑n i ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n －·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3gn [1＋2＋…＋－·3n ＝9g ＋9gn2·－2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.1．在定积分的几何意义中f (x )≥0，如果f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i ＞0，f (ξi )＜0，故f (ξi )·Δx i ＜0，从而定积分⎠⎛a b f (x )d x ＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a b f (x )d x . 2．⎠⎛024－x2d x 的几何意义是什么？ 提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x2d x ＝π.3．若f (x )为[－a ，a ]上的偶函数，则f (x )d x 与f (x )d x 存在什么关系？若f (x )为[－a ，a ]上的奇函数，则f (x )d x 等于多少？提示：若f (x )为偶函数，则f (x )d x ＝2f (x )d x ；若f (x )为奇函数，则f (x )d x＝0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ； (3)1－x2d x .[解] (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.① ② ③(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32. (3)1－x2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以1－x2d x ＝π2.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－x2d x .[解]⎠⎛011－x2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴⎠⎛011－x2d x ＝π4.2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－－d x .[解] ⎠⎛011－－d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，∴⎠⎛011－－d x ＝π4.3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x ＋1－x2)d x .[解] 由定积分的性质得，(x ＋1－x2)d x ＝ x d x ＋1－x2d x .∵y ＝x 是奇函数，∴x d x ＝0.由例3(3)知1－x2d x ＝π2.∴(x ＋1－x2)d x ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.3nD.12nB [区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.]2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关A [由定积分的定义可知A 正确．]3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：31062083】[解析] ∵0＜x ＜π2， ∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x .[答案] sin x d x4．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.[答案] 555．计算： (2－5sin x )d x . 【导学号：31062084】[解] 由定积分的几何意义得，2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2×2＝2π. 由定积分的几何意义得，sin x d x ＝0. 所以 (2－5sin x )d x＝2d x－5sin x d x＝2π.。
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念教案新人教A版选修2
1.5定积分的概念教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 第2课时 定积分的概念课件 新人教A版选修22
• 『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其 面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何 意义求解．
〔跟踪练习 2〕
用定积分的几何意义求值：3 (3x＋1)dx＝___1_6____． -1
[解析] 由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y＝3x＋1 所围
成的图形如图所示：
f(x)dx＋____c_______ (其中 a<c<b)．
a
a
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何 意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边 梯形EBCF的面积的和．
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时
，若选择x为积分B 变量，则积分区间为( )
C．πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D．π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
[解析] 应选 C．
由定积分的几何意义知πsinxdx>0，πcosxdx＝0，所以 C 不成立，故
0
0
3．下列值等于 1 的是( C )
A．1xdx 0
B．1(x＋1)dx 0
•
[解析由 定]
积(1分)如的图几 ，何 意
义
得
3
-3
9－x2dx＝π×2 32＝92π，
3
x3dx＝03
(
9－x2－x3)dx＝3
9－x2
-3
-3
dx－3
x3dx＝92π．
-3
(2)由定积分的几何意义得2xdx＝12×2×2＝2， 0
高中数学第一章导数及其应用1.5第2课时定积分的概念课
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念
第2课时 定积分的概念
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法． 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分 的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基 米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．那么定积分是怎 样定义的呢？又有哪些性质呢？
0
0
互动探究学案
命题方向1 ⇨定积分的定义
典例 1 求1x3dx． 0
[思路分析] 这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现按定义中包含的几 个步骤来求1x3dx．
0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1．
(2)近似代替：作和1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n．＝i＝n1 ni 3·1n．
2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_f_(x_)_≥_0___，那么定积分bf(x)dx 表示由
a
直___线__x_＝__a，___x_＝__b_(a_≠_b_)_，y＝0 和_曲__线___y_＝__f(_x_)_所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
kb
f(x)dx
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋2 12＝141＋2n＋n12，
