八年级下册数学特殊平行四边形培优试题

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初二数学培优卷―特殊的平行四边形(知识点+例题+练习)

B CE D AF A BCD E F G H ABCDE初二数学培优卷―特殊的平行四边形一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半—二、例题：例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长。

·例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形②求∠BAE 的度数三、训练题： 1、选择题（1）平行四边形的周长等于56cm ，两邻边长的比是31，那么这平行四边形的较长的边长为（）。

（A ）10.5cm （B ）21cm—（C ）42cm （D ）14cm（2）平行四边形两邻角的平分线交成的角为（）。

（A ）锐角（B ）直角（C ）钝角（D ）不确定（3）能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）。

（A ）一组对角相等（B ）两条对角线互相垂直（C ）两条对角线互相平分（D ）一对邻角的和为180° （4）下面性质中菱形有而矩形没有的是（） |（A ）邻角互补（B ）内角和为360（C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直（5）在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OF AB,若AC=2AD ，OF=9cm ，那么BD 的长为（）（A ）180cm （B ）9 3 cm （C ）36cm (D)18 3 cm （6）在菱形ABCD 中,D A=51,若菱形的周长为80cm,则菱形的高DE=( ) (A)20cm (B)10cm (C)10 3 cm (D)20 3 cm （7）？（8）菱形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，AM AB 交BD于M 点，且DAM=14 BAD 则四个内角的度数分别为（）。

部编数学八年级下册考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升(压轴篇八下册人教)2023复习含答案

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.4考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升（压轴篇，八下人教）一、单选题1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A．12cm，16cm B．6cm，8cmC．3cm，4cm D．24cm，32cm【答案】A【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，因为菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，且在Rt△ABO中，x2＋y2＝102，求得x、y即可解题．【详解】解：如下图所示，菱形的周长为40cm,则菱形的边长为10cm,菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，在Rt△ABO中，x2＋y2＝102解得x＝6cm，y＝8cm,故对角线长为12cm，16cm．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形各边长相等的性质，菱形对角线互相垂直平分的性质，本题中根据x、y的关系式求x、y的值是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（）A．6B．8C．245D．485【答案】C3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．6B．5C．6013D．6012在矩形ABCD中，AB=5,BC4．（2023春·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，则四边形EFGH的面积是（）A．34B．36C．40D．1005．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．6则BM的长即为DN+∵四边形ABCD是正方形，∴AC是线段BD的垂直平分线，6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形C．如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7．（2023春·八年级单元测试）如图，E、F、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD上的点，连接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠BEH=52°，则∠AGD的度数为（）A．26°B．38°C．52°D．64°【答案】D【分析】过点H作HM⊥AB，由正方形的性质BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，四边形BCHM为矩形，利用HL易证得△HEM≌△DFC，可得∠BEH=∠DFC=52°，进而可得∠ADF=∠DFC=52°，由角平分线可得的∠ADG度数，即可求得得∠AGD度数．【详解】解：过点H作HM⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC∵HM⊥AB，则四边形BCHM为矩形，∴MH=BC=DC，∵HE=DF，∴△HEM≌△DFC（HL），∴∠BEH=∠DFC=52°，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=52°，又∵DG平分∠ADF，8．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】D【分析】根据AB=BC=CD=AD=1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB=CD=AD=BC=1且四个角都是直角，即可判断乙是否正确．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，∴AQ=4−1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，∴P Q2=A Q2+A P2=25，∴PQ=5，同理MN=5，∴四边形PQMN是菱形，在△QMD和△PQA中，MQ=QPMD=QA，DQ=AP∴△QMD≌△PQA(SSS)，∴∠MQD=∠APQ，∵∠AQP+∠QPA=90°，∴∠AQP+∠MQD=90°，∴∠MQP=90°，则四边形PQMN必是正方形；∴甲正确；若四边形PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5，且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°，在△QMD和△PQA中，∠QMD=∠AQPMQ=PQ，∠MQD=∠QPA∴△QMD≌△PQA(ASA)，∴QD=AP=4，同理QD=AP=MC=BN=4，又∵BP=MD=AQ=3，∴QD−AD=PA−AB，∴AB=AD=1，同理AB=CD=AD=BC=1，即四边形ABCD为菱形，∵∠DAB=180°−∠QAP=90°，则四边形ABCD必是边长为1的正方形，∴乙正确，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．【答案】B【分析】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F 点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，先求出∠CEQ=45°，得出CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=4，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，∴DF=AD−AF=8−2=6，∵E为CD边的中点，∴CE=DE=2，∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∴GH=EH，∵∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，∵在△CQE中，∠QCE=90°，∴∠QEC=90°−45°=45°，∴∠EQC=∠CEQ，∴CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，∴6−x=2，解得：x=4，即BP=4时，四边形APQE的周长最小，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形APQE的周长最小时，点P的位置．10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①②③④∵EF ⊥AB ，EG⊥BC ，∴∠EFB =∠EGB =90°．∵∠ABC =90°，∴四边形EFBG 为矩形．∴FG =BE ，OB =OF =OE =OG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC =45°．在△ABE 和△ADE 中，AE ＝AE ∠BAC ＝∠DAC AB ＝AD，∴△ABE≅△ADE ．∴BE =DE ．∴DE =FG ．∴①正确；②延长DE ，交FG 于M ，交FB 于点H ，∵△ABE≅△ADE ，∴∠ABE =∠ADE ．由①知：OB =OF ，∴∠OFB =∠ABE ．∴∠OFB =∠ADE ．∵∠BAD =90°，∴∠ADE +∠AHD =90°．∴∠OFB +∠AHD =90°．即：∠FMH =90°，11．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（）A ．485B ．325C ．245D ．125【答案】C【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD 的面积为12，再根据S △AOD =S △AOE +S △DOE ，即可得到EO +EF 的值．12．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①四边形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，则∠EFH=27.5°；④EG=1(BC−AD)；其中正确的个数是（）2A．1个B．2个C．3个D．4个∴EF =FG =GH =HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是菱形，故①正确；∴EG ⊥FH ，故②正确；∵∠BAD +∠ADC =245°，∴∠ABC +∠DCB =115°，∵AB∥FG ，CD∥EF ，∴∠CFG =∠ABC ，∠EFB =∠DCB ，∴∠CFG +∠EFB =115°，∴∠EFG =180°−(∠CFG +∠EFB )=65°，∴∠EFH =12∠EFG =32.5°，故③错误；当AD∥BC ，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ，∴EN =12BC ，GN =12AD ，∴EG =12(BC−AD)，只有AD∥BC 时才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故④错误．综上所述，①②共2个正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB =CD 判定四边形EFGH 是菱形是解答本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH 的度数恰好为90°，PF =4，PH =3，则矩形ABCD 的边BC 的长为( )A．10B．11C．12D．1514．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是CD 上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，则折痕AE的长度为（）A．B．C．D．15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值是（）A B ．12C D ．2316．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，AB=AD∠BAF=∠D=90°，AF=DE∴△ABF≅△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∵∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≅△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ABF≅△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=5BD．连接AF,DE，当6BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（）A ．a =43bB ．a =65bC ．a =53bD ．a =∵△ACE 是等腰直角三角形，且∴EM =12AC =a 2，∵△BDF 是等腰三角形，且18．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④∵∠KGN=∠NHE=90°，∴△KGN≌△NHE(AAS)，∴NE=NK，∴MN=MF+NE，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH=GH，则CM的长为（）A．12B．34C．1D．54【答案】D【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．【详解】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的是（）．①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7．④四边形A n B n C n D n面积为a2−b2nA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】A【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断：①②根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形和矩形的判定与性质作出判断；③根据三角形的中位线定理和四边形周长公式作出判断；④找到每得到的四边形与原四边形面积关系规律，即可求得四边形A n B n C n D n的面积．【详解】解：①连接A1C1，B1D1，∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（三角形的中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；∴四边形A3B3C3D3是矩形；【点睛】本题是一道规律题，考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题．二、填空题21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD=BE；③BC=2AB；④S△AOE=S△COE．其中正确的有______（填序号）．∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．22．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2,∠BAD=60°，则EF的最小值为_______．∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=30°，∴AC⊥BD，∠CAB=12∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，23．（2023春·八年级单元测试）菱形ABCD的边长为2，∠DAB=30°，点P、Q分别是AC、AB上的动点，BP+PQ的最小值为______【答案】1【分析】连接AB，作DE⊥AB于E，利用SAS证明△ADP≌△ABP，得DP=BP，当点D、P、Q共线，BP+PQ 的最小值为DE的长，再求出DE的长即可．【详解】解：连接AB，作DE⊥AB于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，∠DAP=∠BAP，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP（SAS）∴DP=BP，则：BP+PQ=DP+PQ，24．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为___________时，△CE B′恰好为直角三角形．连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，∴AC=AB2+BC2=5∵∠B沿AE折叠，使点B落在点此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=4−3=1，综上所述：CE=1或52故答案为：1或5．25．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交AE于点G．(1)若AB=10，BF=4，线段AF的长度为___________．(2)连接AF，EF，若AF=AE，正方形ABCD与△CEF的面积之比___________．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=90°,∵AB=10，BF=4，∵四边形ABCD是正方形，∵AG=GF，AG⊥GF，∴∠EAF=45°，∵AE=AF，AB=AD，26．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范为3≤BF≤4；③EF=2DE；④当点H与点A重合时，EF=________．【答案】①②④【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8−x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③假设EF=2DE，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；则ME=(8−3)−3=2，27．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC=2，则FC的长为____．28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件__________．29．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ADC=90°，AC，∠BAD+∠BDC=180°，则B C2的值为__．点M是AC的中点，连接BM，若BM=12∵∠ADC=90°，AD=6，∴AC=62+82=10，∵点M是AC的中点，∴MD=MC=5，30．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要___个这样的菱形；（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是___m2．【答案】 4 (9n+3)【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；（2）由（1）可知若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积．【详解】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4和6．∴小菱形的对角线分别为2，3，∵菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，∴占地面积为4×6÷2×n−3×2÷2×(n−1)=39，∴n=4，∴则需要4个这样的菱形；（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2=12=9×1+3，当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2−2×3÷2=21=9×2+3，…依此类推若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是(9n+3)．故答案为：4；(9n+3)．【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的性质和菱形的面积公式是解题的关键．。

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷1(解析版)

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．4B．8C．10D．12【答案】B【解析】设这个多边形的边数是n，则有（n﹣2）×180°＝360°×3，解得n＝8．故答案为：B．2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．A．3B．7C．3或7D．2或3【答案】C【解析】①当直线c在直线a、b外时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5+2=7(cm)；②直线c在直线a、b之间时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5−2=3(cm)；综上，a与c间的距离为3cm或7cm，故答案为：C．3．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形D．是中心对称图形，也是轴对称图形【答案】D【解析】将图④展开铺平后的图形如图所示：该图形是中心对称图形，也是轴对称图形.故答案为：D.4．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC，OA=OC B．OB=OD，∠ABD=∠CDBC．AD∥BC，AB=CD D．AB∥CD，∠ABC=∠ADC【答案】C【解析】A项，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，又∵∠AOD=∠BOC，AO=CO，∴∠AOD∠∠COB，∴AD=BC，∴结合AD∥BC有四边形ABCD是平行四边形；B．∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD又∵∠AOB=∠DOC，BO=DO，∴∠AOB∠∠COD，∴AB=CD，∴结合AB∥CD有四边形ABCD是平行四边形；C．等腰梯形ABCD满足AD∥BC，AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形，故C项不能判定四边形ABCD是平行四边形；D．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，又∵∠ABC=∠ADC，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠CDB=∠ADB，∴AD∥BC，∴结合AB∥CD有四边形ABCD是平行四边形；故答案为：C．5．用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（）A．a，b，c没有一个为0B．a，b，c只有一个为0C．a，b，c至多一个为0D．a，b，c三个都为0【答案】A【解析】根据反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0；故答案为：A.6．如图，四边形ABCD中．AC∠BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵AC∠BC，∴∠ACB=90°，∵BC=6，AC=8．∴AB =√62+82=10， ∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD=10，连接BF 并延长交AD 于G ，∵AD ∥BC ，∴∠GAC=∠BCA ， ∵F 是AC 的中点， ∴AF=CF ，在∠AFG 和∠CFB 中，{∠AFG =∠CFB∠GAC =∠BCA AF =CF，∴∠AFG∠∠CFB （AAS ）， ∴BF=FG ，AG=BC=6， ∴DG=10-6=4， ∵E 是BD 的中点， ∴EF= 12DG=2．故答案为：A ．7．如图，在▱ABCD 中，BE∠CD ，BF∠AD ，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（）A ．3√2−1B ．3√2+1C ．3√2−2D ．3√2+2【答案】A【解析】由题意，如图：在▱ABCD 中，有AD =BC ，AD//BC ，∠A =∠C ， ∵BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，∠EBF =45∘， ∴∠BFD =∠BED =90∘，∴∠D =360∘−45∘−90∘−90∘=135∘，∴∠A =∠C =45∘，∴∠ABF 和∠BCE 是等腰直角三角形， ∴BE=CE=3，AF=BF ，∴BC =√BE 2+CE 2=√32+32=3√2， ∴AD =3√2，∴AF=BF=AD −DF =3√2−1，故答案为：A ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC 和∠BCD 的角平分线分别交AD 于点E 和F ，若BE ＝6，则CF ＝（）A ．6B ．8C ．10D ．13 【答案】B【解析】如图，设BE 与FC 的交点为H ，过点A 作AM∠FC ，交BE 与点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∠BC ，AB∠CD ， ∴∠ABC+∠DCB=180°，∵BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∴∠ABE ＝∠EBC ，∠BCF ＝∠DCF ， ∴∠CBE+∠BCF ＝90°， ∴∠BHC ＝90°， ∵AM∠CF ，∴∠AOE ＝∠BHC ＝90°， ∵AD∠BC ，∴∠AEB ＝∠EBC ＝∠ABE ， ∴AB ＝AE ＝5，又∵∠AOE ＝90°， ∴BO ＝OE ＝3，∴AO =√AE 2−EO 2=√52−32=4，在∠ABO 和∠MBO 中，{∠ABO =∠CBO BO =BO∠AOB =∠MOB =90°， ∴∠ABO∠∠MBO （ASA ）， ∴AO ＝OM ＝4， ∴AM ＝8，∵AD∠BC ，AM∠CF ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∴CF ＝AM ＝8. 故答案为：B.9．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论：①四边形BEFG 是平行四边形；②BE∠AC ；③EG=FG ；④EA 平分∠GEF 。

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．平分求出OA、OD，然后根据S△AOD【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S=S△AOP+S△DOP，△AOD∴××6×8=×5•P E+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC 是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．。

专题2.6特殊的平行四边形大题专练(分层培优30题,八下人教)

