高中数学导数概念的引入

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是

000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆，

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即

0()f x '=000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的

斜率k ，即

000

()()

lim

()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-

3. 导函数

二．导数的计算

1. 基本初等函数的导数公式

2. 导数的运算法则

3. 复合函数求导

()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•

三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:

(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；

（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

1、已知函数2

()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则

y

x

∆∆等于（ ）A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．242x +∆ 2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（ ）

A ．4

B ．4.1

C ．0.41

D ．3

3、如果质点A 按规律32S t =运动，则在3t =秒的瞬时速度为（ ）

A ．6

B ．18

C ．54

D ．81

4、曲线1y x =-在点1

(,2)2

-处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． 5、已知函数2

()2f x ax =+，若(1)1f '-=，则a =__________．

6、计算：

（1）()57f x x =+，求(3)f '；（2）22()23f x x =-，求1

()2

f '-； （3）1

1

y x =

+，求0|x y =' 7、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系2105S t t =+，（S 的单位：

m ，t 的单位：s ），求：

（1）0120,.t t ∆==时的S t

∆∆； （2）求20t =的速度．

1

、函数y =

）

A ．315x

B ．3

25

x C ．1545x - D ．1545x --

2、曲线212y x =在点1

(1,)2

处切线的倾斜角为（ ）

A ．1

B ．4π-

C ．4

π

D ．54π

3、已知曲线2

22y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）

A ．(1,3)-

B ．(1,3)--

C ．(2,3)--

D ．(2,3)-

4、（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点(1,1)处的切线方程为____________________．

5、曲线3

y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．

6、求下列函数的导数：

（1）31

()log 3

x y x =+；（2

）(1y =-+

；（3）cos2sin cos x y x x =+．

7、已知2

()21f x x =-．

21

x

y x =-

（1）求()f x 在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 8、函数32

(2)y x =+的导数是（ ）

A ．52612x x +

B ．342x +

C ．33

2(2)x + D ．3

2(2)3x x +⋅

9、已知1

sin 2sin 2

y x x =

+，那么y '是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数 10、曲线12

x y e

=在点2

(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A ．

2

92

e B ．24e

C ．22e

D ．2e 11、已知2

()ln(1)f x x x =++，若()1f a '=，则实数a 的值为__________．

12、sin3y x =在(

,0)3

π

处的切线斜率为__________________．

13、求下列函数的导数：

（1

）()f x =（2）223

()x x f x e

-++=；（3）1ln

1x

y x

+=-，11x -<<． 14、已知x x x f 22sin 1cos )(+= ，求()4

f π

'．

1、（09广东文）函数的单调递增区间是（ ）

A ．

B ．(0,3)

C ．(1,4)

D ．

2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）

3、若函数3

2

()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≥

B ．1a =

C ．1a ≤

D ．01a <<

4、函数3

()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________． 5、求函数2

()2ln f x x x =-的单调区间． 6、（09北京理）设函数．

x

e x x

f )3()(-=)2,(-∞),2(+∞()(0)kx

f x xe k =≠A

B C D