初中数学十大思想方法-换元法
初中数学换元法的学习技巧
初中数学换元法的学习技巧初中数学换元法的学习技巧初中数学10种解题方法之换元法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
上面的内容是初中数学10种解题方法之换元法，希望同学们看过后可以做好笔记并灵活运用了。
接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。
初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
学会画图画图是一个翻译的过程。
读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。
这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
画图时应注意尽量画得准确。
画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。
初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题认真、仔细地审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
数学方法之换元法篇
数学方法之换元法篇通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.解析：设••t x x •y x x t .21cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(212122-+=+-=故 当.221,2max +==••y •t 时 二、三角换元例2：求函数25x x y -+=的值域.解析：令••••x ],2,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+∙=y 则 因为22πθπ≤≤-，所以 .4344ππθπ≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•-]. 三、平均数换元法例3：已知正数.425)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x •求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为21，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<21）, 则.41162523)1)(1()1)(1(22422θθθ-++=++=++xy y x y y x x 显然分子的值大于等于1625， 分母的值大于0小于等于41，从而得证.四、比值换元例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？ 解析：由比例可以设t z y x =-=+=-322111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当145-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,1413z y ••x z ++=时达到最小值. 五、根式换元例5：求函数y =2x +x 21-的值域.解析：设t =x 21-≥0，则x =212t -，f (t )=)0(21212≥++-t t t ，由二次函数的图象可以知f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••∞- 六、不等量换元例6：求证：47)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形)1111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则47)2111211(211)1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n .。
换元法解题技巧和方法初一
换元法解题技巧和方法初一
1. 嘿，初一的小伙伴们！换元法啊，那可真是解题的一把利器！就像你走路有了一双超级酷的鞋子！比如解方程(x+3)²+3(x+3)-4=0，这时候我们就可以把 x+3 设为一个新的元，比如设它为 y，那方程不就变成了y²+3y-4=0，一下子简单多了吧！
2. 哎呀呀，初一的同学们要好好看看哦！换元法能让那些复杂的题目变得亲切起来呢！好比混乱的线团找到了线头。
比如计算∫(2x+3)/(x²+3x+1)dx，我们令u=x²+3x+1，那积分就好算了很多呢，是不是很神奇呀！
3. 哇塞，初一的朋友们知道吗？换元法的技巧就像魔法一样！可以把难题变得不再可怕，就像给小怪兽施了魔法变可爱啦！像是解不等式(x²-1)/(x-
3)>0，我们把x²-1 换元，问题不就容易解决了嘛！
4. 嘿哟，初一的娃娃们呀！换元法真的超有用处的哟！简直是打开难题大门的钥匙呀！像化简(3x-1)/(2x+1)，就可以设 2x+1=t，这样式子就会变得很简单呢，是不是很想不到啊！
5. 哈哈，初一的小可爱们要记住哦！换元法可是解题的妙招呢！像找到了藏在题目里的宝藏通道！比如计算∫(3x+2)/(x²+2x+5)dx，通过设
u=x²+2x+5，哇，积分一下子清晰明了啦！
6. 哎哟喂，初一的同学们可别小看换元法呀！这可是解题的得力助手呢！简直像拥有了超级力量！像求方程 3(x-2)²-4(x-2)-5=0 的解，设 x-2=t 就好啦，然后就能轻松做出来啦，多厉害呀！
我的观点结论就是：换元法对于初一的解题来说真的非常重要且好用呀，大家一定要好好掌握！。
初中数学换元法解析
初中数学换元法解析换元法是数学中的重要方法之一,它往往和消元的思想联系在一起.换元的实质就是“转化”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换.换元的基本方法有:整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等.换元法的一般步骤为:设元(或构造元)、换元、求解、回代和检验等。
（1）换元法在整式运算中的应用初中数学问题中,常见的就是整式运算问题.在整式运算中经常会出现相对复杂的题目,这就需要在解题过程中将结构相同的部分看成一个整体,并用新元去替换它,将综合性强的问题转换成普通问题。
【典型例题】【思路分析】从题目中可发现,第一个括号中的式子=1-第四个括号中的式子,第三个括号中的式子=1-第二个括号中的式子.所以我们可以把第四个括号中的式子、第二个括号中的式子整体设元。
【答案解析】设2+3+4+…+999=a,2+3+4+…+998=b,则有a-b=999.所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b+ab=a-b=999.【归纳总结】解题之前可以先观察题目,发现并探究相同的式子,然后用字母将相同部分替换,计算相对快捷简便.从此题中还可以发现,每两组括号都会相差999,第三个括号比第一个括号中少了999,第二个括号比第四个括号中多了999.所以还可以这样设元、换元:设1-2-3-…-998=a,2+3+4+…+998=b,则有a+b=1那么原式就变换a·(b+999)-(a-999)b=999(a+b)=999.所以换元方法不止一种,可以灵活选择.（2）换元法在因式分解中的应用初中数学问题中的重要内容之一就是因式分解.用换元法分解因式,它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换,减少因式项数或者降低次数,同时,让隐含的关系清晰地表现出来,从而使运算过程简明清晰.【典型例题】【思路分析】认真观察题目的结构,可以发现(x-4)(x+1)=x²-3x-4,(x-2)(x-1)=x²-3x+2,它们的二次项、一次项完全相同,这就具备了换元的条件,使用换元法进行降次处理,就使得分解变得简单易行.在设辅助未知数时,方法比较灵活,如可设x²-3x=a,或设x²-3x-4=a等,一般地,设辅助元为x²-3x-4和x²-3x+2的算术平均式比较简捷.