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.6特殊的平行四边形大题专练（分层培优30题，八下人教）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2023•肃州区校级开学）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长．2．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）求证：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．3．（2022春•沂南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．4．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．5．（2022•邢台模拟）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．6．（2022•浑南区二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC 于F．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．7．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．8．（2022秋•礼泉县期末）按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，连接CE、BG，求证：△ACE≌△AGB．9．（2022秋•毕节市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；（2）当∠ABC＝ °时，四边形ADCE为正方形．10．（2022秋•汉台区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若四边形BNDM的周长为52，MN＝10，求BD的长．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022秋•南安市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E、F分别在边CD、BC上，点E 从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B 运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连结EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B、F、G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出此时BG的长；若不存在，请说明理由．12．（2022秋•竞秀区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E，F分别在OB，OD上，AC＝4，BD＝6．（1）当BE＝DF＝1时，判断四边形AECF的形状并证明；（2）当四边形AECF为菱形时，求平行四边形ABCD的周长．13．（2023•惠阳区校级开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．①求菱形ABCD的面积．②求四边形ABED的周长．14．（2022秋•平昌县校级期末）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝6，则▱ABCD的面积为．16．（2022秋•渠县校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝ °时，四边形BFDE是正方形．17．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①直接写出：当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；②当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．18．（2022秋•通川区期末）已知如图，M为正方形ABCD边AB上一点，P为边AB延长线上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN；（2）求证：EM∥CN．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为．20．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；（2）求证：四边形ADCF为矩形．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．22．（2022秋•礼泉县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．23．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．24．（2023•深圳模拟）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．（1）下列条件：①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝2，CF＝1，求BE的长．25．（2022秋•安丘市校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，G是CD边上一点，连接BG交AC于E，过点A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF．（2）若H是BG的中点，BG平分∠DBC，求证：DG＝2OE．26．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．27．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．28．（2022秋•迎江区校级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F 分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系为．29．（2022秋•宜春期末）【问题解决】在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形ABCD内一点，BE＝2，EC＝4，DE＝6．你能求出∠BEC的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数；思路二：将△DEC绕点C顺时针旋转90°，得到△BE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数．（1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程．【类比探究】（2）如图2，若点E是正方形ABCD外一点，EB＝8，EC＝2，DE＝6，求∠BEC的度数．30．（2022秋•邗江区校级期末）综合与实践．（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系．。

人教版八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形培优训练(含答案)

人教版八年级数学18.2 特殊的平行四边形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A．对角线相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等2. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15︒或30︒B．30︒或45︒C．45︒或60︒D．30︒或60︒3. （2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是()A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC5. （2020台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②6. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD 是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形7. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．8. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（）A ．72B ．24C ．48D ．969. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（）A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形10. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共6道小题）11. 正方形有条对称轴．12. 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒，求BOE ∠=EODC BA13. 如图，已知E 、F分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别DCA B F EO与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．NMFEDCBA14. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF15. 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆的面积为GFEDCB A16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题（本大题共5道小题）17. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，连结AE ，AF.求证：AE=AF.18.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．BDCAEF19. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA20. 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA21. 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA人教版八年级数学 18.2 特殊的平行四边形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】利用三角形的中位线定理，可得中点四边形有如下结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．由此可知，该题选项C 符合题意．4. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．5. 【答案】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．6. 【答案】B【解析】由平行四边形的对角线互相平分，知A选项正确；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，知C选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知D选项正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，知B选项错误（因为B选项中是一组对边相等了），故选B．7. 【答案】添加的条件是BE=DF(答案不唯一)．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF．8. 【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．9. 【答案】D【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE和△OBE中，BO=DO，BE=DE，OE=OE，所以△ODE≌△OBE，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t△AOD中，∠BOD=45°，∴OA=AD，在R t△ABD中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA和△FOA中，∠BDA=∠FOA，OA=AD，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA≌△FOA，所以OF=BD，故②正确；如答图，过点F作FQ⊥OD于点Q，由角平分线的性质得AF=FQ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ是等腰直角三角形即DF=AF，故③正确；如答图，AG=OG=OF，所以OG=DE，由题意可得△OAG≌△DAE，所以∠OAG=∠DAE，AG=AE，又由∠OAG＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题（本大题共6道小题） 11. 【答案】412. 【答案】75︒.【解析】∵四边形ABCD 是矩形 ∴90DAB ABC OA OB ∠=∠=︒=，∵AE 平分BAD ∠，所以1452BEA BAD ∠=∠=︒ ∴BA BE = ∵1560CAE BAC ∠=︒∠=︒，所以ABO ∆为等边三角形 ∴60OB AB BE ABO ==∠=︒，，所以30OBE ∠=︒ ∴()1180752BOE OBE ∠=︒-∠=︒13. 【答案】100︒【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA14. 【答案】连接CE ，作过B 、E 点的AC 垂线，垂足分别为H ,G ,则四边形BEGH是矩形，1122GE BH AC AE ===，所以30GAE ∠=︒,所以15EAB ∠=︒．AB CDEFG H15.【解析】过E 作EH CD ⊥交CD 延长线于H ，CDE ADG DEH DAG EH AG S S ∆∆∆∆==≌，，GQD C ABF E O16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠B=∠D ，∵BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=CF ．18. 【答案】由题意可知，AD AF =，DE EF =． ∵8AB =，10BC =，AB BF ⊥∴6BF === ∴4CF =∵CE CF ⊥，DE EF = ∴222DE CE CF =+∴222(8)43CE CE CE -=+⇒=19. 【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒．∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒．四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．20. 【答案】首先证明：GDH GHD ∠=∠．因为DE BC DE BC =∥，，所以四边形BCED 为平行四边形， 14∠=∠，又BD FD =，所以1123452∠=∠=∠=⨯︒，134452∠=∠=⨯︒，BC GC CD ==．因此，DCG ∆为等腰三角形，故()11351804522CDG ︒∠=︒-︒=．又451359039022GHD ︒︒∠=︒-∠=︒-=，所以CDG GHD ∠=∠．从而GD GH =．21. 【答案】12【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC 又∵EM AF ⊥，CD AF ⊥，∴EM ∥CF ∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =12AM ==GMF E DC BA。

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷(解析版)

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C 、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故答案为：C ．2．已知平行四边形ABCD 中，∠A +∠C =240°，则∠B 的度数是（） A ．100° B ．60° C ．80° D ．160° 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A=∠C ，∠A+∠B ＝180°．又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°．故答案为：B3．多边形边数从n 增加到n +1，则其内角和（） A ．增加180° B ．增加360° C ．不变 D ．减少180° 【答案】A【解析】n 边形的内角和是（n -2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1-2）•180°．则（n+1-2）•180°-（n -2）•180°=180°．故它的内角和增加180°．故答案为：A ．4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB∠AC ．若AC ＝6，BD ＝10，则AB 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD ＝10，AC ＝6， ∴AO ＝OC ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝5，又∵AB∠AC ， ∴∠BAC ＝90°，∴AB ＝√BO 2−AO 2＝√52−32＝4，故答案为：B ． 5．用反证法证明，“在∠ABC 中，∠A 、∠B 对边是a 、b ，若∠A ＜∠B ，则a ＜b ．”第一步应假设（） A ．a ＞b B ．a ＝b C ．a≤b D ．a≥b【答案】D【解析】根据反证法步骤，第一步应假设a ＜b 不成立，即a≥b ．故答案为：D.6．如图，点E 、F 分别是∠ABCD 边AD 、BC 的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG=DH ．则下列结论中错误的是（）A ．GF =EHB ．四边形EGFH 是平行四边形C ．EG =FHD ．EH ⊥BD【答案】D【解析】连接EF 交BD 于点O ，在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∠EDH=∠FBG ， ∵E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，∴DE=BF=12BC ，∠EDO=∠FBO ，∠DOE=∠BOF ，∴∠EDO∠∠FBO ， ∴EO=FO ，DO=BO ， ∵BG=DH ， ∴OH=OG ，∴四边形EGFH 是平行四边形， ∴GF=EH ，EG=HF ，故答案为：A 、B 、C 不符合题意； ∵∠EHG 不一定等于90°，∴EH∠BD 错误，D 符合题意；故答案为：D ．7．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE 的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】D【解析】∵点P 是BD 的中点，点E 是AB 的中点， ∴PE 是∠ABD 的中位线， ∴PE=12AD ，PE∠AD ，∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，同理可得，PF=12BC ，PE∠BC ，∴∠FPD=∠CBD=30°， ∵AD=BC ， ∴PE=PF ，∴∠PFE=12×（180°-110°）=35°，故答案为：D ．8．如图， ▱EFGH 的四个顶点分别在 ▱ABCD 的四条边上， QF ∥AD ，分别交EH 、CD 于点P 、Q 过点P 作 MN ∥AB ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，若要求 ▱EFGH 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（）A ．四边形AFPMB ．四边形MPQDC ．四边形FBNPD ．四边形PNCQ【答案】C【解析】如图，连接PG ，FN ，∵∠EFGH ，∴S △FPG =12S ▱EFGH ，∵FQ ∥BC ，∴S △FPN =S △FPG ，又∵MN∠AB ，∴四边形FBNP 为平行四边形，∴S △FPN =S △FPG =12S ▱FBNP∴S ▱FBNP =S ▱EFGH ，∴要求∠EFGH 的面积，只需要知道四边形FBNP 的面积. 故答案为：C.9．如图，已知□OABC 的顶点A ，C 分别在直线 x =1 和 x =4 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】过点B 作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D ，过点B 作BE⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线x=1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线x=4与AB 交于点N ，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴⊥OAB=⊥BCO，OC⊥AB，OA=BC.∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，∴AM⊥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴⊥MAN=⊥NCM，∴⊥OAF=⊥BCD.∵⊥OFA=⊥BDC=90°，∴⊥FOA=⊥DBC.在⊥OAF和⊥BCD中，⊥FOA=⊥DBC，OA=BC，⊥OAF=⊥BCD，∴⊥OAF⊥⊥BCD，∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=√OE2+BE2.由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.故答案为：C.10．如图，∠ ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S ∠ ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝32S∠AOD，其中成立的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴OA=OC，OB=OD，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠AEB=60°，∵AB=12BC，∴BE=12BC，∴CE=BE=AE，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴∠OAB=90°，∠OAD=30°，∴在Rt△AOB中，OB>OA，OB>AB，则结论③不成立；∴OD >OA ，∴∠ADO ≠∠OAD ，即∠ADO ≠30°，结论①不成立； ∵∠OAB =90°，即AB ⊥AC ，∴S ▱ABCD =AB ⋅AC ，则结论②成立；设平行四边形ABCD 的面积为8a(a >0)，则S △AOD =S △COD =S △BOC =14S ▱ABCD =2a ，∵BE =CE ，∴S △BOE =S △COE =12S △BOC =a ，∴S 四边形OECD =S △COE +S △COD =3a =32S △AOD ，结论④成立；综上，成立的个数为2个，故答案为：B ．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．一个多边形的内角和与外角和的和为2160∠，则这个多边形的边数为 . 【答案】12【解析】设这个多边形的边数是n ，（n -2）•180°+360°=2160°，解得n=12. 故答案为：12.12．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx -6m 的图象将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为．【答案】−35或−6【解析】∵直线y=mx -6m 经过定点B （6，0），A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），∴CD∠AB ，CD=8-2=6= AB ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∴S∠ADC= S∠ADC=12S 平行四边形ABCD ，又∵直线y=mx -6m 把平行四边形ABCD 的面积分成1：3的两部分．∴直线y=mx -6m 经过AD 的中点M （1，3）或经过CD 的中点N （5，6）， ∴m -6m=3或5m -6m=6，∴m=-35或-6，故答案为：-35或-6．13．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，ED ，EF 分别交AC ，AB 于点D ，F ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1D 1，E 1F 1分别交EF ，BF 于点D 1，F 1，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2……照此规律作下去，则S n = ．【答案】√322n+1【解析】∵∠ABC 是边长为1的等边三角形，∴∠ABC 的高为：√12−(12)2=√32，∴S △ABC =12×1×√32=√34，∵DE 、EF 分别是∠ABC 的中位线，∴AF =12AC =12，∴S 1=12S △ABC =√38，同理可得S 2=√38×14；…，∴S n =√38×(14)n−1=√322n+1；故答案为：√322n+1．14．如图， ΔABC 和 ΔDEC 关于点C 成中心对称，若 AC =1 ， AB =2 ， ∠BAC =90° ，则 AE 的长是 .【答案】2√2【解析】∵∠DEC 与∠ABC 关于点C 成中心对称， ∴DC=AC=1，DE=AB=2，∴在Rt∠EDA 中，AE 的长是：AE =√AD 2+DE 2=√(DC +AC)2+DE 2=√(1+1)2+22=2√2 . 故答案为： 2√2 . 15．已知：如图，线段AB ＝6cm ，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边在AB 作等边△APC 、等边△BPD ，连接CD ，点M 是CD 的中点，当点P 从点A 运动到点B 时，点M 经过的路径的长是 cm ．【答案】3【解析】如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∠AB分别交AH于G，BH于N，∵∠APC、∠BPD都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，∴AH∠PD，BH∠CP，∴四边形CPDH是平行四边形，∴CD与HP互相平分，∴M是PH的中点，故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为∠HAB的中位线，即线段GN，∴GN=12AB=3cm，故答案为：3．16．如图，把含45∘，30∘角的两块直角三角板放置在同一平面内，若AB//CD，AB=CD=√6则以A，B，C，D为顶点的四边形的面积是.【答案】3+2√3【解析】延长CO，交AB于点E，由题意可知：∠BAO=45°，∠CDO=30°∵AB//CD，AB=CD=√6∴四边形ABCD为平行四边形∵OC∠CD∴CE∠AB∴S∠AOB＋S∠COD= 12AB·OE＋12CD·OC= 12AB·（OE＋OC）= 12AB·CE= 12S平行四边形ABCD∴S平行四边形ABCD=2（S∠AOB＋S∠COD）在Rt∠AOB中，AO2＋BO2=AB2=6，AO=BO解得：AO=BO= √3在Rt∠COD中，∠CDO=30°，OC2＋CD2=OD2∴OD=2OC，OC2＋6=（2OC）2解得：OC= √2，∴S∠AOB= 12AO·BO= 32，S∠COD=12CD·OC= √3∴S平行四边形ABCD=2（S∠AOB＋S∠COD）=2×（32＋√3）= 3+2√3故答案为：3+2√3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，连接BF、DE．求证：BF=DE，BF∥DE．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴BF=DE，∠DEA=∠BFC.∴∠DEC=∠BFA.∴BF∥DE.18．如图，在∠ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∠BC，∵∠DCE＝20°，AB∠CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∠BC，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是∠EFG的中位线，∴BC∠FG ，BC ＝12FG ，∵H 为FG 的中点， ∴FH ＝12FG ，∴BC∠FH ，BC ＝FH ， ∴AD∠FH ，AD ＝FH ，∴四边形AFHD 是平行四边形．19．如图，∠ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，过点C 作CF∠AB 交DE 的延长线于点F ，连接BE ．（1）求证：四边形BCFD 是平行四边形．（2）当AB ＝BC 时，若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．【答案】（1）证明：∵点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点， ∴DE∠BC ． ∵ CF∠AB ，∴四边形 BCFD 是平行四边形；（2）解：∵AB ＝BC ，E 为 AC 的中点， ∴BE∠AC ．∵AB ＝2DB ＝4， BE ＝3， ∴AE =√42−32=√7 ∴AC =2AE =2√720．如图，在 5×5 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A ，B 两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的项点上）（1）在图1中画四边形 ABCD ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图2中画以A ，B ，M ，N 为顶点的平行四边形，且面积为5；（3）在图3中画以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3. 【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD 即为所求作.（2）解：如图2中，四边形ABMN即为所求作. （3）解：如图3中，四边形ABEF即为所求作. 21．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥BF，AB=8，BF=6，AC=16．求线段EF长．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）解：在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√82+62=10，∵AC=16，∴CF=AC−AF=16−10=6，∵AE=CF，∴AE=6，∴EF=AF−AE=10−6=4．22．如图，已知：在∠ABCD中，AE∠BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.（1）求证：G 为CD 的中点.（2）若CF ＝2.5，AE ＝4，求BE 的长.【答案】（1）证明：∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ，在∠ECG 与∠DCF 中，∵∠2＝∠1， ∠C ＝∠C ， CE ＝CD ，∴∠ECG∠∠DCF （AAS ），∴CG=CF= 12CE. 又CE=CD ， ∴CG=12CD ，即G 为CD 的中点；（2）解：∵CE=CD ，点F 为CE 的中点，CF=2.5，∴DC=CE=2CF=5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，∵AE∠BC ，∴∠AEB=90°，在Rt∠ABE 中，由勾股定理得：BE=√52−42=3.23．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB =AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：求证：（1）∠ABE 是等边三角形；（2）∠ABC ∠∠EAD ；（3）S △ABE =S △CEF ．【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形∴AD∠BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴∠ABE 是等边三角形；（2）证明：∵∠ABE 是等边三角形∴∠ABE=∠EAD=60∠，∵AB=AE ，BC=AD ，∴∠ABC∠∠EAD(SAS)（3）证明：∵∠FCD 与∠ABC 等底(AB=CD)等高(AB 与CD 间的距离相等)，∴S∠FCD=S∠ABC ，又∵∠AEC与∠DEC同底等高，∴S∠AEC=S∠DEC，∴S∠ABE=S∠CEF24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；（3）如图3，在∠ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－√3，设D是∠ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.【答案】（1）证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＋∠C＝270°，∠D＝30°，∴∠B＝360°－（∠A＋∠C＋∠D）＝360°－（270°＋30°）＝60°，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是“准筝形”；（2）解：以CD为边作等边∠CDE，连接BE，过点E作EF∠BC于F，如图2所示：则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝BD，∴∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC，即∠ADC＝∠BDE，在∠ADC和∠BDE中，{AD＝BD∠ADC＝∠BDEDC＝DE，∴∠ADC∠∠BDE（SAS），∴AC＝BE，∵∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ECF＝180°－60°－60°＝60°，∵∠EFC ＝90°，∴∠CEF ＝30°，∴CF ＝12CE ＝32 ，由勾股定理得：EF ＝√CE 2−CF 2＝√32−(32)2＝3√32 ， BF ＝BC ＋CF ＝4＋32＝112，在Rt∠BEF 中，由勾股定理得：BE ＝√BF 2＋EF 2＝√(112)2＋(3√32)2＝√37 ， ∴AC ＝√37 ；（3）解：四边形ABCD 的面积为3√32或9＋3√32 或 92＋3√3. 【解析】（3）过点C 作CH∠AB ，交AB 延长线于H ，如图3所示：设BH ＝x ，∵∠ABC ＝120°，CH 是∠ABC 的高线，∴∠BCH ＝30°，∴HC ＝√3x ，BC ＝2BH ＝2x ，又∵∠A ＝45°，∴∠HAC 是等腰直角三角形，∴HA ＝HC ，∵AB ＝3－√3 ，∴√3x ＝3－√3＋x ，解得：x ＝√3，∴HC ＝√3x ＝3，BC ＝2√3 ，∴AC ＝ √2 HC ＝3 √2 ，当AB ＝AD ＝3－ √3 ，∠BAD ＝60°时，连接BD ，过点C 作CG∠BD ，交BD 延长线于点G ，过点A 作AK∠BD ，如图4所示：则BD ＝3－√3 ，∠ABD ＝60°，BK ＝12AB ＝12（3－√3 ）， ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBG ＝60°＝∠CBH ，在∠CBG 和∠CBH 中， {∠CGB ＝∠CHB ＝90°∠CBG ＝∠CBH BC ＝BC，∴∠CBG∠∠CBH （AAS ），∴GC ＝HC ＝3，在Rt∠ABK 中，由勾股定理得：AK ＝√AB 2−BK 2 ＝√(3−√3)2−[12(3−√3)]2 ＝ 3√3−32， ∴S ∠ABD ＝ 12 BD•AK ＝ 12×（3－√3 ）×3√3−32 ＝6√3−92， S ∠CBD ＝ 12 BD•CG ＝ 12×（3－√3 ）×3＝9−3√32， ∴S 四边形ABCD ＝ 6√3−92 ＋ 9−3√32 ＝ 3√32； ②当BC ＝CD ＝2√3 ，∠BCD ＝60°时，连接BD ，作CG∠BD 于点G ，AK∠BD 于K ，如图5所示：则BD ＝2√3 ，CG ＝√32 BC ＝√32×2√3 ＝3，AK ＝3√3−32 ， ∴S ∠BCD ＝12 BD•CG ＝12×2√3×3＝3√3， S ∠ABD ＝12BD•AK ＝12×2√3×3√3−32＝9−3√32， ∴S 四边形ABCD ＝3√3＋9−3√32＝9＋3√32 ； ③当AD ＝CD ＝AC ＝3√2，∠ADC ＝60°时，作DM∠AC 于M ，如图6所示：则DM ＝√32AD ＝√32×3√2 ＝3√62 ， ∴S ∠ABC ＝12AB•CH ＝12×（3－√3）×3＝9−3√32， S ∠ADC ＝ 12 AC•DM ＝12×3√2×3√62＝9√32， ∴S 四边形ABCD ＝9−3√32＋ 9√32＝92＋3√3. 综上所述，四边形ABCD 的面积为3√32或9＋3√32 或 92＋3√3.。