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A 版选修221．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上□01连续，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式□02∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )． 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：□03⎠⎛ab fx d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝□04lim n →∞∑ni ＝1 b －a n f (ξi )．2．定积分的相关名称3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f (x )在区间[a ，b]上连续，f (x )≥0.(2)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义：由y ＝0，曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的□12面积． 4．定积分的基本性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝□13k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝□14⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x . (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝□15⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b)．用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t)d t .( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛ab 2xd x .( )答案 (1)√ (2)× (3)√探究1 利用定义计算定积分例1 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．[解] 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， 则S n ＝∑ni ＝1f (n ＋i －1n)·Δx ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －1n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0与曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1围成曲边梯形的面积．解 将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，等i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n，S n ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n＝1n 3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n )＋1＝1n3·n n ＋12n ＋16＋2n2·n n ＋12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n＋2，S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n ＋2＝73， 所以所求的曲边梯形的面积为73.拓展提升b f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛a直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．解 (1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而 ⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.图1 图2探究3 利用定积分的性质求定积分例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.拓展提升【跟踪训练3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y ＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有( )A．S1<S<S2B．S1≤S<S2C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2答案 A解析 由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n ，i n 上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·1n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝S 2，则S 1<S <S 2.答案 D3.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.答案 12解析 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，所以⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.4．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121xd x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x . 5．根据定积分的几何意义求定积分⎠⎛13(x －2)d x ，⎠⎛13|x －2|d x .解 根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x ＝3，x ＝1，y ＝0分别与函数y ＝x －2，y ＝|x －2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．∴⎠⎛13(x －2)d x ＝－12×1×1＋12×1×1＝0. ⎠⎛13|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.。
2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念学案含解析新人教A版选修2
1．5.3 定积分的概念[目标] 1.知道定积分的概念，会用定义求简单的定积分.2.会分析定积分的几何意义，记住定积分的性质.3.借助几何图形体会定积分的基本思想．[重点] 定积分的几何意义和性质．[难点] 定积分的概念．知识点一定积分的概念[填一填]如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点，ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作∫b a f(x)d x，即∫b a f(x)d x＝limn→∞i＝1nb－anf(ξi)．其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．[答一答]1．式子∫b a f(x)d x是不是关于f(x)的一个变量？提示：不是.⎠⎛b af(x)d x是一个常数．知识点二定积分的几何意义[填一填]如果在区间[a，b]上函数连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[答一答]2．当f(x)在区间[a，b]上f(x)<0时，⎠⎛b af(x)d x表示的含义是什么？提示：当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，∫b a f(x)d x表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y ＝0所围成的图形的面积的相反数．3. ∫b a f1(x)d x－∫b a f2(x)d x的几何意义是什么？提示：由定积分的几何意义和性质，可知∫b a f1(x)d x－∫b a f2(x)d x表示下图中阴影部分的面积．知识点三定积分的性质[填一填](1) ∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x(k为常数)；(2) ∫b a [f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x；(3) ∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x(其中a<c<b)．[答一答]4．定积分的性质(2)能推广到多个函数和或差的定积分运算吗？提示：能．推广公式为∫b a [f1(x)±f2(x)±…±f m(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x±…±∫b a f m(x)d x.5．定积分的性质(3)能推广到有限个区间上的积分和吗？6. ⎠⎛-112x 2d x ＝2⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛01x 2d x 对吗？提示：不对. ⎠⎛-112x 2d x ＝⎠⎛-102x 2d x ＋⎠⎛012x 2d x ＝2⎠⎛-10x 2d x ＋2⎠⎛01x2d x .1．定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了“由直到曲”“由有限到无限”的极限的思想方法．利用定积分的定义求定积分可以分为四步：分割、近似代替、求和、取极限． 2．定积分的几何意义：设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续且f (x )≥0，则定积分∫ba f (x )d x 表示由x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质是求确定积分的重要依据，可以把复杂的定积分问题转化为简单的定积分问题求解．类型一 利用定积分的定义求定积分【例1】 利用定积分的定义计算⎠⎛12 (1＋x )d x .【思路分析】 按照定积分的定义，结合求曲边梯形的面积方法进行求解．【解】 f (x )＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度Δx i ＝1n，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而有∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n2·n n－12＝2＋n－12n，∴⎠⎛2 1(x＋1)d x＝limn→∞∑i＝1nf(ξi)Δx i＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫2＋n－12n＝2＋12＝52.