导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背

景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确

一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】：

一） 导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：2

1()2

s t gt =

，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。

问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为

00

()()

s t s t v t t -=

-

若0t t →时平均速度的极限存在，则极限

00

()()

lim

t t s t s t v t t →-=-

为质点在时刻0t 的瞬时速度。

问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为

0000

()()

tan y y f x f x x x x x ϕ--=

=--（ϕ为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限

00

()()

tan lim

x x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）

为点M 处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

0()(lim

x x x f x f x x --→）

（1）

的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。 三） 导数的定义

定义 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限

0()(lim

x x x f x f x x --→）

存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 。即

000

()('()lim

x x f x f x f x x x →-=-）

（2）

也可记作o

x x y ='，

o x x dy dx =，()

o

x x df x dx =。若上述极限不存在，则称f 在点0x 处不可导。

f 在0x 处可导的等价定义：

设,0x x x ∆+=)()(00x f x x f y -∆+=∆，若0x x →则等价于0x ∆→，如果

函数f 在点0x 处可导，可等价表达成为以下几种形式：

000

()('()lim

x x f x f x f x x x →-=⇔-）00'()lim x y

f x x ∆→∆=∆ （3）

0000

()('()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-⇔=∆）

（4）

0000

()('()lim

f x f x f x →+-⇔=）

（5）

四）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求2

)(x x f =在点1=x 处的导数，并求曲线在点)1,1(处的切线方程。 解 由定义

2'

000(1)(1)(1)1

(1)lim lim lim x x x y f x f x f x x x

∆→∆→∆→∆+∆-+∆-===∆∆∆

2)2(lim 2lim 020=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x x

x x x x 于是曲线在)1,1(处的切线斜率为2，所以切线方程为)1(21-=-x y ，即12-=x y 。 例2 设函数()f x 为偶函数，(0)f '存在，证明：(0)0f '=。

证

()()f x f x =- ∴()()f x f x ∆=-∆

又'

0(0)(0)()(0)

(0)lim lim

x x f x f f x f f x x

∆→∆→+∆-∆-==∆∆

0()(0)[0()](0)lim

lim (0)x x f x f f x f f x x

∆→∆→-∆-+-∆-'==-=-∆-∆

(0)0f '∴=

注意：0000

()('()lim

f x f x f x →+-=）

这种形式的灵活应用。此题的

为x -∆。

例3 讨论函数1sin ,0

()0,0x x x f x x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩

在0x =处的连续性，可导性。