部编数学八年级下册考前必做30题之平行四边形小题培优提升(压轴篇,八下册人教)2023复习备考含答案

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.3考前必做30题之平行四边形小题培优提升（压轴篇，八下人教）本套试题主要针对期中期末考试的选择填空压轴题，所选题目典型性和代表性强，均为中等偏上和较难的题目，具有一定的综合性，适合学生的培优拔高训练.试题共30题，选择20道，每题3分，填空10道，每题4分，总分100分.涉及的考点主要有以下方面：1.平行四边形的性质：平行四边形的边与角的计算、平行四边形的对角线问题平行四边形的判定：平行四边形的判定方法的认识、判断能否构成平行四边2.形、添加条件成为平行四边形、已知三点构成平行四边形、平行四边形的性质与判定综合3.三角形的中位线：三角形中位线有关线段计算、三角形的中位线与面积一、单选题1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠1=∠2，添加下列一个条件，不能判断四边形ABCD成为平行四边形的是（）A．∠D=∠B B．AB∥CD C．AD=BC D．AB=DC2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE//AB交AD于点E．若OA=2，ΔAOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（）A．16B．32C．36D．403．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是()A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE4．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，P为▱ABCD内一点，且△PAB和△PAD的面积分别为5和2，则△PAC的面积为()A．3B．4C．5D．65．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB=6，AD=8，则EF的长度为（）A．4B．5C．6D．76．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠A=90°,AB=12,AD=5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．2.3C．4D．77．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB 的平分线，BN⊥AE，CM⊥AD，若BC=8，则MN的长为（）A．1B．2C．3D．8．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①DP=PQ=QB；②AP=CQ③CQ=2MQ；④S△ADP=1S▱ABCD．其中正确的结论的个数是()4A．4个B．3个C．2个D．1个9．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，E为平行四边形ABCD内一点，且EA=EB=EC，若∠D=50°，则∠AEC的度数是()A．90°B．95°C．100°D．110°10．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延BC．连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN的长为（）长BC至点D，使CD=12A．1B．2C．3D．411．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC 的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG13．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB=2AD=10，点H为CD的中点，HE=6，则AC的长为（）A．9B C．10D．14．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADCAB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BC；②DB平分∠CDE；③交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12AO=DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2；使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2,B2,C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（）次操作．A．2B．3C．4D．516．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°,BC=4,CD=M 是AD边的中点，点N是AB边上的一个动点．将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值为（）A．5B．7C．D．17．（2023春·八年级单元测试）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F，G分别为边BC，AD，CE，BE的中点，且S△ABC=8cm2，则S阴影=（）A．2cm2B．1cm2C．0.5cm2D．0.25cm218．（2023春·八年级课时练习）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将，则B′F的值为（）四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=52DA．3B．C．−1219．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形ABCD中.AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.520．（2022春·江西赣州·八年级校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，BC=∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接B E1交C D1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接B E2交C D1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BC E1、△BC E2、△BC E3、…、△BC E2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A B C D．4671二、填空题21．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，▱ABCD，∠C 的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE=3cm，EB=5cm，则▱ABCD的周长为______ ．22．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）在▱ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，交AD于点E，F，若AD=6，EF=2，则AB的长为______．23．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=18cm，点P在AD边上以每秒3cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动了_____秒．24．（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，△A1B1C1中，A1B1=4，A1C1=5，B1C1=7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是________．25．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC 相交于点E、F，若AB=5，BC=6，OF=2，那么四边形ABFE的周长是______．26．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=8，E是AD上一点，DE=2，F是BC上一动点，P、Q分别是EF、AE的中点，则PE+PQ的最小值为_____．27．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，点A，B，C的坐标分别是0，2，2，2，0，−1，在平面直角坐标系内有一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是________．28．（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC边长分别为AB=14,BC=16,AC=26．P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是__________．29．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，P为边AD上的一动点，则PC的最小值等于______．30．（2022·全国·八年级专题练习）如图,△APB中，AB=4，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______________．。

八年级下期数学培优思维训练(平行四边形)

八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，S △ABC =4cm 2，求阴影部分的面积.2.下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）A. B.C.D.3.如图，在□ABCD 中，过对角线BD 上一点P ，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH 和四边形CFPG 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的大小关系为（） A.S 1>S 2B. S 1=S 2C.S 1<S 2D.不能确定4.如图，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，14S S 与23S S 的大小关系为（）A.1423S S S S >B.1423S S S S <C.1423S S S S =D.不能确定5.在□ABCD 中，点A 1，A 2，A 3，A 4和C 1，C 2，C 3，C 4分别AB 和CD 的五等分点，点B 1，B 2，和D 1，D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为1，则□ABCD 面积为（）A.2B.3/5C.5/3D.156.如图，在△ABC 中，AB=AC ．M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN 、EM ．若AB=13cm ，BC=10cm ，DE=5cm ，则图中阴影部分的面积是_____________.7.如图，四边形ABCD是一块某地示意图，EFG是流经这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由．8.已知等边△ABC的边长为a，P为△ABC内任意一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC. 则，PD+PE+PF的值是一个定值吗？如果是，求出这个定值.9.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点. 求证：四边形EGFH是平行四边形.10.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR.求证：四边形PAQR是平行四边形.11.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G. （1）探索AG与GD的数量关系，并证明你的结论.（2）求△DFG与四边形AEFG的面积比.12.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=BD，M、N分别是AB、CD 的中点，MN分别交BD、AC于E、F. 求证：△OEF是等腰三角形.13．如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．（1）求证：FG=12（AB+BC+AC）.（2）如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线，探索线段FG与△ABC三边的数量关系？并证明你的结论.（3）如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．探索线段FG 与△ABC三边的数量关系？并证明你的结论.（四）思维训练：1.如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第二个正三角形△A 2B 2C 2，算出第2个正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出第3个正△A 3B 3C 3的面积，依此方法作下去，由此可得第n 次作出的正△A n B n C n 的面积是 _________ ．2.如图，四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、B 2、C 2、D 2，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，依此类推，得到四边形A n B n C n D n ，则四边形A n B n C n D n 的面积为 ______ ．3.如图所示，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，求CF 的长．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交直线MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．5.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．6.如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN 分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7.如图：AD是△ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点．（1）求证：ME=DN；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN的面积．8.如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN∥BD，则△AND的面积△ABM的面积有什么关系？说明理由．9.如图1，图2，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD=CE．（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，求证：CD=AE．（2）把图1中的△ACE绕A点顺时针旋转60°到△ABF的位置（如图2），连接DF、EF．①找出图中所有的等边三角形（△ABC除外），并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE的形状，并说明理由．10.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△AB C”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．11．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）如图1，若点P在BC边上，∥此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）12.平行四边形ABCD中，AB=2 cm，BC=12 cm，∠B=45°，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2 cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1 cm，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；（2）设四边形ABPQ的面积为y cm2，用含t的代数式表示y的值；（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是□ABCD面积的四分之三？13.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．14.已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC 交线段AE于F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系；（2）如图2，若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；15.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24 cm，BC=30cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2 cm/s 的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？16.如图a、b，在□ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分线AF，BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F，G，AF与BG相交于点E．（1）在图a中，求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）在图b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．请解答下面问题：①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长；②是否能给□ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由．17.小刘遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小刘是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置（如图2），可以解决这个问题．请你参考小刘同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于_________．（2）如果AC=a，EF=b，则AH的长等于_________．18.如图1，已知在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点，且PE∥AC，PF∥AB．（1）试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图2，将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由.．。