利用定积分的定义求定积分，积分值与区间的划分方法及点的取法无关，可以根据问题选择需要的划分及特殊的取点.一般我们采用均分，选取每个区间的左端点或右端点，将定积分化成和式的极限.利用定积分的定义，计算⎠⎛12 (3x＋2)d x的值．解：令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n＋i－1n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i－1n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12 (3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.类型二利用定积分的几何意义求定积分【例2】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)⎠⎛12d x；(2)⎠⎛1x d x；(3)⎠⎛-111－x2d x.【解】(1)⎠⎛12d x表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2) ⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x＝32. (3) ⎠⎛-111－x 2d x 表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.利用定积分所表示的几何意义求∫ba f x d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f x ，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.利用定积分的几何意义，求： (1) ⎠⎛-339－x 2d x ；(2) ⎠⎛03 (2x ＋1)d x .解：(1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示，其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)，其面积为S ＝12×(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛3 0(2x ＋1)d x ＝12.类型三 定积分的性质及应用【例3】 求解以下各题：(1)若⎠⎛01 [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01 [f (x )－g (x )]d x ＝－5，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.(2)若∫ba 2f (x )d x ＝5，则13∫b a [2－f (x )]d x ＝________.【思路分析】 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． 【解析】 (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2，故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵∫b a 2f (x )d x ＝2∫ba f (x )d x ＝5， ∴∫ba f (x )d x ＝52.于是13∫b a [2－f (x )]d x ＝13[]∫b a 2d x －∫ba fx d x＝13⎝⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.【答案】 (1)－1 (2)23b －23a －56利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值.(1)若∫ba f (x )d x ＝3，∫ba g (x )d x ＝2，则∫ba [f (x )＋g (x )]d x ＝5.解析：∫ba [f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛b af (x )d x ＋∫ba g (x )d x ＝3＋2＝5.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01 (x ＋1)d x ＋⎠⎛12 (－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义(如图)得 ⎠⎛01 (x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12 (－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52.因错误理解定积分的几何意义导致出错【例4】 求定积分⎠⎛02 (－4－x 2)d x .【错解】 由y ＝－4－x 2(0≤x ≤2)得x 2＋y 2＝4(0≤x ≤2，－2≤y ≤0)．如图所示．图形面积S ＝14πr 2＝14π×4＝π，∴⎠⎛02 (－4－x 2)d x ＝π.【错因分析】 y ＝－4－x 2≤0无法直接利用定积分的几何意义求解，而应采用转化法求．【正解】 曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(0≤x ≤2,0≤y ≤2)，如图，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧，⎠⎛024－x 2d x 表示被积函数y ＝4－x 2在积分区间[0,2]上的图象与x 轴围成的平面图形的面积S ＝14πr 2＝π，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，所以∫20(－4－x 2)d x ＝－∫204－x 2d x ＝－π.∫20 (4－x －22－x )d x ＝π－2.解析：∫204－x －22d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即∫24－x －22d x ＝14×π×22＝π.∫20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即∫20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝∫204－x －22d x －∫20x d x ＝π－2.1．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分∫ba f (x )d x 的符号( A ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．0<a <b 时是正的，a <b <0时是负的D ．以上结论都不对 2. ⎠⎛01d x ＝( B )A ．0B ．1 C.12 D ．2解析：利用定积分的几何意义求解，如图所示．⎠⎛01d x 即为阴影部分面积，所以⎠⎛01d x ＝1. 3. ⎠⎛-11|x |d x ＝1.解析：⎠⎛-11x |d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋∫10x d x ，如图所示阴影面积S ＝12×1×1×2＝1，所以⎠⎛-11|x |d x ＝1.5．利用定积分的几何意义求⎠⎛-224－x 2d x .解：如图，定积分⎠⎛-224－x 2d x 表示由直线x ＝－2，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝4－x 2所围成的图形的面积，计算可得面积为π×222＝2π，所以⎠⎛-224－x 2d x ＝2π.。
2020版高中数学第1章导数及其应用1_5_2定积分学案苏教版选修2_2
1.5.2 定积分学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质． 知识点一 定积分的概念思考 回顾求曲边梯形面积和变速直线运动路程的求法，找一下它们的共同点．一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx (Δx ＝b －an)，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n .作和______________________________________，如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记为：S ＝ʃba f (x )d x ，其中，f (x )称为__________，[a ，b ]称为__________，a 称为________，b 称为__________． 知识点二 定积分的几何意义思考 定积分和曲边梯形的面积有何关系？从几何角度看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有________，那么定积分ʃba f(x)d x 表示由____________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃba f(x)d x 的几何意义． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 1．ʃba kf (x )d x ＝(k 为常数)． 2．ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝.3．ʃba f (x )d x ＝(其中a <c <b )．类型一 定积分的概念例1 用定积分的定义计算ʃ30x 2d x . 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤： 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x . 