【答案解析】（3）换元法在解方程(组)中的应用掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求,而在解高次方程、分式方程、无理方程时,要注意方程的特点,创造运用换元法的条件,往往会简化求解过程.A.高次方程解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.用换元法解高次方程的思路,与用换元法分解因式的思路一致.【典型例题】【思路分析】这个方程左边的两个因式中都含有x²+3x,于是解此题可设x²+3x+4=y或者x²+3x=y,当然与分解因式类似,也可设两个因式的算术平均式为辅助元,不过此题中算术平均式为x2+3x+9/2,计算并不方便.所以辅助元的选择要根据题意灵活地掌握.【答案解析】B.分式方程运用换元法解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程.【典型例题】【思路分析】【答案解析】C.无理方程运用换元法解无理方程的基本思路是化无理方程为有理方程.【典型例题】【思路分析】当无理方程的有理式部分与无理式部分所含未知数的项的系数成比例(包括相等)时,把无理式部分设为辅助元.此方程组中存在两组这样的关系,所以需设两个辅助元.用换元法解方程或方程组,虽然能把复杂的方程(组)简单化,但用此方法必须验根,因为在换元过程中(特别是分式方程和无理方程)常会出现增根.【答案解析】（4）换元法在证明中的应用换元法在证明中应用广泛,比如一元二次方程根的问题、不等式的证明、几何问题等,证明题利用换元法十分简捷.常采用的方法有增量换元法、均值换元法等.【典型例题】【思路分析】因为b+c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分别给b,c在4的基础上加上一个变量,这两个变量之和应为0,所以为简便起见,一个表示为t,另外一个则为-t.所以设b=4+t,c=4-t.又因为b,c都大于0,所以可以求出t值的取值范围.到此,设辅助元完成,然后代入换元即可.像这样,若某几个变量之和为一定值,则可求出其均值,则这几个变量都在均值这一常量附近变化,此时,可设这几个变量为该均值加上另外几个变量.新加入的变量之和为0,这种换元方法叫作均值换元法.【答案解析】。
(完整版)初中数学解题必备10大思想方法
初中数学解题必备10大思想方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
初中数学常用的十一种思想方法介绍
初中数学常用的十一种思想方法介绍初中数学常用的十一种思想方法介绍数学的思想和方法是初中数学的基础知识。
数学学习中要提高我们分析问题的能力，形成用数学的意识决问题，这些都离不开数学思想和数学方法。
我们在初中的数学学习中，学到了很多处理数学问题的思想和方法，下面，本人就教学过程中常用的数学思想方法介绍如下：一、数形结合思想根据数学问题的条件和结论之间内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起一，并充分得用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、联系与转化的思想事物之间是相互联系，相互制约的。
是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化特殊与一般的转化、具体抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
三、分类讨论的思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同的情况予以考查，这种分类思考的方法是一一种重要的.数学思想方法。
同时也是一种重要的解题策略。
四、待定系数法当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母的值就可以，为此，把已知道条件代入特定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方和或方程组就使问题得到解决。
待定系数法是一种重要的数学解题方法，在代数式恒等变形及研究函数中有着广泛的应用。
五、配方法把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变形，配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
六、换元法在解题过程中，把某个(或某些)字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。
换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题从而过到化繁为简、化难为易的目的。
七、分析法在研究或证明一个命题时，由结论向己知条件追溯，即从结论升始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立如果还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件(或己知的事实)为止，从而使命题得到证明，这种方法叫佬分析法。
(完整版)初中数学解题必备10大思想方法
初中数学解题必备10 大思想方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
经过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完满平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分特别广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起重视要的作用。
因式分解的方法有好多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还如同利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个特别重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们平时把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、鉴识式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 属于R，a≠0）根的鉴识，△=b2-4ac，不但用来判断根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数以致几何、三角运算中都有特别广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些相关二次曲线的问题等，都有特别广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果拥有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，此后依照题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，进而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们经常会采用这样的方法，经过对条件和结论的解析，构造辅助元素，它能够是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，进而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
(精品)初中数学解题思想方法
初中数学解题思想方法2013.1数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。
以上是解题技巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。
在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。