完整版八年级下册数学特殊平行四边形培优试题

八年级〔下〕特殊平行四边形培优一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：13．〔2005?湖州〕如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于 AB，AC于点E，F．假设=6，那么△ABC的边长为〔〕A．B．C．D．14．〔2002?无锡〕：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，那么线段MN的取值范围是〔〕第1页〔共27页〕A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕20216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，H BC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．57．〔2021?重模〕如，正方形 ABCD中，点E是角BD上一点，点 F是BC上一点，点G是CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，接AE并延交CD于G，接AF、EF、FG．出以下五个：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个第2页〔共27页〕8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．2S1=3S29．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．4011．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和 4cm2，那么四边形P EOF的面积为〔〕第3页〔共27页〕A．1cm2B．2C．2cm2D．213．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．第4页〔共27页〕17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= ．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为．21．〔2021?天水〕正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，那么点A3的坐标为．第5页〔共27页〕22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=．23．〔2021?南区二模〕如，正方形 ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF= ．24．〔2021?德州〕如，在正方形ABCD中，2的等三角形AEF的点E、F 分在BC和CD上，以下：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是〔把你正确的都填上〕．25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．第6页〔共27页〕26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面 5cm2，四形PFCG的面cm2．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A、A⋯A12分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．29．〔2021?州模〕如，在平面直角坐系中，正方形ABCD点A的坐〔0，2〕，B点在x上，角AC，BD交于点M，OM= ，点C的坐．第7页〔共27页〕参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣〔∠A+∠D〕=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABC+∠BCD〕= 〔360°﹣α〕=180°﹣α，那么∠P=180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕=180°﹣〔180°﹣α〕= α．应选：C．2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH〔ASA〕，∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．应选B．第8页〔共27页〕3．〔2005?湖州〕如，在等△ABC中，M、N分是AB，AC的中点，D MN上任意一点，BD，CD的延分交于AB，AC于点E，F．假设=6，△ABC的〔〕A．B．C．D．1【解答】解：点A作直PQ∥BC，延BD交PQ于点P；延CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D 在△ABC的中位上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，AE=ACCE，AF=ABBF，在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，= ⋯①同理：△CBF∽△QAF，= ⋯②①+②，得：+ = ．∴+ =3，又∵=6，AC=AB，∴△ABC的= ．故C．4．〔2002?无〕：四形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分是AD，BC的中点，段MN的取范是〔〕第9页〔共27页〕A．1＜MN ＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：接BD，M作MG∥AB，接NG．∵M是AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三关系可知NGMG＜MN＜MG+NG，即1＜MN＜+ 1，∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=，四形ABCD是梯形，故段MN的取范是＜MN≤．故D．5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕2021【解答】方法一：第10页〔共27页〕解：如所示：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D11122=〔〕1，E =CDsin30°=，BC同理可得：B3C3==〔〕2，故正方形AnBnCnDn的是：〔〕n﹣1．正方形A2021202120212021的是：〔2021．故：D．B D〕方法二：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，∴D1E1=B2E2=，C∥BC∥BC⋯∴∠EBC=60°，∴BC=，同理：∵B1 1223322222B3C3=×=⋯∴a1=1，q=，∴正方形B2021D2021的=1×．A202120216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，HBC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，HBC中点，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，正确；②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，正确；③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，；④作AM⊥BD，AM=CE，△AMD≌△CEB，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HGB，∴=2，即△ABG的面等于△BGH的面的2倍，根据不能推出△ AMG的面等于△ABG的面的一半，第11页〔共27页〕即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴F=∠HAC，∴CF=BD，正确．正确的有三个．应选B．7．〔2021?重庆模拟〕如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点 F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出以下五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①∵BE=2DE∴=∴∵AB=CD∴DG=CD∴DG=CG故本选项正确②设BF=1，那么CF=2，AB=AD=3，DG=CG=过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，可得四边形MNCD是矩形，△AME∽△ADG，且相似比为AD=3，∴AM=2，DM=1，NC=1，那么BN=BC﹣NC=2，FN=BN﹣BF=1，∵MD∥BN，∴△MDE∽NBE，且相似比，∴ME=1，EN=2，在Rt△EFN中，EF= = ，在Rt△AME中，AE= = ，在Rt△ABF中，AF= ，∴AE2+EF2=AF2，∴∠AEF=90°，∵AG= =∴EG=，第12页〔共27页〕∴tan∠AGF==2，又tan∠FGC=，∴∠FGC≠∠AGF，故本选项错误③∵×=∴S△ABF=SFCG故本选项正确④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，由②可知AF=，∵BE=2ED，∴BH=2HC，EH=CD=2，又∵CF=2BF，∴H为FC的中点，FH=1，∴在Rt△HEF中：∵EF===AF=∴AF=EF故本选项正确．⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，∵，∴Rt△ABF∽Rt△AOE，∴∠AFB=∠AEB．故本选项正确．应选B．8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S，1四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=3S2 【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，∵四边形 IJFH是正方形，四边形BEFG是矩形，第13页〔共27页〕∴∠AJI=∠CFH=AEF=∠CGF=90°，∴△AIJ、△AEF、△CFH、△CFG都是等腰直角三角形，设JF=x，那么S1=x2，根据等腰直角三角形的性质， EF= AF= ×2x=x，FG= FC= x，所以S2=EF?FG= x? x=x2，所以S1=S2．应选B．9．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．【解答】解：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故= ①；同理可得△BFP∽△DAB，故= ②．①+②得= ，∴PE+PF=．应选B．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．40【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．应选C．11．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕第14页〔共27页〕A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．∵四边形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，NP=EP，∴AN=PF在△ANP与△FPE中，∵，∴△ANP≌△FPE〔SAS〕，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP〔故①④正确〕；△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM∴∠PMF=∠ANP=90°∴AP⊥EF，〔故②正确〕；P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，〔故③⑤错误〕；故正确的选项是：①②④．应选：B．12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和4cm2，那么四边形PEOF的面积为〔〕A．1cm2B．2C．2cm2D．2【解答】解：矩形ABCD，∴△APD的面积+△BPC的面积=矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积=4×3﹣×4×3=6cm2〕，∴△AEP的面积+△BFP的面积=〔△APD的面积+△BPC的面积〕﹣△ADE和BCF的面积之和=6﹣4=2〔cm2〕，矩形ABCD，∴△AOB的面积= ×4×〔3×〕=3〔cm2〕，第15页〔共27页〕2∴四边形PEOF的面积=△AOB的面积﹣〔△AEP的面积+△BFP的面积〕=3﹣2=1〔cm〕．13．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．【解答】解：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，那么AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为 a2，∴四边形AENF的面积为；应选A二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为 3 ．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB== 6，第16页〔共27页〕∴EF的最大值为3．故答案为3．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD=BE=6，那么DF=3，AF==3，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=AF= ×3= ．故答案为：．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是①②④．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是AD的中点，AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，第17页〔共27页〕F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF〔ASA〕，∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，那么∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠A EF，故此选项正确．故答案为：①②④．17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC〔ASA〕，∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF= BG= 〔AB﹣AG〕= 〔AB﹣AC〕= ．故答案为：．第18页〔共27页〕18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= 7 ．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于F，连接DE，∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，∴OF=OE= ×= ，在Rt△OEF中，EF= = = ，∵OD=，∴DF=OD+OF=+ = ，在Rt△DEF中，DE= = = ，∵AD、BE为△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×=7．故答案为：7．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．第19页〔共27页〕【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=，∵DE为△ABC的中位线，∴DE= BC=4，∴EF=DE﹣，故答案为：．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为〔〕．【解答】解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点∵四边形OBCD是菱形，顶点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，B〔2，0〕，∠DOB=60°，∴点D的坐标为〔1，〕，∴点C的坐标为〔3，〕，∴可得直线OC的解析式为：y= x，∵点E的坐标为〔0，﹣1〕，∴可得直线ED的解析式为：y=〔1+〕x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为〔〕，故答案为：〔〕．21．〔2021?天水〕正方形OABC、AABC、AABC，按如图放置，其中点A 、A、12223312在x轴的正半轴上，点B、B、B在直线y=﹣x+2上，那么点A的坐标为〔，0〕．123第20页〔共27页〕【解答】解：正方形OA1B1C1的t，B1〔t，t〕，所以t=t+2，解得t=1，得到B1〔1，1〕；正方形A1222的2，得到2A B C a，B〔1+a，a〕，a=〔1+a〕+2，解得a=B 〔〕；正方形A2A3B3C3的b，B3〔+b，b〕，b=〔+b〕+2，解得b=，得到B3〔，〕，所以A3〔，0〕．故答案〔，0〕．22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=128．【解答】解：根据意可得：第 n个正方形的是第〔n 1〕个的倍；故面是第〔n1〕个的2倍，第一个面1；那么第8个正方形面S8=27=128．故答案128．23．〔2021?南区二模〕如，正方形ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF=2．【解答】解：作EG⊥AB于G，根据角平分的性可得，EG=OE=1，又BD平分∠ABC，∠ABE=45°第21页〔共27页〕∴△EBG是等腰直角三角形，可得BE=，那么OB=1+，可得BC=2+又∠AFB=90°﹣∠FAB，∠FEB=∠OEA=90°﹣∠FAC，∴∠AFB=∠FEB∴BF=BE=那么CF=BC﹣BF=2+ ﹣=2．24．〔2021?德州〕如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，以下结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④〔把你认为正确的都填上〕．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕，∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+〔a﹣〕2=4，解得a=，那么a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．第22页〔共27页〕25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有①②〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．【解答】解：①由菱形的性可得△ABD、BDC是等三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG〔30°角所直角等于斜一半〕BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得BG≠FD，因BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③；A BD =AB?DE=AB?〔BE〕=AB?AB=AB2，即④不正确．④S上可得①②正确，共2个．故答案①②．26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．【解答】解：P点作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∽△CDA，∴，∵AC=BD==5，∴⋯①，同理：△PFD∽△BAD，∴，∴⋯②，∴①+②得：，∴PE+PF=，即点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是：．第23页〔共27页〕故答案：．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形 ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面5cm2，四形PFCG 的面8cm2．【解答】解：接AP，CP，△AHP在AH上的高x，△AEP在AE上的高y．△CFP在CF上的高 4 x，△CGP在CG上的高 6 y．AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5cm22x+3y=10S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×〔4 x〕×+CG×〔6 y〕×=2〔4 x〕×+3〔6 y〕×=〔26 2x 3y〕×=〔26 10〕×=8cm2．故答案8．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A1、A2⋯An分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．第24页〔共27页〕【解答】解：由题意可得阴影局部面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×4，n个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×〔n﹣1〕= cm2．故答案为：．29．〔2021?郑州模拟〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为〔0，2〕，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM= ，那么点C的坐标为〔6，4〕．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠ABC=90°，AM=CM，∴∠OAB=∠EBC，OF=EF，MF是梯形AOEC的中位线，∴MF=〔AO+EC〕，∵MF⊥OE，∴MO=ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC〔AAS〕，∴OB=CE，AO=BE．∴MF=〔BE+OB〕，又∵OF=FE，∴△MOE是直角三角形，第25页〔共27页〕∵MO=ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE= =6，∴A〔0，2〕，OA=2，BE=2，OB=CE=4．C〔6，4〕．故答案为：〔6，4〕．30．〔2021?荣成市模拟〕如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，假设CE= CB，CF= CD，那么图中阴影局部的面积是．【解答】解：延长GE到M，使GE=EM，连接CG、CM、BM，过C作CN⊥DE于N，∵E为BC中点，BE=EC=，在△BEG和△CEM中第26页〔共27页〕∴△BEG≌△CEM〔SAS〕，∴S△BEG=S△CEM，∵E、F分别为BC、CD中点，∴DG：EG=2：1，∴GM=DG=2EG，∴S△MGC=S△DGC，∴S△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，∵S△DEC= ×1×= ，∴S△DMC= ，∴阴影局部的面积S=S正方形ABCD﹣S△DMC=1×1﹣= ，故答案为：．第27页〔共27页〕。

【3套试卷】人教版数学八年级下册第18章平行四边形培优单元卷

人教版数学八年级下册第18章平行四边形培优单元卷一．选择题（共10小题）1．下列命题正确的是（）A．平行四边形的对角线一定相等B．三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线三线合一C．三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半D．三角形的两边之和小于第三边2．已知?ABCD的周长是22,△ABC的周长是17，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．83．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．OA=OC,OB=OD B．OA=OC,AB∥CDC．AB=CD,OA=OC D．∠ADB=∠CBD,∠BAD=∠BCD4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α=30°,若AC=8,BD=6，则平行四边形ABCD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③平行四边形；④菱形；⑤矩形；⑥正方形．一定能拼成的图形是( )A．①②⑤B．①③⑤C．③⑤⑥D．①③④6．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（）A．48 B．24 C．14 D．127．在直角坐标系中，正方形ABCD一条对角线的端点坐标分别为(2,3),(0,-1),则另一条对角线的端点坐标为（）A．(3,0),(-1,2) B．(1,1),(-1,2)C．(1,1),(3,0) D．(2,0),(0,2)8．如图，矩形ABCD的周长是28，点O是线段AC的中点，点P是AD的中点,△AOD的周长与△COD的周长差是2（且AD>CD),则△AOP的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．189．下列说法中正确的是（）A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，在?ABCD中，E为AD边上一点，且AE=AB，若∠BED=160°,则∠D的度数为．12．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的一点，且AB=AE，若AE平分∠DAB,∠EAC=27°,则∠ACD= ．13．如图，在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，若AE=4,AF=6,AD+CD=20，则平行四边形ABCD的面积为．14．如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E 和点F，且使BE=DF．若AC=4,BE=1，则四边形AECF的周长为．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3),动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2019秒时，点P的坐标为．16．如图，矩形ABCD的周长为36,点O为对角线BD的中点，点E是线段BA延长线上的一点，且满足AE=5,3AB连接OA,OE,若∠AOD=120°,则线段OE的长为．三．解答题（共7小题）17．已知：如图，平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F．求证：OE=OF．18．如图，分别延长?ABCD的边AB、CD至点E、点F，连接CE、AF，其中∠E=∠F．求证：四边形AECF为平行四边形．19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形．(2)求四边形ABCD的面积．20．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC,交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=6,BC=8，请直接写出EF的长为．21．已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：△ABE≌△CDF;（2）若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形，求BE的长．22．如图，点A,B,C,D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF,∠A=∠D,AE=DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．（2）若AD=10,EC=3,∠EBD=60°,当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．23．如图1，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB．图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；(2)如图2，点P为▱ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交▱ABCD的四边于点E、F、G、H．已知S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，求S△PAC；(3)如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，求菱形EFGH的周长．答案：1-5 CBCDB6-10 BAABD11. 40°12. 87°13.4814.415.16.717. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF．18. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC∴∠ADF=∠CBE，且∠E=∠F，AD=BC∴△ADF≌△CBE（AAS）∴AF=CE，DF=BE∴AB+BE=CD+DF∴AE=CF，且AF=CE∴四边形AECF是平行四边形19. (1)证明：∵∠DBC=90°，BE=3，BC=4，∴又∵AE=AC－CE，且AC=10∴AE=10－5=5∴AE=EC，又∵DE=EB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)解：S平行四边形ABCD=BC·BD=4×6=24．20. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠ACB=∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO=CO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，且AO=CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（2）∵四边形AECF是菱形∴AE=EC，AO=CO，EO=FO∵AB2+BE2=AE2，∴36+（8-CE）2=CE2，∴CE=∵AB=6，BC=8，∴AC==10∴AO=CO=5∵EO==∴EF=2EO=21. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵四边形AECF是菱形，∴EA=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠EAC=90°，∠B+∠ECA=90°，∴∠B=∠EAB，∴EA=EB，∴BE=CE=5．22. （1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠EBA=∠FCD，∵∠A=∠D，AE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=CF，AB=CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：∵四边形BFCE是菱形，∠EBD=60°，∴△CBE是等边三角形，∴BC=EC=3，∵AD=10，AB=DC，∴AB=（10-3）=．23.解：(1)∵▱ABCD中，EF∥BC，HG∥AB，∴S△ABD=S△BCD，S△PBE=S△PBG，S△PDH=S△PDF，∴S▱AEPH=S▱PGCF，S▱ABGH=S▱EBCF，S▱AEFD=S▱HGCD，故答案为：▱AEPH和▱PGCF或▱ABGH和▱EBCF或▱AEFD和▱HGCD；(2)易得S△ABC=S△ADC，S△PAE=S△PAG，S△PCH=S△PCF，∵S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，∴S△PAC=S△PAG+S△PCF+S▱PFDG－S△ACD=S△PAG+S△PCF+S▱PFDG－S▱ABCD=S△PAG+S△PCF+S▱PFDG－(2S△PAG+2S△PCF+S▱BHPE+S▱PFDG)=S▱PFDG－(S▱BHPE+S▱PFDG)=1；(3)∵①②③④四个平行四边形面积的和为14，∴S△ABE+S△BCF+S△CDG+S△ADH=7，∵四边形ABCD的面积为11，∴S菱形EFGH=11+7=18，∵菱形EFGH的一个内角为30°，∴设菱形EFGH的边长为x，则高为x，∴x•x=18，解得x=6，∴菱形EFGH的周长为24．人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元测试题（含答案）一、选择题。

人教版八年级数学下册 18.1 平行四边形培优训练(含答案)