类型二 定积分的几何意义例2 (1)如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为________(填写序号)． ①ʃba f (x )d x ；②ʃc a f (x )d x －ʃbc f (x )d x ； ③－ʃc a f (x )d x －ʃbc f (x )d x ； ④－ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x .(2)利用定积分的几何意义计算ʃ24－x －22d x .反思与感悟 (1)定积分的几何意义是在x 轴上半部，计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)(3)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则 ʃa－a f (x )d x ＝0.②若偶函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续， 则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ2－24－x 2d x ； (2)ʃ3－1(3x ＋1)d x ； (3)ʃ1－1(x 3＋3x )d x . 类型三 定积分的性质例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563， 求：(1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .1．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是________．(填序号) ①被积函数为y ＝2，a ＝6； ②被积函数为y ＝－2，a ＝6； ③被积函数为y ＝－2，a ＝－6； ④被积函数为y ＝2，a ＝－6.2．将曲线y ＝e x，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为________． 3．ʃ502(x －2)d x ＝________.4．计算：⎠⎜⎜⎛π232π(2－5sin x )d x .1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．提醒：完成作业 1.5.2答案精析问题导学 知识点一思考 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx 被积函数 积分区间 积分下限积分上限 知识点二思考 (1)当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(2)当函数f (x )≤0时，曲边梯形位于x 轴的下方，此时ʃba f (x )d x 等于曲边梯形面积S 的相反数，即ʃba f (x )d x ＝－S .(3)当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．f (x )≥0 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )知识点三思考 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2. 1．k ʃba f (x )d x2．ʃb a f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x 3．ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x 题型探究例1 解 令f (x )＝x 2. (1)分割在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i ＝3i n(i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n(i ＝1,2，…，n )．(2)以直代曲、作和令ξi ＝x i ＝3in(i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(3i n )2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)·(2n ＋1)＝92(1＋1n )(2＋1n )． (3)逼近n →＋∞时，92(1＋1n )(2＋1n)→9.根据定积分的定义ʃ30x 2d x ＝9. 跟踪训练1 解 (1)分割 将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n.(2)以直代曲、作和 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )， 于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n， 从而得∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n2·n n －12＝2＋n －12n. (3)逼近n →＋∞时，2＋n －12n →52.因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.例2 (1)④ (2)解 ʃ24－x －22d x 表示圆心为(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ24－x －22d x ＝14×π×22＝π.跟踪训练2 解 (1)在平面上y ＝4－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以2为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·22＝2π.由定积分的几何意义知ʃ2－24－x 2d x ＝2π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. (3)∵y ＝x 3＋3x 为奇函数， ∴ʃ1－1(x 3＋3x )d x ＝0. 例3 解 如图， 由定积分的几何意义得 ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 跟踪训练3 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ) ＝3×(14＋154)＝12.(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ) ＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154 ＝7－152＝－12.达标检测1．③ 2.ʃ20e xd x 3.54．解 由定积分的几何意义得⎠⎜⎜⎛π232π2d x ＝(3π2－π2)×2＝2π. 由定积分的几何意义得⎠⎜⎜⎛π232πsin x d x ＝0.所以⎠⎜⎜⎛π232π (2－5sin x )d x ＝⎠⎜⎜⎛π232π2d x －5⎠⎜⎜⎛π232πsin x d x ＝2π.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念学案 新人教A版选修22
1.5 定积分的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题．观察教材图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形．(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形．(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．2．归纳总结，核心必记(1)连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数．(2)曲边梯形的面积①曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．②求曲边梯形面积的方法与步骤：(ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；(ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；(ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；(ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．(3)求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .(4)定积分①定积分的概念如果函数f (x )在某个区间[a ，b ]上连续，用分点a=当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义．③定积分的基本性质(ⅰ)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；(ⅱ)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；(ⅲ)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．[问题思考](1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．(3)在“近似代替”中，如果取任意ξi ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S 有变化吗？提示：没有变化．(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．(5)⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf(x)d x 与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛a bf(u)d u.