导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

【教学过程】：一） 导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。

问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为00()()s t s t v t t -=-若0t t →时平均速度的极限存在，则极限00()()limt t s t s t v t t →-=-为质点在时刻0t 的瞬时速度。

问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为0000()()tan y y f x f x x x x x ϕ--==--（ϕ为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限00()()tan limx x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）为点M 处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如0()(limx x x f x f x x --→）（1）的极限问题。

事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。

也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三） 导数的定义定义 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0()(limx x x f x f x x --→）存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 。

即000()('()limx x f x f x f x x x →-=-）（2）也可记作ox x y ='，o x x dy dx =，()ox x df x dx =。

若上述极限不存在，则称f 在点0x 处不可导。

f 在0x 处可导的等价定义：设,0x x x ∆+=)()(00x f x x f y -∆+=∆，若0x x →则等价于0x ∆→，如果函数f 在点0x 处可导，可等价表达成为以下几种形式：000()('()limx x f x f x f x x x →-=⇔-）00'()lim x yf x x ∆→∆=∆ （3）0000()('()limx f x x f x f x x∆→+∆-⇔=∆）（4）0000()('()limf x f x f x →+-⇔=）（5）四）利用导数定义求导数的几个例子例1 求2)(x x f =在点1=x 处的导数，并求曲线在点)1,1(处的切线方程。

解 由定义2'000(1)(1)(1)1(1)lim lim lim x x x y f x f x f x x x∆→∆→∆→∆+∆-+∆-===∆∆∆2)2(lim 2lim 020=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x xx x x x 于是曲线在)1,1(处的切线斜率为2，所以切线方程为)1(21-=-x y ，即12-=x y 。

例2 设函数()f x 为偶函数，(0)f '存在，证明：(0)0f '=。

证()()f x f x =- ∴()()f x f x ∆=-∆又'0(0)(0)()(0)(0)lim limx x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆0()(0)[0()](0)limlim (0)x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆-+-∆-'==-=-∆-∆(0)0f '∴=注意：0000()('()limf x f x f x →+-=）这种形式的灵活应用。

此题的为x -∆。

例3 讨论函数1sin ,0()0,0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，可导性。

解 首先讨论()f x 在0x =处的连续性：01lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== 即()f x 在0x =处连续。

再讨论()f x 在0x =处的可导性：001sin(0)(0)1limlim lim sinx x x x f x f x xx x∆→∆→∆→∆-+∆-∆==∆∆∆ 此极限不存在即()f x 在0x =处不可导。

问 怎样将此题的()f x 在0x ≠的表达式稍作修改，变为()f x 在0x =处可导？答 11sin ,0()0,0n x x x f x x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1,2,3n =，即可。

四）可导与连续的关系由上题可知；在一点处连续不一定可导。

反之，若设)(x f 在点0x 可导，则)(lim0'0x f x yx =∆∆→∆由极限与无穷小的关系得：)()(0'x o x x f y ∆+∆=∆，所以当x ∆0→，有y ∆0→。

即f 在点0x 连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五） 单侧导数的概念例4 证明函数||)(x x f =在0=x 处不可导。

证明1lim 0)0()(lim 00==--++→→x x x f x f x x ，1lim 0)0()(lim 00-=-=----→→xxx f x f x x 0()(0)limx f x f x →-∴-极限不存在。

故||)(x x f =在0=x 处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义 设函数)(x f y =在点0x 的某右邻域),(00δ+x x 上有定义，若右极限0000()(lim lim x x f x x f x yx x++∆→∆→+∆-∆=∆∆） （δ<∆<x 0） 存在，则称该极限为f 在点0x 的右导数，记作)('0x f +。

左导数 00'()lim x y f x x--∆→∆=∆。

左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)('0x f 存在⇔)('0x f +，)('0x f -都存在，且)('0x f +=)('0x f -。

例5 设⎩⎨⎧<≥-=0, 0,cos 1)(x x x x x f ，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。

解 由于0cos 1lim )()(lim )0(0000'=∆∆-=∆-∆+=++→∆→∆+x xx x f x x f f x x 1lim )()(lim )0(0000'=∆∆=∆-∆+=--→∆→∆-x x xx f x x f f x x 从而)0()0(''-+≠f f ，故)(x f 在0=x 处不可导。

六） 小结:本课时的主要内容要求：① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义； ② 注意0000()('()limf x f x f x →+-=）这种形式的灵活应用。

③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。