人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°3. 如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm4. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍5. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．156. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF7.已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形8.（2020·临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则（）A.122SS S +>B.122SS S +<C.212SS S += D.21S S +的大小与P 点位置有关二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．10.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.11. 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB的长度为cm ．OD CBA12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________．13. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于．O EDCB A14. 如图，在ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．15. 如图，在▱ABCD中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．ABC16. 如图，一个平行四边形被分成面积为1S 、2S 、3S 、4S 四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时．① 14S S 与23S S 的大小关系为．② 已知点C 与点A 、B 不重合时，图中共有个平行四边形，S 4S 3S 2S 1(3)DCBA三、解答题（本大题共4道小题） 17. （2020·重庆B 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，交对角线BD 于点E ，F ．（1）若∠BCF =60°，求∠ABC 的度数；（2）求证：BE =DF ．18. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA19. （2020·泰安）（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ﹦∠EAD﹦90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判断四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ﹦CD ．求证：①EB ﹦DC ，②∠EBG ﹦∠BFC ．GFABCDEABCDE20. 如图，AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.3. 【答案】B【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.4. 【答案】B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，A B=2，AD=4，∴EH=12AD=2，HG=1122CD=AB=1，∴EH≠HG，故选项A 错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．5. 【答案】C6. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．7. 【答案】B8. 【答案】C【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.二、填空题（本大题共8道小题） 9. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．10. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 是平行四边形.11. 【答案】19【解析】如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==．12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE ＝12AD ，OE ＝12CD ．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋CD ＝8．∴平行四边形ABCD 的周长＝16．故答案为16．14. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ，∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ，∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°；故答案为：21°．15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.16. 【答案】①1423S S S S =；②9三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .18. 【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．QDPCBA19. 【答案】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵△EAD 为等腰三角形且∠EAD ﹦90°， ∴∠E ﹦45°．∵B 是DE 的中点， ∴AB ⊥DE ． ∴∠BAE ﹦45°．∵△ABC 为等腰三角形且∠BAC ﹦90°， ∴∠CBA ﹦45°． ∴∠BAE ﹦∠CBA ． ∴BC ∥EA ．又∵AB ⊥DE ，∴∠EBA ﹦∠BAC ﹦90°． ∴BE ∥AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴AE ﹦AD ，AB ﹦AC ． ∵∠EAD ﹦∠BAC ﹦90°，∴∠EAD ＋∠DAB ﹦∠BAC ＋∠DAB ．即∠EAB ﹦∠DAC ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴EB ﹦DC ．②延长FG 至点H ，使GH ﹦FG ． ∵G 是EC 中点，∴EG ﹦CG ．又∠EGH ﹦∠FGC ， ∴△EHG ≌△CFG ，∴∠BFC ﹦∠H ，CF ﹦EH ．又∵CF ﹦CD ， ∴BE ﹦CF ． ∴BE ﹦EH ．∴∠EBG ﹦∠H ． ∴∠EBG ﹦∠BFC ．AB CDEEDCBA FGH20. 【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足．显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =．已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅，则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+ ()AO AN NQ =+ AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．图（1）图（2）。

八下数学《平行四边形》培优试卷-(A4含答案)

《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每小题3分,满分27分)1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD,PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_________．2．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可)3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．（1)四边形ADEF是_________;（2)当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF为菱形；（3）当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF不存在．1题2题3题4题5．已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等；它们是_________．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+,∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为_________．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD,交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为_________度．9．如图,矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为_________．6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每小题3分,满分27分）10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（)A．60°B．65°C．70°D．75°10题11题12题13题11．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上,则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）A．2B．C．3D．13．如图,平行四边形ABCD中，BC=2AB,CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）A．54°B．60°C．66°D．72°14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（)A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示，则长方形ABCD的面积为(）A．98 B．196 C．280 D．28415题16题16．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m,∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为(）A．12m B．20m C．22m D．24m17．在凸四边形ABCD中,AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（）A．A D＞BC B．A D＜BCC．A D=BC D．A D与BC的大小关系不能确定18．已知四边形ABCD,从下列条件中:（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3)AB=CD;(4)BC=AD;（5)∠A=∠C；(6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形"这一结论的情况有（）A．4种B．9种C．13种D．15种三、解答题（共10小题,满分66分)19．如图,在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD 交于G,求证：GF∥AC．20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证：BC⊥BD,且BC=BD．21．如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数．22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；(2）点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．23．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°,点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M 为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．24．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1)求证：EO=FO；(2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°,BC=2，D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．26．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°,现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB(如图②）解答问题：(1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_________S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画_________个，利用图③把它画出来．（3）如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_________个，利用图④把它画出来．（4)在（3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．如图，在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC，N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．28．如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC 的中点为Q，连接PQ、DE．（1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．参考答案与试题解析一、填空题(共9小题，每小题4分,满分36分)1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12,AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=．考点：矩形的性质;等腰三角形的性质。

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形单元培优测试题

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形单元培优测试题一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列说法错误的是（）A．AD∥BC B．∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC D．∠ACD＝2∠ABD2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都为直角B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直3．如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE．若点F恰好落在AB 上，AF＝3，BC＝9，则AE＝（）A．9B．32C．23D．44．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是正方形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，＝（）OH的长为3，则S菱形ABCDA．12B．24C．36D．486．如图，菱形ABCD的对角线AC．BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接CH，若AB＝2，AC＝23，则CH的长是（）A．5B．3C．7D．47．如图，矩形AEFG 的顶点E、F 分别在菱形ABCD 的边AB 和对角线BD 上，连接EG、CF，若EG＝5，则CF 的长为（）A．4B．5C．5D．78．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x 轴，AD＝BC＝7，且A（0，3），C（5，﹣1），则四边形ABCD 的面积为（）A．14B．21C．28D．309．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 中，A，D，E 在同一条直线上，AD＝2DE，M 为BC 的中点，延长FG 交AB 于点N，连接MN，CN，CF，连接FM 分别交CN，CD 于点P、Q，下列说法：①△FQG≌△MQC；②∠BCN＝∠MFG；③S △CFQ ：S 四边形BMPN ＝3：7；④FQ＝2PQ，其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在正方形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当0＜x＜42−2，△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，P 点最多有（）A．8个B．10个C．12个D．14个二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝°．12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是．13．如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝．15．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是；若∠EFD＝45°，则DE+EF+FM的最小值为．三.解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若BH⊥CD，∠DBC＝90°，BC＝3，CD＝5，则BH＝．18．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE 是平行四边形．19．（6分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）四边形BFDE是什么特殊四边形？请说明理由；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．20．（6分）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．21．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接BE．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求BE的长．22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由？（2）在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为．23．（10分）如图1，以▱ABCD的邻边AB和BC为边向外作正方形ABFE和正方形BCHG，连接BD、FG，线段BD和FG之间存在怎样的数量关系和位置关系？（1）先将问题特殊化，如图2，当∠ADC＝90°时，直接写出BD和FG之间的数量关系和位置关系．（2）再探究一般情况，当∠ADC≠90°时，证明（1）中的结论依然成立．（3）在（2）的条件下，连接EH，M为EH的中点，连接MF，试给出FM和BD的数量关系并证明．24．（10分）如图，点B（m，n）为平面直角坐标系内一点，且m，n满足n=m−6+6−m+6，过点B分别作BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C．（1）求证：四边形ABCO是正方形；（2）点E（0，b）为y轴上一点，点F（a，0）为x轴上一点．①如图1，若a＝2，b＝4，点G为线段BE上一点，且∠EGF＝45°，求线段FG的长；②如图2，若a+b＝6，直线AF与BE交于点H，连接CH，则CH的最小值为．25．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，M为线段DF的中点，连接AM、EM．（1）如图1，E为边AB上一点（点A、E不重合），则EM、AM的位置关系是，EM、AM的数量关系是；（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB＝23，EF＝1，在旋转过程中，CM的最小值为，此时DF的长为．。

(完整版)八年级下期数学培优思维训练(特殊平行四边形)

八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形（特殊平行四边形）（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，在RTΔABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，CE⊥AB于E，交AD于G，DF⊥AB 于F. 求证：四边形CGFD是菱形.2.（1）如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF.（2）如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF.（3）过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，若作菱形CAFE. 求证：AE及AF三等分∠BAC.3.如图，E，F，分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点，CH 平分∠DCM交AD延长线于H ，FG⊥AF交CH于G. 求证：（1）ΔABF≌ΔDAE，AF⊥DE；（2）ΔAEF≌ΔFCG；（3）四边形EFGD是平行四边形.4.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、△ACE、△BCF. （1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是正方形；④当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．5.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H. 求证：AH＝AD.6.若以直角三角形ABC的边AB为边，在△ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA至点G使AG=BC. 求证：BG=CD.7.如图1，正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，交∠CBE 的平分线于点N．（1）DM与MN相等吗？试说明理由．（2）若将条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，如图2，则DM与MN相等吗？为什么？8.如图，菱形ABCD的边长是2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由.9.正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；（3）运用在（1）解答中所积累的经验，完成下题：如图4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC （BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．10.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC 于E，PF⊥DC于F.（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.11.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．12. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．（四）思维训练：1. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ， PF ⊥BC 于点F. 求证：DE=DF.2. 如图，矩形ABCD ，延长CB 到点E ，使CE=CA ，点F 是AE 的中点. 求证：BF ⊥DF.3. 如图，在△AEC 中，以∠AEC 为锐角，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AH 的中点是M ．求证：△FMH 是等腰直角三角形．A DC B E F4.（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．5. 在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；位置关系为_________．6.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）7. 已知正方形ABCD．（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n 与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．8. 操作示例：对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形；②S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED ．实践与探究：（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图2所示的方式摆放，连接DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ；①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表示正方形MNED 的面积；②在图2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．9. 如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．10. 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．。

特殊平行四边形综合题(培优)

特殊平行四边形综合题（培优）一．选择题（共9小题）1．如图．任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A．E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH是菱形B．E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形C．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH可以是平行四边形D．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH不可能是菱形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．14B．12C．24D．483．依次连接四边形ABCD的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD的对角线需满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD且AC⊥BD D．AC⊥BD且AC与BD互相平分4．顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为（）A．1：B．1：C．1：3D．1：25．如图，正方形ABCD中，AE＝BF，下列说法中，正确的有（）①AF＝DE；②AF⊥DE；③AO＝OF；④S△AOD＝S四边形BEOF．A．1个B．2个C．3个D．4个6．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时，原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直B．对角线相等C．对角线垂直D．一条对角线平分另一条对角线7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°8．下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（）A．12B．C．6D．3二．填空题（共21小题）10．如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．11．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．12．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．14．小明作生成“中点四边形”的数学游戏，具体步骤如下：（1）任画两条线段AB、CD，且AB与CD交于点O，O与A、B、C、D任意一点均不重合．连接AC、BC、BD、AD，得到四边形ACBD；（2）分别作出AC、CB、BD、DA的中点A1，B1，C1，D1，这样就得到一个“中点四边形”．①若AB⊥CD，则四边形A1B1C1D1的形状一定是，这样作图的依据是．②请你再给出一个AB与CD之间的关系，并写出在该条件下得到的“中点四边形”A1B1C1D1的形状．15．如图，矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，依次连接它的各边中点得到第一个四边形E1F1G1H1，再依次连接四边形E1F1G1H1的各边中点得到第二个四边形E2F2G2H2，按此方法继续下去，得到的第n个四边形E n F n G n H n的面积等于．16．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有个；第2014个图形中直角三角形的个数有个．17．已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为．18．梯形的高为4cm，中位线长为5cm，则梯形的面积为cm2．19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边，其中正确结论的序号是．形DEOF20．若梯形的面积为12cm2，高为3cm，则此梯形的中位线长为cm．21．已知一个梯形的面积为22cm2，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于cm．22．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；⑤CF﹣BF＝EF；④GF＝OF，正确的有.（填序号）23．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点．EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝5，则AE＝．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE ＝．26．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．27．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B （0，﹣3），则菱形ABCD的面积是．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使得点D落在点D'处，则FC＝．29．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．30．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）请根据如图完成这个数学问题的证明过程．证明：证明：S筝形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△COB+S△COD．易知，S△AOD＝S△BEA，S△COD＝S△BFC，由等量代换可得：S筝形ABCD＝S△AOB++S△COB+＝S矩形EFCA＝AE•AC＝•．三．解答题（共30小题）31．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．32．如图，已知在四边形中，AC⊥BD交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．33．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．34．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．（1）请直接写出∠CDB的度数；（2）求∠ADC的度数；（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．35．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．36．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．（1）依题意补充图形；（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF 的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B＝90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM＝AB ＝BC．这样，只需证明FM＝FC即可．因∠EMF＝∠C＝90°，证FM＝FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG＝AB，则CF+BC＝CF+CG＝FG．要证AF＝BC+CF，只需证F A＝FG即可．想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC ＝AB，因此BC+CF＝AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．…请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF＝BC+CF．（一种方法即可）37．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．38．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF＝∠HDF．39．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝10，M是AB的中点，MD⊥DC，D 是垂足，sin∠C＝，求梯形ABCD的面积．40．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝CF，连接AE、BF相交于点G．现给出了四个结论：①AE＝BF；②∠BAE＝∠CBF；③BF⊥AE；④AG＝FG．请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明．结论：．41．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．（1）请再写出图中另外一对相等的角；（2）若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的中位线的长度．42．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF长为20，AC与EF交于点G，GF ﹣GE＝5．求AB、CD的长．43．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝a，BC＝b．（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF＝；（2）如果，如图，判断EF和BC是否平行，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．44．如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E 顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M．（1）请写出∠ECF的度数，并给出证明；（2）求证：点M是线段AF的中点；（3）直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．45．四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，CE＝CD，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．46．在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE 交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．①求证：∠BCF＝∠BAP；②求证：EA＝EC+EB；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．47．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E 作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．48．已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．49．如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB'，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是．（2）请你结合图1写出一条完美筝形的性质．（3）当图3中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝．（4）当图2中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有（写出筝形的名称：例筝形ABCD）．50．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．51．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作射线EF．（1）若∠DAB＝60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE 的形状；（2）如图2，若∠DAB＝90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG，请在图2中补全图形，猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若∠DAB＝α（0°＜α＜90°），EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG，AG，BG之间的数量关系（用含α的式子表示）．52．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．（写出一条即可）53．如果一个四边形ABCD满足AB＝AD且BC＝CD，则称四边形ABCD为筝形．（1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点H，求证：AC⊥BD．（2）求证：筝形ABCD的面积S＝AC•BD．（3）如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD，BD＝8，过点B作BF⊥CD于点，交AC于点E，过点F作FM⊥AB于点M，若四边形ABED是菱形，求FM的长．54．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）55．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠P AB＝α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．56．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ ＝120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．①依题意补全图1；②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；（2）如图2，若∠CPD＝80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．57．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG＝BC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．58．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC ＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．59．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．60．在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME＝MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB＝．。