(6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)<0，⎠⎛a bf(x)d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b]上，函数f(x)<0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i >0，f(ξi )<0，故f(ξi )·Δx i <0，从而定积分⎠⎛a bf(x)d x<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f(x)d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a bf(x)d x.(7)⎠⎛024－x 2d x 的几何意义是什么？提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x 2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x 2d x ＝π.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)连续函数的定义是什么？； (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？；(3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？； (4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？．.讲一讲1．如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．(提示：12＋22＋32＋…＋n 2＝16n·(n＋1)(2n ＋1))[尝试解答](1)如图，分割，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n，3i n (i ＝1,2，…，n)的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫－n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－2n2＋2×－n＋3×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9＝－27n 3×16(n －1)n(2n －1)＋18n 2×n n －12＋9＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9. 所以S≈S n ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9.(4)取极限＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9 ＝9，即所求曲边梯形的面积为9.求曲边梯形面积的思想和步骤(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n 个小矩形的面积的和S n 来逼近曲边梯形的面积S.(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限．练一练1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解：因为y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2(x≥0)围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (3)取极限所以所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.所以2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.[思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？ 名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．讲一讲2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v(t)＝－t 2＋2t(单位：km /h )，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？[尝试解答] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n.所以s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n)2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n 2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，所以这段时间行驶的路程为23 km .求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．练一练2．已知作自由落体运动的物体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解：①分割．将时间区间[0，t]等分成n 个小区间，其中第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间内物体下落的距离，记作Δs i .②近似代替． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上取ξi ＝i －1n t ，则v(ξi)＝g·i －1n t ，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t·tn(i ＝1,2，…，n)． ③求和．∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1ng ·i －1n t·tn＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .④取极限．讲一讲3．求下列定积分的值： (1)⎠⎛12(x ＋1)d x ；(2)⎠⎛－3 39－x 2d x.[尝试解答] (1)法一：(定义法)f(x)＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n 个小区间1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，法二：(几何意义)⎠⎛12(x ＋1)d x 表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S ＝12(2＋3)×1＝52，故⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.(2)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－3 39－x 2d x ＝92π.(1)用定义求定积分⎠⎛ab f(x)d x 的一般方法是：①分割：将区间[a ，b]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛abf(x)d x≈∑i ＝1nf(ξi )Δx ；(2)利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．练一练3．求下列定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛－1 11－x 2d x. 解：(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x＝32. (3)⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.讲一讲4．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x.[尝试解答] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.(1)定积分性质的推广①⎠⎛a b[f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]d x ＝⎠⎛a bf 1(x)d x±⎠⎛a bf 2(x)d x±…±⎠⎛a bf n (x)d x ；(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )在[－a ，a ]上连续，②若偶函数y ＝g (x )在[－a ，a ]上连续，练一练4．已知⎠⎛a b[f(x)＋g(x)]d x ＝12，⎠⎛abg(x)d x ＝6，求⎠⎛abd x.解：∵⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a b g(x)d x ＝⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x ，∴⎠⎛a b f(x)d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f(x)d x ＝3⎠⎛ab f(x)d x ＝3×6＝18.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲3； (2)会用定积分的性质求定积分，见讲4. 3．在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数f(x)的符号，这是本节课的易错点．课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1 求曲边梯形的面积1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n .2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.3．