联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接很相似的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。
一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。
例1、求52454222yx yxy x的最小值。
例2、设a ，b 为实数，求b abab a 222的最小值。
例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b axy上横坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BEAD的最小值。
例4、已知x ，y ，z 是实数，且0))((4)2z y y xx z（，求yzx 2的值。
例5．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b的最小值为（）（2012）A ．18. B ．0. C ．1. D ．98.例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a aB A B AB aa定点则两点距离的最小值为二、换元思想方法根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。
例7、计算2201020112012201312011例8、已知12433a，求32133aaa的值。
（其中0402mq，ｎm）例9、已知是a ，b ，c ，d 是满足a+b+c+d+e=8，1622222edcba 的实数，求e 的取值范围。
换元法原理及解释
换元法原理及解释
嘿，咱今儿就来唠唠换元法！换元法啊，就像是给一个复杂的数学式子来个大变身！比如说，咱遇到一个式子，里面的某个部分特别复杂，就像一团乱麻，让你头疼得很，对吧？（就像你面对一团怎么解也解不开的耳机线一样。
）这时候，咱就可以找个新的“替身”来代替这团乱麻，把问题变得简单些。
你看哈，假设原来的式子是 f(x)，里面有个部分比如说是 g(x)很难搞，那咱就设 t = g(x)，这下子，原来的式子 f(x)就可以变成 f(t)啦！（这就好比你本来面对一个调皮捣蛋让你头疼的小孩，现在把他换成了一个乖宝宝。
）这多好呀，一下子就把难题变得容易多啦！
我给你举个例子呗，就说计算∫(x+1)²dx，咱就可以设 t = x+1，那 dx 不就等于 dt 啦！然后式子就变成了∫t²dt，这样是不是好算多啦？（就像你原本要走一条崎岖的山路，现在突然有条平坦的大道摆在你面前。
）
换元法在很多地方都超有用的呢！不管是解方程还是求积分，都能派上大用场。
它就像一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的数学大门。
（就如同你有一把万能钥匙，可以打开各种神秘的宝箱。
）咱可不能小瞧它呀！
我觉得换元法真的是数学里超级厉害的一个方法，它能让我们在面对复杂问题时找到巧妙的解决途径，让我们能更轻松地在数学的海洋里畅游。
所以呀，大家一定要好好掌握换元法哦！。
初中常用的数学思想方法
初中常用的数学思想方法1、分类讨论的思想在数学问题中，我们常常需要根据研究对象的差异，分不同情况予以讨论，比如：当X>0，X=0，X<0的情况，我们需要进行讨论，从而得出正确结果，这是一种重要的解题方法。
2、数形结合思想就是利用代数和几何图形相结合的方法，相互辅助，以便于我们更好解决数学问题。
例如：求线段最值问题。
就需要借助图形帮助我们更好理解及作答。
3、待定系数法此法常用于方程组或方程式中，我们在计算数学式子具有某种特定形式时，我们只需求出式子中待确定的字母的值就可以了。
我们可以把已知条件代入这个待定形式的式子中，就能轻松求解出这个问题了。
4、配方法利用已知代数式构造成平方差或完全平方式，再根据需要进行计算。
配方法在计算分解因式、解方程、讨论二次函数等问题上起着重要的作用。
6、换元法就是把带有某个或某些字母的式子看成一个整体，用一个新的字母进行表示，把一个复杂的式子进行化简进行计算，从而求出正确答案。
7、分析法常用于证明命题时，从结论向已知条件推理，推理出它成立的充分条件。
我们通过逆向思维思考问题，从而使问题更加简明，正所谓正难则反易。
8、联系与转化的思想事物之间是可以相互联系、相互转化的。
数学学科的知识点各部分之间也是相互联系的。
在解题时，如果能巧妙利用处理它们往往可以使问题化难为易，化繁为简。
如：代换转化、数形转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化等等。
9、演绎归纳法即从一般到特殊的演绎，把握现象，抓住本质，总结归纳其一般规律，并将其运用到解决实际问题当中。
10、类比法此法和上面一法有相似之处，其利用某些事物属性相同或相似的一面，推理到其他属性方面也可能有相同或相似的一面。
类比法既可能是从特殊到特殊，也可能从一般到一般的推理。
11、综合法在处理数学问题时，当使用一种方法不能很好解决问题时，我们可利用多种方法进行解决，选取适合的方法往往有助于我们快速解决难题，从而大大节省我们的时间。
初中数学中的主要数学思想方法
初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
数学思想方法专题讲解第一讲---换元法
考点一：换元法换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，又称整体换元。
（一）直接换元（但请注意检验）：1．用换元法解方程：（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2）22211122124x x x x x x +=--+-+2．解方程：()()4233340x x +-+-=3．用换元法分解因式： ()()22323416a a a a +-++-（二）间接换元1．解方程（先配方，后换元）：.2．解方程（倒数换元）： .3．解方程（变形换元）：（1）（2）()()()()1234150a a a a +++++=1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x 12222422=+-+-x x x x3．用换元法解方程组（双换元）：（1）36101610x y x yxy x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.323,18y x y x（三）用换元法求值：（1）)2005131211)(200613121(+++++++ )200513121)(2006131211( ++++++-（2）2222009200820092007+200920092-=____________________（四）内部换元：利用题目中的某个字母或某个整体进行换元，从而简化题目。
1．已知113x y -=，求代数式2322y xy xy xy x --+-的值。
2．当1x =时，代数式37ax bx ++的值为4，求当1x =-时代数式37ax bx ++的值。
3．已知3208a x =-，3188b x =-，3168c x =-，求：代数式222a b c ab ac bc ++---的值。
4．已知2310x x -+=，求代数式的值：（1）221x x +；（2）2421x x x ++。
初中数学解题技巧-常见的转化方法_答题技巧
初中数学解题技巧:常见的转化方法_答题技巧
初中数学解题技巧:常见的转化方法
（1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
（2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. ?
（3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. ?
（4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. ?
（5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题.