专题特殊的平行四边形单元测试培优提升卷八年级数学下册尖子生同步培优题典解析版浙教版

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.11第5章特殊的平行四边形单元测试（培优提升卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•罗湖区期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．邻角互补C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：C．2．（2021•鹿城区校级开学）如图，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝60°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．【分析】由于变化过程中边长不变，所以菱形面积与正方形面积的比即为对应边上高的比，过点D'作D'H ⊥AB交H，所以求出D'H：AD即为所求．【解答】解：由题意可知，正方形与菱形边长相等，∴菱形面积与正方形面积的比即为对应边上高的比，过点D'作D'H⊥AB交H，设AB＝a，∵∠D′AB＝60°，∴D'H＝AD'×sin60°＝a，∴D'H：AD＝a：a＝，故选：D．3．（2020春•太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，且AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，连接BG、DH，若四边形BHDG是菱形，则AG的长为（）A．B．3C．D．4【分析】首先根据菱形的性质可得BG＝GD，然后设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，再根据勾股定理可得y2+22＝（6﹣y）2解答即可．【解答】解：∵四边形BGDH是菱形，∴BG＝GD，∵AD＝3AB，且AB＝2，∴AD＝6，设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，∵在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，∴y2+22＝（6﹣y）2，解得：y＝，故选：A．4．（2021•越城区模拟）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD的边长为1，菱形的边AB水平放置，如果该菱形的高是宽的，那么菱形的宽是（）A．B．C．D．2【分析】先根据要求画图，设AF＝x，则CF＝x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF＝x，则CF＝x，在Rt△CBF中，CB＝1，BF＝x﹣1，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2，12＝（x﹣1）2+（x）2，解得：x＝或0（舍去），则该菱形的宽是，故选：A．5．（2022•碑林区校级二模）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则CH＝（）A．24B．10C．D．【分析】由菱形的性质和勾股定理求出BC＝5，再由菱形的面积求出AH＝，然后由勾股定理求出CH 即可．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•AH，即×6×8＝5AH，∴AH＝，在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH＝＝＝，故选：D．6．（2021春•乐清市期末）如图，菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，则BD的长度为（）A．24B．16C．12D．8【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，再由勾股定理求出OB＝12，得出BD＝2OB＝24即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝12，∴BD＝2OB＝24，故选：A．7．（2021春•江干区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB ＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（）A．85°B．90°C．95°D．105°【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠DAF＝∠BAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE＝10°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAE，设∠BAE＝∠DAF＝x，∴∠DAE＝75°+x，∵AD∥BC，∴∠AEB＝75°+x，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝75°+x，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴x+75°+x+75°+x＝180°，∴x＝10°，∴∠BAD＝95°，∴∠C＝95°，故选：C．8．（2021春•镇海区期末）如图1，图形A、图形B是含60°内角的全等的平行四边形纸片（非菱形），先后按图2（2B）、图3（1A1B）的方式放置在同一个含60°内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（）A．图形①与图形③的周长和B．图形④与图形⑥的周长和C．图形②与图形⑤的周长和D．图形④与图形⑥的周长差【分析】根据题意设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到（x﹣y）为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项．【解答】解：设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，图形②的面积S2＝sin60°（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），图形⑤的面积S5＝sin60°（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），∴S5﹣S2＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x ﹣y）2，图形②的C2＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，图形⑤的C5＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，∴C2+C5＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，故C选项不符合题意；图形①的周长C1＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，图形③的周长C3＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，∴C1+C3＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，故A选项不符合题意；图形④的周长C4＝4（a﹣x），图形⑥的周长C6＝4（a﹣y），∴C4+C6＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，故B选项不符合题意；∴C4﹣C6＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），根据题意S5﹣S2＝（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，故D选项符合题意，故选：D．9．（2021秋•鄞州区校级期末）如图所示，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC 沿着AD方向平移得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为32cm2，则它移动的距离AA'等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．4cm或8cm【分析】根据平移的性质和正方形的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，∴x•（12﹣x）＝32，解得x1＝4，x2＝8，即AA′＝4cm或AA′＝8cm，故选：D．10．（2021春•椒江区校级月考）正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F，B，C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF并取中点M，则AM的长为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：延长AM交BC于H点，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，∵点F，B，C在同一直线上，∴AD∥CF，∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，∵M是DF中点，∴DM＝FM，∴△ADM≌△HFM（AAS），∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，∴BH＝FH﹣BF＝1，在Rt△ABH中，AH＝，∴AM＝，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•南湖区校级期中）如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC ＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角相等且都等于90°，可针对这些特点来添加条件．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．12．（2021春•上城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF ⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为35．【分析】证△AEF≌△DCE（AAS）．得AE＝CD，AF＝DE＝2，则AD＝AE+DE＝AE+2，再求出CD＝AE＝5，即可求解．【解答】解：∵四边形ABD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵∠DCE+∠DEC＝90°．∴∠AEF＝∠DCE，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE＝CD，AF＝DE＝2，∴AD＝AE+DE＝AE+2，∵矩形ABCD的周长为24，∴2（AE+ED+CD）＝24，∴2（2AE+2）＝24，解得：CD＝AE＝5，∴AD＝7，∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35，故答案为：35．13．（2021春•西湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，且AE＝AD＝5，若AB＝3，则CE的长是1．【分析】根据矩形的性质可得∠B＝90°，BC＝AD＝5，根据勾股定理求出BE的长，进而可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝5，∵AE＝AD＝5，AB＝3，∴BE＝＝＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．故答案为：1．14．（2022•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于50度．【分析】根据垂直的定义得到∠AED＝∠DFC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，根据菱形的性质得到∠A＝∠C＝50°，于是得到结论．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∵∠ADE+∠CDF＝80°，∴∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝50°，∴∠ADC＝130°，∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）＝50°，故答案为：50．15．（2022•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD为菱形，DE⊥BC，DF⊥AB，分别交BC，BA延长线于点E，F．若AB＝4，CE＝1，则DF的长为．【分析】根据菱形的性质证明△ADF≌△CDE（AAS），可得AF＝CE＝1，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠DCB，∴∠DAF＝∠DCE，∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠F＝∠E＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝1，∴DF＝＝＝．故答案为：．16．（2021春•乐清市期末）如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP＝3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为3．【分析】连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝PC即可【解答】解：连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．又∵∠BCD＝90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF＝PC，∴P A＝EF＝3，故答案为：3．17．（2021春•椒江区校级月考）如图，点E在正方形ABCD内，且∠AED＝90°，AE＝2，连接BE，则△ABE的面积为2．【分析】过点B作BF⊥AE的延长线于点F，证明△ABF≌△ADE（AAS），可得BF＝AE＝2，AF＝DE，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理可得AF＝DE＝，所以EF＝AF﹣AE＝﹣2，由S△ABE＝S△ABF﹣S△BEF，进而可以解决问题．【解答】解：如图，过点B作BF⊥AE的延长线于点F，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（AAS），∴BF＝AE＝2，AF＝DE，设正方形ABCD的边长为a，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣2，∵S△ABE＝S△ABF﹣S△BEF，∴S△ABE＝BF•AF﹣BF•EF＝2×﹣2×（﹣2）＝﹣+2＝2．故答案为：2．18．（2021秋•柯桥区期中）如图，已知：P A＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为2．【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，P A旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠P AF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长．【解答】解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，P A旋转到AF的位置，如图，∴AP＝AF，∠P AF＝90°，PD＝FB，∴△APF为等腰直角三角形，∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，∴由勾股定理得FB＝＝＝2，∴PD＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•江干区校级月考）已知：如图，在▱ABCD中，延长DC至点E，使得DC＝CE，连结AE交BC于点F．连结AC，BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形．（2）若∠AFC＝2∠D，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，再证AB＝CE，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得BC＝2BF，AE＝2AF，再证AE＝BC，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，∵CE＝CD，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形；（2）由（1）得：四边形ABEC是平行四边形，∴BC＝2BF，AE＝2AF，∵∠AFC＝∠ABC+∠BAE＝2∠D，∴∠ABC＝∠BAE，∴AF＝BF，∴AE＝BC，∴平行四边形ABEC是矩形．20．（2021春•温岭市期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形；（2）利用勾股定理可求BD，AO的长，由矩形的性质可得AO＝EO＝，即可求解．【解答】证明：（1）连接AC交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝＝4，∴BO＝DO＝2，∴AO＝＝＝，∵四边形AFCE是矩形，∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，∴AO＝EO＝，∴DE＝﹣2．21．（2021春•萧山区月考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EB＝ED，FC＝FD．（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）如图2，连接AD，当点D为BC中点时，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，得出FD∥AB，ED∥AC，则可得出结论；（2）由等腰三角形的性质证出∠BAD＝∠CAD，证出F A＝FD，根据菱形的判定可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵FC＝FD，∴∠FDC＝∠C，∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，∴FD∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形；（2）证明：∵AB＝AC，D为BC中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵AE∥DF，∴∠BAD＝∠ADF，∴∠CAD＝∠ADF，∴F A＝FD，∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．22．（2021•西湖区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．【分析】（1）连接BD，由菱形的性质得到AC⊥BD、AB＝AD，结合ME⊥AC得到ME∥BD，然后结合点E是AB的中点得到点M时AD的中点，最后得到AM＝AE；（2）①先证明△MAE≌△MDF，然后得到AE＝DF＝2，进而得到AB的长，最后求得菱形的周长；②连接CM，记EF与AC交点为点G，先由AM＝AE，△MAE≌△MDF得到DF＝DM，MF＝ME，从而得到∠DMF＝∠DFM，进而得到∠ADC＝2∠DFM，然后结合∠ADC＝2∠MCD得到∠MCD＝∠DFM，从而得到MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，再由ME⊥AC，AM＝ME得到∠MGC＝90°，ME＝2MG，进而得到MC＝2MG，即可得到∠MGC＝60°，故∠ADC＝60°，从而得到△ADC为等边三角形，△DMC为直角三角形，最后求得CM的长即为ME的长．【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．23．（2022春•上城区月考）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）设∠AEC＝α，∠AFD＝β，试求β关于α的表达式．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB，由三角形的外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝α，∴∠CEB＝α，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝180°﹣α，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝180°﹣α﹣45°＝135°﹣α，∴∠AFD＝180°﹣∠DFE＝45°+α＝β．24．（2021•滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF 并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．【分析】（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；②只要证明∠CFG＝∠FCG，∠GCF＝∠E即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F在线段CD上时，连接DE；②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH；②结论：EF＝2CG，理由如下：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DF A+∠DAF＝90°，∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，∴EF＝2CG；（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝8，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2；②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝8，在Rt△DCE中，CE＝2，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2综上所述，BE的长为6+2或6﹣2．。

(完整版)八年级平行四边形培优练习题

八年级平行四边形培优练习题
1.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，
求证：AD=CF 。

2. .如图，已知ΔABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 中点，M 、N 是AC 的两个三等分点，EM 与FN 的延长线相交于点D,
求证:四边形ABCD 是平行四边形。

3．如图，平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，连接DE ，点F 为DE 的中点，且CF ⊥DE ，点M 为线段CF 上一点，使DM=BE ，CM=BC .
(1)若AB=13，CF=12，求DE 的长度；
(2)求证：13DCM DMF ∠=
∠.
4.已知：在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE =CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF ，EG ，AG ，∠1=∠2．
（1）若CF =2，AE =3，求BE 的长； A B C D E F
M F
E D C B
A 第3题
（2）求证：∠CEG=∠AGE．
7．如图：已知Y ABCD中，以长为斜边在Y ABCD内作等腰直角△ABE，且AE=AD，连接DE，过E作EF⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF=15°
(1)若EF=3，求AB的长．
(2)求证：2GE+EF=AB．
8、已知：如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E，
(1)、若∠ADB=25°,求∠BAE的度数；
(2)、求证：AB=2OE
A D
E
B
C。