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积． 解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －n＝1n.把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第i 个小曲边梯形的面积 ΔS i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2， 从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.题组2 求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：选B 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，求a 的值．解：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为a i －n，ai n(i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．∴a33＝9，解得a ＝3. 题组3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( )解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022xd x ＝4，但⎠⎛022xd x ≠⎠⎛02xd x ·⎠⎛022d x .7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x.8．S 1＝⎠⎛01x d x 与S 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ．S 21＝S 2C ．S 1>S 2D ．S 1<S 2解析：选C ⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以S 1>S 2.9．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.解析：由定积分的性质可知⎠⎛02(x 2＋1)d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋2＝13＋73＋2＝143. 答案：14310．用定积分的几何意义计算下列定积分：而S ＝52×52＝254，(2)令y ＝4－x 2＋2，则y ＝4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，[能力提升综合练]1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛a b g(x)d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f(x)＋g(x)]d x ＝( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b [2f(x)＋g(x)]d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a bg(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．若f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．3．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 解析：选A∵⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，∴⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.又y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0解析：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB·BC＝2 3.答案：2π3＋ 36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝|sin x|，y ＝0，x ＝2，x ＝5；解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．解：如图，。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 第2课时 定积分的
1.5 第二课时 定积分的定义一、课前准备 1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。
2.基础预探1.如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________. 2．当f (x )≥0时，定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由________所围成的曲边梯形的________.当f (x )≤0时，⎠⎛ab f (x )dx 是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝________(k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝________；(3)⎠⎛ab f (x )dx＝________(a <c <b )．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义． 2.定积分应注意问题(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x )的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a b f (u )du ＝⎠⎛ab f (t )dt ＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分⎠⎛a b f (x )dx 的定义中，总是假设a <b ，而当a ＝b 及a >b 时，不难验证，⎠⎛aa f (x )dx＝0，⎠⎛a b f (x )dx ＝－⎠⎛ba f (x )dx .(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积． 3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f (x )是区间[－a ，a ](a >0)上的连续函数，则 (1)当f (x )是偶函数时，⎠⎛-a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ;(2)当f (x )是奇函数时，⎠⎛-aa f (x )dx ＝0.三、典例导析题型一 利用定积分定义求值例1 利用定积分定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)dx 的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决． 解析：（1）令f (x )＝3x ＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )。
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念导学案新人教A版选修2_2
1.5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45-47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx=⎰，即1()lim ()nbi ax i b af x dx f nζ→∞=-=∑⎰. 2.定积分的相关名称3.定积分的几何意义（1）前提条件：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()0f x ≥.（2）定积分()baf x dx ⎰的几何意义：由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 4.定积分的基本性质（1）()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）(2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）【合作探究】 （利用定义求定积分） 问题1：（1）将111lim()122n n n n→∞+++++表示为定积分为111dx x +⎰.（2）利用积分定义求2badx ⎰的值.答案：2()b a -（利用定积分的几何意义求定积分） 问题2：（1）131(3)x x dx -+⎰=0 （2）31(31)x dx -+⎰= 16 （3）1-⎰=2π（定积分性质的应用） 问题3：（1）计算232)x dx -⎰的值；答案：2π（2）已知[)[)[],0,2()4,2,35,3,522x x f x x x xx ⎧⎪∈⎪=-∈⎨⎪⎪-∈⎩，求()f x 的区间[]0,5上的定积分.答案：92【深化提高】利用定积分的几何意义求2222()sin f x dx xdx ππ--+⎰⎰的值，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩. 答案：-6●当堂检测A 组（你一定行）： 1.定积分()baf x dx ⎰的大小 （ A ）A ．与()y f x =和积分区间[,]a b 有关，与i ζ的取法无关B. 与()y f x =有关，与积分区间[,]a b 和iζ的取法无关C. 与()y f x =和i ζ的取法有关，与积分区间[,]a b 无关D. 与()y f x =、积分区间[,]a b 、i ζ的取法均无关 2. 定积分31(3)dx -⎰等于 （ A ）A.-6B.6C.-3D.3 B 组（你坚信你能行）： 3.已知12013x d x=⎰，22173x dx =⎰，则22(1)x d x+=⎰143. 4. 求由曲线xy e =，直线2,1x y ==围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 []0,2 .C 组（我对你很有吸引力哟）： 5.计算322(25sin )x dx ππ-⎰的值.答案：2π【小结与反思】。