（6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.
（7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思想?
（1 ）把什么问题进行转化，即化归对象. ?
（2 ）化归到何处去，即化归目标. ? 0
（3 ）如何进行化归，即化归方法. ?
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.。
初中数学重点梳理：换元法
换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
初中数学换元法
初中数学换元法数学中的换元法指通过一个一次或多次函数变换将原方程转化成更易解的方程的方法。
它在初中数学中主要应用于简化复杂的代数式和解方程，主要有以下几种类型。
1. 代数式的化简当出现一次多项式和一个二次多项式相乘时，可以使用一个新的变量，将二次项的系数给去掉。
例如：x^2 + 6x = (x+3)^2-92. 解一元一次方程组对于一元一次方程组，也可以使用换元法进行求解，通过将其中一个方程的某一变量项代入到另一个方程中，从而消去一部分未知数。
例如：\begin{cases} x-y=3\\ 2x+y=7\end{cases}，可将第一个方程中的 y 用 3-x 表示，代入第二个方程，得到 x=2，进而求出 y=-1。
3. 解一元二次方程对于一元二次方程，可以通过变换将其化为一元一次方程。
例如：x^2-5x+4=0，令 x=y-\dfrac{b}{2a}，代入原方程即可求解 y，再通过还原变量得到 x。
4. 解三角函数方程对于某些三角函数方程，可以通过一些简单的代数变换将其转化为其他类型的方程，例如：\sin^2 x - \sin x -2=0，令 y=\sin x，则原方程变为 y^2-y-2=(y+1)(y-2)=0，解得 y=-1 或 y=2，进而求出 x。
5. 解根式方程对于一些含有根式的方程，可以通过换元法将其化为一元二次方程，例如：\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+1}=1，令 y=\sqrt{x+1}，则原方程变为\sqrt{2y^2+3}-y=1，化为 2y^2-2y-2=0，解得 y=1+\sqrt{2} 或y=1-\sqrt{2}，进而求出 x。
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初中数学思想与方法——换元法
一、内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.
两边都除以x 2,得a(x 2+
21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.
对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.
原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.
ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x
)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x
=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.
二、例题
例1. 解方程1112---+
+x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .
原方程化为： y －
21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，
解得，x=4
5. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=62
6.
解：（用平均值2
4-+x x 代换） 设 y= x －2 ，则x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.
［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0
整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).
(y 2+33)(y 2－9)=0.
当y 2+33=0时， 无实根 ；
当y 2－9=0时， y=±3.
即x －2=±3，
∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，
两边除以x 2,并整理 得2(x 2+
2
1x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.
解得 y=－4；或y=2
5. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.
由y=2.5得 x=2；或x=2
1. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
1012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********
v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=911
32v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .
三、练习
解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.
2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.
5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=1
6.
6. x x x x 11
2+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 5
63964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 12. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++0
1823312y xy y y x y x . 14
x x
x x =-+-111.
15. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .
16. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____
参考答案 1. 22
12
29 2. ±
43±3
4 3. －2
5 4. 2,－
23,4651± 5.32
31-32211， 6. 1 7.
21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==7
27272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==55
5555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1
11.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10
358y x y x 12.⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 13 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==10
31041031041513y x y x y x y x 14. x=2
51± 15.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y
16.设原式=k, k=442。