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八年级(下）特殊平行四边形培优一.选择题(共13小题）1.(2014•达州)如图,在四边形ＡBCD中，∠A+∠D=α，∠ABＣ的平分线与∠BCＤ的平分线交于点P，则∠P=( ）Ａ.９0°﹣αﻩB.９0°+αﻩC．ﻩＤ．360°﹣α2．（２０12•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线,F是ＤＥ的中点，CＦ的延长线交ＡＢ于点G,则S△ＣEF:Ｓ△ＤGF等于（）Ａ．2：１B．3:1 C.４：1 D.５:1３.(20０５•湖州）如图,在等边△AＢC中，Ｍ、N分别是边AＢ，ＡC的中点,D为MN上任意一点,BD,CD的延长线分别交于AB，AC于点Ｅ,Ｆ.若=6,则△ABＣ的边长为( )Ａ.B．C．ﻩD．1４．（2002•无锡）已知:四边形ABＣＤ中，AB=２，CD＝3，M、N分别是AＤ,BC的中点,则线段ＭN的取值范围是（）A．1＜MN＜5ﻩB.１＜ＭN≤5 Ｃ.＜MＮ＜ D.<MＮ≤5．(2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形Ａ1B1Ｃ1Ｄ1、Ｄ１E1E2B2、A2Ｂ２C2D２、Ｄ2E3E4B 、A3Ｂ3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点Ｂ1在y轴上，点Ｃ1、E1、Ｅ2、Ｃ２、E３、３E4、Ｃ3…在x轴上,已知正方形A１Ｂ1Ｃ1D1的边长为1，∠B1C１O=6０°,Ｂ１C1∥B２Ｃ2∥B3Ｃ３…则正方形A2０15B２0１5C２0１5D201５的边长是(）Ａ.（）2014Ｂ．(）２０１5ﻩC.()2０１5 D.（）20146.（2013•渝中区校级模拟）如图,矩形AＢCD中,BC＝2AＢ,对角线相交于Ｏ,过C点作CE ⊥BD交BD于E点，Ｈ为BC中点,连接AH交ＢD于G点,交ＥＣ的延长线于F点，下列5个结论:①ＥH=AB；②∠ABＧ=∠ＨEC；③△ABG≌△HEC;④S△GAD=S四边形ＧＨCＥ;⑤C Ｆ＝BＤ.正确的有(）个.A．2ﻩＢ．3ﻩC．4ﻩＤ．57.（2012•重庆模拟)如图,正方形AＢCD中,点E是对角线BD上一点，点Ｆ是边BC上一点,点G是边CD上一点，BE=2ED,ＣF=2ＢF,连接AＥ并延长交CＤ于Ｇ,连接AF、ＥF、ＦG.给出下列五个结论：①ＤG＝GC;②∠ＦGＣ=∠AGF;③Ｓ△ABF＝S△ＦＣG;④ＡF＝EF；⑤∠AFB＝∠ＡEB.其中正确结论的个数是（)A．5个B.4个ﻩC．３个 D.2个8．(2０１２•鹿城区校级二模）如图,在正方形ABＣD中，四边形ＩJFH是正方形,面积为S ,四边形BEＦG是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（）１A．S１>Ｓ２ﻩB.S1=Ｓ2ﻩC．S1<S2ﻩD．2S1=3S２9.（2０11•承德县一模)如图,在矩形ABＣＤ中，ＡB＝3，AD=４,点Ｐ在AＢ上，ＰE⊥AC 于E，PＦ⊥BD于F,则PE+PF等于（）Ａ.ﻩB．ﻩC． D.10．(2011•瑞安市校级一模）如图，E,F分别是矩形ABＣD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCＨ的面积分别为15和2０，则图中阴影部分的面积为( ）A．1５ﻩＢ.20ﻩC.35ﻩD.40１1．(２01１春•内江期末)如图，点P是正方形AＢCD的对角线BD上一点，PＥ⊥BC于点E，PＦ⊥ＣD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AＰ＝EF;②ＡＰ⊥EＦ;③△AP Ｄ一定是等腰三角形;④∠PFE＝∠ＢAP;⑤PD=2ＥＣ．其中有正确结论的个数是（）Ａ.2个ﻩB.3个C.４个ﻩD．5个12．（２01０•盘锦）已知如图，矩形ＡBCD中AB＝4cm,BC＝3cｍ,点P是AB上除Ａ，B 外任一点,对角线AC，BD相交于点O，DP,CＰ分别交AＣ，BD于点E，F且△ＡDＥ和BCF 的面积之和４cｍ2，则四边形PEOF的面积为( ）A.1cm２B．１.5cｍ2Ｃ.2cm2ﻩＤ.2．5cｍ213．(1997•内江)如图，四边形AＢCD和MＮPQ都是边长为a的正方形,点Ａ是MNPＱ的中心(即两条对角线ＭＰ和ＮQ的交点)，点E是AB与ＭN的交点,点F是ＮＰ与AD的交点,则四边形AEＮF的面积是（)Ａ.ﻩＢ．ﻩC．ﻩD.二.填空题（共17小题)１４.（2015•广州）如图,四边形ABＣD中,∠A=９0°,AB＝３，AD＝3,点M,N分别为线段BC,AＢ上的动点（含端点,但点M不与点B重合)，点E，F分别为ＤＭ，ＭN的中点，则EF长度的最大值为．15．（２015•无锡）已知：如图，AＤ、BE分别是△ＡBC的中线和角平分线,AＤ⊥ＢＥ,AD=BE=6，则AC的长等于.16．(201４•安徽）如图，在▱AＢCD中，AD=2ＡB,F是AD的中点,作ＣE⊥AB,垂足E在线段ＡB上，连接EF、CＦ,则下列结论中一定成立的是 .（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DＣF=∠BＣＤ;②EＦ=CＦ；③S△BＥＣ=2S△ＣＥF；④∠DＦE=3∠AEＦ．17．（2０１3•乌鲁木齐）如图,△ABC中,AＤ是中线，ＡE是角平分线，CF⊥ＡＥ于F，AB=5，ＡＣ＝2，则ＤF的长为.18．(2013•南岗区校级一模)如图，AD、BＥ为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°,ＯＤ=,OE=,则ＡB= .１9．（20１2•枣庄）如图所示，DE为△ＡBC的中位线,点F在DE上,且∠ＡＦB=90°，若A Ｂ=5,BC=８，则EF的长为 .2０.（2０15•凉山州）菱形0ＢＣＤ在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2,0)，∠ＤOＢ＝60°，点Ｐ是对角线OＣ上一个动点,E（０，﹣1）,当ＥP+ＢP最短时，点Ｐ的坐标为 .21.(201５•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A２A3B3C3,按如图放置，其中点A1、Ａ２、A 在x轴的正半轴上,点B1、B2、Ｂ3在直线y=﹣ｘ+２上，则点Ａ３的坐标为. ３２2.(２0１５•潮南区一模）如图所示,如果以正方形AＢＣD的对角线AC为边作第二个正方形ACＥF，再以ＡE为边作第三个正方形ＡＥＧM，…已知正方形ABCＤ的面积Ｓ1=1,按上述方法所作的正方形的面积依次为Ｓ2，S３,…Sｎ（n为正整数),那么第8个正方形面积Ｓ8= ．23．（2０1４•南岗区二模)如图,正方形ABCD的对角线AC、BＤ相交于点Ｏ，∠CＡB的平分线交BＤ于点E,交BＣ于点F．若ＯＥ=１,则CF=．２4．(２01３•德州)如图，在正方形ABＣD中,边长为2的等边三角形ＡＥF的顶点E、F 分别在BC和CD上,下列结论:①CE=CF；②∠AＥB＝75°；③ＢE+DF=EF;④Ｓ正方形ABＣＤ=2+.其中正确的序号是（把你认为正确的都填上)．2５.(201３•广安区校级模拟）如图，在菱形ＡBCD中，∠A=6０°，E、Ｆ分别是AＢ,ＡD 的中点，DＥ、BF相交于点Ｇ,连接ＢＤ,CG．有下列结论,其中正确的有(填正确结论的序号）.①∠ＢＧD=12０°；②BG+DG=CG；③△ＢDＦ≌△CGB;④Ｓ△ABＤ=AＢ2．26.(2０１3•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、ＢＣ的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线ＡC和BＤ的距离之和是．27．（2013•锡山区校级三模)如图,矩形ABＣD中,点E，F，G,H分别在边AＢ,BC,CD,DA上，点Ｐ在矩形AＢＣD内.若AB=4ｃm,ＢＣ=6cm，AE＝CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEP Ｈ的面积为5cm2,则四边形ＰFCG的面积为ｃm2.２8．（２01３•成都模拟)将n个边长都为１cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A１、Ａ2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分)的面积的和为ｃm2．２9．（2０13•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中,正方形AＢCD顶点A的坐标为(0，２），B点在x轴上,对角线AC,BＤ交于点M,OM=，则点C的坐标为．参考答案与试题解析一．选择题(共13小题)1.（201４•达州)如图,在四边形AＢＣD中,∠Ａ+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BＣD的平分线交于点Ｐ，则∠Ｐ=（)A．90°﹣αﻩB.9０°+αﻩC.ﻩD.360°﹣α【解答】解:∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BＣＤ=３6０°﹣（∠Ａ+∠D)=360°﹣α,∵PB和PC分别为∠ＡBC、∠BCD的平分线，∴∠PBＣ+∠PCB=(∠AＢＣ+∠BCD)＝（36０°﹣α）=１８０°﹣α，则∠P=１８0°﹣（∠PBＣ＋∠PCＢ)＝180°﹣（1８0°﹣α)=α.故选:C．2.(２012•河南模拟)如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AＢ于点G,则S△CEF：S△DGＦ等于（)A.2:1ﻩＢ．3：1ﻩＣ．4：1ﻩD．5：1【解答】解:如图,取CＧ的中点Ｈ，连接EH，∵Ｅ是AC的中点，∴EH是△AＣG的中位线，∴EH∥AD,∴∠GDＦ＝∠HＥF，∵F是ＤE的中点,∴DＦ=EF，在△ＤFG和△ＥFＨ中，，∴△ＤFG≌△EFH（ASＡ）,∴ＦG=FＨ，S△EFH=S△DGＦ，又∵FＣ=FH+HC＝FH+GH＝FH＋ＦG+FH＝３FH,∴S△ＥFC=3S△EＦH，∴S△ＥFC=3S△DGＦ，因此,Ｓ△CEF：S△DＧＦ=３：1.故选B.3.(20０5•湖州）如图,在等边△ABC中，Ｍ、Ｎ分别是边AB，AC的中点，D为ＭN上任意一点,BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABＣ的边长为（）A．ﻩB．Ｃ．D．1【解答】解:过点A作直线PＱ∥ＢC,延长BD交PＱ于点P；延长CＤ,交ＰQ于点Q.∵ＰQ∥BＣ,∴△ＰQD∽△BＣD，∵点D在△AＢC的中位线上,∴△ＰＱD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD,∴PQ=ＢC,∵AE=AC﹣CE，ＡF=AB﹣BF,在△ＢCE与△ＰＡE中,∠PＡE=∠ACB,∠APE=∠ＣBE,∴△BCE∽△PAE,=…①同理：△ＣBF∽△QAF，＝…②①+②,得:+＝.∴+=3,又∵=６，AC＝AB，∴△AＢC的边长＝．故选C．4．（２0０2•无锡）已知：四边形ABＣＤ中，AB=2,CD=3，M、Ｎ分别是ＡD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1<ＭN<5ﻩB.１＜MＮ≤5ﻩC.＜MN<ﻩＤ．<MN≤【解答】解:连接BD，过M作MＧ∥AＢ,连接NG.∵Ｍ是边AD的中点，AB=２,MＧ∥AＢ,∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=ＡB=×２=1;∵N是BC的中点,ＢG＝ＧＤ,CＤ=3,∴ＮG是△BCD的中位线，NG=CＤ=×3=，在△MNG中,由三角形三边关系可知NＧ﹣ＭG<ＭN<ＭG+NG,即﹣１<MN＜+1，∴＜ＭN<，当MN=MG＋NG，即MN=时，四边形ＡBＣD是梯形，故线段MN长的取值范围是<MN≤.故选D.5.（２015•鄂州）在平面直角坐标系中,正方形A１B1C1D1、D1Ｅ1E２B2、Ａ２B2Ｃ２D2、D2Ｅ3E4Ｂ3、A3B3Ｃ3D3…按如图所示的方式放置,其中点B１在y轴上,点C１、E1、E2、C2、Ｅ3、E４、C3…在ｘ轴上,已知正方形A1Ｂ1Ｃ1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2０1５Ｂ2０15C２０15Ｄ2０１5的边长是（)Ａ.()201４ﻩB．（）20１5C．(）2015ﻩD．()20１4【解答】方法一：解:如图所示：∵正方形A1B1Ｃ1Ｄ1的边长为1,∠B1C1O=60°，Ｂ1C1∥B2Ｃ2∥Ｂ３C3…∴D1E1=Ｂ２Ｅ２,Ｄ2Ｅ3=B3Ｅ4,∠D1Ｃ１E1=∠C2Ｂ2Ｅ2=∠C3Ｂ3E4＝３０°,∴D1E１=C1D1ｓｉn３０°=，则Ｂ2C2＝（)１，同理可得：B３C３＝=（）2，故正方形AｎB nＣn D n的边长是：()n﹣1.则正方形A201５Ｂ201５C201５D2015的边长是:（)2０14．故选：Ｄ.方法二:∵正方形Ａ1B1C１D１的边长为1,∠B1Ｃ1O=６0°,∴D1E１=B2Ｅ2=，∵B1Ｃ1∥B２C2∥B３C３…∴∠E2Ｂ２Ｃ2=６0°,∴B２Ｃ2=,同理：B3C３=×=…∴a1＝１，ｑ=,∴正方形A2015B2015C2015D2０15的边长＝1×.６．(2０１３•渝中区校级模拟)如图,矩形AＢCD中,BC=2AB，对角线相交于O,过C点作CE⊥BＤ交BD于Ｅ点,H为ＢC中点,连接AＨ交ＢD于G点，交ＥC的延长线于Ｆ点,下列5个结论:①EH=AB;②∠ABG=∠ＨEC；③△ABＧ≌△ＨEC;④S△GＡD=S四边形ＧHCＥ;⑤ＣＦ=BD．正确的有（）个.Ａ．2 B．３C．４Ｄ．5【解答】解：①在△BCE中,∵CＥ⊥BD，H为ＢＣ中点,∴ＢC＝2EＨ,又ＢＣ=2AＢ，∴ＥＨ=AＢ，正确;②由①可知,ＢH=ＨE∴∠EBH=∠BEH，又∠ＡＢＧ+∠EBH＝∠BＥH+∠HEC=9０°,∴∠ＡBG=∠HＥC，正确；③由AB=ＢH,∠ABH＝9０°，得∠ＢAＧ＝45°,同理:∠DＨC＝4５°，∴∠EHＣ＞∠DHC＝45°,∴△ABG≌△HEC，错误;④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，∵ＡＤ∥BC,∴△ＡＤG∽△HGB，∴=2，即△ABG的面积等于△BGＨ的面积的２倍,根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，即Ｓ△GAD≠Ｓ四边形GHＣE，∴④错误⑤∠ＥCH=∠CHＦ+∠Ｆ=4５°＋∠F，又∠ECH=∠CＤＥ=∠BAO,∠ＢＡO＝∠BAＨ＋∠HAC，∴∠F=∠HAC，∴ＣF=BD,正确.正确的有三个.故选Ｂ.7.（20１２•重庆模拟）如图,正方形ABＣD中，点E是对角线ＢD上一点,点F是边BC上一点，点G是边CD上一点,ＢE=2ED，CF=2ＢF,连接AE并延长交ＣD于G,连接AＦ、EF、FＧ．给出下列五个结论:①DG=ＧC;②∠ＦGC=∠AGＦ；③S△ABF=S△ＦCG;④AF=EF;⑤∠AＦＢ=∠AＥB.其中正确结论的个数是（)Ａ.5个B．4个ﻩＣ．３个ﻩD．２个【解答】解:①∵BE=2DＥ∴=∴∵AB＝ＣD∴DＧ=CＤ∴DG＝CG故本选项正确②设BF＝1,则CF=２,AB=AD＝3，ＤG=CG=，过点Ｅ作AB的平行线,交AD于M,交ＢC于N,可得四边形ＭＮCD是矩形,△ＡME∽△AＤG，且相似比为,∵ＡD=3,∴AM=2，DM=１,NC＝1,则ＢN=BＣ﹣NC＝2，FN＝BN﹣BF＝1，∵MＤ∥BＮ，∴△MDE∽ＮBE,且相似比，∴ME=1，EN=２，在Rt△EFN中，EＦ==,在Ｒｔ△AME中，AＥ==，在Rt△ABF中，AＦ=，∴AＥ2+EＦ2=AF2，∴∠AEＦ=９０°,∵AＧ=＝∴EG=，∴taｎ∠AGF=＝2,又tan∠FGC=，∴∠FＧC≠∠ＡＧＦ，故本选项错误③∵×=∴S△AＢＦ＝ＳFCG故本选项正确④连接EC，过E点作EH⊥BＣ,垂足为H,由②可知AＦ=,∵BE=2ED，∴BH=２ＨC,ＥH=ＣＤ=2，又∵ＣＦ=2BF,∴H为ＦC的中点，FＨ=1,∴在Rｔ△HEF中:∵ＥＦ===AF=∴AF=EF故本选项正确．⑤过Ａ点作AO⊥BD,垂足为Ｏ，∵,∴Ｒt△ABＦ∽Ｒt△ＡOE，∴∠ＡFＢ=∠AＥB．故本选项正确．故选B．8．(2012•鹿城区校级二模）如图,在正方形ＡBCＤ中,四边形IＪＦH是正方形,面积为Ｓ1，四边形BEFG是矩形，面积为Ｓ2,下列说法正确的是（）A．S１＞S2ﻩB.Ｓ１=S2ﻩＣ.S1<S2Ｄ.2S1＝3S2【解答】解：∵AC是正方形AＢCＤ的对角线,∴∠BAC=∠DAC=∠AＣB=∠ACD＝45°，∵四边形IJFH是正方形，四边形BEFＧ是矩形,∴∠ＡJＩ=∠ＣFH＝AEＦ=∠CＧF=90°,∴△ＡIＪ、△AEF、△ＣＦＨ、△CFG都是等腰直角三角形，设JF=x，则S１=x2,根据等腰直角三角形的性质,EＦ=AF=×２x=x，ＦＧ=FC=x,所以Ｓ2＝ＥF•FG=ｘ•ｘ=x2，所以S1=S2.故选Ｂ.9.（２011•承德县一模）如图，在矩形AＢCD中，ＡＢ＝3,ＡD=4，点P在AB上，PE⊥A Ｃ于Ｅ,ＰF⊥BD于F,则ＰＥ+PF等于（)A．