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修22
1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃbaf (x )d x ，即ʃb af (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52.思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃba f (x )d x <0，－ʃba f (x )d x 等于曲边梯形的面积． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )．1．ʃba f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ )2．ʃb a f (x )d x 的值一定是一个正数．( × )3．ʃb a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x ＝ʃb a x 3d x ＋ʃb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x .( √)类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n ＋i －1)n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n . 取ξi ＝x i ＝2＋i n，则f (ξi )＝2＋in＋2＝4＋i n.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n ·1n ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. (2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3， S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )A．0 B．16C．12 D．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A．ʃ10(－x)d x B．ʃ10|－x|d xC．ʃ0－1x d x D．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S＝ʃ10|－x|d x.5．计算ʃ3－3(9－x2－x3)d x.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1nC.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D解析 根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n.2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d xB ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d xD ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12，B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 定积分S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016，得ʃa－a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念教学设计 理 新人教A版选修2-2
一、先学后讲
（一）情景引入 一、定积分的实际背景
1. 曲边梯形的面积 2．变速直线运动的路程 二、定积分的概念
如果 0 时,上述极限存在（即，这个极限值与 [a,b] 的分割及点i
教师引导，由学 生自主表述，教 师点评
的取法均无关），则称此极限值为函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分，记
5
2． (2x 4)dxHale Waihona Puke 0 5. 2 x3dx 1
3． 0 x3dx 1
二、总结提升 本节课你主要学习了
教师引导，由学 生先做，教师根 据学生做题情 况进行点评
学生自主练习， 教师随堂指导， 分析和讲解．
由学生自主表 述，教师点评
补充内容：
教学后记：
1.5 定积分的概念
三维目标 １、知识与技能：结合实例了解积分运算的意义;理解定积分的概念及符号表示;
理解求积分与求导是一对互逆的运算
２、过程与方法：掌握微积分基本定理,并会求简单的积分;
３、情感、态度与价值观：通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想,体会
事物间相互转化、对立统一的辩证关系,培养辩证唯物主义观点,提高理性思维能
力.
授课题目
定积分的概念
拟 1 课时 第 1 课时
明确目标 掌握微积分基本定理,并会求简单的积分;
重点难点 重点：“以直代曲”“以不变代变”的思想方法，定积分的概念、几何意义
难点：“以直代曲”“以不变代变”的思想方法，定积分的概念．
课型
□讲授
□习题
□复习 □讨论
□其它
教学内容与教师活动设计
学生活动过程
为
b
n
a
f (x)dx lim 0
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1.5.2 定积分的概念自主预习·探新知情景引入研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法．从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．那么定积分是怎样定义的呢？又有哪些性质呢？新知导学 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝__∑i ＝1nb －anf (ξi )__(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的__定积分__，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝__lim n →∞∑i ＝1n[b －anf (ξi )]__. 这里，a 与b 分别叫做__积分下限__与__积分上限__，区间[a ，b ]叫做__积分区间__，函数f (x )叫做__被积函数__，x 叫做__积分变量__，f (x )d x 叫做__被积式__.2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有__f (x )≥0__，那么定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由__直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )__，y ＝0和__曲线y ＝f (x )__所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝__k ⎠⎛ab f (x )d x __(k 为常数)；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝__⎠⎛abf 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x __；③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋__⎠⎛cb f (x )d x __(其中a <c <b )．定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．预习自测1．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( B )A ．[0，e 2] B ．[0,2] C ．[1,2]D ．[0,1][解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e xy ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，所以积分区间为[0,2]，故应选B ． 2．下列式子中不成立的是( C ) A ．⎠⎛a 2π+a sin x d x ＝⎠⎛b2π+b cos x d xB ．⎠⎜⎛0 π2sin x d x ＝⎠⎜⎛0 π2cos x d xC ．⎠⎛0πsin x d x ⎠⎛0πcos x d xD ．⎠⎛0π|sin x |d x ⎠⎛0π|cos x |d x[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛0πsin x d x >0，⎠⎛0πcos x d x ＝0，所以C 不成立，故应选C ．3．下列值等于1的是( C ) A ．⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC ．⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112x 2d x [解析] 由积分的几何意义可知选C ．