ﻩＢ．ﻩＣ.ﻩD．【解答】解:设AＰ=x,PB=3﹣x．∵∠ＥAP=∠EAP,∠AEP=∠ABC；∴△AＥP∽△AＢC,故=①;同理可得△ＢFP∽△DAB,故＝②．①+②得=,∴PE+PF=.故选B.10.（２０11•瑞安市校级一模)如图,E,Ｆ分别是矩形ABCD边AD、ＢC上的点，且△AＢG,△DＣＨ的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．１５B．2０Ｃ.３5 D.40【解答】解:连接EF,∵S△ABＦ=S△EBF∴S△EＦＧ=S△AＢG=15;同理:S△EＦH=S△DCH=2０∴S阴影＝S△EＦＧ＋S△DＣH=15+２0=35．故选C.１1.（2011春•内江期末)如图,点Ｐ是正方形ABＣD的对角线BD上一点,ＰE⊥ＢC于点E,PF ⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥ＥF;③△ＡPD一定是等腰三角形;④∠ＰFE＝∠ＢAP;⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（）A．２个ﻩB．3个ﻩC.4个 D.5个【解答】解：延长ＦP交AB于点N，延长AＰ交ＥＦ于点Ｍ．∵四边形ＡBCＤ是正方形.∴∠ABP=∠CBＤ又∵ＮP⊥AB，PE⊥BＣ，∴四边形BNPＥ是正方形，∠ＡNP=∠EPＦ，∴NP=ＥP，∴AN＝ＰF在△ANP与△FＰE中，∵，∴△ANP≌△ＦPE（ＳAS），∴AＰ=ＥF,∠PFE=∠BAP（故①④正确）;△ＡＰＮ与△FPM中，∠APN=∠FＰＭ，∠NAP=∠PFＭ∴∠PMF＝∠ANP=9０°∴AＰ⊥EF，（故②正确）；P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PＤ＝2EＣ不一定成立，(故③⑤错误); 故正确的是:①②④.故选：B．12.(20１0•盘锦）已知如图，矩形ABCD中AB=4ｃm,BC=3ｃm,点P是AB上除A，B外任一点,对角线AC,BD相交于点O,DP，CP分别交AC,BD于点E,F且△ADE和BCF的面积之和４ｃm2，则四边形PEOF的面积为( )A．1cm2ﻩB．1．５cm2C.2ｃm２ D．2.5cｍ2【解答】解:已知矩形ＡＢCD,∴△ＡPD的面积＋△BPC的面积=矩形AＢCＤ的面积﹣△ＣPD的面积＝４×3﹣×４×３=6(cm2),∴△ＡＥP的面积＋△BFＰ的面积=(△APD的面积+△BPＣ的面积)﹣△ADＥ和BCF的面积之和=６﹣4＝2(cｍ2），已知矩形AＢCD，∴△ＡOB的面积＝×4×(３×）=３（cｍ2)，∴四边形PEOＦ的面积=△ＡＯＢ的面积﹣（△ＡEP的面积+△BＦP的面积）=3﹣２=1（cm ２).故选Ａ.１３.(１9９7•内江)如图，四边形ABＣD和ＭNＰQ都是边长为ａ的正方形，点A是MNPQ 的中心(即两条对角线ＭP和NQ的交点)，点Ｅ是AB与MN的交点，点Ｆ是NP与AD的交点,则四边形AENF的面积是（)A.ﻩB．Ｃ.ﻩD．【解答】解:连接AＰ，AN,点A是正方形的对角线的交点，则AP＝ＡＮ，∠AＰF=∠ANＥ=4５°,∵∠ＰAF＋∠FAN=∠FＡN+∠NAＥ=90°，∴∠PAF=∠NAE,∴△ＰAＦ≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积,而△NＡP的面积是正方形的面积的,正方形的面积为ａ2,∴四边形AEＮＦ的面积为;故选A二.填空题(共17小题)14．（20１５•广州）如图,四边形ABCD中，∠A=90°,AＢ=3,AD=３,点Ｍ，N分别为线段ＢC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E,F分别为ＤＭ,MN的中点,则EF长度的最大值为3.【解答】解:∵ＥD＝EM，MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大，此时ＤＮ=DＢ=＝6，∴ＥF的最大值为3．故答案为3．１5.（2015•无锡)已知:如图,AD、ＢE分别是△AＢC的中线和角平分线,AD⊥BE，AD=ＢＥ＝6，则ＡC的长等于.【解答】解:过Ｄ点作DF∥BE，∵ＡD是△AＢC的中线，AD⊥ＢE,∴F为ＥC中点，AＤ⊥DF，∵AD=BE=6，则ＤF=3,AＦ=＝3，∵BE是△ＡBC的角平分线,AD⊥BE,∴△ABG≌△DＢＧ,∴Ｇ为AD中点,∴E为ＡF中点，∴AC=ＡF＝×3=．故答案为:．16．(２0１4•安徽）如图，在▱ABＣD中,AD=2AＢ，F是ＡＤ的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CＦ,则下列结论中一定成立的是①②④ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)①∠DCF＝∠BＣＤ;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF；④∠DＦE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是ＡD的中点，∴AF=ＦD，∵在▱ＡＢCＤ中,AD=2ＡB，∴ＡF=FD=CD,∴∠ＤFC=∠ＤCＦ，∵AD∥BＣ，∴∠DＦC＝∠ＦCＢ,∴∠DCF=∠BＣF，∴∠DCF=∠BＣD，故此选项正确;延长EＦ，交CD延长线于M，∵四边形AＢＣＤ是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A＝∠ＭDＦ，∵Ｆ为ＡD中点,∴AF=FD,在△ＡＥF和△DＦM中,,∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=MＦ,∠AＥF＝∠M,∵ＣＥ⊥ＡB，∴∠ＡEＣ=9０°,∴∠AEC＝∠ＥＣＤ=90°，∵FM=EF，∴FC=ＦＭ，故②正确;③∵EＦ=FM，∴Ｓ△EＦC=S△CFＭ,∵MC>ＢE，∴S△BEC＜２S△EＦC故S△BＥC=2S△CEF错误；④设∠ＦEＣ＝x，则∠FCE＝ｘ,∴∠DCＦ=∠DFC＝９0°﹣x，∴∠EFC=1８0°﹣２x,∴∠EFD=9０°﹣x+１80°﹣2x＝270°﹣3x,∵∠ＡＥF=90°﹣x,∴∠DFＥ＝3∠ＡEＦ,故此选项正确．故答案为：①②④.1７.（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，ＡD是中线,AE是角平分线,CF⊥ＡE于F，AB=5,ＡC=2，则ＤF的长为．【解答】解：延长CＦ交AB于点G，∵AE平分∠BAC,∴∠ＧAF=∠CAF,∵ＡF垂直CG,∴∠AFG＝∠ＡＦC,在△AFG和△AFC中,∵，∴△AFＧ≌△AFＣ（ASA),∴ＡC＝AG,ＧF=CF，又∵点D是ＢC中点,∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BＧ=（ＡB﹣AG）=（AＢ﹣AＣ）=.故答案为:.18.（2０１3•南岗区校级一模）如图,ＡD、ＢE为△ABC的中线交于点Ｏ,∠ＡＯE=60°，O Ｄ=，OＥ＝，则AB= 7 .【解答】解:如图，过点E作EF⊥AD于Ｆ,连接DE,∵∠ＡOＥ＝６０°，∴∠OEＦ＝90°﹣60°＝3０°，∵ＯE=，∴OF＝OＥ=×=，在Rt△ＯEF中，ＥF＝＝=,∵OD=,∴DF＝ＯD+OF＝+=，在Rt△DEF中，ＤE=＝=,∵AD、BE为△AＢC的中线，∴ＤE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=２×=7.故答案为：7．1９．(2０1２•枣庄）如图所示,DＥ为△ABC的中位线,点F在ＤE上，且∠AFB=90°，若A Ｂ=5，BＣ＝８,则ＥＦ的长为．【解答】解:∵∠AFB＝90°,D为AB的中点,∴DF=AB=2．5，∵DE为△ＡBC的中位线，∴DE=BC=4,∴EＦ＝DE﹣ＤＦ=1.5,故答案为：１.5．20.（2015•凉山州)菱形０BＣD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(２,0),∠DOB=６０°,点P是对角线ＯC上一个动点，Ｅ（０,﹣１),当EP＋BP最短时，点Ｐ的坐标为（）．【解答】解:连接ED,如图,∵点B关于OC的对称点是点Ｄ,∴DＰ=ＢP,∴ED即为ＥP+BP最短,∵四边形ＯＢＣD是菱形,顶点B（2,0),∠DOB＝60°,∴点Ｄ的坐标为（１,),∴点C的坐标为（3,）,∴可得直线OC的解析式为：y=x,∵点E的坐标为(0，﹣1），∴可得直线ＥD的解析式为:y=（１＋）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为(），故答案为:().21.(20１5•天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2Ａ3B3C3,按如图放置,其中点A1、A２、A在x轴的正半轴上，点B1、Ｂ2、B3在直线y＝﹣x+2上,则点A3的坐标为（，０）．３【解答】解：设正方形ＯA1B1C1的边长为t，则B１（t,t），所以t＝﹣t+2，解得t=1,得到B１（1,1);设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B２（１+a,ａ），a＝﹣（1+a)+2,解得a=，得到B2(，）;设正方形A2A３Ｂ3C3的边长为b，则B３（+b，b)，b=﹣(+ｂ)＋2，解得b=，得到B3(,),所以A3（,0）．故答案为(，0）.２２．（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AＣ为边作第二个正方形ACEＦ,再以ＡＥ为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ＡBCD的面积Ｓ1＝１，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…S n（n为正整数）,那么第8个正方形面积Ｓ8= 128 ．【解答】解:根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1)个的倍；故面积是第(n﹣1)个的2倍，已知第一个面积为１；则那么第8个正方形面积S8=27＝128．故答案为１28.2３.（2０14•南岗区二模）如图,正方形ABＣD的对角线AC、ＢD相交于点Ｏ,∠CAB的平分线交BD于点Ｅ，交BC于点Ｆ.若OE=1，则CF=2.【解答】解:作EG⊥AB于G，根据角平分线的性质可得,EG＝OＥ＝１，又BＤ平分∠AＢC，则∠AＢＥ=45°∴△EBＧ是等腰直角三角形,可得BE=，则ＯＢ=1+,可得BC=２+又∠AFB=9０°﹣∠ＦAB,∠FＥB=∠OEA=90°﹣∠ＦＡC,∴∠AFB＝∠ＦＥB∴ＢF＝BE=则CF=ＢC﹣BF=2+﹣=２．２4．(201３•德州)如图,在正方形ABCＤ中，边长为2的等边三角形AEＦ的顶点E、F分别在ＢC和CD上，下列结论：①CE=ＣＦ；②∠AEB=75°;③BE+DF＝ＥF；④Ｓ正方形ABCD=2+.其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上)．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝ＡF,在Rｔ△AＢE和Rt△ADＦ中, ，∴Rt△ABE≌Rt△ＡＤF（HL）,∴ＢＥ=DF，∵BC=DC,∴BＣ﹣BE=CD﹣DＦ,∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=ＣF，∴△EＣF是等腰直角三角形,∴∠CEF=45°，∵∠AEＦ＝６０°,∴∠ＡＥB=７５°，∴②说法正确;如图,连接AC，交EF于G点,∴AＣ⊥EF，且AＣ平分EＦ，∵∠CAF≠∠DAＦ,∴DF≠FG,∴BE+ＤＦ≠EF,∴③说法错误；∵EF＝2,∴CE=ＣF=，设正方形的边长为a，在Rt△AＤＦ中,ＡD２+ＤF２=AF2,即ａ2+（ａ﹣)2＝4，解得a=，则ａ2=2+,Ｓ正方形AＢCＤ＝２+,④说法正确，故答案为:①②④．25.(2０１３•广安区校级模拟）如图，在菱形ＡＢCD中，∠Ａ=60°,Ｅ、F分别是ＡB，ＡＤ的中点,DE、ＢF相交于点Ｇ,连接BD,CG.有下列结论，其中正确的有①②（填正确结论的序号).①∠BGD＝120°;②BG＋DG=CＧ;③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2.【解答】解:①由菱形的性质可得△ＡBD、BDC是等边三角形,∠DＧB=∠ＧＢE+∠GＥB=30°+90°=120°,故①正确；②∵∠DCG=∠ＢＣG=30°,DE⊥ＡB，∴可得ＤG＝ＣG(３０°角所对直角边等于斜边一半)、BG＝CＧ，故可得出ＢG+ＤG=CＧ,即②也正确;③首先可得对应边BG≠FD,因为BＧ=DG,DG＞ＦD，故可得△ＢDF不全等△CGＢ,即③错误；④S△ABD=AB•DE=ＡB•(ＢE)＝ＡB•AB=AB2，即④不正确.综上可得①②正确，共２个.故答案为①②.26.(2０1３•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边ＡＤ的一个动点,矩形的两条边A Ｂ、BＣ的长分别为3和4，那么点Ｐ到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．【解答】解:过Ｐ点作PE⊥AC,ＰF⊥BD,∵四边形ＡBCD是矩形,∴AD⊥CＤ,∴△ＰＥA∽△CDA,∴，∵AC=BＤ==5,∴…①,同理：△PFＤ∽△BAD,∴,∴…②,∴①＋②得：，∴PE+PＦ＝,即点Ｐ到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是:.故答案为：．2７．(2０13•锡山区校级三模)如图,矩形ABＣD中，点E，F，G，H分别在边AB,BC，ＣD，DA上,点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6ｃm,AE=CG=3ｃm，BF＝DＨ=4ｃm,四边形ＡEPH的面积为5cｍ2，则四边形PＦＣG的面积为8 ｃm2.【解答】解：连接ＡＰ,CP，设△AHP在AH边上的高为ｘ，△AEP在ＡＥ边上的高为y. 则△CFP在CF边上的高为４﹣ｘ,△CＧP在CG边上的高为6﹣y.∵AＨ=CＦ=2ｃm,AE＝CG＝3cｍ，∴Ｓ四边形AEPH=Ｓ△AHP＋S△AEＰ.＝AH×x×＋AE×y×＝2ｘ×+3y×=5ｃｍ22x+３y＝10S四边形PFCG=Ｓ△CＧＰ+Ｓ△ＣＦP=ＣF×（4﹣x)×+ＣG×（6﹣ｙ）×=２(4﹣x）×+3(6﹣y）×=（26﹣2x﹣３y)×＝（26﹣１0）×＝８ｃm2.故答案为8．28．（２０13•成都模拟)将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放,点Ａ1、A2…Ａn分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积的和为cｍ2．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是,５个这样的正方形重叠部分(阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm２.故答案为:．29.（201３•郑州模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCＤ顶点Ａ的坐标为(0，2)，B点在x轴上，对角线ＡＣ，BD交于点M，OＭ=,则点Ｃ的坐标为（6，4) .【解答】解：过点Ｃ作CE⊥x轴于点E,过点Ｍ作MF⊥x轴于点F，连结ＥM，∴∠ＭFO=∠CEＯ＝∠AOB=９0°，AＯ∥MF∥CE，∵四边形ABＣD是正方形,∴AB=BC，∠ABC=９0°,AM=CＭ,∴∠OＡＢ=∠EBC,OＦ=ＥF,∴MF是梯形ＡOEＣ的中位线,∴MF=（AO+EC)，∵ＭF⊥OE，∴ＭO=ＭE.∵在△AOＢ和△BEC中，，∴△ＡＯB≌△BEC(ＡAS），∴OB=CE,AO=BE.∴MF=(ＢE＋OＢ),又∵OＦ=FＥ，∴△MOE是直角三角形，∵ＭO=MＥ,∴△MOE是等腰直角三角形,∴OE==６,∴A（0,2），∴OＡ=2，∴ＢE＝2,∴ＯB＝CE=4.∴C（６，４）．故答案为：(6,4）.30.（２013•荣成市模拟）如图,在正方形ABCD中，AＢ=1,E、F分别是BＣ、ＣD边上点，若CE=CＢ，ＣF=CD，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：延长GE到M，使GＥ=EＭ，连接ＣＧ、CM、BM,过C作CN⊥DＥ于N,∵E为BC中点,∴BE=ＥC=,在△ＢEG和△CEM中∴△BEＧ≌△CEM(ＳAS)，∴S△BEＧ=S△CEＭ，∵Ｅ、F分别为ＢC、CD中点,∴DＧ：EＧ=２：1,∴GM=DG=2EG，∴S△MＧＣ=S△ＤGC，∴Ｓ△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，∵S△DEC=×１×=，∴S△ＤMＣ=，∴阴影部分的面积Ｓ=S正方形ABＣD﹣S△ＤMC=１×1﹣=，故答案为：.。