4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式： (1)⎠⎛01x d x __>__⎠⎛01x 2d x (图1)；(2)⎠⎛01x d x __<__⎠⎛12x d x (图2)； (3)⎠⎛024－x 2d x __<__⎠⎛022d x (图3)．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 定积分的定义典例1 求⎠⎛01x 3d x .[思路分析] 这里的被积函数f (x )＝x 3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求⎠⎛01x 3d x .[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n＝1.(2)近似代替：作和⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n .＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n . (因为x 3连续，所以ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi 取为[x i ，x i ＋1]的右端点)(3)取极限：∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2，∴⎠⎛01x 3d x ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2＝14. (此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122)因此⎠⎛01x 3d x ＝14.『规律总结』 用定义法求积分的步骤 (1)分割：将积分区间[a ，b ]n 等分．(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或者ξi ＝x i .(3)求和：∑i ＝1nb －anf (ξi )． (4)求极限：⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )． ┃┃跟踪练习1__■(1)定积分⎠⎛ba f (x )d x 的大小( A )A ．与f (x )和积分区间有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间及ξi 的取法无关C ．与f (x )及ξi 的取法有关，与区间无关D ．与f (x )、积分区间和ξi 的取法都有关 (2)利用定积分的定义计算：⎠⎛01x 2d x .[解析] (2)①分割，将区间[0,1]分成n 等份0<1n <2n <…<n －1n <nn＝1，分割后的小区间长为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.②近似代替，第i 个小曲边梯形的面积可近似为 ΔS i ≈ΔS ′i ＝f (i －1n )·Δx ＝(i －1n )2·1n，(i ＝1,2，…，n )．③求和，S n ≈∑i ＝1n ΔS ′i ＝∑i ＝1nf(i －1n )Δx ＝∑i ＝1n(i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n3·[12＋22＋…＋(n －1)2]＝16(1－1n )(2－1n )． ④取极限⎠⎛01x 2d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤161－1n 2－1n ＝13. 命题方向❷ 利用定积分的几何意义计算定积分典例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎜⎜⎛π252π(1＋sin x )d x ； (3)⎠⎛－224－x 2d x .[解析] (1)⎠⎛012d x 表示的是如图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)函数y ＝1＋sin x 的图象如图所示，⎠⎜⎜⎛π252π(1＋sin x )d x ＝2S 矩形ABCD ＝2π.(3)⎠⎛－22 4－x 2d x 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积，其值为2π，所以⎠⎛－224－x 2d x ＝2π.『规律总结』 利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．┃┃跟踪练习2__■ 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x . [解析] 如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积，从而⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x ＝0.命题方向❸ 利用定积分的性质求定积分典例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02 3x 3d x ；(2)⎠⎛14 6x 2d x ；(3)⎠⎛12 (3x 2－2x 3)d x .[解析] (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12 x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12 (3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.『规律总结』 定积分的性质在做题时经常用到，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便．另外，若函数f (x )的奇偶性已经明确，我们还有下面的结论，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则：(1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数 ，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .┃┃跟踪练习3__■已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1，所以⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.学科核心素养 利用定积分求平面图形的面积定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具，注意这些性质的正用和逆用及变形应用．主要考查定积分表示平面图形的面积．典例4 将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示．(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示．[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02x d x(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S ＝A1＋A 2，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成．∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x ，∴S ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .『规律总结』 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； (3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据定积分的性质写出结果． ┃┃跟踪练习4__■(1)由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是__⎠⎜⎛0π2cos x d x __.(2)利用定积分的几何意义求⎠⎛－39－x 2d x .[解析] (1)由定积分的定义和几何意义求解． (2)如图，定积分⎠⎛－39－x 2d x 表示由直线x ＝－3，x ＝0，y ＝0与曲线y ＝9－x 2所围成的图形的面积，计算可得面积为π×324＝94π，所以⎠⎛－39－x 2d x ＝94π.易混易错警示 错用定积分的几何意义致误典例5 由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为__⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎜⎛π23π2cos x d x ＋⎠⎜⎛3π22πcos x d x __. [错解] 根据曲边梯形的面积计算和定积分的几何意义，得所求面积为⎠⎛02πcos x d x .[辨析] 由于所围成的平面图形，有的在x 轴上方，有的在x 轴下方，其定积分值有的为正，有的为负，其中位于x 轴下方的面积应为积分值的相反数．[正解] 由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：[0，π2]，[π2，3π2]，[3π2，2π]，利用定积分的几何意义可得，所求面积为⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎜⎛π23π2cos x d x ＋⎠⎜⎛3π22πcos x d x . [点评] 当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，则由直线x ＝a ，x ＝b ，x 轴和曲线f (x )围成的图形的面积应为－⎠⎛ab f (x )d x .。